江苏省南京市2026年高三考前指导数学学科教研室综合模拟题（5-6页）新完整解析

这是一份江苏省南京市2026年高三考前指导数学学科教研室综合模拟题（5-6页）新完整解析，共4页。
第 31 题
已知正方形ABCD边长为4，PD⊥平面ABCD，PD=6，ED=2PE，故PE=2,ED=4。
由AC∥α，平面α过EB，交PA,PC于M,N，得AC∥MN。
由相似比：PMPA=13。
MN=13AC=423，EB=42+42=42，MN∥AC，AC⊥BD，PD⊥AC，故MN⊥EB。
四边形EMBN为梯形，面积=3223。
答案：13；3223
第 32 题
(1) 证明CE⊥AE
平面DEC⊥平面ABCD，交线为CD，AD⊥CD⇒AD⊥平面DEC，故AD⊥CE。
又CE⊥ED，AD∩ED=D，AD,ED⊂平面ADE，
∴CE⊥平面ADE，又AE⊂平面ADE，∴CE⊥AE。
(2) ① 证明DC∥l
AB∥CD，AB⊄平面ECD，CD⊂平面ECD⇒AB∥平面ECD。
AB⊂平面EAB，平面EAB∩平面ECD=l，∴DC∥l。
② 建系：D(0,0,0),C(4,0,0),A(0,4,0),B(2,4,0)，由CE=ED,CE⊥ED得E(2,0,2)。
设P(t,0,0)，求出DE→、平面PBC法向量，利用线面角公式，求得最小值为3010。
第 33 题
梯形ABCD，AB∥DC，AB=AD=1,DC=2，折叠得三棱锥P−BCD，E,F为BD,CD中点。
(1) 证明平面PBC⊥平面PBD
折叠前AB⊥AD，BD=2，BC=2，BD2+BC2=DC2⇒BC⊥BD。
又BC⊥PD，PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD。
BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD。
(2) ∠PEF=90∘，求二面角D−PF−E正弦值
折叠后PE⊥BD，EF∥BC，由PE⊥EF得PE⊥平面BCD，建系求得二面角正弦值为105。
(3) 是否存在P，使B到平面PCD距离为2
设P到平面BCD高为h，利用等体积法验证，存在，二面角P−BD−C余弦值为−33。
三角函数
第 34 题
sin⁡2α=55，sin⁡(β−α)=1010，α∈[π4,π],β∈[π,3π2]
α∈[π4,π2],2α∈[π2,π]⇒cs⁡2α=−255
β−α∈[π2,5π4]⇒cs⁡(β−α)=−31010
cs⁡(α+β)=cs⁡[2α+(β−α)]=−22，α+β∈[5π4,2π]
∴α+β=7π4
第 35 题
sin⁡(α+β)=2sin⁡(α−β)，展开得3sin⁡αcs⁡β=cs⁡αsin⁡β⇒tan⁡β=13tan⁡α
α−β最大时，tan⁡(α−β)=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡αtan⁡β=2tan⁡α3+tan2⁡α≤13
当tan⁡α=3即α=π3时取最大值。
答案：C
第 36 题
f(x)=sin⁡(2x+φ)，x∈[0,π3]，2x+φ∈[φ,2π3+φ]
恰有 1 个零点，φ>0，得φmin=π3。
答案：B
第 37 题（多选）
f(x)=sin⁡x+12cs⁡2x−13sin⁡3x
A：2π是周期，正确
B：x=π2为对称轴，正确
C：最大值为116，正确
D：在(0,π6)先增后减，错误
答案：ABC
解三角形
第 38 题（多选）
sin⁡A=sin⁡B⇒A=B，3(acs⁡B+bcs⁡A)=2csin⁡C⇒sin⁡C=32，锐角三角形⇒C=π3，△ABC为等边三角形，A 正确。
B：AC=213，由四点共圆对角互补，可证成立，正确
C、D：四边形面积最值，最大值103+12，最小值103−12，C 错误，D 正确
答案：ABD
第 39 题
tanAtanB=2⇒sin⁡Acs⁡Bcs⁡Asin⁡B=2⇒acs⁡B=2bcs⁡A，由余弦定理得a2=53b2−13c2
a2b2+c2=5b2−c23(b2+c2)，取值范围：(−13,53)
第 40 题
G为重心，BG⊥CG，5b=6c，由重心向量性质 + 余弦定理，得cs⁡A=1936
第 41 题
(1) AB→⋅AC→=ac+BA→⋅BC→，数量积展开得cs⁡A=cs⁡2A⇒B=2A
(2) 由正弦定理结合范围，求得b2+43d取值范围：(43,12+83)
第 42 题
∠ABC=2π3，AB⊥BD，BD=2
(1) BC=23，由正弦余弦定理得AD=22
(2) CD=2AD，设AD=x，由余弦定理解得tan⁡A=335
数列
第 43 题
等差数列an，a1=−10，3S4−4S3=12，解得公差d=2
S12=12×(−10)+12×112×2=12
答案：C
第 44 题
a1=0,a2=1，an+an+1公比为 2，an+an+1=2n−1
奇偶项分组求和，得a2026=22025−13
答案：B
第 45 题
Sn=n2⇒an=2n−1，bn=1(2n−1)(2n+1)，裂项相消Tn=n2n+1
λTn