江苏省南京市2026年高三考前指导数学学科教研室综合模拟题第48题 （7页）完整详细解析

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已知递推关系式：
① 证明an+bn是等比数列
将两式相加：
初值：a1+b1=3+1=4≠0
故an+1+bn+1an+bn=5
因此an+bn是以4为首项，5为公比的等比数列。
② 证明an−bn是等差数列
将两式相减：
初值：a1−b1=3−1=2
因此an−bn是以2为首项，2为公差的等差数列。
(2) 求数列cn的前500项和
由 (1) 等差数列通项公式：
由题意：cn=[lg⁡(an−bn)]=[lg⁡2n]，[x]表示取不超过x的最大整数。
分段讨论cn取值
当1≤2n