湖北省武汉中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题（Word版附解析）

这是一份湖北省武汉中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题（Word版附解析），共37页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
试卷满分：150 分
一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1. 若复数 ，则 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2. 若非零向量 满足 ，且向量 在向量 上的投影向量是 ，则向量 与 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，底面半径为 1，母线长为 2 的圆锥底面圆周上有两点 B，C，BC 为底面直径，AB 上一点 D 满足
，一只蚂蚁沿圆锥侧面从 C 点爬到 D 点，其移动路径的最小值为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知 ，且 ， 为虚数单位，则 的最大值是（ ）
A. B. C. 2 D.
5. 已知函数 的部分图象如图所示，将 的图象向左平移 个单位长度，
再把所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 2 倍，得到函数 的图象，则 （ ）
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A. B. C. 1 D. 0
6. 已知向量 与 均为非零向量，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 如图，在等腰直角三角形 中，斜边 ， 为线段 上的动点（包含端点）， 为 的中
点．将线段 绕着点 旋转得到线段 ，则 的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
8. 在斜 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c， ， ，点 O
满足 ，且 ，则 的面积为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
B. 六条棱长均相等的四面体是正四面体
C. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为五棱锥
D. 长方体是直四棱柱，也是正四棱柱
10. 如图，在 中， ， ， ，若点 为 的中点，点 在 上，且
， 与 相交于点 ，则下列说法正确的是（ ）
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A. B.
C. D.
11. 设平面向量 ， ， 满足 ， ， ．则下列命题中正确的是（ ）
A. B.
C. 若 ，则 的最大值为 D. 的取值范围是
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 设 ， ， ，若 与 的夹角为钝角，则 m 的取值范围是______．
13. 中， ，D 在 上， ， ，则 ______.
14. 记 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 分别是
的重心和内心，且 ，则 ________．
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 如图，在平行四边形 中，点 为 中点，点 在线段 上，满足 设
.
（1）用向量 表示向量 ；
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（2）若 ，求 .
16. 已知复数 （ ），且 为纯虚数（ 是 的共轭复数）.
（1）设复数 ，求 ；
（2）复数 在复平面内对应的点在第一象限，求实数 的取值范围.
17. 记 的角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ．
（1）求 ；
（2）若 ，且 的周长为 ，求 的面积．
18. 在 锐 角 中 ， 内 角 所 对 的 边 分 别 为 ， 且 满 足
．
（1）求角 ；
（2）求 的取值范围；
（3）当 时，角 的平分线交 于 ，求 长度的最大值．
19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出的，该问题是在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的
三个顶点的距离之和最小.意大利数学家托里拆利给出了解答：当 的三个内角均小于 时，使得
的点 即为费马点；当 有一个内角大于或等于 时，最大内角的
顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且
.
（1）设点 为 的费马点，若 ，求 的面积；
（2）设点 为 的费马点， ，求实数 的取值范围.
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