湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高一下学期期中数学试题（Word版附答案）

这是一份湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高一下学期期中数学试题（Word版附答案），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时限：120 分钟 满分：150 分 命题人：审题人：
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．复数 z 满足 则复数 z=（ ）
A．2-i B．2+I C．2-2i D．8+8i
2．化简以下各式，结果不是零向量的为（ ）
3．下列命题中正确的是（ ）
A．若直线 a 上有无数个点不在平面α内，则 a∥α
B．若直线 a∥平面α，则直线 a 与平面α内的任意一条直线都平行
C．若直线 a/直线 b，直线 b∥平面α则直线 a∥平面α
D．若直线 a 平面α，则直线 a 与平面α内的任意一条直线都没有公共点
4．若ā，b 为非零向量，则 是“ = ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．某观测站 C 在目标 A 的南偏西 25°方向，从 A 出发有一条南偏东 35°走向的公路，在 C 处
测得与 C 相距 31km 的公路 B 处有一个人正沿着此公路向 A 走去，走 20km 到达 D，此时测得
CD 距离为 21km，若此人必须在 20 分钟内从 D 处到达 A 处，则此人的最小速度为（ ）
A．30km/h B．45km/h
C．14km/h D．15km/h
6．若向量 ， 的夹角是 是单位向量， 则向量 与 的夹角为（ ）
A．π3B．π/6
7．如图，在棱长均为 2 的直三棱柱 中，D 是棱 A₁B₁的中点，过 B、C、D 三点
的平面将该三棱柱截成两部分，则顶点 B₁所在部分的体积为（ ）
C．
8．已知△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 则△ABC 的形
状是（ ）
A．等腰三角形但不是直角三角形
B．直角三角形但不是等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．已知 z₁，z₂都是复数，下列选项中正确的是（ ）
A．若 则：z₁=0．或 B．若 则
C．若 则 是实数 D．若 则
10．如图，已知直线 l₁∥l₂，点 A 是 l₁，l₂之间的一个定点，点 A 到 l₁，l₂的距离分别为 l，2．点
B 是 直 线 l₂上 一 个 动 点 ， 过 点 A 作 AC⊥ AB， 交 直 线 l₁于 点 C， 点 G 满 足
则（ ）
B．当|AB|=4 时，
C．△ABC 面积的最小值是 1
D．|AG|≥1
11．正方体 的棱长为 2，M 为 AA₁的中点，平面α经过点 且与 CM 垂直，
则（ ）
A．CM⊥BD B．BD∥平面α
C．平面 C₁BD∥平面α D．平面α截正方体所得的截面面积为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．若 2i-3 是关于 x 的方程 的一个根，则
13．某同学做了一个木制陀螺，该陀螺由两个底面重合的圆锥组成．已知该陀螺上、下两个圆
锥的体积之比为 1：2．上面圆锥的高与其底面半径相等，则上、下两个圆锥的母线长之比为．
14． 在 锐 角 △ ABC 中 ， 三 内 角 A， B， C 的 对 边 分 别 为 a， b， c， 且 则
的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）如图，在四边形 ABCD 中，△ABD 是等边三角形，． 是以 BD 为斜边的
等腰直角三角形，将△ABD 沿对角线 BD 翻折到 在翻折的过程中
（1）求证：BD⊥PC；
（2）若 DP⊥BC 垂直，求证：PC⊥平面 BCD．
16．（15 分）如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2CD=4，E，F 分别为 DC，
CB 的中点，且 P 是线段 AB 上的一个动点．
（1）求 AD；
（2）求∠EAF；
（3）求（ 的取值范围．
17．（15 分）如图，在棱长为 2 的正方体 中，E，F，G，H，P 分别是棱 AD，
A₁B₁，CC₁，BC，CD 的中点，
（1）过点 A，G，H 作正方体的截面，并说明理由；
（2）求三棱锥 F-EPH 的外接球的表面积；
（3）设点 M 在平面 BB₁C₁C 内，且 A₁M∥平面 AGH，求直线 A₁M 与直线 AB 所成角的余弦
值的最大值．
18．（17 分）如图，E 为线段 AD 的中点，C 为 DA 延长线上的一点，以 A 为圆心，AE 为半
径作半圆，B 为半圆上除去直径端点的一点，连接 BC，BD．
（1）若 AD=2，以 BD 为边作正三角形 BFD（点 F 在直线 BD 的上方），当四边形 ABFD 面积
为 时，求 ；
（2）在△ABC 中，记∠BAC，∠ABC，∠ACB 的对边分别为 a，b，c，． 的面积为 S，
满足
①求证：∠BAC=2∠ABC；②求 的最小值．
19．（17 分）布洛卡点是三角形内部的一特殊的点，由法国数学家亨利·布洛卡于 19 世纪提出，
它通过等角条件联系三角形．．边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，
是经典几何学中兼具美学与实用价值的点．其定义如下：设 P 是 内一点，若∠PAB=
∠PBC=∠PCA=θ，则称点 P 为△ABC 的布洛卡点，角θ为△ABC 的布洛卡角．如图，在△ABC
中，记它的三个内角分别为 A，B，C，其对边分别为 a，b，c，△ABC 的面积为 S，点 P 为
△ABC 的布洛卡点，其布洛卡角为θ，请完成以下各题：
（1）若 a=c，且． 求 A 和 ；
（3）若 求 的值．0
华中师大一附中下学期高一期中检测答案
一、选择题：
1．C 2．B 3．D 4．B 5．B 6．A 7．D 8．B
9．ACD 10．ABD 11．ABD
二、填空题：
12．38 13． 14．8
三、解答题：
15．（1）取 的中点 ，在等腰 中， ， 为 的中点，
∴ ，在等边 中， ，又 ，
∴ 平面 ，又 平面 ，∴
（2）∵在 中， ，又 ，又 ，
∴ 平面 ，又 平面 ，∴
又由（1）知 （已证）， ，∴ 平面
16．建立以 为原点， 为 轴正半轴， 为 轴正半轴的坐标系，
∴ ， ，假设 ，则 ， ， ，
∴ ，
（1）由 ，则 ，即 ，又 ，∴ ，∴
（2）由（1）知： ， ， ，
∴ ，又 为锐角，
∴
（3）设 ，∴ ，
∴ ，
∴
∵ ，∴
17．（1）在正方体 中，平面 平面 ，
设平面 平面 ，平面 平面 ，
∴ ，又 ， 分别是 和 的中点，
∴ ， ，∴ ，∴ 即为直线 ，
∴正方体中过点 ， ， 的截面是
（2）易知 的中点 到 ， ， ， 的距离均相等，且为 ，
∴ 是三棱锥 的外接球的球心，其半径为 ，
∴
（3）取 的中点 ，又 的中点 ，则 ，又 ，
平面 ，∴ 平面 ，又在正方体 中，
，∴ 平面 ，又
∴平面 平面 ，∴点 在线段 上运动
又 ，∴直线 与 所成的角即为直线 与 所成的角
又 平面 ，∴ ， 是
∴ ，又 的最小值为
∴ ，∴
∴直线 与 所成的角的余弦值的最大值为
18．（1）设 ， ，在 中， ， ，
由余弦定理： ，
即
又
∴
又 ，∴ ，∴ ，∴
∴
（2）①由 ，∴ ，又 ，
∴ ，∴ ，又由余弦定律：
∴ ，∴ ，∴
∴ ，又
∴ ，又 ， ，
∴ 或 ，即 或 （舍去），故 ，
即
②不妨设 ，则 ，
由正弦定律知： ，∴
又 ，∴
∴
又 ，∴原式
当且仅当 ，即 时取等号，成立
∴ 的最小值为 ，此时
19．（1）∵ ，∴ ，∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，即 ，又 ，∴ ， ．
在 中，设 ，则 ，由正弦定理可得 ，
所以 ，所以 ．综上， ， ．
（2）（ⅰ）
，所以 ．
（ⅱ）在 ， ， 中，分别由余弦定理得：
， ， ，
三式相加整理得： ，
由（1）可得 ，所以 ，
原式得证．
（3）先求 ．
在 中，由正弦定理可得 ，
所以 ，
同理可得 ， ，
所以
再求 ．
在 中，由余弦定理以及三角形的面积公式可得
， ，
三式相加可得： ，
由（2）可知 ，所以 ；
所以
．