2026届广东省肇庆市封开县江口中学高三第二次联考数学试卷含解析

这是一份2026届广东省肇庆市封开县江口中学高三第二次联考数学试卷含解析，共19页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，已知集合,则，已知，则的取值范围是等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知三棱锥且平面，其外接球体积为（ ）
A．B．C．D．
2．已知，函数在区间上恰有个极值点，则正实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数，若，则下列不等关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知双曲线，为坐标原点，、为其左、右焦点，点在的渐近线上，，且，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
5．已知集合,则（ ）
A．B．C．D．
6．执行如图所示的程序框图，若输入，，则输出的值为（ ）
A．0B．1C．D．
7．定义，已知函数，，则函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知，则的取值范围是（ ）
A．[0，1]B．C．[1，2]D．[0，2]
9．四人并排坐在连号的四个座位上，其中与不相邻的所有不同的坐法种数是（ ）
A．12B．16C．20D．8
10．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）
A．B．C．D．
11．已知非零向量、，若且，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A．B．C．D．
12．过抛物线的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点，，若，则的最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在中，，，，则__________．
14．平面直角坐标系中,O为坐标原点,己知A(3,1),B(-1,3),若点C满足,其中α,β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹方程为
15．正项等比数列|满足，且成等差数列，则取得最小值时的值为_____
16．如图，在矩形中，，是的中点，将，分别沿折起，使得平面平面，平面平面，则所得几何体的外接球的体积为__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数（，）满足下列3个条件中的2个条件：
①函数的周期为；
②是函数的对称轴；
③且在区间上单调.
（Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数的解析式；
（Ⅱ）若，求函数的值域.
18．（12分）已知数列的前项和为，且满足，各项均为正数的等比数列满足
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和
19．（12分）如图：在中，，，.
（1）求角；
（2）设为的中点，求中线的长.
20．（12分）在直角坐标系中，直线l过点，且倾斜角为，以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程，并判断曲线C是什么曲线；
设直线l与曲线C相交与M，N两点，当，求的值．
21．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），将曲线上各点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到曲线，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）写出的极坐标方程与直线的直角坐标方程；
（2）曲线上是否存在不同的两点，（以上两点坐标均为极坐标，，），使点、到的距离都为3？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
22．（10分）为了实现中华民族伟大复兴之梦，把我国建设成为富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国，党和国家为劳动者开拓了宽广的创造性劳动的舞台.借此“东风”，某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开展技术创新活动.该农场采用了延长光照时间和降低夜间温度两种不同方案.为比较两种方案下产量的区别，该农场选取了40间大棚（每间一亩），分成两组，每组20间进行试点.第一组采用延长光照时间的方案，第二组采用降低夜间温度的方案.同时种植该蔬菜一季，得到各间大棚产量数据信息如下图：
（1）如果你是该农场的负责人，在只考虑亩产量的情况下，请根据图中的数据信息，对于下一季大棚蔬菜的种植，说出你的决策方案并说明理由；
（2）已知种植该蔬菜每年固定的成本为6千元/亩.若采用延长光照时间的方案，光照设备每年的成本为0.22千元/亩；若采用夜间降温的方案，降温设备的每年成本为0.2千元/亩.已知该农场共有大棚100间（每间1亩），农场种植的该蔬菜每年产出两次，且该蔬菜市场的收购均价为1千元/千斤.根据题中所给数据，用样本估计总体，请计算在两种不同的方案下，种植该蔬菜一年的平均利润；
（3）农场根据以往该蔬菜的种植经验，认为一间大棚亩产量超过5.25千斤为增产明显.在进行夜间降温试点的20间大棚中随机抽取3间，记增产明显的大棚间数为，求的分布列及期望.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
由,平面,可将三棱锥还原成长方体,则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,进而求解.
【详解】
由题,因为,所以,
设,则由,可得,解得,
可将三棱锥还原成如图所示的长方体,
则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,设外接球的半径为,则,所以,
所以外接球的体积.
故选:A
【点睛】
本题考查三棱锥的外接球体积,考查空间想象能力.
2、B
【解析】
先利用向量数量积和三角恒等变换求出 ，函数在区间上恰有个极值点即为三个最值点，解出，，再建立不等式求出的范围，进而求得的范围.
【详解】
解：

令，解得对称轴，，
又函数在区间恰有个极值点，只需
解得．
故选：．
【点睛】
本题考查利用向量的数量积运算和三角恒等变换与三角函数性质的综合问题.
(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成或 的形式; (2)根据自变量的范围确定的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值或参数范围.
3、B
【解析】
利用函数的单调性得到的大小关系，再利用不等式的性质，即可得答案.
【详解】
∵在R上单调递增，且，∴.
∵的符号无法判断，故与，与的大小不确定，
对A，当时，，故A错误；
对C，当时，，故C错误；
对D，当时，，故D错误；
对B，对，则，故B正确.
故选：B.
【点睛】
本题考查分段函数的单调性、不等式性质的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题.
4、D
【解析】
根据，先确定出的长度，然后利用双曲线定义将转化为的关系式，化简后可得到的值，即可求渐近线方程.
【详解】
如图所示：
因为，所以，
又因为，所以，所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以渐近线方程为.
故选：D.
【点睛】
本题考查根据双曲线中的长度关系求解渐近线方程，难度一般.注意双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚轴长度的一半.
5、B
【解析】
计算，再计算交集得到答案
【详解】
,表示偶数，
故.
故选：.
【点睛】
本题考查了集合的交集，意在考查学生的计算能力.
6、A
【解析】
根据输入的值大小关系，代入程序框图即可求解.
【详解】
输入，，
因为，所以由程序框图知，
输出的值为.
故选：A
【点睛】
本题考查了对数式大小比较，条件程序框图的简单应用，属于基础题.
7、A
【解析】
根据分段函数的定义得，，则,再根据基本不等式构造出相应的所需的形式，可求得函数的最小值.
【详解】
依题意得，，则,
(当且仅当，即时“”成立.此时,，，的最小值为，
故选：A.
【点睛】
本题考查求分段函数的最值，关键在于根据分段函数的定义得出，再由基本不等式求得最值，属于中档题.
8、D
【解析】
设，可得，构造（）22，结合，可得，根据向量减法的模长不等式可得解.
【详解】
设，则，
，
∴（）2•2
||22＝4，所以可得：，
配方可得，
所以，
又
则[0，2]．
故选：D．
【点睛】
本题考查了向量的运算综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
9、A
【解析】
先将除A，B以外的两人先排，再将A，B在3个空位置里进行插空，再相乘得答案.
【详解】
先将除A，B以外的两人先排，有种；再将A，B在3个空位置里进行插空，有种，所以共有种.
故选：A
【点睛】
本题考查排列中不相邻问题，常用插空法，属于基础题.
10、A
【解析】
由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比.
【详解】
水费开支占总开支的百分比为.
故选：A
【点睛】
本题考查折线图与柱形图，属于基础题.
11、D
【解析】
设非零向量与的夹角为，在等式两边平方，求出的值，进而可求得向量在向量方向上的投影为，即可得解.
【详解】
，由得，整理得，
，解得，
因此，向量在向量方向上的投影为.
故选：D.
【点睛】
本题考查向量投影的计算，同时也考查利用向量的模计算向量的夹角，考查计算能力，属于基础题.
12、C
【解析】
设直线AB的方程为，代入得：，由根与系数的关系得，，从而得到，同理可得，再利用求得的值，当Q，P，M三点共线时，即可得答案.
【详解】
根据题意，可知抛物线的焦点为，则直线AB的斜率存在且不为0，
设直线AB的方程为，代入得：.
由根与系数的关系得，，
所以.
又直线CD的方程为，同理，
所以，
所以.故.过点P作PM垂直于准线，M为垂足，
则由抛物线的定义可得.
所以，当Q，P，M三点共线时，等号成立.
故选：C.
【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意取最值的条件.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、1
【解析】
由已知利用余弦定理可得，即可解得的值．
【详解】
解：，，，
由余弦定理，
可得，整理可得：，
解得或（舍去）．
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
14、
【解析】
根据向量共线定理得A,B,C三点共线，再根据点斜式得结果
【详解】
因为,且α+β=1，所以A,B,C三点共线，
因此点C的轨迹为直线AB:
【点睛】
本题考查向量共线定理以及直线点斜式方程，考查基本分析求解能力，属中档题.
15、2
【解析】
先由题意列出关于的方程，求得的通项公式，再表示出即可求解.
【详解】
解：设公比为，且，
时，上式有最小值，
故答案为：2.
【点睛】
本题考查等比数列、等差数列的有关性质以及等比数列求积、求最值的有关运算，中档题.
16、
【解析】
根据题意，画出空间几何体，设的中点分别为，并连接，利用面面垂直的性质及所给线段关系，可知几何体的外接球的球心为，即可求得其外接球的体积.
【详解】
由题可得，，均为等腰直角三角形，如图所示，
设的中点分别为，
连接，
则，.
因为平面平面，平面平面，
所以平面，平面，
易得，
则几何体的外接球的球心为，半径，
所以几何体的外接球的体积为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了空间几何体的综合应用，折叠后空间几何体的线面位置关系应用，空间几何体外接球的性质及体积求法，属于中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）只有①②成立，；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）依次讨论①②成立，①③成立，②③成立，计算得到只有①②成立，得到答案.
（Ⅱ）得到，得到函数值域.
【详解】
（Ⅰ）由①可得，；由②得：，；
由③得，，，；
若①②成立，则，，，
若①③成立，则，，不合题意，
若②③成立，则，，
与③中的矛盾，所以②③不成立，
所以只有①②成立，.
（Ⅱ）由题意得，，
所以函数的值域为.
【点睛】
本题考查了三角函数的周期，对称轴，单调性，值域，表达式，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
18、（1）；（2）
【解析】
（1）由化为，利用数列的通项公式和前n项和的关系，得到是首项为，公差为的等差数列求解.
（2）由（1）得到，再利用错位相减法求解.
【详解】
（1）可以化为，
，
，
，
又时，
数列从开始成等差数列，
，代入
得
是首项为，公差为的等差数列，
，
.
（2）由（1）得，
，
，
两式相减得
，
，
.
【点睛】
本题主要考查数列的通项公式和前n项和的关系和错位相减法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
19、（1）；（2）
【解析】
（1）通过求出的值，利用正弦定理求出即可得角；（2）根据求出的值，由正弦定理求出边，最后在中由余弦定理即可得结果.
【详解】
（1）∵，∴.
由正弦定理，即.
得，∵，∴为钝角，为锐角，
故.
（2）∵，
∴.
由正弦定理得，即得.
在中由余弦定理得：，∴.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查三角函数知识的运用，属于中档题.
20、 (Ⅰ) 曲线是焦点在轴上的椭圆；(Ⅱ)．
【解析】
试题分析：（1）由题易知，直线的参数方程为，（为参数），；曲线的直角坐标方程为，椭圆；（2）将直线代入椭圆得到，所以，解得．
试题解析：
(Ⅰ)直线的参数方程为.
曲线的直角坐标方程为，即，
所以曲线是焦点在轴上的椭圆.
(Ⅱ)将的参数方程代入曲线的直角坐标方程为
得，
，
得，
，
21、（1），（2）存在，
【解析】
（1）先求得曲线的普通方程，利用伸缩变换的知识求得曲线的直角坐标方程，再转化为极坐标方程.根据极坐标和直角坐标转化公式，求得直线的直角坐标方程.
（2）求得曲线的圆心和半径，计算出圆心到直线的距离，结合图像判断出存在符合题意，并求得的值.
【详解】
（1）曲线的普通方程为，纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线的直角坐标方程为，其极坐标方程为，
直线的直角坐标方程为.
（2）曲线是以为圆心，为半径的圆，
圆心到直线的距离.
∴由图像可知，存在这样的点，，则，且点到直线的距离，
∴，∴.
【点睛】
本小题主要考查坐标变换，考查直线和圆的位置关系，考查极坐标方程和直角坐标方程相互转化，考查参数方程化为普通方程，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
22、（1）见解析；（2）（i）该农场若采用延长光照时间的方法，预计每年的利润为426千元；（ii）若采用降低夜间温度的方法，预计每年的利润为424千元；（3）分布列见解析，.
【解析】
（1）估计第一组数据平均数和第二组数据平均数来选择.
（2）对于两种方法，先计算出每亩平均产量，再算农场一年的利润.
（3）估计频率分布直方图可知，增产明显的大棚间数为5间，由题意可知，的可能取值有0，1，2，3，再算出相应的概率，写出分布列，再求期望.
【详解】
（1）第一组数据平均数为千斤/亩，
第二组数据平均数为千斤/亩，
可知第一组方法较好，所以采用延长光照时间的方法；（
（2）（i）对于采用延长光照时间的方法：
每亩平均产量为千斤.
∴该农场一年的利润为千元.
（ii）对于采用降低夜间温度的方法：
每亩平均产量为千斤，
∴该农场一年的利润为千元.
因此，该农场若采用延长光照时间的方法，预计每年的利润为426千元；若采用降低夜间温度的方法，预计每年的利润为424千元.
（3）由图可知，增产明显的大棚间数为5间，由题意可知，
的可能取值有0，1，2，3，
；
；
；
.
所以的分布列为
所以.
【点睛】
本题主要考查样本估计总体和离散型随机变量的分布列，还考查了数据处理和运算求解的能力，属于中档题.
0
1
2
3