2026长沙雅礼中学高一下学期期中考试数学试卷含解析

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时间：120分钟 分值：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则A∩B中元素的个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
2. 已知，则的虚部为（ ）
A. B. C. 1D.
3. 已知，，点P满足，则点P的坐标是（ ）
A. B. C. D.
4. “幂函数在上是减函数”是“”的一个（ ）
A. 必要不充分条件B. 充要条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 努力公式是一个用来描述努力与结果之间关系的数学公式，它通常表示为：，．我们可以把看作每天的进步率都是，而把看作每天的落后率都是，大约经过（ ）天后进步的是落后的200倍
A. 264B. 266C. 268D. 270
7. 若平面截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面平行的棱有（ ）
A. 0条B. 1条
C. 2条D. 1条或2条
8. 已知函数，若，且.，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知是虚数单位，是复数，则下列叙述正确的有（ ）
A.
B. 若，则
C. 若，则不可能是纯虚数
D. 若，则在复平面内对应的点的集合确定的图形面积为2π
10. 记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（ ）．
A. B. B的取值范围为
C. 的取值范围为D. 的取值范围为
11. 在棱长为1的正方体中，，，，下列结论正确的是（ ）
A. 若时，直线与直线的夹角余弦值为
B. 若时，周长的最小值为
C. 若时，三棱锥的体积为定值
D. 当时，有且仅有一个点，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知圆锥的母线长为10cm，侧面积为，则此圆锥的体积为_______.
13. 已知函数在区间上恰有3个最小值点，则实数的取值范围为________．
14. 已知平面向量，且．已知向量与所成的角为60°，且对任意实数t恒成立，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数，．
（1）当时，求的最值；
（2）若在区间上是单调函数，求实数a的取值范围．
16. 已知函数
（1）求在上的值域；
（2）将的图象向右平移个单位长度，再把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间；
17. 已知的周长为，面积为，内角A、B、C对边分别是a、b、c，且.
（1）求角；
（2）若边长，求的最小值．
18. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由；
（3）若，请在图中作出四棱锥过点及棱中点的截面，并求出截面周长．
19. 对于定义在D上的函数，若存在实数m，使得为奇函数，则称函数为“位差奇函数”.
（1）判断和是否是“位差奇函数”，并说明理由.
（2）若，，且为“位差奇函数”.
①证明：；
②若，对于，，求a的取值范围.