2026长沙雅礼中学高二下学期期中考试数学试卷含解析

这是一份2026长沙雅礼中学高二下学期期中考试数学试卷含解析，文件包含湖南长沙市雅礼中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷原卷版docx、湖南长沙市雅礼中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
时量：120分钟 分值：150分
命题人： 审题人：
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，或，则（ ）
A. B. C. D.
2. 下列命题是真命题的是（ ）
A. ，；
B. ，；
C. 是的充分不必要条件；
D. 是的必要不充分条件．
3. 已知随机变量，且，则（ ）
A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.6
4. 为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如等高条形图：
根据图中的信息，下列结论中不正确的是（ ）
A. 样本中多数男生喜欢手机支付
B. 样本中的女生数量少于男生数量
C. 样本中多数女生喜欢现金支付
D. 样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量
5. 已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，则数列的前3项和为（ ）
A. B. C. D.
6. 若存在，使得不等式成立，则实数k的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知是抛物线上任意一点，点在轴上的射影为点，点的坐标为，则的最小值是（ ）
A. 13B. 12C. 11D. 10
8. 已知函数，若当时，，则的最大值为（ ）
A. -1B. 0C. D. 1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 小张同学对具有线性相关的两个变量和进行了统计分析，得到了下表，其中一些数据丢失，只记得这组数据拟合出的关于的经验回归方程为，若，，成等差数列，则（ ）
A. 变量与的样本相关系数B.
C. 当时，残差为D. 当时，的预测值为11.3
10. 已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则下列说法正确的有（ ）
A. B. 第4项的二项式系数最大
C. 的系数为60D. 展开式各项系数之和为64
11. 下列说法正确的有（ ）
A. 4个相同的球放入3个不同的盒子中，每个盒子不空，不同的放法有3种
B. 4个不同的球放入3个不同的盒子中，每个盒子不空，不同的放法有72种
C. 盒子内有5个大小相同的球，其中红球2个，黄球2个，黑球1个，随机不放回依次取出一个球，直到将球全部取出，则黄球最先被全部取出（取出最后一个黄球时盒子里还有红球和黑球）的概率是
D. 把4个不同的球随机放入3个不同的盒子中，记为装有球的盒子的个数，则的期望值为EX=6527
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，，，则的最小值是________.
13. 若命题“”为假命题，则实数的取值范围是__________．
14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l垂直于双曲线的一条渐近线，直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若，则双曲线C的离心率e为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 若函数．
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）已知（为自然对数函数的底数），若在区间上的最小值为3，求实数的值．
16. 如图所示，已知多面体中，是正方形，平面，.
（1）证明：平面；
（2）设，求平面与平面的夹角.
17. 随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇.
（1）为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用分层随机抽样的方式，从40岁以下和40岁及以上两个年龄层中各抽取100名市民进行调查，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了如下列联表：
（i）记选择新能源汽车者中年龄在40岁以下的概率为，求的估计值；
（ii）依据小概率值的独立性检验，分析选择新能源汽车是否与年龄有关.
（2）为了了解该地区新能源汽车的销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽车销售量（单位：万台）关于年份的线性回归方程，且销售量的方差为，年份的方差为.求与间的样本相关系数，并据此判断该地区新能源汽车销售量与年份的线性相关性强弱.
附：（i）在线性回归方程中，，；
（ii）样本相关系数，若，则可判断与线性相关性很强；
（iii），其中.
18. 雅礼中学某社团组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响.
（1）求小王答3道题后积分小于6的概率；
（2）设小王答4道题后积分为，求；
（3）若小王一直答题，直到积分为0或12时停止，记小王的积分为时，最终积分为12的概率为，请直接写出和的值，并求出的值.
19. 已知椭圆的右顶点为，离心率为，过的左焦点的直线与交于异于点的，两点.
（1）求椭圆的方程.
（2）记直线的斜率为，直线与直线的斜率分别为，
（i）若，求；
（ii）若，求的面积.
4
6
8
10
12
2
6
选择新能源汽车
选择传统汽车
总计
40岁以下
70
30
100
40岁及以上
40
60
100
总计
110
90
200
0.1
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828