湖南长沙市雅礼中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷（含解析）

这是一份湖南长沙市雅礼中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷（含解析），共42页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时量：120分钟 分值：150分
命题人： 审题人：
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，或，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由，解得，所以，
又或，所以，故．
2. 下列命题是真命题的是（ ）
A. ，；
B. ，；
C. 是的充分不必要条件；
D. 是的必要不充分条件．
【答案】B
【解析】
【分析】对于全称量词的命题，只需举反例即可判断A项，对于特称量词命题，只需举例说明即可判断B，利用充要条件的判断方法判断C，D两项即可.
【详解】对于A，当，显然不成立，故A错误；
对于B，若取，则，满足，故B正确；
对于C，对于，如，但，即充分性不成立，故C错误；
对于D，由必能得到，而由不一定得到，如，
故是的充分不必要条件，即D错误.
故选：B.
3. 已知随机变量，且，则（ ）
A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.6
【答案】B
【解析】
【详解】因为，由正态分布的对称性可知，关于对称，
又因为，所以，
则
所以
4. 为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如等高条形图：
根据图中的信息，下列结论中不正确的是（ ）
A. 样本中多数男生喜欢手机支付
B. 样本中的女生数量少于男生数量
C. 样本中多数女生喜欢现金支付
D. 样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量
【答案】C
【解析】
【分析】根据两等号条形图的信息，逐个分析判断即可.
【详解】对于A，由右图可知，样本中多数男生喜欢手机支付，A对；
对于B，由左图可知，样本中的男生数量多于女生数量，B对；
对于C，由右图可知，样本中多数女生喜欢手机支付，C错；
对于D，由右图可知，样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量，D对.
故选：C.
5. 已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，则数列的前3项和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】是首项为1，公差为2的等差数列，
，
，
，
数列的前3项和为：
．
6. 若存在，使得不等式成立，则实数k的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意和一元二次不等式能成立可得对于，成立，
令，利用导数讨论函数的单调性，即可求出.
【详解】存在，不等式成立，
则，能成立，
即对于，成立，
令，，
则，令，
所以当，单调递增，
当，单调递减，
又，所以f(x)>−3 ，
所以.
故选：C
7. 已知是抛物线上任意一点，点在轴上的射影为点，点的坐标为，则的最小值是（ ）
A. 13B. 12C. 11D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】先利用抛物线定义，将 “点到坐标轴的距离” 转化为 “点到焦点的距离”，消去动点到坐标轴的距离；再将原目标式转化为 “动点到两个定点的距离和（差）” 的形式，最后利用 “两点之间线段最短”，通过三点共线求出转化后式子的最值，并还原为原问题的答案即可.
【详解】因为抛物线方程的标准形式为，
所以焦点，准线方程为：，延长交准线于，连接，如图：
根据抛物线的定义得PA+PH=PA+PG−1=PA+PF−1≥AF−1 ，
当且仅当，，三点共线时PA+PF=AF，
∵AF=122+6−12=13 ，
的最小值为.
8. 已知函数，若当时，，则的最大值为（ ）
A. -1B. 0C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】等价变形给定不等式，构造函数并利用导数分类讨论此函数的单调性求出范围即可.
【详解】函数，由，得，
由，得，则当时，，
令函数，求导得，而，
当，即时，，，函数在上单调递增，
不等式恒成立，即恒成立，因此；
当时，，函数在上的图象连续不断，
则存在，使得当时，，函数在上单调递减，
当时，，即，不符合题意，
所以的最大值为.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 小张同学对具有线性相关的两个变量和进行了统计分析，得到了下表，其中一些数据丢失，只记得这组数据拟合出的关于的经验回归方程为，若，，成等差数列，则（ ）
A. 变量与的样本相关系数B.
C. 当时，残差为D. 当时，的预测值为11.3
【答案】ABC
【解析】
【分析】由经验回归方程为即可判断A选项；根据数据先计算，结合，，成等差数列，有，在根据经验回归方程一定经过样本中心即可计算出的值，即可判断B选项，将代入经验回归直线方程中计算出的值，从而计算出此时的残差即可判断C选项，将代入经验回归直线方程中计算出预测值即可判断D选项.
【详解】由于经验回归方程为是递增的一次函数，
所以两个变量是正相关，则样本相关系数，故正确；
由表格中的数据可计算平均数：
，
，
又因为，，成等差数列，
所以，则，
根据经验回归方程为必过点，
则，解得，故B正确；
当时，，
所以残差为，故C正确；
当时，，
所以的预测值为，故D错误，
故选：ABC.
10. 已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则下列说法正确的有（ ）
A. B. 第4项的二项式系数最大
C. 的系数为60D. 展开式各项系数之和为64
【答案】BC
【解析】
【分析】根据二项式系数的性质可求解，进而根据选项即可逐一求解.
【详解】由题意得，所以，故A错误；
因为时，二项式系数最大的是，所以第4项的二项式系数最大，故B正确；
的展开式的通项公式为Tr+1=C6rx6−r2xr=2rC6rx6−2r0≤r≤6,r∈N，
令，得，所以的系数为，故C正确；
展开式各项系数之和为1+26=36=729 ，故D错误.
11. 下列说法正确的有（ ）
A. 4个相同的球放入3个不同的盒子中，每个盒子不空，不同的放法有3种
B. 4个不同的球放入3个不同的盒子中，每个盒子不空，不同的放法有72种
C. 盒子内有5个大小相同的球，其中红球2个，黄球2个，黑球1个，随机不放回依次取出一个球，直到将球全部取出，则黄球最先被全部取出（取出最后一个黄球时盒子里还有红球和黑球）的概率是
D. 把4个不同的球随机放入3个不同的盒子中，记为装有球的盒子的个数，则的期望值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据列举法或者排列组合即可求解AB，由全概率公式即可求解C，列出分布列或者利用分布列的性质即可求解D.
【详解】对于A,选一个盒子装2个小球，剩余两个盒子各装一个小球，故共有3种方法，A选项正确；
对于B,由于小球和盒子都不一样，故选一个盒子装两个小球，剩余两个盒子各装一个小球，共有种方法，故B选项不正确；
C选项，法一：相当于把5个球排序，共有种方法.黄球最先被全部取出，最后一个黄球最晚在第三次被取出，前两次都是黄球共有3种情况，前两次中有一个红球一个黄球，第三次是黄球共有4种情况，故总共有7种，所以概率为.
法二：记“最后一次取出球是红球”为事件，“最后一次取出球是黑球”为事件，
显然事件，互斥，记“黄球最先被全部取出”为事件，则PD=PBD+PCD.
当事件发生时，只需考虑取出所有黄球和黑球时最后取出的是黑球，
则PBD=PBPD∣B=25×13=215.
当事件发生时，只需考虑取出所有黄球和红球时最后取出的是红球，
则PCD=PCPD∣C=15×24=110.所以PD=PBD+PCD=215+110=730.
D选项，法一：的可能取值为1，2，3，4个球随机放入3个盒子共有81种方法，
PX=1=381=127，PX=2=C32⋅24−281=1427，PX=3=C42×A3381=49，
法二：定义时，表示第个盒子中有球，时，表示第个盒子中没有球，
其中，则，
又PXi=0=1−134=1681，PXi=1=6581，故EXi=6581，
所以EX=EX1+EX2+EX3=6527
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，，，则的最小值是________.
【答案】4
【解析】
【分析】由基本不等式乘“1”法即可求解.
【详解】所以，
当且仅当时取等号.
则的最小值是4.
13. 若命题“”为假命题，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】由命题“”为假命题，可得“”为真命题利用判别式可求得答案.
【详解】已知命题“”为假命题，
则该命题的否定：“”为真命题.
此时二次函数的判别式满足 .
即，
化简可得：
综上，实数的取值范围是 .
故答案为：
14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l垂直于双曲线的一条渐近线，直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若，则双曲线C的离心率e为______.
【答案】##
【解析】
【分析】设，利用算两次思想计算即可.
【详解】如图，由题意可知，则，，
设，则，于是，
即，则，解得离心率.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 若函数．
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）已知（为自然对数函数的底数），若在区间上的最小值为3，求实数的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求出，进而求出切线方程；
（2）求导，利用导数分析函数的单调性及极值，进而求出．
【小问1详解】
∵fx=2x−lnx ，其中，则，
由导数的几何意义可得，
又，
在点处的切线方程为．
【小问2详解】
∵fx=ax−lnx ，其中，则，
，则，
由可得，由可得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
∴fxmin=f1a=1−ln1a=1+lna=3 ，解得，符合题意．
综上，．
16. 如图所示，已知多面体中，是正方形，平面，.
（1）证明：平面；
（2）设，求平面与平面的夹角.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用面面平行推导线面平行
（2）采用空间向量法求解两平面的夹角：建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，再通过向量夹角公式计算平面夹角
【小问1详解】
∵且与无公共点
∴
∵平面，平面
∴平面.
∵四边形是正方形
∴
∵平面，平面
∴平面，
∵，，平面
∴平面平面，
又平面
∴平面.
【小问2详解】
因为平面，，平面，
所以，，因为，所以，，两两垂直，
所以以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如下图所示.
则，，，，所以，，，
设平面的一个法向量为，
则BC⋅m=2y=0CP⋅m=−2x−2y+2z=0，取,得，故可取；
设平面的一个法向量为，
则CE⋅n=−2a+c=0CP⋅n=−2a−2b+2c=0，取,得，故可取.
则csm,n=m⋅nm⋅n=32×6=32，
所以平面与平面的夹角为.
17. 随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇.
（1）为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用分层随机抽样的方式，从40岁以下和40岁及以上两个年龄层中各抽取100名市民进行调查，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了如下列联表：
（i）记选择新能源汽车者中年龄在40岁以下的概率为，求的估计值；
（ii）依据小概率值的独立性检验，分析选择新能源汽车是否与年龄有关.
（2）为了了解该地区新能源汽车的销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽车销售量（单位：万台）关于年份的线性回归方程，且销售量的方差为，年份的方差为.求与间的样本相关系数，并据此判断该地区新能源汽车销售量与年份的线性相关性强弱.
附：（i）在线性回归方程中，，；
（ii）样本相关系数，若，则可判断与线性相关性很强；
（iii），其中.
【答案】（1）（i）（ii）可以认为选择新能源汽车与年龄有关系
（2），与线性相关性很强
【解析】
【分析】（1）（i）根据古典概型计算公式计算求解；（ii）计算根据临界值表判断即可；
（2）根据最小二乘法结合题中参考公式计算求解即可判断.
【小问1详解】
（i）由题可知，样本中选择新能源汽车者中年龄在40岁以下的频率为，
由样本估计总体可得选择新能源汽车者中年龄在40岁以下的概率.
（ii）零假设为：选择新能源汽车与年龄无关，
由列联表中数据代入计算得：，
所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即可以认为选择新能源汽车与年龄有关系，此推断犯错误的概率不超过.
【小问2详解】
因为，，
所以，
故与线性相关性很强.
18. 雅礼中学某社团组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响.
（1）求小王答3道题后积分小于6的概率；
（2）设小王答4道题后积分为，求；
（3）若小王一直答题，直到积分为0或12时停止，记小王的积分为时，最终积分为12的概率为，请直接写出和的值，并求出的值.
【答案】（1）
（2）
（3），，
【解析】
【分析】（1）分小王3题都答错，或答对1题答错2题讨论，再利用独立事件乘法公式和加法公式即可得到答案；
（2）设小王答对的题数为，得到关系式，再利用二项分布的均值公式和均值性质即可得到答案；
（3）首先需对边界条件进行直接判断，即和，再求出的递推公式，分析可知数列为等比数列，求得，再利用累加法和等比数列求和即可得到答案.
【小问1详解】
小王答3道题后积分小于6，有两种情况：3题都答错；答对1题，答错2题.
3题都答错的概率为；答对1题，答错2题的概率为：.
所以小王答3道题后积分小于6的概率为：
【小问2详解】
法一：设小王答对的题数为，则他答错的题数为，所以.
由题意知，所以，所以.
法二：的可能取值为2，4，6，8，10.
则：；；；
；
所以，.
【小问3详解】
当积分已为0时，游戏已停止，无法再达到12分，故；
当积分已为12时，游戏已停止，已是目标状态，故.
（i）当小王的积分为时，
若小王接下来一题答对，则积分变为，若小王接下来一题答错，则积分变为.
由全概率公式有，即，整理可得.
又，所以为等比数列.
（ii）由（i）可得，
所以，
又，所以.
所以
.
19. 已知椭圆的右顶点为，离心率为，过的左焦点的直线与交于异于点的，两点.
（1）求椭圆的方程.
（2）记直线的斜率为，直线与直线的斜率分别为，
（i）若，求；
（ii）若，求的面积.
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）根据条件可求，得到椭圆方程.
（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理，可得，.
（i）化简，结合，可求.
（ii）化简，结合，表示出，再利用，求的值，再用求的面积.
【小问1详解】
由题意，，，所以，所以.
所以椭圆的方程为：.
【小问2详解】
直线的方程为，（），代入椭圆方程，得：
.
整理得.
设，，则，.
如图：
（i）因为，
所以
由.
（ii）因为
.
由.
由，
此时，.
所以.
4
6
8
10
12
2
6
选择新能源汽车
选择传统汽车
总计
40岁以下
70
30
100
40岁及以上
40
60
100
总计
110
90
200
0.1
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828