第四章 4.8　解三角形在实际问题中的应用 课件2027高考数学一轮总复习

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2.(人教A版必修第二册P51练习T3改编)如图所示,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的南偏西40°方向上,灯塔B在观察站C的南偏东60°方向上,则灯塔A在灯塔B的 (　 　)A.北偏东10°方向上B.北偏西10°方向上C.南偏东80°方向上D.南偏西80°方向上
解析:由条件及题图可知,△ABC为等腰三角形,则∠BAC=∠ABC=40°,又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°方向上.故选D.
考点1 测量距离问题【例1】　(2026·河南南阳一模)如图,a是海面上一条南北方向的海防警戒线,在a上一点A处有一个水声监测点,另两个监测点B,C分别在A的正东方20 km和54 km处.某时刻,监测点B收到发自静止目标P的一个声波,8 s后监测点A,20 s后监测点C相继收到这一信号.在当时的气象条件下,声波在水中的传播速度是1.5 km/s.
距离问题的解题思路这类实际应用题,实质就是解三角形问题,一般都离不开正弦定理和余弦定理,在解题中,首先要正确地画出符合题意的示意图,然后将问题转化为三角形问题去求解.注意:①基线的选取要恰当准确;②选取的三角形及正、余弦定理要恰当.
高度问题的易错点(1)图形中为空间关系,极易当作平面问题处理,从而致错.(2)对仰角、俯角等概念理解不够深入,从而把握不准已知条件而致错.
角度问题的解题方法在解应用题时,分析题意,分清已知与所求,再根据题意正确画出示意图,这是最关键、最重要的一步,通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题,解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点.
【例】　(多选)某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动,学生需通过建立模型、实地测量,迭代优化完成此次活动.在以下不同小组设计的初步方案中,可计算出旗杆高度的方案有(　 　)A.在水平地面上任意寻找两点A,B,分别测量旗杆顶端的仰角α,β,再测量A,B两点间距离B.在旗杆对面找到某建筑物(低于旗杆),测得建筑物的高度为h,在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角α和βC.在地面上任意寻找一点A,测得旗杆顶端的仰角α,再测量A到旗杆底部的距离D.在旗杆的正前方A处测得旗杆顶端的仰角α,正对旗杆前行5 m到达B处(旗杆底部,A,B在一条直线上),再次测量旗杆顶端的仰角β
【解析】　对于A,当A,B两点与旗杆底部不在一条直线上时,就不能测量出旗杆的高度,故A错误;对于B,如图1,在△ABD中,由正弦定理求AD,则旗杆的高CD=h+ADsin β,故B正确;对于C,如图2,在Rt△ADC中,直接求出旗杆的高DC=ACtan α,故C正确;对于D,如图3,在△ABD中,由正弦定理求AD,则旗杆的高CD=ADsin α,故D正确.故选BCD.
本题的设计背景来源于人教A版必修第二册P49例10.设计方案测量物体高度,需要注意不同方案的限定条件,在学习过程中要重视教材,复习阶段要从教材例题出发,落实“引导学生在解决实际问题的过程中建构知识、培养能力、提升素养”的要求.