华东师大版（2024）八年级下册（2024）第18章 矩形、菱形与正方形18.3 正方形教学ppt课件

这是一份华东师大版（2024）八年级下册（2024）第18章 矩形、菱形与正方形18.3 正方形教学ppt课件，共36页。PPT课件主要包含了章节导读，学习目标，复习回顾，对边平行且相等，对角相等，轴对称，四个角都是直角，邻边垂直，对角线互相平分，对角线相等等内容，欢迎下载使用。
探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别；
探索并证明正方形的判定；
会运用正方形的性质及判定条件进行有关的论证和计算。
平行四边形、矩形和菱形的性质：
对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角
除了平行四边形、矩形和菱形外，生活中还常见另一种特殊的四边形——正方形。
正方形与矩形有怎样的联系呢？
定义：有一组邻边相等的矩形是正方形.
正方形与菱形有怎样的联系呢？
定义：有一个角是直角的菱形是正方形.
定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
正方形与平行四边形有怎样的联系呢？
由于矩形、菱形是特殊的平行四边形，因此在平行四边形的基础上，再加上矩形、菱形的定义条件，即可得到正方形。
正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形。所以矩形、菱形有的性质,正方形都有。
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
作为一种特殊的平行四边形、矩形和菱形，正方形具有平行四边形的一般性质，也具有菱形、矩形的特殊性质。画一个正方形，将其剪下，折叠、测量，看看它还有哪些特殊的性质，你观察到了什么？
对角相等，四个角都是直角
对边平行、四条边都相等
对角线相等且互相垂直平分
正方形的对称性 作为特殊的平行四边形，正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线．
①正方形有四条对称轴；②对称中心是两条对角线交点 O。
上述结论，你能证明吗？试一试。
对于正方形的性质，我们可以根据正方形、矩形和菱形的定义加以证明．
证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠A = 90°，AB = AD（正方形的定义）.又∵正方形是平行四边形，所以四边形 ABCD 是矩形（矩形的定义），且四边形 ABCD 是菱形（菱形的定义）.∴∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°，AB = BC = CD = AD.
任务：从一张彩色纸中剪出一个正方形。如何判断剪下的四边形是正方形呢？
① 小明剪完后，这样检验它：比较边长，发现四条边是相等的，于是就判定自己完成了这项任务，这种检验可信吗?
反例：四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形.
②小兵用另一种方法检验：他量的不是边，而是对角线，他发现对角线是相等的，于是就认为自己正确地剪出了正方形，这种检验对吗?
反例： 对角线相等的四边形可能是矩形或等腰梯形，不一定是正方形.
③ 小英剪完后，比较了由对角线相互分成的 4 条线段，发现它们是相等的，按照小英的意见，这说明剪出的四边形是正方形.
反例：对角线分成的 4 条线段相等的四边形是矩形，不一定是正方形.
如何判定一个四边形是正方形？
有一组邻边相等的矩形是正方形.
对角线互相垂直的矩形是正方形.
有一个角是直角的菱形是正方形.
对角线相等的菱形是正方形.
对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形.
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
或一组邻边相等且一内角是直角
有四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形.
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
先判定为平行四边形、矩形或菱形
再利用对应的条件进行判定
例2 已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB. 求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.∵AC=DB,∴ AO=BO=CO=DO,∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°, ∴菱形ABCD是正方形.
正方形的判定解题技巧一、先记核心：正方形=既是矩形，又是菱形.判定思路只有三大类：1. 先证矩形 + 再证一组邻边相等 → 正方形；2. 先证菱形 + 再证一个角是直角 → 正方形；3. 直接证：对角线互相垂直平分且相等 → 正方形。二、解题通用步骤1. 先看题干给的是：平行四边形/矩形/菱形/普通四边形2. 选最短路径：①已知矩形：只缺一步→证邻边相等或对角线垂直；②已知菱形：只缺一步→证一个直角或对角线相等；③已知平行四边形：证邻边相等+一个直角或对角线相等且垂直。3. 用全等、平行线、角平分线、勾股定理推边长/角度/对角线关系。
1.把一张矩形纸片按如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片. 为什么？
解：如图，由折叠知 AB = AD，∠B =∠ADC = 90°. ∵∠BAD = 90°，∴四边形 ABCD 是矩形，且 AB = AD，由正方形是有一组邻边相等的矩形可知，四边形 ABCD 是正方形.
2.判断下列命题是否正确： （1）正方形有四条对称轴； （2）正方形的两条对角线将其分成 4 个全等的等腰直角三角形； （3）对角线互相垂直的矩形是正方形； （4）对角线相等的菱形是正方形.
3.在下列各方格图中，有多少个正方形？有多少个矩形？
有 5 个正方形，9 个矩形.
有 14 个正方形，36 个矩形.
5.矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分对角
有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形
既是中心对称图形，又是轴对称图形.
可以从特殊的矩形和特殊的菱形出发进行判定.
1.四条边都相等；2.四个角都是直角.
3.对角线相等且互相垂直平分.