18.3 正方形 （课件） 2025-2026学年华东师大版（2024）数学八年级下册

这是一份初中数学华东师大版（2024）八年级下册（2024）18.3 正方形示范课课件ppt，共49页。PPT课件主要包含了正方形，邻边相等，一个角是直角，练一练，连接PCAC，∴PCEF，∴APPC，∴APEF，一组邻边相等，对角线互相垂直等内容，欢迎下载使用。
【学习目标】1．让学生掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．2．让学生理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别．
【学习重点】正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．【学习难点】正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．
【旧知回顾】1．矩形、菱形的特殊性质分别是什么？
答：矩形：四个角都是直角，对角线相等；菱形：四条边都相等，对角线互相垂直.
2．矩形、菱形的判定定理分别是什么？
矩 形
问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？
问题2 菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？
1．正方形是特殊的矩形，菱形，所以正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有四条对称轴．如图虚线所示．它们分别是：对边中点所在的直线和对角线所在的直线．
2．正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分．
范例1：如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于F，则∠BFC的度数为 (　　)A．45°　　　　B．55°　　　　C．60°　　　　D．75°
分析：观察发现∠BFC＝∠AFE，∠AFE在△AEF中，而∠CAD＝45°，∠DAE＝60°，AE与AB构成等腰三角形，所以可以求出∠AEF的度数，从而求出结果．(或求出∠ABF的度数，直接利用三角形的外角也可求出)
范例2：如图，已知正方形ABCD，求∠ABD，∠DAC，∠DOC的大小．
1. 如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形，求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° .
证明：∵ ΔBEC是等边三角形，∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，∵ 四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°，∴△ABE，△DCE是等腰三角形， ∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°，∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°.
2.四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边作等边△ADE，求∠BEC的大小．
解：当等边△ADE在正方形ABCD外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.∴∠AEB＝15°.同理可得∠DEC＝15°.∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；
当等边△ADE在正方形ABCD内部时，如图②，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，∴∠AEB＝75°.同理可得∠DEC＝75°.∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.综上所述，∠BEC的大小为30°或150°.
3.如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．（1）求证：△APB≌△DPC；
解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠DCB=90°,AB=DC．∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB．∴∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB，即∠ABP=∠DCP．又∵AB=DC，PB=PC，∴△APB≌△DPC．
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠DAC=45°．∵△APB≌△DPC，∴AP=DP．又∵AP=AB=AD，∴DP=AP=AD．∴△APD是等边三角形．∴∠DAP=60°．∴∠PAC=∠DAP-∠DAC=15°．∴∠BAP=∠BAC-∠PAC=30°．∴∠BAP=2∠PAC．
（2）求证：∠BAP=2∠PAC．
4.如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F.试说明：AP=EF.
又∵PE⊥BC ， PF⊥DC,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠FCE=90°, AC垂直平分BD,
∴四边形PECF是矩形,
做一做：用一张矩形的纸片(如图所示)折出一个正方形．对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．那么如何判断一个四边形是正方形呢？
活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.
猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？
已知：如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC⊥DB.求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形,∴ AO=CO=BO=DO .∵AC⊥DB, ∴ AD=AB=BC=CD,∴矩形ABCD是正方形.
活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.
猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？
已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.∵AC=DB,∴ AO=BO=CO=DO,∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,∴菱形ABCD是正方形.
正方形判定的几条途径：
正方形的判定定理1　有一个角是直角的菱形是正方形．正方形的判定定理2　有一组邻边相等的矩形是正方形．
范例3：已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A，C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB，DN分别交l2于Q，P点．求证：四边形PQMN是正方形．
分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌△DAN，证出AM＝DN，用同样的方法证AN＝DP.即可证出MN＝NP.从而得出结论．
证明：∵PN⊥l1，QM⊥l1，∴PN∥QM，∠PNM＝90°.∵PQ∥NM，∴四边形PQMN是矩形．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝DC，∴∠1＋∠2＝90°.
又∠3＋∠2＝90°，∴∠1＝∠3，∴△ABM≌△DAN.∴AM＝DN.同理：AN＝DP，∴AM＋AN＝DN＋DP，即MN＝PN，∴四边形PQMN是正方形．
1.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CDB．AD∥BC，∠A=∠CC．AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD．AO=CO，BO=DO，AB=BC
2.如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D.DE⊥AC，DF⊥AB.求证:四边形CEDF为正方形.
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB ，∴∠DEC= ∠DFC=90°.又∵ ∠C=90 °，∴四边形EDFC是矩形.过点D作DG⊥AB，垂足为G.∵AD是∠CAB的平分线DE⊥AC，DG⊥AB，∴ DE=DG.同理得DG=DF，∴ED=DF，∴矩形EDFC是正方形.
3.如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形.
证明：∵四边形ABCD为正方形,∴OB=OC,∠ABO=∠BCO =45°,∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.∵EG⊥FH,∴∠BOE+∠BOH=90°,∴∠COH=∠BOE,∴△CHO ≌△BEO,∴OE=OH.同理可证：OE=OF=OG,
∴OE=OF=OG=OH.又∵EG⊥FH,∴四边形EFGH为菱形.∵EO+GO=FO+HO ,即EG=HF,∴菱形EFGH为正方形.
4.如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE．（1）求证：BF=DE；（2）当点E运动到AC中点时(其他条件都保持不变)，问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由．
（1）证明：∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°，∴∠BAF=∠EAD，在△ADE和△ABF中，AD＝AB ，∠DAE＝∠BAF ，AE＝AF ,∴△ADE≌△ABF（SAS），∴BF=DE；
3.对角线相等且互相垂直平分
有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )A.四个角相等B.对角线互相垂直平分C.对角互补D.对角线相等
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）A.四条边相等B.对角线互相垂直平分C.对角线平分一组对角D.对角线相等
3．在正方形ABCD中,∠ADB= ,∠DAC= , ∠BOC= .4.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是 .
5.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA =90°，请添加一个条件____________________，可得出该四边形是正方形．
AB=BC(答案不唯一)
6.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是____________（只填写序号）．