河南省南阳市淅川县第一教育集团联考九年级下学期3月月考数学试题（解析版）

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1. 下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，形如，其中k是常数的函数叫做反比例函数，据此逐一判断即可．
【详解】解：根据反比例函数的定义可知，只有C选项中的函数是反比例函数，
故选：C．
2. 为了更好保护水资源，造福人类，某工厂计划建一个容积V（m3）一定的污水处理池，池的底面积S（m2）与其深度h（m）满足关系式：V=Sh（V≠0），则S关于h的函数图象大致是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：∵V=Sh（V为不等于0的常数），∴（h≠0），S是h的反比例函数．
根据反比例函数的图象和性质可知，图象为反比例函数在第一象限内的部分．
故选C．
3. 函数y=mx+n与，其中m≠0，n≠0，那么它们在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象中一次函数图象的位置确定m、n的值；然后根据m、n的值来确定反比例函数所在的象限，对各选项作出判断．
【详解】解：A、∵函数y=mx+n经过第一、三、四象限，∴m＞0，n＜0．
∴＜0．∴函数y=的图象经过第二、四象限．与图示图象不符．故本选项错误．
B、∵函数y=mx+n经过第一、三、四象限，∴m＞0，n＜0．
∴＜0．∴函数的y=图象经过第二、四象限．与图示图象一致．故本选项正确．
C、∵函数y=mx+n经过第一、二、四象限，∴m＜0，n＞0．
∴＜0．∴函数的y=图象经过第二、四象限．与图示图象不符．故本选项错误．
D、∵函数y=mx+n经过第二、三、四象限，∴m＜0，n＜0．
∴＞0． ∴函数的y=图象经过第一、三象限．与图示图象不符．故本选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的图象与性质．
4. 如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA=3：4，EF=3，则CD的长为（ ）
A. 4B. 7C. 3D. 12
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：∵DE：EA=3：4，∴DE：DA=3：7，∵EF∥AB，∴，∵EF=3，∴，解得：AB=7，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=7．故选B．
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质．
5. 下列说法：①有一个角等于30°的两个等腰三角形相似；②有一个角等于120°的两个等腰三角形相似；③相似三角形一定不是全等三角形；④相似三角形对应角平分线的长度比等于面积比．其中正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据相似三角形的判定方法，以及相似三角形的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：有一个角等于30°的两个等腰三角形不一定相似，故①错误；
有一个角等于120°的两个等腰三角形相似，故②正确；
相似比为1的相似三角形是全等三角形，故③错误；
相似三角形对应角平分线的长度比的平方等于面积比，故④错误；
故选A．
6. 如图，为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子水平放置在离树底B端8．4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=3．2米，观察者目高CD=1．6米，则树AB的高度约为（ ）
A. 4．2米B. 4．8米C. 6．4米D. 16．8米
【答案】A
【解析】
【详解】解：∵入射光线和反射光线与镜面的夹角相等且人和树均垂直于地面，
∴△CED∽△AEB，
∴，即： ，
∴AB=4.2
故答案选A．
7. 在中，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了求角的正弦值，根据正弦的定义结合图形求解即可．
【详解】解：∵在中，
∴，
故选：D．
8. 等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1：2，则等腰三角形顶角的度数为( )
A. 30°B. 50°C. 60°或120°D. 30°或150°
【答案】D
【解析】
【分析】分两种情况画出图形；①高在三角形的内部，②高在三角形的外部，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．
【详解】解：如图1，当高BD在三角形的内部时，
∵高BD是腰长AB的一半，
∴sin A＝，
∴∠A＝30°；
如图2，当高CD在三角形的外部时，
∵高CD是腰长AC的一半，
∴sin∠1＝，
∴∠1＝30°，
∴∠BAC=180°-30°=150°，
∴该三角形的顶角的度数是30°或150°，
故选D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角函数的应用等，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键．
9. 下面四个几何体中，主视图为圆的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了从不同方向看简单几何体，找出从正面看，主视图为圆的几何体即可．
【详解】解：A．主视图为圆，符合题意；
B．主视图为三角形，不合题意；
C．主视图为长方形，不合题意；
D．主视图为正方形，不合题意；
故选：A．
10. 如图所示，位似图形由三角尺与其在灯光照射下的中心投影组成，相似比为，且三角尺一边长为，则其投影的对应边长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了位似图形的性质以及中心投影的应用，根据对应边的比为，再得出投影三角形的对应边长是解决问题的关键．
【详解】∵位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为，三角尺的一边长为，
∴投影三角形的对应边长为：．
故选B．
二、填空题(每小题3分,共15分)
11. 点（2，y1），（3，y2）在函数的图象上，则y1_____y2（填“＞”或“＜”或“=”）．
【答案】＜
【解析】
【分析】试题分析：根据反比例函数图象所经过的象限与函数图象的增减性进行填空．
【详解】∵函数y=-中的-2＜0，
∴函数y=-的图象经过第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，
∴点（2，y1），（3，y2）同属于第四象限，
∵2＜3，
∴y1＜y2．
12. 函数与y=x﹣2图象交点的横坐标分别为a，b，则的值为_____．
【答案】－2
【解析】
【分析】根据题意得，化为整式方程，整理得，进而根据一元二次方程根与系数的关系求即可．
【详解】根据题意得，化整式方程，整理得，
∵函数与y=x﹣2图象交点的横坐标分别为a，b，
∴a、b为方程的两根，
∴a+b=2，ab=﹣1．
∴．
故答案为：－2
【点睛】本题考查了一次函数与反比例数交点问题，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．
13. ，且相似比是，的周长是，则的周长为_____．
【答案】36
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的周长之比等于相似比进行求解即可．
【详解】解：∵，且相似比是，的周长是，
∴的周长为．
故答案为：36．
14. △ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA＝，csB＝，则∠C＝_____．
【答案】60°．
【解析】
【分析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和定理求出∠C即可作出判断．
【详解】∵△ABC中，∠A、∠B都是锐角，sinA＝，csB＝，
∴∠A＝∠B＝60°．
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣60°﹣60°＝60°．
故答案为：60°．
【点睛】本题考查是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，比较简单．
15. 在同一时刻，个子低的小颖比个子高的小明身影长，那么他们此刻是站在______光下(填“灯”或“太阳”)．
【答案】灯
【解析】
【分析】本题主要考查了中心投影和平行投影，熟练掌握中心投影和平行投影的特点是解题的关键．
【详解】解：在灯光下，离点光源越近，影子越短；离点光源越远，影子越长；而在同一时刻的太阳光线下，身高与影子长比例一定，由于个子低的小颖比个子高的小明身影长，那么他们此刻是站在灯光下，
故答案为：灯．
三、解答题(本大题共8个小题,满分75分)
16. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，二次根式的混合计算，零指数幂，实数的混合计算：
（1）先计算特殊角三角函数值，再根据二次根式的混合计算法则求解即可；
（2）先计算特殊角三角函数值和零指数幂，再根据实数的运算法则求解即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
17. 已知y与x－1成反比例，且当x＝－5时，y＝2．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当x＝5时，求y的值．
【答案】(1)y=- ；(2)-3
【解析】
【分析】（1）设函数关系式为，把x=-5，y=2代入函数关系式中便可求出k的值，进而得到函数关系式；
（2）将x=5代入得到的函数关系式中即可得出y的值．
【详解】解：(1)设y与x的函数关系式为，
由题意得2＝，解得k＝－12
∴y与x的函数关系式为y＝－
(2)当x＝5时，y＝－＝－＝－3
18. 在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋b与双曲线y＝的一个交点为A(2，4)，与y轴交于点B.
(1)求m的值和点B的坐标；
(2)点P在双曲线y＝上，△OBP的面积为8，直接写出点P的坐标．
【答案】(1) B的坐标为(0，2) ；(2) (8，1)或(－8，－1)．
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据双曲线经过点A（2，4），代入可得m的值；
接下来根据直线y=x+b经过点A，代入点A的坐标可得b的值，从而可得与y轴的交点坐标；
（2）设△OBP的边OB边上的高为x，根据三角形的面积可得|x|·OB=8，从而可得点P的横坐标；再代入反比例函数可得点P的纵坐标，从而可得点P的坐标.
解：(1)∵双曲线y＝经过点A(2，4)，∴m＝8.
∵直线y＝x＋b经过点A(2，4)，∴b＝2.
∴此直线与y轴的交点B的坐标为(0，2)．
(2) 设△OBP的边OB边上的高为x，则|x|·OB=8，
∵交点B的坐标是（0，2），
∴OB=2，
解得x=±8，
∵点P在双曲线上，
∴y=±1，
∴点P的坐标是（8，1）或（-8，-1）.
点P的坐标为(8，1)或(－8，－1)．
19. 如图，在方格纸中．
（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使，，并求出点B的坐标；
（2）以原点O为位似中心，位似比为2，在第一象限内将放大，画出放大后的位似图形；
（3）计算的面积S．
【答案】（1），坐标系见解析
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据用A，C点坐标可知每小格表示长度为1，据此找出原点位置，即可建立平面直角坐标系；
（2）利用位似图形的性质即可得出 ；
（3）根据格点得出的底和高，即可计算出的面积S．
【小问1详解】
解：平面直角坐标系如下图所示：
点B的坐标为；
【小问2详解】
解：如图，连接并延长至，使得，连接并延长至，使得，连接并延长至，使得，顺次连接，，即可得到；
小问3详解】
解：的面积．
【点睛】本题主要考查了建立平面直角坐标系、位似变换以及三角形面积的求法，正确得出位似图形对应点的位置是解题的关键．
20. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，E，D分别是BC，AC上的点，且∠AED＝45°
（1）求证△ABE∽△ECD；
（2）若AB＝4，BE＝，求CD的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）求出，，即可推出；
（2）求出，，证，求出．
【详解】解：（1）证明：在中，，，
，
，，
，
；
（2）在中，，，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质和判定，相似三角形的性质和判定的综合运用，题目比较好，但是有一定的难度．
21. 如图，拦水坝的横断面为等腰梯形，坝顶宽为，坝高为，为了提高水坝的拦水能力需要将水坝加高，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的变成 (坡度是坡高与坡的水平长度的比)．求加高后的坝底的长为多少．

【答案】.
【解析】
【分析】应把所求的进行合理分割，可利用和中的三角函数来做．本题考查锐角三角函数的应用．解决本题的关键是得到所求的线段的相应线段的长度，主要应用了三角函数值和坡度．
【详解】解：，
加高后，，
在和中，，，
，
，
．
22. 在一个阳光明媚上午，数学陈老师组织学生测量小山坡的一颗大树CD的高度，山坡OM与地面ON的夹角为30°(∠MON＝30°)，站立在水平地面上身高1.7米的小明AB在地面的影长BP为1.2米，此刻大树CD在斜坡的影长DQ为5米，求大树的高度．
【答案】米．
【解析】
【分析】根据题意过点Q作QE⊥DC于点E，由题意可得：△ABP∽△CEQ，进而得出EQ，DE，EC的长，即可得出答案．
【详解】过点Q作QE⊥DC于点E，由题意可得：△ABP∽△CEQ，则，
故．
∵EQ∥NO，则∠1＝∠2＝30°．
∵QD＝5，
∴DE，EQ，
故，解得：EC，
故CD=CE+DE（米）．
答：大树的高度为米．
【点睛】本题考查了平行投影以及解直角三角形的应用，根据题意得出EQ的长是解题的关键．
23. 如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线经过点A，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m．
①当是直角三角形时，求点P的坐标；
②作点B关于点C的对称点，则平面内存在直线l，使点M，B，到该直线的距离都相等．当点P在y轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线的解析式．（k，b可用含m的式子表示）
【答案】（1）（2）①或，②直线l的解析式为,或.
【解析】
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，C的坐标，根据点A，C的坐标，利用待定系数法可求出二次函数解析式；
（2）①由PM⊥x轴可得出∠PMC≠90°，分∠MPC=90°及∠PCM=90°两种情况考虑：（i）当∠MPC=90°时，PC∥x轴，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点P的坐标；（ii）当∠PCM=90°时，设PC与x轴交于点D，易证△AOC∽△COD，利用相似三角形的性质可求出点D的坐标，根据点C，D的坐标，利用待定系数法可求出直线PC的解析式，联立直线PC和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点P的坐标．综上，此问得解；
②利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征可得出点B，M的坐标，结合点C的坐标可得出点B′的坐标，根据点M，B，B′的坐标，利用待定系数法可分别求出直线BM，B′M和BB′的解析式，利用平行线的性质可求出直线l的解析式．
【详解】解：（1）当时，，
点C的坐标为；
当时，，
解得：，
点A的坐标为．
将，代入，得：
，解得：，
抛物线的解析式为．
（2）①轴，
，
分两种情况考虑，如图1所示．
（i）当时，轴，
点P的纵坐标为﹣2．
当时，，
解得：，，
点P的坐标为；
（ii）当时，设PC与x轴交于点D．
，，
．
又，
，
，即，
，
点D的坐标为．
设直线PC的解析式为，
将，代入，得：
，解得：，
直线PC的解析式为．
联立直线PC和抛物线的解析式成方程组，得：，
解得：，，
点P的坐标为．
综上所述：当是直角三角形时，点P的坐标为或．
②当y=0时，,
解得：x1=-4，x2=2，
∴点B的坐标为（2，0）．
∵点C的坐标为（0，-2），点B，B′关于点C对称，
∴点B′的坐标为（-2，-4）．
∵点P的横坐标为m（m＞0且m≠2），
∴点M的坐标为,
利用待定系数法可求出：直线BM的解析式为，直线B′M的解析式为，直线BB′的解析式为y=x-2．
分三种情况考虑，如图2所示：
当直线l∥BM且过点C时，直线l的解析式为,
当直线l∥B′M且过点C时，直线l的解析式为,
当直线l∥BB′且过线段CM的中点时，直线l的解析式为,
综上所述：直线l的解析式为,或.