河北张家口市宣化第一中学等校2025-2026学年高一下学期5月期中测试数学试卷（含解析）

这是一份河北张家口市宣化第一中学等校2025-2026学年高一下学期5月期中测试数学试卷（含解析），共8页。试卷主要包含了请将各题答案填在答题卡上．， 的内角的对边分别为．若，则， 已知复数，则等内容，欢迎下载使用。
考试说明：
1.本试卷共150分．考试时间120分钟．
2.请将各题答案填在答题卡上．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由复数的乘法运算即可求解.
【详解】因为.
2. 与向量同方向的单位向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】因为，
与同方向的单位向量的坐标为．
3. 如图，的直观图是，已知是等腰直角三角形，且，则边上的高为（ ）

A. 4B. C. D. 8
【答案】A
【解析】
【详解】因为是等腰直角三角形，，所以，
将直观图还原成原图，画出，如图所示，
则，所以原中边上的高为4.

4. 已知平面向量满足，，且与的夹角为，则（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】
．
5. 的内角的对边分别为．若，则（ ）
A. 6B. C. 4D.
【答案】D
【解析】
【详解】已知
由余弦定理：，
所以．
6. 在中，内角的对边分别为，若，，则（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【详解】由正弦定理，可得，
因为，则，而，，所以或．
7. 已知的三边长分别为，则的外接圆面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】的内角的对边分别为，不妨设，
由余弦定理可得，因为，所以，
由正弦定理得的外接圆直径，即，
所以的外接圆面积为．
8. 如图，在中，点满足，为线段上的一点，若，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量的线性运算与三点共线定理构建出关于的关系式，结合基本不等式求出目标乘积的最值即可.
【详解】因为，所以，所以，
显然，又三点共线，所以，
由基本不等式得，所以，
当且仅当，即时，等号成立．
所以的最大值为．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 已知复数，则（ ）
A. 的虚部为B. 的共轭复数为
C. D.
【答案】BD
【解析】
【详解】由，故的虚部为1，故A错误；
而，故B正确；
，故C错误；
，故D正确．
10. 已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的值可能为（ ）
A. 6B. 3C. 0D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由钝角条件得出数量积小于0并排除掉共线情况即可求解.
【详解】因为与的夹角为钝角，所以且不共线，
即解得且． 故BCD符合条件.
11. 如图为圆台的轴截面，其上底面直径为4、下底面直径为8，母线长为4，为边的中点，则（ ）

A. 圆台的高为
B. 圆台的侧面积为
C. 圆台的体积是
D. 在圆台的侧面上，从沿圆台侧面到的最短路径的长度为10
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出等腰梯形的高，进而求出面积判断A；利用圆台体积、侧面积公式求解判断BC；利用圆台侧面展开图求解判断D.
【详解】对于A，如图所示，过点作交于点，过点作交于点，

根据题意，在中，，，则，故A正确；
对于B，圆台的侧面积为，故B正确；
对于C，因为圆台上底面半径，下底面半径，高，
所以圆台的体积，故C错误；
对于D，圆台侧面展开为扇环，设扇环的圆心角为，将其补充为扇形，大扇形母线长为，小扇形母线长为，
根据弧长公式，，解得，其展开后的示意图如图所示，

在圆台的侧面上，从沿圆台侧面到的最短路径为，
由题意可得，
因为为中点，所以，所以，故D正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量满足，，，则与的夹角为______．
【答案】##
【解析】
【详解】因为，
又因，所以与的夹角为．
13. 已知，点满足，则______．
【答案】24
【解析】
【详解】．
14. 某圆锥的高为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥底面圆的半径为______．
【答案】1
【解析】
【详解】设圆锥底面圆的半径为，高为，则母线长为，
由题知，解得．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设向量满足，，．
（1）若，求；
（2）若与共线，求实数的值．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）由向量线性运算的坐标表示结合向量的模长公式即可求解.
（2）由向量线性运算的坐标表示结合向量共线的坐标运算即可求解.
【小问1详解】
当时，，
所以，
所以．
【小问2详解】
，
因为与共线，所以．
解得．
16. 设复数．
（1）若是纯虚数，求的值；
（2）若在复平面内表示复数的点位于第二象限，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
若是纯虚数，则，解得．
【小问2详解】
由题意知，解得，
所以的取值范围为.
17. 如图所示的几何体，由上、下两层组成，上层是正四棱锥，下层是长方体，，，．

（1）求这个几何体的表面积；
（2）求这个几何体的体积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中点，连接，先求出，进而求得正四棱锥的侧面积，再求长方体底座的侧面积和底面积，把它们相加，即得这种几何体的表面积；
（2）连接，设的交点为，连接，根据图形和相关边长求出正四棱锥的高，再利用棱锥和长方体的体积公式计算即得.
【小问1详解】
如图，取的中点，连接，
由四棱锥为正四棱锥知，所以，且，
又，所以，
则，
故正四棱锥的侧面积为．
长方体的侧面积为，
长方体的下底面积为，
所以这个几何体的表面积为．
【小问2详解】
连接，设的交点为，连接，
易知为正四棱锥的高，且，
因为，所以，又，所以，
则正四棱锥的体积为．
长方体的体积为．
所以这个几何体的体积为．

18. 在中，内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长．
【答案】（1）
（2）18
【解析】
【分析】（1）由题设结合正弦定理化简求解即可；
（2）结合的面积为可得，再根据余弦定理得到，可得，进而求解即可.
【小问1详解】
由正弦定理，得，
所以，则，因为，所以．
【小问2详解】
因为的面积为，
所以，即，
由余弦定理，则，即，
则，即，
则的周长为．
19. 在中，内角的对边分别为，已知．
（1）求的大小；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）由于题设结合正弦定理、两角和的正弦公式化简求解即可；
（2）先根据正弦定理得到，再结合三角形的面积公式、三角恒等变换公式可得，结合为锐角三角形可得，进而结合正弦函数的性质求解即可.
【小问1详解】
由，
根据正弦定理，得，
即，
在中，，则，
又，所以或．
【小问2详解】
因为为锐角三角形，所以，
由正弦定理：，即，
则
．
又，解得，
则，即，所以．