河北张家口第一中学2024~2025学年高二下册5月期中数学试卷[附解析]

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1. 函数的导数是（）
A. B. C. D.
2. 在的展开式中，的系数为（）
A. B. C. 21D. 35
3. 函数的导函数的图像如图所示，以下命题错误的是（）

A. 是函数最小值
B. 是函数的极值
C. 在区间上单调递增
D. 在处的切线的斜率大于0
4. 一袋中装有大小､质地均相同的5个白球，3个黄球和2个黑球，从中任取3个球，则至少含有一个黑球的概率是（）
A B. C. D.
5. 在的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式中二项式系数最大的项的系数为（）
A. -960B. 960C. 1120D. 1680
6. 将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（）．
A. 420B. 180C. 64D. 25
7. 如图，已知函数的图象在点处的切线为，则（）
A. B. C. 1D. 2
8. 设函数是上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. A，，，，五个人并排站在一起，下列说法正确的是（）
A. 若A，不相邻，有72种排法B. 若A，不相邻，有48种排法
C. 若A，相邻，有48种排法D. 若A，相邻，有24种排法
10. 在的展开式中，下列结论正确的是（）
A. 第6项和第7项的二项式系数相等B. 奇数项的二项式系数和为256
C. 常数项为84D. 有理项有2项
11. 五一假期过后，车主小王选择去该市新开的，两家共享自助洗车店洗车.已知小王第一次去，两家洗车店洗车的概率分别为和，如果小王第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为；如果小王第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为，则下列结论正确的是（）
A. 小王第一次去洗车店，第二次也去洗车店的概率为
B. 小王第二次去洗车店概率比第二次去洗车店的概率大
C. 若小王第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为
D. 若小王第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若随机变量，则__________.
13. 小智和电脑连续下两盘棋，已知小智第一盘获胜的概率是0.5，小智连续两盘都获胜的概率是0.4，那么小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是__________.
14. 已知函数，过点且与曲线相切的直线只有1条，则实数的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 求函数的单调区间和极值．
16. 某班从6名男生和4名女生中，随机抽取5人组成数学兴趣小组，另5人组成物理兴趣小组．
（1）求数学兴趣小组中包含男生A，但不包含女生a的概率；
（2）用X表示物理兴趣小组中的女生人数，求X的分布列与数学期望．
17. 从甲地到乙地要经过个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．
（1）若有一辆车独立地从甲地到乙地，求这一辆车未遇到红灯的概率；
（2）记表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望．
18.
已知函数，其中常数.
(Ⅰ)当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若存在实数，使得关于的方程在上有两个不相等的实数根，求的取值范围.
19. 设函数，
（1）证明：.
（2）当时，证明：.