2022张家口宣化一中高一上学期期初考试数学试题含答案

2021-2022学年上学期宣化一中高一期初考试

数学试卷

一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）

1. 已知集合，1，则

A.  B.  C.  D.

2. 下列说法正确的是

A. N中最小的数是1
B. 若，则
C. 若，，则最小值是2
D. 的实数解组成的集合中含有2个元素

3. 下列关于空集的叙述：；；；正确的个数为

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

4. 已知3，4，5，6，，4，5，，4，5，，则

A.  4，6  B.
C.   D.

5. 下列命题为真命题的是

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

6. 设a，，则“”是“”的

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

7. 已知正实数x，y满足则的最小值为

A. 4 B.  C.  D.

8. 已知，关于x的一元二次不等式的解集为

A. 或 B.
C. 或 D.

9. 设恒成立，则实数a的最大值为

A. 2 B. 4 C. 8 D. 16

10. 已知1，2，，且A中至少有一个奇数，则这样的集合A共有

A. 11个 B. 12个 C. 15个 D. 16个

二、多选题（本大题共2小题，共10.0分）

11. 下列命题中，真命题的是

A. 的充要条件是
B. ，是的充分条件
C. 命题“，使得”的否定是“都有”
D. “”是“”的充分不必要条件

12. 对任意A，，记，并称为集合A，B的对称差例如，若2，，3，，则，下列命题中，为真命题的是

A. 若A，且，则
B. 若A，且，则
C. 若A，且，则
D. 存在A，，使得

三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知集合，1，2，，则中的元素个数为______．
14. 设集合，，若A，B相等，则实数______．
15. 已知，则的最小值为______．
16. 给出下列三个论断：；；且．
    以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个真命题：______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 已知a，，求证：．
    
    
    
    
    
    
     
18. 已知集合，
    求集合A
    若全集，求．
    
    
    
    
    
    
     
19. 已知集合，．
    当时，求；
    若，求实数m的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
20. 设函数若“，”是假命题，实数a的取值范围为集合M，求M；
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知函数，a，．
    若关于x的不等式的解集为或，求实数a，b的值；
    若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
22. 由于春运的到来，南昌火车站为舒缓候车室人流的压力，决定在候车大楼外建立临时候车区，其中K288次列车候车区是一个总面积为的矩形区域如图所示，矩形场地的一面利用候车厅大楼外墙长度为，其余三面用铁栏杆围，并留一个长度为2m的入口．现已知铁栏杆的租用费用为80元设该矩形区域的长为单位：，租用铁栏杆的总费用为单位：元
    将y表示为x的函数，并求出租用此区域所用铁栏杆所需费用最小值及相应的x；
    若所需总费用不超过2160元，则x的取值范围是多少？

2021-2022学年上学期宣化一中高一期初考试

数学试卷答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：由题意A中包含大于等于0的所有实数，而B中只有实数0，1，2，
中的元素都在A中，A中的元素不一定在B中

故选B
观察两个集合，A中包含大于等于0的所有实数，而B中只有实数0，1，2，由子集的定义易得答案
本题考查集合的包含关系判断及应用，解题的关键是正确理解子集的定义，及，的意义．
 

2.【答案】C
 

【解析】解：中最小的数是0，正确；
B.若，则，不正确，例如取；
C.若，，当时，最小值是2，正确；
D.的实数解为两个相等的实数根2，组成的集合中含有1个元素2，因此不正确．
故选：C．
A.根据N的意义即可判断出正误；
B.取，即可判断出正误；
C.当时，即可得出最小值是2，即可判断出正误；
D.的实数解为两个相等的实数根2，利用集合元素的互异性即可判断出正误．
本题考查了集合N、的性质、集合元素的互异性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

3.【答案】B
 

【解析】解：中没有任何元素，
，故错误；
，故正确；
，故错误；
故正确的只有；
故选：B．
直接根据中没有任何元素，是的元素，且是的真子集即可判断．
本题考查元素与集合的关系，空集的概念，属于基础题．
 

4.【答案】B
 

【解析】解：对于A， 4，5 ，故错误；
对于B，3，4，5，6，，故正确；
对于C，由补集的定义可得，则4，5，，故错误；
对于D，由补集的定义可得，则，故错误；
故选：B．
根据集合的基本运算逐一判断各个选项即可得到结论．
本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
 

5.【答案】D
 

【解析】解：由，当时，有，选项A错误；
若，但，选项B错误；
若，不一定有，如，当，选项C错误；
若，则，即，选项D正确．
故选：D．
分别举例说明选项A，B，C错误；利用基本不等式的性质说明D正确．
本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

6.【答案】D
 

【解析】解：若，，满足，但不成立，
若，，满足，但不成立，
即“”是“”的既不充分也不必要条件，
故选：D．
根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．
 

7.【答案】D
 

【解析】解：正实数x，y满足，，即，
 ，
当且仅当 时，等号成立，
则的最小值为，
故选：D．
由题意求得，故有 ，再利用基本不等式求得它的最小值．
本题主要考查基本不等式的应用，式子的变形是解题的关键，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】

【分析】
本题考查含参数的一元二次不等式的解法，属于基础题．
利用因式分解法即可求出．
【解答】
解：，
，等价于，
即，
解得，
故不等式的解集为，
故选：B．  

9.【答案】B
【解析】解：
所以a的最大值为4，
故选：B．
恒成立，所以的最小值，将其展开求最小值即可．
本题考查了恒成立的问题，考查了基本不等式，属于基础题．
 

10.【答案】B
【解析】解：根据题意，A中至少有一个奇数，包含两种情况，A中有1个奇数或2个奇数，
若A中含1个奇数，有，
A中含2个奇数：，
由分类计数原理可得．共有种情况；
故选B．
根据题意，分A中有1个奇数或2个奇数两种情况讨论，由排列组合知识易得每种情况下的集合A数目，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列、组合的运用，解题的关键在于对“A中至少有一个奇数”的理解，进而分“A中有1个奇数或2个奇数”两种情况讨论．
11.【答案】BCD
【解析】解：对于A：的充要条件是a和b互为相反数，故A错误；
对于B：当，时，，
所以：，是的充分条件，故B正确；
对于C：命题“，使得”的否定是“都有”故C正确；
对于D：当“”时，“”成立，当，“”时，“或，”故“”是“”的充分不必要条件，故D正确．
故选：BCD．
直接利用充分条件和必要条件及充要条件的应用判定A、B、D的结论，再利用命题的否定判定C的结论．
本题考查的知识要点：充分条件和必要条件，命题的否定，充要条件，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．
 

12.【答案】ABD
【解析】解：对于A选项，因为，所以，所以，且B中的元素不能出现在中，因此，即选项A正确；
对于B选项，因为，所以，即与是相同的，所以，即选项B正确；
对于C选项，因为，所以，所以，即选项C错误；
对于D选项，设2，3，4，5，，2，，3，，则，5，，5，，
所以，因此，即D正确．
故选：ABD．
理解集合的新定义，然后结合韦恩图逐一判断A、B、C选项；对于D选项，举出特例，例如2，3，4，5，，2，，3，，然后分别算出和，即可得解．
本题考查集合的新定义问题，理解新定义，并结合韦恩图进行思考是解题的关键，考查学生逻辑推理能力和抽象能力，属于中档题．
13.【答案】4
【解析】解：集合，1，2，，
1，2，．
中的元素个数为4．
故答案为：4．
利用并集定义直接求解．
本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】1
【解析】解：由集合相等的概念得，解得，经检验成立，
故答案为：1．
利用集合相等，列方程组求出，再检验即可．
考查集合相等，基础题．
15.【答案】7
【解析】解：根据题意，当时，，
当且仅当时等号成立，
即的最小值为7；
故答案为：7．
根据题意，原不等式变形可得，结合基本不等式的性质分析可得答案．
本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是掌握基本不等式的形式，属于基础题．
16.【答案】若，则或若，则
【解析】

【分析】
本题主要考查命题的真假判断，结合不等式的性质是解决本题的关键．属于简单题．
根据不等式的关系，结合命题关系进行判断即可．
【解答】
解：若，且，
则，则成立，
若，则，为真命题；
若；且，则成立，
若，则是真命题；
若，，则且，
若，则是假命题．
故答案为：若，则或若，则  

17.【答案】证明：由均值不等式得，，，当且仅当时等号成立，
三式相加得．
故，当且仅当时等号成立，即得证．
【解析】利用均值不等式，利用综合法证明即可．
本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查综合法，属于中档题．
18.【答案】解：解不等式，得或，
集合或．
集合或全集，
，
，
．
 

【解析】解不等式，能求出集合A．
由集合或全集，求出，再由，能求出．
本题考查集合的求法，考查补集、并集的求法，考查一元二次不等式、补集、并集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
19.【答案】解：当时，，
所以，或；
又因为，所以．
由，可得．
当，即时，，满足题意；
当，即时，由，可得，解得．
综合，可得实数m的取值范围为．
【解析】当时，求出N，然后利用补集、交集定义求解即可；
若，可得则分集合N为空集和非空集两种情况讨论，求实数m的取值范围．
本题考查集合的交集、并集、补集的计算及包含关系，集合关系中参数的取值范围，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
20.【答案】解：根据题意，若“，”是假命题，
则其否定：，为真，
则有，，即恒成立，
当时，，即，不恒成立；
当时，若恒成立，必有，
解得，则a的取值范围为，
所以．
【解析】根据题意，分析可得，，即恒成立，结合二次函数的性质分析可得答案．
本题考查命题真假的判断以及全称命题、特称命题的关系，涉及二次函数的性质，属于基础题．
21.【答案】解：由题可知，和2是方程的两根，
，解得．
由得，，
令，
，的解集中的3个整数只能是3，4，5或，0，1．
当解集中的3个整数是3，4，5时，有，解得；
当解集中的3个整数是，0，1时，有，解得．
综上所述，实数的取值范围为．
【解析】由题可知，和2是方程的两根，再利用韦达定理即可得解．
由题可知，，构造函数，由，得的解集中的3个整数只能是3，4，5或，0，1，接下来，分两类讨论的范围，解之即可．
本题考查一元二次不等式的解集与方程根的关系，理解一元二次不等式、二次方程与二次函数这三者之间的联系是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：该矩形区域的长为xm，宽为，
依题意有，其中，
由均值不等式可得：，
当且仅当即时取“”号．
综上：当时，租用此区域所用铁栏杆所需费用最小，最小费用为1440元．
由题意可得，
，
，
，
，
又
．
【解析】由题意得矩形的长为，宽为，铁栏杆的租用费用为80元，由此得出y关于x的表达式，将其化简后，利用基本不等式求出费用最小值，并求出不等式等号成立时x的值；
由，运用二次不等式的解法，化简整理，即可得到x的范围．
本题考查了基本不等式在最值问题中的应用，注意等号成立的条件，认真审题并列出函数的解析式是解题的关键，考查了运算能力，属于中档题．