2025-2026学年福建省厦门市第六中学高一（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年福建省厦门市第六中学高一（下）期中数学试卷，共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图所示，在三棱台A′B′C′-ABC中，沿A′BC截去三棱锥A′-ABC，则剩余的部分是（ ）
A. 三棱锥B. 四棱锥C. 三棱柱D. 组合体
2.相交直线m,n都在平面α内，直线l在平面β内，则“l⊥m且l⊥n”是“α⊥β“的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知，且，则λ=（ ）
A. B. C. D.
4.已知正四棱台的上、下底面的面积分别为1和4，侧面积为6，则该棱台的体积为（ ）
A. B. C. D.
5.在△ABC中，，则sinC=（ ）
A. B. C. D.
6.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别为CD，AD的中点，若以向量，为基底表示向量，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AC=BC=3，∠ACB=90°，点D是线段AA1上靠近A1的三等分点，则直线C1D与B1C所成角的余弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
8.已知平面向量、、满足：与的夹角为锐角.，，，且的最小值为，向量的最大值是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知直线a,l,平面α，β，γ，则下列结论正确的有（ ）
A. 若α∥β，β∥γ，则α∥γ
B. 若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ
C. 若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l,则l⊥γ
D. 若a∥α，a∥β，α∩β=l,则a∥l
10.已知△ABC三条边的长度为连续的正整数n,n+1，n+2（n为正整数），且最小角的余弦值为，则（ ）
A. △ABC是锐角三角形B. △ABC的面积为
C. △ABC外接圆半径为D. 若C是最大角，则
11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1D上的动点（不与点A1重合），则下列结论正确的是（ ）
A. 平面BCE⊥平面DCC1D1
B. 直线A1D到平面B1D1C的距离为
C. 三棱锥B1-ECD1的体积为定值
D. 存在一点E，使得直线C1E与平面ADD1A1所成角为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，，若A、B、D三点共线，则tan2α= .
13.已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=1，，那么原△ABC的面积是 .
14.房殿顶是中国传统建筑中的一种屋顶形式，其顶盖几何模型如图所示，底面ABCD是矩形，侧面由两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形组成.若BC=6，EF=6，四个侧面与底面的夹角的正切值均为，则该五面体的体积为 ，AE与平面ABCD所成的角的正弦值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
（1）已知向量，满足，，求.
（2）已知向量，，若在方向上的投影向量为，且与的夹角是锐角，求实数λ的取值范围.
16.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,向量，，且.
（1）求角C；
（2）若，且△ABC的面积为，求△ABC的周长.
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，∠ADC=90°，PD垂直于面ABCD，AB∥CD，PD=AD=AB=2，CD=4，E为棱PC的中点.
（1）求证：BE∥平面PAD.
（2）求直线BC与面BDE所成的角的正弦值.
18.(本小题17分)
矩形ABCD中，AB=2AD=2，P为线段DC的中点，将△ADP沿AP折起，使得平面ADP⊥平面ABCP.在新构造的四棱锥D-PABC中，求解以下问题：
（1）求四棱锥D-PABC的体积.
（2）求二面角P-AD-B的余弦值.
（3）在DC上是否存在点E使得AD//平面PBE？若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由；
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AD=4，AB=2，PA⊥平面ABCD，且M是PD的中点.
（1）求证：AM⊥平面PCD；
（2）求异面直线CD与BM所成角的正切值；
（3）求二面角M-AC-D的正弦值.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】ACD
10.【答案】BD
11.【答案】ABC
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】120

15.【答案】 且λ≠2}
16.【答案】
17.【答案】证明：因为在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，∠ADC=90°，
又PD垂直于面ABCD，AB∥CD，PD=AD=AB=2，CD=4，E为棱PC的中点．
取PD的中点M，则ME∥CD，且，
又AB∥CD，AB=2，
所以AB∥ME，且ME=AB，
所以四边形ABEM为平行四边形，
所以BE∥AM，又BE⊄平面PAD，AM⊂平面PAD，
所以BE∥平面PAD
18.【答案】 存在，E是线段CD上靠近点C的三等分点
19.【答案】证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
所以PA⊥CD，
又因为四边形ABCD是矩形，所以CD⊥DA，因为DA∩PA=A，
所以CD⊥平面PAD，
因为AM⊂平面PAD，所以CD⊥AM，又M是PD的中点，PA=AD=4，
所以AM⊥PD，
因为CD∩PD=D，
所以AM⊥平面PCD