四川省南充高级中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试卷

这是一份四川省南充高级中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试卷，共6页。
1B．  1
33
x2  y2  1a  0
2D．  2
33
F 1, 0l
2
已知椭圆 M：
a3
的一个焦点为
，经过点 F 的直线
与椭圆 M 交于 A, B 两点．当
(命审题人：高二数学备课组）
直线l 的斜率为 1 时，则线段 AB 的长为
注意事项：
（时间：120 分钟总分：150 分）
2022
B．
77
2426
C．D．
77
答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
已知 f (x)  ex ln a 1  (ln a 1)x  ln x 1 只有 2 个零点，则 a 的取值范围为
答选择题时，必须使用 2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦
A．（1，e）
[1, e]
C．（0，1）
D． 0,1
干净后，再选涂其它答案标号。
答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。
考试结束后将答题卡交回。
二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分）
对于直线 2mx  y  m 1  0 ，下列说法正确的是
1
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
直线l 的斜率有可能不存在B．直线l 恒过定点 ，1
2

已知 a  2, 3,1 ， b  2, 0, 3 ，则 a  b 
C．直线l 的倾斜角有可能是60
D．直线l 与圆 x2  y2  4 相交
A． 4, 3, 4
下列求导正确的是
0, 3, 2
0, 3, 2
0, 3, 2
已知函数 f (x)  x3  ax2  a 1，则下列说法正确的是
当 a  0 时， f ( x) 的对称中心为(0, 1)
A．（cs x)'  sin x
(lg a
x) 
1
x ln a
(a  0且a  1)
若函数 f ( x) 在 R 上单调递增，则实数 a 的取值范围是[
3, 3]
C．e x 
 e x
D．（ln 2)'  1
存在实数 a 使曲线 y 
f (x) 1 是轴对称图形
2
已知等差数列an的前 n 项和 Sn ，若 a5  10 ，则 S9 
当 a  2 时，函数 f  x  的极大值点为0,1
x2
n
x2y2
A．90B．50C．70D．100
椭圆C1 ：
2
 y2  1的左右焦点分别为 F1 ， F2 ，双曲线C2 ：
m2
 2  1m  0, n  0 与椭圆C1 的
某物体的位移 s 与时间 t 的函数为 s  3t2  2t t  0 ，其中 s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体
焦点相同，P 是椭圆与双曲线在第一象限的交点，则下列结论正确的是
在 1 秒末的瞬时速度是
若F PF  π ，则 PF  PF  4
A．5 米/秒B．6 米/秒C．8 米/秒D．110 米/秒
123
an
an2
*
π
123
3  2 2
x2y2
an1
已知数列an  各项均为正数，且a1  1， a2  4 ， 2

n  N
 ，则a6 
若F1PF2  4 ，则双曲线C2 的方程为 2 2  2
 1
A．49B．36C．25D．16
若PF F 的内切圆的圆心为 I ， S S
 1 S
，则双曲线的离心率取值范围是1, 5
2
1 2△IPF1△IPF2
5 △IF1F2
设O 为坐标原点，向量OA  1, 2, 3 ， OB  2,1, 2 ，OM  1,1, 2 ，点 N 在直线OM 上运动，
则 NA  NB 的最小值为
D．若 PF1 与 y 轴交于点Q ， F2Q 平分PF2F1 ，则双曲线的离心率为 2 
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
以直线 x  1 为准线的抛物线的标准方程为
《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马 P  ABCD
已知数列an  的前 n 项和为 Sn ，且 2Sn  an  3 ．
求数列an  的通项公式；
4（2）若数列b  满足b
 n  1a
，记数列b  的前 n 项和为T ，若存在 n  N * ，使得T
 15  a
中，若 PA  平面 ABCD ，且 PA  AB  2 ，异面直线 PD 与 AC 所成角的余弦值为 5
，则 AD 的长度为
nnnnn
n4n
成立，求的取值范围．
如图，在一个大圆中放入两个半径之比为1: 2 的小圆，使得两小圆外切，且它们均内切于大圆，
且三个切点共线，记为一次操作．之后的每次操作，都在前一次放入的较大的圆中进行上述操作，现有一个半径为1的大圆，则3 次操作后图中最小的圆的半径为，n 次操作后图中所有圆的面积总和为
x2
2
如图，椭圆 a2  y
1 a 1的左、右顶点分别为
M 、 D ，离心率为 3 ．
2
四、解答题（本大题共 5 小题，满分 77 分）
nn422nn
已知等差数列a  的前 n 项和 S ，且 S  4S ， a 2a 1n  N *  ．
求数列an  的通项公式；
求椭圆的标准方程；
过点 M 作两条互相垂直的直线 MA 、 MB 与椭圆交于 A 、 B 两点.
证明直线 AB 过定点，并求出该定点坐标；
求△ABD 面积的最大值．
（2）若bn
1
anan1
，求数列bn  的前 n 项和Tn．
已知函数 f  x   2 ln x  x  m m  R 
x
当 m  1时，求曲线 y  f  x  在点1, f 1 处的切线方程；
讨论函数 f  x  的单调性；
已知函数 f  x  x3  ax2  bx  2a,b  R 在 x  1 处取得极值0 ．
求实数 a，b 的值；
求函数 f  x 在区间2, 3 上的最值．
求证： ln 2  1 11 1
nn 1n  22n 1
n N * 
南充高中高 2024 级高二下学期期中考试
两式相减得：3?
= ?
⇒ ?? 1
? = 1，
??−1
??−1
= 3为非零定值，而 1
数 学 试 题 答 案
1
3
1．B2.B3.A4.C5．B6.D7．C．8．A．
即{? }是以 1 为首项，公比? = 1的等比数列，所以? =
1
3
?3?
?−1
?−1
；5 分
（2）?? = (? + 1)?? = (? + 1)，
9．BCD10.AC11．BC
12． y2  4x
13．4
所以??
= 2
0
1
3
1
3
+3
+4
2
1
3
1
3
+5
3
1
3
+⋯ + (? + 1)
?−1
，
1
1
1 2
1 3
1 4
1 ?−1
1 ?
?? = 2+
33
3 3+
4 3+
5 3+⋯
+ ? 3+ (?
+ 1) 3
，
4 4 n 
两式相减：
1−
1
1
3
?
? = 2 + 3 +
2
1
3
+
3
1
3
+
4
1
3
+⋯ +
?−1
?
1
3
−(? + 1)
1
3
1
3
①.
(2 分）②. π 2   
 （3 分）
27
 9  
1
?−1
?1 ?−1

解:
1−
= 2 + 3
1− 1
3
−(? + 1)
5 (2?+5)
1
3
6
= −3，
2
（1）设等差数列得首项为a1,公差为d S4  4S2可得d  2a1
T  15  2n  5
n44  3n1
15
.12 分
5
4
1
5
4
5
4
11
a2n
 2an
1得a1
 (2n 1)d  2[a1
 (n 1)d ] 1
由?? ≥
+???得，? ≤ −
4
? +
2
，即存在? ∈ ?*使? ≤ −
? +
2
成立， ∵ 随着?增大，−
? +
2
故a1  1, d  2
.6 分
在减小，
从而an  2n 1(n  N *)
1111
7
∴ 当? = 1时，? ≤ −4，故求?的取值范围是
−∞,− 7 ．15 分
3
(2)bn  (2n 1)(2n 1) 
(
4
2 2n
1 
2n 1)
故T 1 (1 1  1  1 ... 1
1)  1 (1

1) n c

n2335
2n 1
2n 12
2n 1
2n 1
解：（1）由已知可得：  a  2
，解得： a  2 ， c  3 ，
解：（1）f ' x  3x2  2ax  b
 f (1)  1 a  b  2  0
.13 分
2
所以，椭圆的方程为 x
4
a2  1 c2
 y2  1．4 分

由已知有 f ' (1)  3  2a  b  0
①解：易知点
M 2, 0
，设点
A x1 , y1  、
B  x2 , y2 
，则 y2 
4  x2
1 ，
4
1
可得a  0, b  3
.5分
经检验a  0, b  3满足题意6分
(2) f ' (x)  3x2  3  3(x 1)(x 1)，令f ' (x)  0，得x  1或-1
若直线 AB  y 轴，则 x2  x1 ， y2  y1 ，
4  x2
f (x)在 2，1 和1,3 单调递增；在（-1，1）单调递减，
 
1
所以， k k

1

1

1
 4 
，不合乎题意，
y yy21
MA MB
x  2 x  24  x24  x24
又f (2)  0，f (1)  4，f (1)  0，f (3)  20
1111
所以最大值为20.最小值为0.
.15分
设 AB 的直线方程为 x  ty  m ，
17．（1）2?? + ?? = 3，当? = 1时，?1 = 1，
当? ≥ 2，? ∈ ?*时，2?? + ?? = 3，2??−1 + ??−1 = 3，
x  ty  m

联立x2  4 y2  4  0
，整理得t 2  4 y2  2mty  m2  4  0 ，
Δ  4m2t 2  4 t 2  4m2  4  16 t 2  4  m2   0 ，
解：（1）当m  1时，f x  2 ln x  x  1 , f ' x  2 1 1
xxx2
由韦达定理可得 y  y  2mt ， y y 
12t 2  41 2
m2  4
t2  4 ．6 分
f ' 1  0, 又f 1  0, 故曲线y 
f x在点1,0处的切线方程为y  0
.4分
因为AMB  π ，且MA   x  2, y  ， MB   x  2, y  ，
21122
（2）函数f x的定义域为（0， ）, f
' (x) 
2 1 m
xx2
  x2  2x  m
x2
1 m
所以， MA  MB   x1  2 x2  2  y1 y2  ty1  m  2ty2  m  2  y1 y2
当  4  4m  0,即m  1时，f ' (x)  0，函数f (x)在（0， ）单调递减当  4  4m  0,即m  1时,
 t 2 1 y y  t m  2 y  y   m  22  0 ，  t 2 1 m  4    2mt 2 
2
t m 2(m 2)0 ，
若0  m  1，令 f ' (x)  0, 得x  1
0,
1 212
t 2 1m2  4  2m2t 2  4mt 2  m2  4m  4t 2  4  0 ，
t 2  4
t 2  4
于是函数f (x)在（0，1 1 m )和(1
1 m
1 m
单调递增；
1 m,)单调递减，在（1
1 m,1
1 m )
2 2222 222 2222
若m  0，令 f ' (x)  0, 得1
0,1
 0(舍）
t m
 4t
 m  4  2m t
 4mt
 m t
 4m
 4mt
16m  4t
16  0 ，
函数f (x)在（0，1
1 m )上单调递增，在（1
1 m,)单调递减。
整理得5m2 16m 12  0 ，解得m   6 或m  2 （舍去），
5
综上，当m  1时，f (x)在（0， ）上单调递减
所以，直线 AB 的方程为 x  ty  6 ，故恒过（
5
6 ，0）10 分
5
当0  m  1时，上单调递增
f (x)在（0，1
1 m )和(1
1 m,)上单调递减，在（1
1 m,1
1 m )
注：本小题也可以用其次化处理
当m  0时，f (x)在（0，1
1 m )上单调递增，在（1
1 m,)单调递减.
.10分
 y  y
 12t
（3） 由（2）知，当m  1时，函数f (x)在[1,)上单调递减，
8
5

y  y 4 y y
12

2
1 2
 12

5t 2  4
1 6 
32
所以当x  1时，f (x)  f (1)  0
25t 2  64
② 64 ，则SVDAB  2  2  5  y1  y2

 25 t 2  4．
111
 y y 
 1 2

25t 2  4

即2 ln x  x 
, 所以ln x  x
(x  )
2x
25t 2  64
32u
32u32
将x  1 1 (k  N *)代入上式，
令
 u u  8 ，则S△DAB  25  u2  64
 4
25

u2  36
u  36 ，
u
k
可得ln(1 1 )  1 (1 1 
1 )  1 ( 1 
1 ),即ln k 1  1 ( 1 1 )

36363625
k2k
1 1
2 kk 1
k2 k
k 1
由对勾函数单调性知，函数 y  u 在8,  上为增函数 ，则u  8 ．k
u
3264
u82
分别取k  n, n 1, 1,
V DAB
所以S△DAB  25  25 ，当且仅当u  8 时，即t  0 时等号成立，此时S最大值为 64 ．17 分
于是ln n 1  1 ( 1  1 ), ln n  2  1 ( 1  1 ), ln n  3  1 ( 1  1 ),...
225
ln2n
n
 1 (
2 nn 1
1 1 ).
n 1
2 n 1
n  2
n  2
2 n  2
n  3
2n 12 2n 12n
将上述n个式子左右分别相加，可得
ln 2 
1 1
2nn 1
1
n  2
... 
1 1 2n 14n
 3 
4n
1
n 1
1
n  2
... 
1
2n 1
 1 
n
1
n 1
1
n  2
... 
1
2n 1
.17分