数学（无锡卷）-江苏省2025年中考考前最后一卷（含答案）

这是一份数学（无锡卷）-江苏省2025年中考考前最后一卷（含答案），共28页。试卷主要包含了下列计算正确的是等内容，欢迎下载使用。
（试卷满分：150分，考试时间：150分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列四个有理数中，绝对值最小的是（ ）
A．B．0C．D．1
2．要使有意义，的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．为进一步促进体教融合，引导广大学生掌握游泳技能，经研究，我市从2025届初中毕业生起，将游泳项目纳入初中学业水平考试的体育选考项目．以下是8名男生在某次训练时50米游泳时间（秒）：48，49，50，48，47，48，49，47，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．47，48B．47.5，48C．48，48D．48，49
4．方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
5．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．美在数学中有着它的独特之处，在丰富多彩的数学美之中，对称美、旋转美深深的震撼着我们．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
7．掀起了“人工智能”的热潮，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时．则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．有一组对角是直角，且另一组对角不相等的四边形叫作准矩形．有下列命题：①直角梯形是准矩形；②准矩形中，夹一个直角的两边的平方和等于夹另一个直角的两边的平方和；③准矩形的对角互补．其中，真命题有（ ）．
A．①②③B．②C．③D．②③
9．如图，将绕点C按顺时针方向旋转得到，点A、B的对应点分别是D、E，连接，点E恰好落在线段上．若，，则的值是（ ）
A．4B．5C．8D．10
10．如图，已知在中，，，点E在边上，点F在的延长线上，连接，点G为的中点，连接，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．因式分解：．
12．中科院发现“绿色”光刻胶，精度可达0.00000000014米．数字0.00000000014用科学记数法可表示为．
13．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径l是5，则该圆锥的表面积是．
14．已知一次函数（为常数）的图象不经过第二象限．写出一个符合条件的的值为．
15．正多边形的一部分如图所示，点为正多边形中心，若，则该正多边形的边数为．
16．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形．连结并延长，交于点，点为的中点．若，则的长为．
17．如图，直线分别交x轴、y轴于A，B，M是反比例函数的图象上位于直线上方的一点，轴交于C，交于D，，则k的值为
18．定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：的友好同轴二次函数为．已知二次函数（其中且且），其友好同轴二次函数记为，当时，函数的最大值与最小值的差为8，则的值为．
三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（8分）（1）计算：；（2）化简：．
20．（8分）解方程和不等式组．
（1）；（2）．
21．（10分）在平行四边形中，为上一点，点为的中点，连接并延长，交的延长线于点，
（1）求证：；
（2）求证：．
22．（10分）为了让学生更多的了解中国传统的民间文学类非物质文化遗产，在某次班会上，八年级（1）班的甲、乙、丙、丁四位班干部准备从“A．白蛇传，B．女娲补天，C．阿诗玛，D．木兰辞”这四个故事传说中，各选一个进行讲解，班长做了4张背面完全相同的卡片，如图，卡片正面分别绘制了这4个故事传说的插画，将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，以所抽取卡片正面的内容进行讲解．
（1）甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到白蛇传的概率是___________；
（2）请用列表或画树状图的方法，求甲、乙都抽到民间叙事长诗（C，D）的概率．
23．（10分）小刚家2021年和2023年的家庭总支出情况如图所示．

（1）2023年总支出比2021年增加了万元，增加的百分比是；
（2）2021年衣食方面支出的金额为万元，2023年教育方面所在扇形的圆心角为度：
（3）小华说：“2021年娱乐支出占，2023年娱乐支出占，因为，所以2023年娱乐支出金额比2021年减少了”，你同意小华的说法吗？请通过计算说明理由．
24．（10分）如图，在中，．
（1）求作：菱形，使菱形的顶点D落在边上；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若，，，求（1）中的菱形的周长．
25．（10分）如图1，平行四边形的对角线交于点P，E为的中点，过E点的圆O与相切于点P，圆O与直线分别交于点F，G．
（1）求证：；
（2）如果如图2．求圆O的直径．
26．（10分）某村为了提高广大农户的生活水平，经过市场调查，决定推广种植某特色水果．该水果每千克成本为20元，每千克售价需超过成本，但不高于50元．某农户日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该水果的日销售利润为W元．
（1）分别求出y与x，W与x之间的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
（2）若该水果的日销售量不低于90千克，当售价定为多少元/千克时，每天获取的利润最大？最大利润是多少元？
27．（10分）【操作观察】
如图，在四边形纸片中，，，，，．折叠四边形纸片，使得点的对应点始终落在上，点的对应点为，折痕与，分别交于点，．
【解决问题】
（1）求的长以及的值；
（2）当点与点重合时，求的长；
（3）设直线与直线相交于点，当时，求的长（直接写结果）．
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线于点A，C，抛物线的顶点为D．

（1）求抛物线的表达式；
（2）M是线段上一点，N是抛物线上一点，平行于y轴且交x轴于点E，当时，求点M的坐标；
（3）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．B
【分析】本题考查了绝对值的性质，掌握绝对值的性质是关键．
根据绝对值的性质求解即可．
【详解】解：A、
B、
C、
D、，
∵，
∴绝对值最小的是0，故选：B ．
2．B
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可．
【详解】解：∵有意义，
∴，
∴，
故选：B．
3．C
【分析】本题考查求一组数据的众数和中位数，熟记众数和中位数的定义是解题的关键．根据众数和中位数的定义求解．
【详解】解：这组数据中出现次数最多的数是48，因此众数是48；
将这组数据从小到大排序为：47，47，48，48，48，49，49，50，
第4，5位是48，48，因此中位数是，
故答案为：C．
4．B
【分析】本题考查了解二元一次方程组（加减消元法），熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
利用加减消元法求解二元一次方程组，，得，解得，将代入，得，解得，由此即可得出答案．
【详解】解：，
，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：，
将代入，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：，
方程组的解是，
故选：．
5．C
【分析】本题考查了积的乘方，完全平方公式，同底数幂的乘法，平方差公式，解题的关键在于正确掌握相关运算法则．
根据积的乘方，完全平方公式，同底数幂的乘法，平方差公式计算各项并判断，即可解题．
【详解】解：A. ，选项计算错误，不符合题意；
B. ，选项计算错误，不符合题意；
C. ，选项计算正确，符合题意；
D. ，选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
6．D
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选D．
7．B
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是列出等量关系．设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据两队合作小时完成，可得出方程．
【详解】解：设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，
依题意得，
故选：B．
8．D
【分析】本题主要考查准矩形，熟练掌握准矩形的定义是解题的关键．根据准矩形的定义进行判断即可．
【详解】解：①直角梯形并不是对角是直角，故不是准矩形，①错误；
准矩形中，，
，
，
夹一个直角的两边的平方和等于夹另一个直角的两边的平方和，②正确；
准矩形中，，故，
四边形的内角和为，
，故③正确；
故选D．
9．B
【分析】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．由旋转得，，，推出是等腰直角三角形，，过点C作于点H，得到，利用勾股定理求出的长．
【详解】解：由旋转得，，
∴，，，
∴是等腰直角三角形，，
过点C作于点H，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
10．A
【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定及性质，添加辅助线构造直角三角形，是解决问题的关键．
由题意可知，，过点作，交于，则，，过点作，交于，则，可知，得，则，设，，得，，，则，可得，再根据正切的定义即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵点为的中点，
∴，
过点作，交于，则，，
过点作，交于，则，
∴，
∴，则，
∵，则设，，
∴，，，
则，
∴，
∴，
故选：A．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．
【分析】本题考查因式分解−−运用公式法，用平方差公式因式分解即可．熟练掌握平方差公式是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查圆锥的计算，根据弧长公式及圆锥的侧面积公式求出圆锥的侧面积，再根据圆的面积公式求出圆锥的底面积，从而根据“圆锥的表面积侧面积底面面积”计算即可．掌握弧长计算公式、圆锥的侧面积计算公式和圆的面积计算公式是解题的关键．
【详解】解：，
则圆锥的侧面积为，圆锥的底面半径为，
则圆锥的底面积为
，
该圆锥的表面积是．
故答案为：．
14．0（答案满足均可）
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．根据一次函数的图象可知，即可得出答案．
【详解】解∶函数（b是常数）的图象不经过第二象限，
可取．
故答案为∶0（答案不唯一，满足即可）
15．9
【分析】本题考查了圆周角定理、圆与正多边形，熟练掌握圆与正多边形的性质是解题关键．连接，先得出是这个正多边形的外接圆，再根据圆周角定理可得，由此即可得．
【详解】解：如图，连接，
∵点为正多边形的中心，
∴是这个正多边形的外接圆，
由圆周角定理得：，
∴该正多边形的边数为，
故答案为：9．
16．/
【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的性质，由正方形的性质以及全等三角形的性质可得，，，，，证明，由相似三角形的性质计算即可得解．
【详解】解：由题意可得，，，，，，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，即，
设，
∴，
∴或（不符合题意，舍去），
∴，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，掌握反比例函数图象的性质，几何图形中线段的关系，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质等知识的综合是解题的关键．
如图所示构造辅助线，可得四边形，是矩形，可证，，是等腰直角三角形，设，可得，，在等腰直角三角形中，根据其性质可得，，结合反比例函数图象的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作轴，过点作轴，过点作轴于点，作轴于点，

∴四边形，四边形都是矩形，
∴，，，，
已知直线，
令时，，则，
∴，
令时，，
∴，则，
∴，且，
∴是等腰直角三角形，
∵，，
∴，，都是等腰直角三角形，
∵点在反比例函数的图象上，
∴设，
∴，，
∴在，中，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵反比例函数，
∴，
∴，
故答案为：．
18．或3/3或
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握理解友好同轴二次函数的定义是解题关键．
②分且且、两种情况，利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】解：二次函数，
则设，
所以，解得，
所以，
（Ⅰ）当且且时，抛物线的开口向上，
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
则当时，取得最小值，最小值为，
当时，取得最大值，最大值为4，
所以，
解得，符合题设；
（Ⅱ）当时，抛物线开口向下，
当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
则当时，取得最大值，最大值为，
当时，取得最小值，最小值为4，
所以，
解得，符合题设；
综上，的值为或3．
故答案为：或3．
三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（1）（2）
【分析】本题考查实数的运算，整式的计算．
（1）先算二次根式，零指数幂，绝对值，再算加减；
（2）先去括号，再合并同类项．
【详解】解：（1）原式
；分
（2）原式
．分
20．（1），；（2）
【分析】此题考查的是解一元二次方程和解一元一次不等式组，掌握利用公式法解一元二次方程、不等式的解法和公共解集的取法是解决此题的关键．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）分别求出两个不等式的解集，然后取公共解集即可．
【详解】（1）解：，
，；分
（2）解：由得：，
由得：，
原不等式组的解集为：．分
21．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）先由平行四边形性质得到，再由平行线性质和中点定义确定相关角度与边长，再由全等三角形的判定定理即可得证；
（2）由全等三角形的性质和平行四边形的性质得到，数形结合表示出即可得证．
【详解】（1）证明：在平行四边形中，，
∴，
点为的中点，
，
在和中，
；分
（2）解：由（1）知，
，
在平行四边形中，，
，
，，
．分
【点睛】本题考查平行四边形综合，涉及平行四边形的性质、平行线的性质、中点定义、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
22．（1）；（2）
【分析】本题考查了列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解题关键．
（1）根据概率公式直接求解即可；
（2）利用列表法求概率即可．
【详解】（1）解：由题意，得甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到白蛇传的概率是，
故答案为：分
（2）解：列表如下：
由上表可知，共有 12 种等可能出现的结果，其中甲、乙都抽到民间叙事长诗的结果有种，
所以甲、乙都抽到民间叙事长诗的概率为．分
23．（1），
（2），126
（3）不同意，见解析
【分析】本题主要考查了条形统计图，以及扇形统计图，弄清题意，利用数形结合的方法是解本题的关键．
（1）2023年总支出减2021年总支出即可；由2023年总支出减2021年总支出的差除以2021年总支出即可；
（2）由2021年总支出扇形统计图中衣食方面支出的占比与2021年总支出的积即可求解；2023年教育方面的占比与的积即可求解；
（3）分别计算这两年的娱乐支出即可判断．
【详解】（1）解：2023年总支出比2021年增加了（万元），
增加的百分比为：，
故答案为：，；分
（2）解：2021年总支出衣食方面的支出为（万元），
2023年教育方面所在扇形的圆心角为，
故答案为：，126；分
（3）解：不同意小华的说法；
2021年娱乐支出为（万元），
2023年娱乐支出为（万元），
计算表明，这两年的娱乐支出相等，并没有减少．分
24．（1）见解析；（2）15
【分析】本题考查作图—复杂作图、勾股定理、菱形的判定与性质．
（1）先作线段的垂直平分线，交于点D，再以点B为圆心，的长为半径画弧，交线段的垂直平分线于点E，连接，，即可；
（2）由菱形的性质可得，设，则，中，由勾股定理得，，代入求出x的值，进而可得答案．
【详解】（1）解：如图，菱形即为所求；
分
（2）解：由（1）得四边形是菱形，
∴，设，则，
在中，根据勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴菱形的周长为．分
25．（1）见解析；（2）
【分析】（1）作直径，连接，由平行四边形的性质和点E是的中点得，得到，再证明，，可证得．
（2）证平行四边形是菱形，则它的对角线互相垂直平分；根据勾股定理可求出菱形的边长．由于E是中点，可得，根据，可得P、O、C三点共线，为的直径，根据，，可得，得到，得到，即得⊙O的直径为．
【详解】（1）证明：连接并延长交于点H，连接，则．
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴．
又∵E为的中点，
∴．
∴．
∴．
∵切于P，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
分
（2）解：∵平行四边形中，，
∴平行四边形为菱形．
∴，．
∴．
∴．
∵切于P，
∴．
∵，
∴P、O、C三点共线．
∴为的直径．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴⊙O的直径为．分
【点睛】本题主要考查了圆与四边形综合．熟练掌握圆切线性质，平行四边形性质，菱形的判定和性质，三角形中位线判定和性质，圆内接四边形性质，直角三角形你斜边上中线的性质，相似三角形的判定和性质，是解决问题的关键．
26．（1）
（2）当售价定为35元／千克时，每天获取的利润最大，最大利润是1350元
【分析】此题考查了一次函数和二次函数的应用，根据题意正确求出函数解析式是关键．
（1）利用待定系数法进行解答即可；
（2）先求出自变量的取值范围，再根据二次函数的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为．
把点代入，
得
解得
与之间的函数关系式为．
分
（2）根据題意，得．
解得．
．
．
∴抛物线的开口向下．
对称轴为直线，
在时，随的增大而增大，
当时，取最大值，此时，
答：当售价定为35元／千克时，每天获取的利润最大，最大利润是1350元．
分
27．（1）10，
（2）1
（3）或
【分析】（1）过点作，证明四边形为正方形，勾股定理求出的长，利用正弦的定义，求出三角函数值即可；
（2）连接，设，根据旋转的性质和勾股定理列出方程进行求解即可；
（3）分两种情况，当点F在上时和当点F在的延长线上时，设，，则，利用三个角的正切值相等表示出个线段的长度，最后利用线段的和差关系求解即可．
【详解】（1）解：过点作，
∵，，∴，∴四边形为矩形，
∵，，∴，∴四边形为正方形，∴，∴，
在中，，
∴；分
（2）连接，
∵翻折，
∴垂直平分，，，
∴，，
设，则：，
在中：，
在中：，
∴，
∴，
解得：；
∴；分
（3）①如图，当点F在上时，如下图：
由（1）可知，，
∵
∴，，
设，，则，
根据折叠的性质可得出：，，．
∵，
∴，，
∴在中，，，
则，
解得：，
②如图，当点F在的延长线上时，
同上，
在中，
设，，，，
同理：在中，，
则
解得，
则，
综上：的值为：或．分
【点睛】本题考查正方形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，折叠问题，熟练掌握相关知识点，根据题意，正确的画出图形，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
28．（1）
（2），
（3）或或或
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）求出直线的表达式为，设，则，，分情况表示出，，结合，列方程求出，即可求解；
（3）画出图形，分是四边形的边和是四边形的对角线，进行讨论，利用勾股定理，相似三角形的判定与性质，函数图像的交点，平移等知识点进行解答即可得出答案．
【详解】（1）解：∵抛物线过原点，
，
将代入抛物线中，得，
解得：，
∴抛物线的表达式为；分
（2）解：设直线的解析式为，
将代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，，其中．
当在点上方时，，．
∵，
∴．
∴，
解得：（不合题意，舍去）；
当M在N点下方时，．
∴，
解得：（不合题意，舍去）．
∴满足条件的点M的坐标有两个．分
（3）解：存在，满足条件的点的坐标有 4 个．
如图，若是四边形的边，
抛物线的对称轴为直线，
当时，，
∴抛物线的对称轴与直线相交于点，
联立，
解得：或（舍去），
，
过点分别作直线的垂线交抛物线于点，
，
，
，
，
，
∴点与点重合．
当时，四边形是矩形．
∵向右平移 1 个单位，向上平移 1 个单位得到．
∴向右平移 1 个单位，向上平移 1 个单位得到，
此时直线的解析式为．
∵直线与平行且过点，
∴直线的解析式为．
∵点是直线与抛物线的交点，
∴，
解得：（舍去）．
，
当时，四边形是矩形，
∵向左平移 3 个单位，向上平移 3 个单位得到．
∴向左平移 3 个单位，向上平移 3 个单位得到．
如图，若是四边形的对角线，
当时．过点作轴，垂足为，过点作，垂足为．
可得，
，
，
设，
，
∵点不与点重合，
和，
，
，
∴如图，满足条件的点有两个．
即．
当时，四边形是矩形．
∵向左平移个单位，向下平移个单位得到．
∴向向平移个单位，向下平移个单位得到．
当时，四边形是矩形．
∵向右平移个单位，向上平移个单位得到．
∴向右平移个单位，向上平移个单位得到．
综上，满足条件的点的坐标为或或或．
分
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求函数的解析式，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，点的平移等知识，根据题意画出符合条件的图形，进行分类讨论是解题的关键．甲乙
A
B
C
D
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）