新高考数学解答题核心考点预测 第7讲 分布列与数学期望练习（含解析）

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1．10月1日，某品牌的两款最新手机（记为型号，型号）同时投放市场，手机厂商为了解这两款手机的销售情况，在10月1日当天，随机调查了5个手机店中这两款手机的销量（单位：部），得到如表
（Ⅰ）若在10月1日当天，从，这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取1部，求抽取的2部手机中至少有1部为型号手机的概率；
（Ⅱ）现从这5个手机店中任选3个举行促销活动，用表示其中型号手机销量超过型号手机销量的手机店的个数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅲ）经测算，型号手机的销售成本（百元）与销量（部满足关系．若表中型号手机销量的方差，试给出表中5个手机店的型号手机销售成本的方差的值．（用表示，结论不要求证明）
2．为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标和的数据，并制成如图，其中“”表示服药者，“”表示未服药者．
（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标的值小于60的概率；
（2）从图中，，，四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望；
（3）试判断这100名患者中服药者指标数据的方差与未服药者指标数据的方差的大小．（只需写出结论）
3．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．
（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列和数学期望．
类型二：利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求概率
4．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；
（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“”表示第类电影得到人们喜欢．“”表示第类电影没有得到人们喜欢，2，3，4，5，．写出方差，，，，，的大小关系．
5．设甲、乙两位同学上学期间，每天之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
（1）设甲同学上学期间的三天中之前到校的天数为，求，，，时的概率，，，．
（2）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在之前到校的天数比乙同学在之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率．
类型三：利用条件概率公式求概率
6．如图所示，质点在正方形的四个顶点上按逆时针方向前进．现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字．质点从点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点前进一步（如由到；当正方体上底面出现的数字是2，质点前两步（如由到，当正方体上底面出现的数字是3，质点前进三步（如由到．在质点转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止．
（1）求点恰好返回到点的概率；
（2）在点转一圈恰能返回到点的所有结果中，用随机变量表示点恰能返回到点的投掷次数，求的分布列及数学期望．
7．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量（单位：对工期的影响如下表：
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：
工期延误天数的均值与方差；
（Ⅱ）在降水量至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．
类型四：利用统计图表中的数据求概率
8．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，的数学期望达到最大值？
9．某贫困地区共有1500户居民，其中平原地区1050户，山区450户．为调查该地区2017年家庭收入情况，从而更好地实施“精准扶贫”，采用分层抽样的方法，收集了150户家庭2017年年收入的样本数据（单位：万元）．
（1）应收集多少户山区家庭的样本数据？
（2）根据这150个样本数据，得到2017年家庭收入的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，，，，，，，，．如果将频率视为概率，估计该地区2017年家庭收入超过1.5万元的概率；
（3）样本数据中，有5户山区家庭的年收入超过2万元，请完成2017年家庭收入与地区的列联表，并判断是否有的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”？
附：
高考预测二：超几何分布和二项分布
类型一：超几何分布
10．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．
用表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量的分布列与数学期望；
设为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件发生的概率．
11．是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．日均值在35微克立方米以下空气质量为一级；在35微克立方米微克立方米之间空气质量为二级；在75微克立方米以上空气质量为超标．石景山古城地区2013年2月6日至15日每天的监测数据如茎叶图所示．
（1）小陈在此期间的某天曾经来此地旅游，求当天日均监测数据未超标的概率；
（2）从所给10天的数据中任意抽取三天数据，记表示抽到监测数据超标的天数，求的分布列及期望．
类型二：二项分布
12．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出一个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获得一等奖；若只有1个红球，则获得二等奖；若没有红球，则不获奖．
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中或一等奖的次数为，求的分布列、数学期望和方差．
13．近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照大小分为六级，为优；为良；为轻度污染；为中度污染；为重度污染；大于300为严重污染．环保部门记录了2017年某月哈尔滨市10天的的茎叶图如下：
（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良的天数；（按这个月总共30天计算）
（2）现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究，求抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率；
（3）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为，求的概率分布列和数学期望．
高考预测三：概率与其他知识点交汇
类型一：以其他知识为载体
14．已知正四棱锥的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的8条棱中任取两条，按下列方式定义随机变量的值：
若这两条棱所在的直线相交，则的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制）；
若这两条棱所在的直线平行，则；
若这两条棱所在的直线异面，则的值是这两条棱所在直线所成角的大小（弧度制）．
（1）求的值；
（2）求随机变量的分布列及数学期望．
15．从集合，2，3，4，5，6，7，8，中抽取三个不同的元素构成子集，，．
（1）求对任意的和，2，3，，2，3，满足的概率；
（2）若，，成等差数列，设其公差为，求随机变量的分布列与数学期望．
类型二：构造递推关系求概率问题
16．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为．
（1）求的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，，1，，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，2，，，其中，，．假设，．
证明：，1，2，，为等比数列；
求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．
17．从原点出发的某质点，按向量移动的概率为，按向量移动的概率为，设可到达点，，2，3，的概率为．
（1）求和的值；
（2）求证：；
（3）求的表达式．
类型三：利用导数研究概率问题
18．某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点（即取最大值时对应的的值）．
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值，已知每件产品的检验费用为3元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付28元的赔偿费用
若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用之和记为求；
以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
19．某有机水果种植基地试验种植的某水果在售卖前要成箱包装，每箱80个，每一箱水果在交付顾客之前要按约定标准对水果作检测，如检测出不合格品，则更换为合格品．检测时，先从这一箱水果中任取10个作检测，再根据检测结果决定是否对余下的所有水果作检测．设每个水果为不合格品的概率都为，且各个水果是否为不合格品相互独立．
（Ⅰ）记10个水果中恰有2个不合格品的概率为，求取最大值时的值；
（Ⅱ）现对一箱水果检验了10个，结果恰有2个不合格，以（Ⅰ）中确定的作为的值．已知每个水果的检测费用为1.5元，若有不合格水果进入顾客手中，则种植基地要对每个不合格水果支付元的赔偿费用．
（ⅰ）若不对该箱余下的水果作检验，这一箱水果的检验费用与赔偿费用的和记为，求；
（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为多少元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检验？
高考预测三：决策问题
20．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购买机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个300元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到下面柱状图．以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
（1）求的分布列；
（2）若要求，试确定的最小值；
（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？
高考预测四：正态分布
21．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．
（1）假设生产状态正常，记表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，，2，，16．
用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到．
附：若随机变量服从正态分布，则，，．
22．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图频率分布直方图：
（1）求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差
①利用该正态分布，求
②某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数．利用 ①的结果，求
附：，若，则，．
第7讲 分布列与数学期望解析
高考预测一：求概率及随机变量的分布列的基本类型
类型一：利用古典概型求概率
1．10月1日，某品牌的两款最新手机（记为型号，型号）同时投放市场，手机厂商为了解这两款手机的销售情况，在10月1日当天，随机调查了5个手机店中这两款手机的销量（单位：部），得到如表
（Ⅰ）若在10月1日当天，从，这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取1部，求抽取的2部手机中至少有1部为型号手机的概率；
（Ⅱ）现从这5个手机店中任选3个举行促销活动，用表示其中型号手机销量超过型号手机销量的手机店的个数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅲ）经测算，型号手机的销售成本（百元）与销量（部满足关系．若表中型号手机销量的方差，试给出表中5个手机店的型号手机销售成本的方差的值．（用表示，结论不要求证明）
【解析】解：设事件为从店售出的手机中随机抽取1部手机，抽取的手机为型号手机，
设事件为从店售出的手机中随机抽取1部手机，抽取的手机为型号手机，
则事件，相互独立，且，，
抽取的2部手机中至少有1部为型号手机的概率为．
由表格可知型号手机销售量超过型号手机的店有2个，故的可能取值有0，1，2．
且，，．
的分布列为：
数学期望为．
，，
．
2．为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标和的数据，并制成如图，其中“”表示服药者，“”表示未服药者．
（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标的值小于60的概率；
（2）从图中，，，四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望；
（3）试判断这100名患者中服药者指标数据的方差与未服药者指标数据的方差的大小．（只需写出结论）
【解析】解：（1）由图知：在50名服药患者中，有15名患者指标的值小于60，
答：从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率为：
．
（2）由图知：、两人指标的值大于1.7，而、两人则小于1.7，
可知在四人中随机选项出的2人中指标的值大于1.7的人数的可能取值为0，1，2，
，
，
，
的分布列如下：
答：．
（3）答：由图知100名患者中服药者指标数据的方差比未服药者指标数据的方差大．
3．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．
（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列和数学期望．
【解析】解：（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件，
则（A）；
（2）的可能取值为200，300，400，
，
，
；
所以的分布列为：
数学期望为．
类型二：利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求概率
4．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；
（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“”表示第类电影得到人们喜欢．“”表示第类电影没有得到人们喜欢，2，3，4，5，．写出方差，，，，，的大小关系．
【解析】解：（Ⅰ）设事件表示“从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影”，
总的电影部数为部，
第四类电影中获得好评的电影有：部，
从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的频率为：
（A）．
（Ⅱ）设事件表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，恰有1部获得好评”，
第四类获得好评的有：部，
第五类获得好评的有：部，
则从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率：
（B）．
（Ⅲ）由题意知，定义随机变量如下：
，
则服从两点分布，则六类电影的分布列及方差计算如下：
第一类电影：
，
．
第二类电影：
，
．
第三类电影：
，
．
第四类电影：
，
．
第五类电影：
，
．
第六类电影：
，
．
方差，，，，，的大小关系为：
．
5．设甲、乙两位同学上学期间，每天之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
（1）设甲同学上学期间的三天中之前到校的天数为，求，，，时的概率，，，．
（2）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在之前到校的天数比乙同学在之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率．
【解析】解：（1），
，
，
．
（2）设乙同学上学期间的三天中在之前到校的天数为，
则，，
，，
．
类型三：利用条件概率公式求概率
6．如图所示，质点在正方形的四个顶点上按逆时针方向前进．现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字．质点从点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点前进一步（如由到；当正方体上底面出现的数字是2，质点前两步（如由到，当正方体上底面出现的数字是3，质点前进三步（如由到．在质点转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止．
（1）求点恰好返回到点的概率；
（2）在点转一圈恰能返回到点的所有结果中，用随机变量表示点恰能返回到点的投掷次数，求的分布列及数学期望．
【解析】解：（1）投掷一次正方体玩具，因每个数字在上底面出现是等可能的，故其概率．
易知只投掷一次不可能返回到点．
①若投掷两次质点就恰好能返回到点，则上底面出现的两个数字，
应依次为：、、三种结果，其概率为．
②若投掷三次质点恰能返回到点，则上底面出现的三个数字，
应依次为：，1，、，2，、，1，三种结果，其概率为．
③若投掷四次质点恰能返回到点，则上底面出现的四个数字应依次为：，1，1，，
其概率为．
所以，质点恰好返回到点的概率为：．
（2）由（1）知，质点转一圈恰能返回到点的所有结果共有以上问题中的7种情况，
且的可能取值为2，3，4．
则，，，故的分布列为：
所以，．
7．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量（单位：对工期的影响如下表：
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：
工期延误天数的均值与方差；
（Ⅱ）在降水量至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．
【解析】由题意，，，，
的分布列为
工期延误天数的均值为3，方差为9.8；
（Ⅱ），
由条件概率可得．
类型四：利用统计图表中的数据求概率
8．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，的数学期望达到最大值？
【解析】解：（1）由题意知的可能取值为200，300，500，
，
，
，
的分布列为：
（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，
只需考虑，
当时，
若最高气温不低于25，则；
若最高气温位于区间，，则；
若最高气温低于20，则，
，
当时，
若最高气温不低于20，则，
若最高气温低于20，则，
．
时，的数学期望达到最大值，最大值为520元．
9．某贫困地区共有1500户居民，其中平原地区1050户，山区450户．为调查该地区2017年家庭收入情况，从而更好地实施“精准扶贫”，采用分层抽样的方法，收集了150户家庭2017年年收入的样本数据（单位：万元）．
（1）应收集多少户山区家庭的样本数据？
（2）根据这150个样本数据，得到2017年家庭收入的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，，，，，，，，．如果将频率视为概率，估计该地区2017年家庭收入超过1.5万元的概率；
（3）样本数据中，有5户山区家庭的年收入超过2万元，请完成2017年家庭收入与地区的列联表，并判断是否有的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”？
附：
【解析】解：（1）由已知可得每户居民被抽取的概率为0.1，故应收集手机户山区家庭的样本数据．
（2）由直方图可知该地区2017年家庭年收入超过1.5万元的概率约为．
（3）样本数据中，年收入超过2万元的户数为户．
而样本数据中，有5户山区家庭的年收入超过2万元，故列联表如下：
所以，
有的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”．
高考预测二：超几何分布和二项分布
类型一：超几何分布
10．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．
用表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量的分布列与数学期望；
设为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件发生的概率．
【解析】解：（Ⅰ）单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．人数比为：，
从中抽取7人现，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3，2，2人．
（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．
用表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，
随机变量的取值为：0，1，2，3，，，1，2，3．
所以随机变量的分布列为：
随机变量的数学期望；
设为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，
设事件为：抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人，事件为抽取的3人中，
睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人，
则：，且（B），（C），
故（A）．
所以事件发生的概率：．
11．是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．日均值在35微克立方米以下空气质量为一级；在35微克立方米微克立方米之间空气质量为二级；在75微克立方米以上空气质量为超标．石景山古城地区2013年2月6日至15日每天的监测数据如茎叶图所示．
（1）小陈在此期间的某天曾经来此地旅游，求当天日均监测数据未超标的概率；
（2）从所给10天的数据中任意抽取三天数据，记表示抽到监测数据超标的天数，求的分布列及期望．
【解析】解：（1）记“当天日均监测数据未超标”为事件，
因为有天日均值在75微克立方米以下，
故（A）．
（2）的可能值为0，1，2，3．
由茎叶图可知：空气质量为一级的有2天，空气质量为二级的有4天，只有这6天空气质量不超标，而其余4天都超标．
，，
，．
的分布列如下表：
．
类型二：二项分布
12．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出一个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获得一等奖；若只有1个红球，则获得二等奖；若没有红球，则不获奖．
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中或一等奖的次数为，求的分布列、数学期望和方差．
【解析】解：（1）设顾客抽奖1次能中奖的概率为．
，
（2）设该顾客在一次抽奖中获一等奖的概率为，
，
故而．
，，
，．
故的分布列为
数学期望，方差．
13．近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照大小分为六级，为优；为良；为轻度污染；为中度污染；为重度污染；大于300为严重污染．环保部门记录了2017年某月哈尔滨市10天的的茎叶图如下：
（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良的天数；（按这个月总共30天计算）
（2）现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究，求抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率；
（3）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为，求的概率分布列和数学期望．
【解析】解：（1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，
故该样本中空气质量优良的频率为，从而估计该月空气质量优良的天数为
（2）现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究，
基本事件总数，
抽取的2天中至少有一天空气质量是优的对立事件是抽取的2天中至少有一天空气质量都不是优，
抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率：
．
（3）由（1）估计某天空气质量优良的概率为，
的所有可能取值为0，1，2，3，且，
，
，
，
，
故的分布列为：
，．
高考预测三：概率与其他知识点交汇
类型一：以其他知识为载体
14．已知正四棱锥的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的8条棱中任取两条，按下列方式定义随机变量的值：
若这两条棱所在的直线相交，则的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制）；
若这两条棱所在的直线平行，则；
若这两条棱所在的直线异面，则的值是这两条棱所在直线所成角的大小（弧度制）．
（1）求的值；
（2）求随机变量的分布列及数学期望．
【解析】解：（1）根据题意，该四棱锥的四个侧面均为等边三角形，底面为正方形，
，为等腰直角三角形．的可能取值为：0，，，
在这个正四棱锥的8条棱中任取两条基本事件总数种情况，
当时有2种，当时有种，当时有种．
．
（2）．
，
．
随机变量的分布列如下表：
．
15．从集合，2，3，4，5，6，7，8，中抽取三个不同的元素构成子集，，．
（1）求对任意的和，2，3，，2，3，满足的概率；
（2）若，，成等差数列，设其公差为，求随机变量的分布列与数学期望．
【解析】解：（1）由题意知基本事件数为，
而满足条件，即取出的元素不相邻，
则用插空法有种，
故所求事件的概率为；
（2）分析，，成等差数列的情况：
的情况有7种：，2，，，3，，，4，，，5，，，6，，，7，，，8，，
的情况有5种：，3，，，4，，，5，，，6，，，7，．
的情况有3种：，4，，，5，，，6，．
的情况有1种：，5，．
故的分布列如下：
所以．
类型二：构造递推关系求概率问题
16．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为．
（1）求的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，，1，，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，2，，，其中，，．假设，．
证明：，1，2，，为等比数列；
求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．
【解析】（1）解：的所有可能取值为，0，1．
，，，
的分布列为：
（2）证明：，，
由（1）得，，，．
因此，2，，，
故，即，
又，，1，2，，为公比为4，首项为的等比数列；
解：由可得，
，
，，
．
表示最终认为甲药更有效的概率．
由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．
17．从原点出发的某质点，按向量移动的概率为，按向量移动的概率为，设可到达点，，2，3，的概率为．
（1）求和的值；
（2）求证：；
（3）求的表达式．
【解析】解：（1），
（2）证明：点到达点有两种情况
①从点按向量移动
②从点按向量移动
问题得证．
（3）数列是以为首项，为公比的等比数列
又因为
．
类型三：利用导数研究概率问题
18．某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点（即取最大值时对应的的值）．
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值，已知每件产品的检验费用为3元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付28元的赔偿费用
若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用之和记为求；
以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
【解析】解：（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，
则，
，
令，得，
当时，，
当时，，
的最大值点．
（2）由（1）知，
令表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知，
，即，
．
如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为600元，
，
应该对余下的产品不进行检验．
19．某有机水果种植基地试验种植的某水果在售卖前要成箱包装，每箱80个，每一箱水果在交付顾客之前要按约定标准对水果作检测，如检测出不合格品，则更换为合格品．检测时，先从这一箱水果中任取10个作检测，再根据检测结果决定是否对余下的所有水果作检测．设每个水果为不合格品的概率都为，且各个水果是否为不合格品相互独立．
（Ⅰ）记10个水果中恰有2个不合格品的概率为，求取最大值时的值；
（Ⅱ）现对一箱水果检验了10个，结果恰有2个不合格，以（Ⅰ）中确定的作为的值．已知每个水果的检测费用为1.5元，若有不合格水果进入顾客手中，则种植基地要对每个不合格水果支付元的赔偿费用．
（ⅰ）若不对该箱余下的水果作检验，这一箱水果的检验费用与赔偿费用的和记为，求；
（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为多少元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检验？
【解析】解：（Ⅰ）记10个水果中恰有2个不合格的概率为，则，
，
由，得．
且当时，当时，，
的最大值点．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．
（ⅰ）令表示余下的70个水果中的不合格数，依题意，．
．
（ⅱ）如果对余下的水果作检验，则这箱水果的检验费为120元，
由，得，且，
当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为8元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检验．
高考预测三：决策问题
20．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购买机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个300元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到下面柱状图．以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
（1）求的分布列；
（2）若要求，试确定的最小值；
（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？
【解析】解：（1）每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11，记事件为第一台机器3年内换掉个零件，2，3，，记事件为第二台机器3年内换掉个零件，2，3，，由题知，，
则的可能的取值为16，17，18，19，20，21，22，
；
；
；
；
；
；
．
从而的分布列为
（2）要，，，
则的最小值为19；
（3）购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，
当时，费用的期望为元，
当时，费用的期望为元，
若要费用最少，所以应选用．
高考预测四：正态分布
21．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．
（1）假设生产状态正常，记表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，，2，，16．
用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到．
附：若随机变量服从正态分布，则，，．
【解析】解：（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在之外的概率为0.0026，
故．
因此，；
（2）由，得的估计值为，的估计值为，
由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，
因此需对当天的生产过程进行检查，
剔除之外的数据9.22，
剩下数据的平均数为，
因此的估计值为10.02，，
剔除之外的数据9.22，
剩下数据的样本方差为．
因此的估计值为．
22．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图频率分布直方图：
（1）求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差
①利用该正态分布，求
②某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数．利用 ①的结果，求
附：，若，则，．
【解析】解：（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数为：
，
样本方差分别为：
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
从而；
由知一件产品的质量指标值位于区间的概率为0.6826，
依题意知，
所以
手机店
型号手机销量
6
6
13
8
11
型号手机销量
12
9
13
6
4
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
降水量
工期延误天数
0
2
6
10
最高气温
，
，
，
，
，
，
天数
2
16
36
25
7
4
超过2万元
不超过2万元
总计
平原地区
山区
5
总计
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
手机店
型号手机销量
6
6
13
8
11
型号手机销量
12
9
13
6
4
0
1
2

0
1
2





200
300
400



电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
1
0
0.4
0.6
1
0
0.2
0.8
1
0
0.15
0.85
1
0
0.25
0.75
1
0
0.2
0.8
1
0
0.1
0.9
2
3
4
降水量
工期延误天数
0
2
6
10
0
2
6
10
0.3
0.4
0.2
0.1
最高气温
，
，
，
，
，
，
天数
2
16
36
25
7
4
200
300
500
0.2
0.4
0.4
超过2万元
不超过2万元
总计
平原地区
山区
5
总计
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
超过2万元
不超过2万元
总计
平原地区
25
80
105
山区
5
40
45
总计
30
120
150
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3

0
1
2
3





0
1
2
3
4




0
1
16
17
18
19
20
21
22
0.04
0.16
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04