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安徽合肥市2026届高三下学期5月教学质量检测数学试卷（Word版附解析）

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这是一份安徽合肥市2026届高三下学期5月教学质量检测数学试卷（Word版附解析），共13页。
（考试时间：120 分钟满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
务必擦净后再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合，集合，则（）
A. B. C. D.
2. 已知单位向量满足，则与的夹角为（）
A. B. C. D.
3. 已知等差数列的前项和为，，则（）
A. 10 B. 15 C. 20 D. 25
4. 已知抛物线：（）的焦点到其准线的距离为 3，是上一点，是坐标原
点，则（）
A. B. 6 C. D. 3
5. 函数的最小正周期是（）
A. B. C. D.
6. 已知函数 y=f(x)的图象是连续不间断的，有如下对应表：
x 1 2 3 4 5 6
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y 122.5 21.4 -7.4 4.5 -53.1 -125.5
那函数 f(x)在区间[1，6]上的零点个数是（）
A. 只有 2 个 B. 至多 3 个 C. 只有 3 个 D. 至少 3 个
7. 一个底面半径为的圆柱形水槽中装有适量的水，现放入一个木球后，水面上升且无溢出，若
木球体积的三分之二在水中，三分之一在水上，那么木球的半径为（） .
A. B. C. D.
8. 已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，
则（）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知复数 z 满足，则（）
A. 为纯虚数 B. 对应的点在第四象限
C. D. 和是方程的两个根
10. 从甲口袋内摸出 1 个白球的概率是，从乙口袋内摸出 1 个白球的概率是，如果从两个口袋内各摸出
一个球，那么下列说法正确的是（）
A. 2 个球都是白球的概率为 B. 2 个球都不是白球的概率为
C. 2 个球不都是白球的概率为 D. 2 个球恰好有一个球是白球的概率为
11. 已知棱长为的正四面体，为的中心，为平面内的动点，为棱上一
动点，则下列说法正确的是（）
A. 若平面，且，则的最小值为
B. 若，且，则的最小值为
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C. 若，则的最小值为
D. 的最小值为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 多项式的展开式的各二项式系数的和等于__________.
13. 已知为坐标原点，过点的直线与抛物线交于两点，若，则
__________．
14. 已知实数，满足，，则 ________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 记的内角，，的对边分别为，，，且 .
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长.
16. 已知函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）求；
（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围．
17. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点为双曲线上一动点.
（1）若斜率为 1 的直线过点，且与双曲线交于两点，求的面积；
（2）设直线过原点，且与双曲线交于两点.若直线的斜率分别为，求证：为
定值.
18. 在直三棱柱中，底面为正三角形，，点为线段的中点，动
点满足 .
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（1）当时，证明：；
（2）当时，四点在同一球面上，该球的球心为点，表面积为，求球表面积；
（3）动点在所在平面内，和均为锐角，且，设平面和
平面的夹角为，求的最大值.
19. 在平面直角坐标系中，动点 M 从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位长度，且向四
个方向移动的概率均为 .例如在 1 秒末，点 M 会等可能地出现在，，，四点处
.
（1）已知点 M 在第 2 秒末没有回到原点，求此时点 M 位于坐标轴上的概率；
（2）记第 n 秒末点 M 回到原点的概率为 .
（i）求，并利用公式求；
（ii）令，记为数列的前 n 项和，若对任意实数，存在，使得，则称点
M 是常返的.利用公式：，证明：点 M 是常返的.