安徽省合肥市2026届高三下学期5月教学质量检测（三模）数学试卷（Word版附解析）

这是一份安徽省合肥市2026届高三下学期5月教学质量检测（三模）数学试卷（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0等内容，欢迎下载使用。
考生注意:
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.
C.D.
2．若，则z的虚部是( )
A.-3B.3C.D.3i
3．设向量，，若，则( )
A.-2B.-1C.D.
4．设公差为3的等差数列的前n项和为，若，则( )
A.2B.3C.4D.6
5．当时，函数的图象大致是( )
A. B.C. D.
6．如图，半球O的半径为，从中挖去一内接圆柱.圆柱一个底面在半球圆面上，且轴截面为正方形，则剩余的几何体的表面积为( )
A.B.C.D.
7．盒中有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球.记事件A为“取出2个小球的数字之和大于6”，事件B为“第二次取出小球的数字为5”，则( )
A.B.C.D.
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线与C的右支交于A，B两点.若，则的值为( )
A.B.3C.D.2
二、多项选择题
9．已知两组样本数据，，…，和，，…，，y，其中y是，，…，的平均数，，，…，不全相同，则这两组样本数据的( )
A.平均数一定相等B.中位数一定相等
C.标准差一定不相等D.第80百分位数可能相等
10．已知函数为奇函数，则( )
A.的最小正周期为
B.将的图象向右平移个单位可得到函数的图象
C.在区间上单调递增
D.直线是曲线的一条对称轴
11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点且斜率不为零的直线l交椭圆于A，B两点，当直线l垂直于x轴时，为等边三角形，则下列说法正确的是( )
A.C的离心率为
B.存在四个点A使得为直角三角形
C.记，，则的最大值为
D.记的外接圆和内切圆半径分别为R，r，则的最小值为
三、填空题
12．，则_____________.
13．已知点P为圆上任意一点，过点P分别向直线和作垂线，垂足分别为M，N.则的最大值为_____________.
14．已知，分别是函数的极小值点和极大值点.若，则的取值范围是____.
四、解答题
15．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)若是锐角三角形，求的取值范围.
16．如图，在四棱锥中，底面是菱形，底面，M是的中点，点N满足，，.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的正切值.
17．已知抛物线，过点的直线交E于A，B两点.
(1)设，，证明：为定值；
(2)过点的另一条直线交E于C，D两点，且，求的最小值.
18．有编号为1，2，3，…，n的n个相同小球，，从中有放回地随机取m次，每次取1个球，记为这n个球中未被取到的球的个数.
(1)已知.
(i)若，求的分布列；
(ii)若，求的概率；
(2)若X，Y都是离散型随机变量，则.证明：.
19．已知函数，其中，，函数的最小值为2，为的导函数.
(1)求b的值；
(2)若在上单调递增，求的取值范围；
(3)若在的极小值点为，证明：.
参考答案
1．答案：D
解析：.
故选D.
2．答案：A
解析：由题意得，z的虚部是-3.
故选A.
3．答案：D
解析：因为，，由得，解得.
故选D.
4．答案：A
解析：因为，所以.
故选A.
5．答案：B
解析：函数的定义域为且，排除A，C，
当时，.
故选B.
6．答案：D
解析：如图，作半球O的轴截面，记半球半径为R，圆柱半径为r.
由题意，圆柱的高为，则有，故.
所以剩余几何体的表面积为.
故选D.
7．答案：C
解析：由已知条件，，，所以.
故选C.
8．答案：B
解析：
不妨设，则.
设，，则，.
在中，由勾股定理可得，，所以；
同理，在中，由勾股定理可得，，所以.
所以.
故选B.
9．答案：ACD
解析：不妨设，则.
对于A：第二组数据的平均数为，故A正确；
对于B：第一组数据的中位数为，第二组数据为中间两数的平均值，不一定等于，故B错误；
对于C：记第一组数据的标准差为s，则第二组数据的标准差为，故C正确；
对于D：第一组数据第80百分位数为，第二组数据第80百分位数为第5个数据，两者可能相等，故D正确.
故选ACD.
10．答案：ABD
解析：由题意，，因，则，故.
对于A，的最小正周期为，故A正确；
对于B，将的图象向右平移个单位可以得到函数，故B正确；
对于C，当时，，而函数在上单调递减，故C错误；
对于D，，是其对称轴，故D正确.
故选ABD.
11．答案：ABD
解析：
记，，.
对于A：直线l垂直于x轴时，不妨设，则，，因此离心率，故A正确；
对于B：当A位于短轴顶点时，，所以椭圆上存在四个点使得为直角三角形，故B正确；
对于C：，则，
又，
当且仅当取等号，所以，故C错误；
对于D：由知，由知，因此，又
，则，
当且仅当取等号，故D正确.
故选ABD.
12．答案：45
解析：，
令，则，即.
13．答案：18
解析：圆C的圆心，半径，由题意，互相垂直且均经过定点，
因此，，经检验等号成立.
14．答案：
解析：法一：因为，若函数有极大值点和极小值点，则与至少有两个交点.如下图，易知.
记恰与相切时，切点为，
则有解得.
由题意可知，又，所以.
法二：，函数有极大值点和极小值点，则有两正实根.
即有两实根，令，则，
故在上增，在上减，
又，，；，，所以.
经检验时，符合题意.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为，所以，
即，化简为，即，
因为，所以.
(2)因为，所以，
又.
所以.
又是锐角三角形，则
解得，
所以，，所以的取值范围为.
16．答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：连接交于点O，连接.
因为M是的中点，，，所以.
又，所以，从而，在平面中，有.
所以，又平面，平面.
所以平面.
(2)因为底面，以D为坐标原点，以，的方向为y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，.
所以，，，.
设为平面的法向量，
则即
可取.
设为平面的法向量，
则即，
可取.
设平面与平面的夹角为θ，则，所以.
所以平面与平面夹角的正切值为.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)设直线方程：.
联立，消去x，化简可得．
所以，，则.
所以为定值-3.
(2)令直线，直线，
由(1)知，同理，，
所以，因为，所以且.
又，
所以.
所以.
当时，，所以，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为.
18．答案：(1)(i)见解析；(ii)
(2)见解析
解析：(1)从5个相同小球中有放回地随机取2次，共有种情况，的取值为3，4.
表示2次取球中未被取到的球的个数为3个，即2次取球中取到2个不同编号的球，
表示2次取球中未被取到的球的个数为4个，即2次取球中取到的是同1个编号的球，
所以，，
所以的分布列为
(ii)表示m次取球中未被取到的球的个数为3个，即m次取球中取到2个不同编号的球，从5个相同小球中有放回地随机取m次，共有种情况，时有种情况，
所以的概率为.
(2)证明：从n个相同小球中有放回地随机取球m次中，定义随机变量，其中表示第k个小球未被取到，表示第k个小球至少被取到1次，则服从两点分布，所以，
由题意知，，
又，所以.
，
因为，所以.
故.
19．答案：(1)
(2)
(3)证明见解析
解析：(1)，因为，所以，
当且仅当时等号成立，又的最小值为2，
所以，解得.
(2)由(1)知，则，令，
则.
因为，所以在内单调递增，.
(i)时，，所以在内单调递增，
则，所以单调递增，即满足题意.
(ii)时，，记的根为，则，即.
所以在递减，在递增.
最小值为，令，即，解得.
综上，.
(3)由(2)知时，，又，时，指数函数呈爆炸性增长，从而，所以，使.
所以在递增，在递减，在递增.
因为，令，则.
令，则，所以在递减.
则，
又，则，所以.
所以，
所以.3
4
P