山东省济南市2026届高三三模考试数学试卷含解析（word版）

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这是一份山东省济南市2026届高三三模考试数学试卷含解析（word版），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 复数的虚部为
A. 1 B. i C. -1 D. -i
【答案】A
【解析】 ,虚部为 1.
2. 已知随机变量服从正态分布，且，则
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7
【答案】B
【解析】.
3.已知集合，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】或 .
4.已知 ,则
A. -2B. C. D. 2
【答案】D
【解析】 , .
5.已知直线与双曲线相交于两点,且两点的横坐标之积为 -16,则
A. B. C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】关于原点对称, ,即 .
6.已知 ,则
A. -8 B. -1 C. 0 D. 8
【答案】A
【解析】展开式第项 ,即 .
7.已知实数 ,函数的值域为 ,则的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在单调递增, 在单调递增, ,如图作出与的图象, 由图像知值域为 ,则 .
8.在中, 为与的交点,且 . 若 , 则面积的最大值为
A. 6 B. 12 C. 18 D. 24
【答案】B
【解析】方法一: ,则为中点,
,
为中点,则
即为中点,
.
方法二: 设 A0,0,B6,0,Cx,y.D3,0,E2x3,2y3 O=x+s3−x,y−sy 2t3=1−s,6−6t=3−2t,t=34,s=12,O=x2+32,y2 OB2=14x−92+y2, OD2=14x−32+y2, OB=2OD x−92+y2=4x−32+y2,x−12+y2=16,S△ABC=12⋅6⋅y=3y≤12 S△ABCmax=12.
方法三:
为中点
在中, ,设
.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为 ,则
A.
B. 为奇函数
C. 在上单调递减
D. 的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到
【答案】ABD
【解析】两条相邻对称轴之间的距离为 ,即对.
奇函数, 对.
,则 ,即是的一条对称轴
在单调递减, 单调递增, 错.
向左平移个单位变为，D 对.
10.若是两条互相垂直的异面直线, 是四个不同的点,满足 , ,且 ,则
A. 直线与是异面直线
B.
C. 若 ,则
D. 若为的中点，则
【答案】AD
【解析】如图, 一定是异面直线, 对.
令错.
,则错.
, D对.
11.若数列由个 1 和个 -1 构成,且对任意 , 都有 ,则称该数列为 “ 数列”. 记 “ 数列” 的个数为 . 已知数列为 “ 数列”,则
A.
B. 若 ,则的最大值为
C. 若 ,则的最小值为
D. 若 ,则
【答案】BCD
【解析】方法一: 对于 " 数列” 可以为:
共五种, , 错.
对于时,取 ,此时
, B 正确对于时,取 ,
正确.
对于 ,对于数列而言,若 ,则之前构成数列有种;
若 ,则之前构成数列有种
, D 正确,选: BCD.
方法二: 对 ,故错误.
对 : 设为第个 1 的位置, 为第个 -1 的位置.
当时取等号,故正确.
对若 ,交换这两项后,所有前缀和仍非负,且
所以最小值在前项均为 1 、后项均为 -1 时取得.
,故 C 正确.
对 : 按最后一项分类. 时,去掉最后一项,得到一个数列; 反过来接上 -1 仍满足条件.
时,去掉最后一项,得到一个数列; 反过来接上 1 仍满足条件.
因 ,所以 ,故 D 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知向量，则的值为________.
【答案】5
【解析】 .
13.已知是定义在上且周期为 2 的偶函数,当时, ,则的值为_______.
【答案】
【解析】 .
14.已知分别为椭圆的左、右焦点, 上两点满足，且，则的离心率为________.
【答案】
【解析】方法一: 令 ,则 ,延长与椭圆交于 ,则
,
,
中, .
方法二: 设 ,
其中 .
由
20eu + 25
对椭圆上一点 ,设
设 ,令
又
由
方法三: 由 ,得到与同向共线,设其倾斜角为 ,椭圆离心
率为 . 由椭圆焦半径的极坐标公式得 .
由于 ,代入得到: .
设 .
由焦点三角形面积公式 ,且 ,
得到: .
同理在中, .
将代入得: .
由已知条件 .
代入得到: .
化简得 .
因为 ,得到 .
又因为 ,所以 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.国内某摩托车企 2025 年 3 月 - 9 月新车月销售量 (单位:百台)的数据如下表:
计算得 .
(1)求关于的线性回归方程；
(2)现从这 7 个月的月销售量数据中随机抽取 3 个，记抽取的数据中不低于 20(单位: 百台) 的数据个数为随机变量 ,求的分布列与数学期望.
参考公式: 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
【解析】(1)
关于的线性回归方程
(2)7 个月的月销售量数据中有 4 个不低于 20，
的分布列
16.如图,在三棱台中，平面，且 . .
(1)证明:平面平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
【解析】(1)设
平面 ,又 ,
平面平面
平面平面
又平面平面平面 .
(2)如图，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系
设平面的法向量
,不妨设 ,则
，设与平面所成角为
17.已知数列的前项和为是公差为的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)令，求数列的前项和 .
【解析】
(1) ，又是公差为的等差数列，
时, 时,
(2)
令 ①
②
①-②
.
18.已知函数 .
(1)设函数，求的最小值；
(2)对任意，都有，求的取值范围；
(3)对任意，直线与曲线有且仅有一个公共点，求的取值范围.
【解析】方法一: (1) ,
当且仅当时取 “ ”.
(2) 对恒成立,
当时, (必要性),下证充分性
当时, 时,
令恒成立
对恒成立,符合,综上: .
(2)令
且时, 时, 对 ,直线与曲线有且仅有一个公共点
对与在上有且仅有一个交点
在上单调递增,
在上恒成立, ,令
在上单调递减
注意到在上单调递增; 单调递减
.
方法二: (1)
令 ,则 ,且
时, 时,
在处取得最小值, .
(2)
令
当时，
在上单调递增, .
(3)直线与曲线有公共点令令
由 (1) 同理得: 在时成立, 在时成立
,若 ,则 ,所以
且时, 时, 仅在处为 0
在上单调递增
时, 时,
对任意 ,方程有且仅有一个正根.
若 ,则
又时, 时,
存在 ,使得 ,且
在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增
取 ,则有三个正根,不合题意,
综上, 的取值范围为 .
方法三: (1) . 与均在上单调递增,
在上单调递增.
又当时, 单调递减; 当时, 单调递增. .
(2)对任意 . 令 , . 且 .
在上单调递增. 即的取值范围为 .
(3)条件等价于方程在上有且仅有一解.
令 ,则对任意恰有一解.
要使恒有唯一解,必须满足在上单调递增.
在上恒成立, .
令 .
由( 1 )知，当时，，单调递增；
当时, 单调递减.
.
若 ,则 (仅在且时等号成立),
单调递增且值域为 ,符合题意.
若 ,则 .
又 .
,使得 .
此时当时, 单调递减;
当时, 单调递增.
在处取得极大值,在处取得极小值.
此时必定存在 ,使得有三个实根,不符合题意.
的取值范围为 .
19.已知，，，是平面直角坐标系内的点，且和在抛物线上. 记的坐标为 ,对于任意 ,都有 ,且直线与相切.
(1)当时，证明: ；
(2)已知函数 .
(i) 若 ,证明: ;
(ii) 证明: . 参考公式: .
【解析】方法一: （1）因为，所以．
由题意知在抛物线上，故，
因为为的切线，故的斜率为，
所以的方程为，结合，
得；同理有；
联立（1）（2）得．
命题得证．
（2）因为，由①可知，结合①可得．
所以，
从而．
令，则，
则，故在上单词端酱。
注意到，从而，故，
即．
（3）记与切于点，设，
由题意知．
先证明当时命题成立．
此时即为即为，
所以以物线在点处的切线方程为，
在点处的切线方程为．
由（1）可知点的横坐标为，
卡（其中），
同理有，
从而有，
记其中，
设
注意到，
从而在上单调递增，故，
从而，命题成立．
对于任意的，
注意到，
由时情况可知
所以，
注意到即为即为，
从而．
命题得证．
方法二: 设直线与相切于 ,则该切线方程为
(1)当时，在上，且均为切线，
( 2 )( i )由( 1 )知
且的斜率为的斜率为
令 ,则
又
直接积分吧:
(2)直接上积分吧:(ii)设折线对应的函数为 . 在区间上，
,令 ,则在上,
且
方法三: (1) 证明: 设 , 抛物线 ,导函数
处的切线方程:
处的切线方程:
联立两切线方程
,即
(2)(i)证明: ,
令由参考公式得
时, 单调递增
(ii) 证明: 设直线与抛物线相切于点由题意知
同(1)可得的横坐标 ,纵坐标、
令
由定积分几何意义关系可得:
又
.月份
3月
4 月
5 月
6月
7 月
8 月
9 月
月份代号
1
2
3
4
5
6
7
月销售量
11
16
18
21
24
28
29
0
1
2
3