2026届广东省广州市执信中学高三考前热身数学试卷含解析

这是一份2026届广东省广州市执信中学高三考前热身数学试卷含解析，共14页。试卷主要包含了已知是虚数单位，若，，则实数等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数，则下列结论错误的是( )
A．函数的最小正周期为π
B．函数的图象关于点对称
C．函数在上单调递增
D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
2．一物体作变速直线运动，其曲线如图所示，则该物体在间的运动路程为（ ）m．
A．1B．C．D．2
3．设不等式组表示的平面区域为，若从圆：的内部随机选取一点，则取自的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．已知集合，集合，那么等于（ ）
A．B．C．D．
5．已知直线与圆有公共点，则的最大值为（ ）
A．4B．C．D．
6．已知是虚数单位，若，，则实数（ ）
A．或B．-1或1C．1D．
7．盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球，从中任取个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后放回，此时盒中黑球的个数，则( )
A．，B．，
C．，D．，
8．已知定义在上的函数满足，且在上是增函数，不等式对于恒成立，则的取值范围是
A．B．C．D．
9．在各项均为正数的等比数列中，若，则（ ）
A．B．6C．4D．5
10．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
A．B．C．D．
11．已知三棱锥中，为的中点，平面，，，则有下列四个结论：①若为的外心，则；②若为等边三角形，则；③当时，与平面所成的角的范围为；④当时，为平面内一动点，若OM∥平面，则在内轨迹的长度为1．其中正确的个数是（ ）．
A．1B．1C．3D．4
12．五名志愿者到三个不同的单位去进行帮扶，每个单位至少一人，则甲、乙两人不在同一个单位的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．甲，乙两队参加关于“一带一路”知识竞赛，甲队有编号为1，2，3的三名运动员，乙队有编号为1，2，3，4的四名运动员，若两队各出一名队员进行比赛，则出场的两名运动员编号相同的概率为______.
14．某校共有师生1600人，其中教师有1000人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为_____．
15．《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数物价各几何？”借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还差4元才够付款.问他们的人数和物品价格？答：一共有_____人；所合买的物品价格为_______元．
16．若，则____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设函数 .
(I)求的最小正周期；
(II)若且，求的值.
18．（12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，.
（1）求证：平面；
（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
19．（12分）某工厂生产一种产品的标准长度为，只要误差的绝对值不超过就认为合格，工厂质检部抽检了某批次产品1000件，检测其长度，绘制条形统计图如图：
（1）估计该批次产品长度误差绝对值的数学期望；
（2）如果视该批次产品样本的频率为总体的概率，要求从工厂生产的产品中随机抽取2件，假设其中至少有1件是标准长度产品的概率不小于0.8时，该设备符合生产要求.现有设备是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求时，生产一件产品为标准长度的概率的最小值.
20．（12分）已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）若函数在区间上是单调函数，试求的取值范围；
（2）若函数在区间上恰有3个零点，且，求的取值范围.
21．（12分）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若对任意的，当时，都有恒成立，求最大的整数.
（参考数据：）
22．（10分）已知函数.
（1）当时，求函数的值域.
（2）设函数，若，且的最小值为，求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
由可判断选项A；当时，可判断选项B；利用整体换元法可判断选项C；可判断选项D.
【详解】
由题知，最小正周期，所以A正确；当时，
，所以B正确；当时，，所以C正确；由
的图象向左平移个单位，得
，所以D错误.
故选：D.
【点睛】
本题考查余弦型函数的性质，涉及到周期性、对称性、单调性以及图象变换后的解析式等知识，是一道中档题.
2、C
【解析】
由图像用分段函数表示，该物体在间的运动路程可用定积分表示，计算即得解
【详解】
由题中图像可得，
由变速直线运动的路程公式，可得
．
所以物体在间的运动路程是．
故选：C
【点睛】
本题考查了定积分的实际应用，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.
3、B
【解析】
画出不等式组表示的可行域，求得阴影部分扇形对应的圆心角，根据几何概型概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】
作出中在圆内部的区域，如图所示，
因为直线，的倾斜角分别为，，
所以由图可得取自的概率为.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查几何概型的计算，考查线性可行域的画法，属于基础题.
4、A
【解析】
求出集合，然后进行并集的运算即可.
【详解】
∵，，
∴.
故选：A.
【点睛】
本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合并集的概念和运算，属于基础题.
5、C
【解析】
根据表示圆和直线与圆有公共点，得到，再利用二次函数的性质求解.
【详解】
因为表示圆，
所以，解得，
因为直线与圆有公共点，
所以圆心到直线的距离，
即 ，
解得，
此时，
因为，在递增，
所以的最大值.
故选：C
【点睛】
本题主要考查圆的方程，直线与圆的位置关系以及二次函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
6、B
【解析】
由题意得，，然后求解即可
【详解】
∵，∴.又∵，∴，∴.
【点睛】
本题考查复数的运算，属于基础题
7、C
【解析】
根据古典概型概率计算公式，计算出概率并求得数学期望，由此判断出正确选项.
【详解】
表示取出的为一个白球，所以.表示取出一个黑球，，所以.
表示取出两个球，其中一黑一白，，表示取出两个球为黑球，，表示取出两个球为白球，，所以.所以，.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望的计算，属于中档题.
8、A
【解析】
根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在上是减函数，由此可将不等式化为；利用分离变量法可得，求得的最大值和的最小值即可得到结果.
【详解】
为定义在上的偶函数，图象关于轴对称
又在上是增函数 在上是减函数
，即
对于恒成立 在上恒成立
，即的取值范围为：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题.
9、D
【解析】
由对数运算法则和等比数列的性质计算．
【详解】
由题意
．
故选：D．
【点睛】
本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则．掌握等比数列的性质是解题关键．
10、A
【解析】
详解：由题意知，题干中所给的是榫头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有一不可见的长方形，
且俯视图应为对称图形
故俯视图为
故选A.
点睛：本题主要考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题。
11、C
【解析】
由线面垂直的性质,结合勾股定理可判断①正确; 反证法由线面垂直的判断和性质可判断②错误;由线面角的定义和转化为三棱锥的体积,求得C到平面PAB的距离的范围,可判断③正确;由面面平行的性质定理可得线面平行,可得④正确.
【详解】
画出图形：
若为的外心，则，
平面,可得,即，①正确;
若为等边三角形，，又
可得平面，即,由可得
，矛盾，②错误;
若，设与平面所成角为
可得，
设到平面的距离为
由可得
即有，当且仅当取等号.
可得的最大值为，
即的范围为，③正确；
取中点，的中点，连接
由中位线定理可得平面平面
可得在线段上，而，可得④正确；
所以正确的是：①③④
故选：C
【点睛】
此题考查立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，处理这类问题，可以用已知的定理或性质来证明，也可以用反证法来说明命题的不成立.属于一般性题目.
12、D
【解析】
三个单位的人数可能为2，2，1或3，1，1，求出甲、乙两人在同一个单位的概率，利用互为对立事件的概率和为1即可解决.
【详解】
由题意，三个单位的人数可能为2，2，1或3，1，1；基本事件总数有
种，若为第一种情况，且甲、乙两人在同一个单位，共有种情况；若为第二
种情况，且甲、乙两人在同一个单位，共有种，故甲、乙两人在同一个单位的概率
为，故甲、乙两人不在同一个单位的概率为.
故选：D.
【点睛】
本题考查古典概型的概率公式的计算，涉及到排列与组合的应用，在正面情况较多时，可以先求其对立事件，即甲、乙两人在同一个单位的概率，本题有一定难度.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
出场运动员编号相同的事件显然有3种，计算出总的基本事件数，由古典概型概率计算公式求得答案.
【详解】
甲队有编号为1，2，3的三名运动员，乙队有编号为1，2，3，4的四名运动员，
出场的两名运动员编号相同的事件数为3，
出现的基本事件总数，
则出场的两名运动员编号相同的概率为.
故答案为：
【点睛】
本题考查求古典概率的概率问题，属于基础题.
14、1
【解析】
直接根据分层抽样的比例关系得到答案.
【详解】
分层抽样的抽取比例为，∴抽取学生的人数为6001．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了分层抽样的计算，属于简单题.
15、7 53
【解析】
根据物品价格不变，可设共有x人，列出方程求解即可
【详解】
设共有人，
由题意知 ，
解得，可知商品价格为53元.
即共有7人，商品价格为53元.
【点睛】
本题主要考查了数学文化及一元一次方程的应用，属于中档题.
16、
【解析】
由， 得出，根据两角和与差的正弦公式和余弦公式化简，再利用齐次式即可求出结果.
【详解】
因为， 所以，
所以.
故答案为：.
【点睛】
本题考查三角函数化简求值，利用二倍角正切公式、两角和与差的正弦公式和余弦公式，以及运用齐次式求值，属于对公式的考查以及对计算能力的考查.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (I)；(II)
【解析】
(I)化简得到，得到周期.
(II) ，故，根据范围判断，代入计算得到答案.
【详解】
(I)
，故.
(II) ，故，，
，故，，
故，故，
.
【点睛】
本题考查了三角函数的周期，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
18、（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）由底面为菱形，得，再由底面，可得，结合线面垂直的判定可得平面；
（2）以点为坐标原点，以所在直线及过点且垂直于平面的直线分别为轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：底面为菱形，，
底面，平面，
又，平面，
平面；
（2）解：，，为等边三角形，
.
底面，是直线与平面所成的角为，
在中，由，解得.
如图，以点为坐标原点，以所在直线及过点且垂直于平面的直线分别为轴
建立空间直角坐标系.
则，，，，.
，，，.
设平面与平面的一个法向量分别为，.
由，取，得；
由，取，得.
.
平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【点睛】
本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，属于中档题．
19、（1）（2）
【解析】
（1）根据题意即可写出该批次产品长度误差的绝对值的频率分布列，再根据期望公式即可求出；
（2）由（1）可知，任取一件产品是标准长度的概率为0.4，即可求出随机抽取2件产品，都不是标准长度产品的概率，由对立事件的概率公式即可得到随机抽取2件产品，至少有1件是标准长度产品的概率，判断其是否符合生产要求；当不符合要求时，设生产一件产品为标准长度的概率为，可根据上述方法求出，解，即可得出最小值.
【详解】
（1）由柱状图，该批次产品长度误差的绝对值的频率分布列为下表：
所以的数学期望的估计为
.
（2）由（1）可知任取一件产品是标准长度的概率为0.4，设至少有1件是标准长度产品为事件，则，故不符合概率不小于0.8的要求.
设生产一件产品为标准长度的概率为，
由题意，又，解得，
所以符合要求时，生产一件产品为标准长度的概率的最小值为.
【点睛】
本题主要考查离散型随机变量的期望的求法，相互独立事件同时发生的概率公式的应用，对立事件的概率公式的应用，解题关键是对题意的理解，意在考查学生的数学建模能力和数学运算能力，属于基础题．
20、（1）；（2）.
【解析】
（1）求出，再求恒成立，以及恒成立时，的取值范围；
（2）由已知，在区间内恰有一个零点，转化为在区间内恰有两个零点，由（1）的结论对分类讨论，根据单调性，结合零点存在性定理，即可求出结论.
【详解】
（1）由题意得，则，
当函数在区间上单调递增时，
在区间上恒成立.
∴（其中），解得.
当函数在区间上单调递减时，
在区间上恒成立，
∴（其中），解得.
综上所述，实数的取值范围是.
（2）.
由，知在区间内恰有一个零点，
设该零点为，则在区间内不单调.
∴在区间内存在零点，
同理在区间内存在零点.
∴在区间内恰有两个零点.
由（1）易知，当时，在区间上单调递增，
故在区间内至多有一个零点，不合题意.
当时，在区间上单调递减，
故在区间内至多有一个零点，不合题意，
∴.令，得，
∴函数在区间上单凋递减，
在区间上单调递增.
记的两个零点为，
∴，必有.
由，得.
∴
又∵，
∴.
综上所述，实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查导数的综合应用，涉及到函数的单调性、零点问题，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.
21、（1）（2）2
【解析】
（1）先求得切点坐标，利用导数求得切线的斜率，由此求得切线方程.
（2）对分成，两种情况进行分类讨论.当时 ，将不等式转化为，构造函数，利用导数求得的最小值（设为）的取值范围，由的得在上恒成立，结合一元二次不等式恒成立，判别式小于零列不等式，解不等式求得的取值范围.
【详解】
（1）已知函数，则处即为，
又，，
可知函数过点的切线为，即.
（2）注意到，
不等式中，
当时，显然成立；
当时，不等式可化为
令，则，
，
所以存在，
使.
由于在上递增，在上递减，所以是的唯一零点.
且在区间上，递减，在区间上，递增，
即的最小值为，令，
则，将的最小值设为，则，
因此原式需满足，即在上恒成立，
又，可知判别式即可，即，且
可以取到的最大整数为2.
【点睛】
本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.
22、（1）；（2）.
【解析】
（1）令，求出的范围，再由指数函数的单调性，即可求出结论；
（2）对分类讨论，分别求出以及的最小值或范围，与的最小值建立方程关系，求出的值，进而求出的取值关系.
【详解】
（1）当时，，
令，
∵∴，
而是增函数，∴，
∴函数的值域是.
（2）当时，则在上单调递减，
在上单调递增，所以的最小值为，
在上单调递增，最小值为，
而的最小值为，所以这种情况不可能.
当时，则在上单调递减且没有最小值，
在上单调递增最小值为，
所以的最小值为，解得（满足题意），
所以，解得.
所以实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查复合函数的值域与分段函数的最值，熟练掌握二次函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.
0
0.01
0.02
0.03
0.04
频率
0.4
0.3
0.2
0.075
0.025