2026届广东省广州市广东实验中学高三考前热身数学试卷含解析

这是一份2026届广东省广州市广东实验中学高三考前热身数学试卷含解析，共6页。试卷主要包含了的展开式中的系数为，已知集合，则=，已知集合，则，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数，其中，记函数满足条件：为事件，则事件发生的概率为
A．B．
C．D．
2．在平面直角坐标系中，已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则（ ）
A．B．C．D．
3．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）
A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形
4．的展开式中的系数为( )
A．－30B．－40C．40D．50
5．已知集合，则=（ ）
A．B．C．D．
6．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
7．已知集合，则=
A．B．C．D．
8．已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m3的住户的户数为( )
A．10B．50C．60D．140
10．已知函数，则（ ）
A．B．1C．-1D．0
11．已知集合，，，则( )
A．B．C．D．
12．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知关于x的不等式（ax﹣a2﹣4）（x﹣4）＞0的解集为A，且A中共含有n个整数，则当n最小时实数a的值为_____．
14．已知向量，，且，则________．
15．已知，(，)，则＝_______．
16．已知集合，.若，则实数a的值是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆的右焦点为，直线被称作为椭圆的一条准线，点在椭圆上(异于椭圆左、右顶点)，过点作直线与椭圆相切，且与直线相交于点.
（1）求证：.
（2）若点在轴的上方，当的面积最小时，求直线的斜率.
附：多项式因式分解公式：
18．（12分）已知矩阵，求矩阵的特征值及其相应的特征向量．
19．（12分）设函数，直线与函数图象相邻两交点的距离为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）在中，角所对的边分别是，若点是函数图象的一个对称中心，且，求面积的最大值.
20．（12分）设数列是等差数列，其前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：.
21．（12分）已知，，不等式恒成立.
（1）求证:
（2）求证:.
22．（10分）如图，在斜三棱柱中，平面平面，，，，均为正三角形，E为AB的中点．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求斜三棱柱截去三棱锥后剩余部分的体积．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
由得，分别以为横纵坐标建立如图所示平面直角坐标系，由图可知，.
2、C
【解析】
利用诱导公式以及二倍角公式，将化简为关于的形式，结合终边所在的直线可知的值，从而可求的值.
【详解】
因为，且，
所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查三角函数中的诱导公式以及三角恒等变换中的二倍角公式，属于给角求值类型的问题，难度一般.求解值的两种方法：（1）分别求解出的值，再求出结果；（2）将变形为，利用的值求出结果.
3、C
【解析】
试题分析：画出截面图形如图
显然A正三角形，B正方形：D正六边形，可以画出五边形但不是正五边形；故选C．
考点：平面的基本性质及推论．
4、C
【解析】
先写出的通项公式，再根据的产生过程，即可求得.
【详解】
对二项式，
其通项公式为
的展开式中的系数
是展开式中的系数与的系数之和.
令，可得的系数为；
令，可得的系数为；
故的展开式中的系数为.
故选：C.
【点睛】
本题考查二项展开式中某一项系数的求解，关键是对通项公式的熟练使用，属基础题.
5、D
【解析】
先求出集合A，B，再求集合B的补集，然后求
【详解】
，所以 .
故选：D
【点睛】
此题考查的是集合的并集、补集运算，属于基础题.
6、C
【解析】
由题意和交集的运算直接求出.
【详解】
∵ 集合，
∴.
故选:C.
【点睛】
本题考查了集合的交集运算.集合进行交并补运算时，常借助数轴求解.注意端点处是实心圆还是空心圆.
7、C
【解析】
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．
【详解】
由题意得，，则
．故选C．
【点睛】
不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
8、A
【解析】
解一元二次不等式化简集合的表示，求解函数的定义域化简集合的表示，根据可以得到集合、之间的关系，结合数轴进行求解即可.
【详解】
，.
因为，所以有，因此有.
故选：A
【点睛】
本题考查了已知集合运算的结果求参数取值范围问题，考查了解一元二次不等式，考查了函数的定义域，考查了数学运算能力.
9、C
【解析】
从频率分布直方图可知，用水量超过15m³的住户的频率为，即分层抽样的50户中有0.3×50=15户住户的用水量超过15立方米
所以小区内用水量超过15立方米的住户户数为，故选C
10、A
【解析】
由函数，求得，进而求得的值，得到答案.
【详解】
由题意函数，
则，所以，故选A.
【点睛】
本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
11、A
【解析】
求得集合中函数的值域，由此求得，进而求得.
【详解】
由，得，所以，所以.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查函数值域的求法，考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题.
12、A
【解析】
将整理为，根据的范围可求得；根据，结合的值域和的图象，可知，解不等式求得结果.
【详解】
当时，
又，，
由在上的值域为
解得：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查利用正弦型函数的值域求解参数范围的问题，关键是能够结合正弦型函数的图象求得角的范围的上下限，从而得到关于参数的不等式.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、-1
【解析】
讨论三种情况，a＜0时,根据均值不等式得到a（﹣a）≤﹣14，计算等号成立的条件得到答案.
【详解】
已知关于x的不等式（ax﹣a1﹣4）（x﹣4）＞0，
①a＜0时，[x﹣（a）]（x﹣4）＜0，其中a0，
故解集为（a，4），
由于a（﹣a）≤﹣14，
当且仅当﹣a，即a＝﹣1时取等号，
∴a的最大值为﹣4，当且仅当a4时，A中共含有最少个整数，此时实数a的值为﹣1；
②a＝0时，﹣4（x﹣4）＞0，解集为（﹣∞，4），整数解有无穷多，故a＝0不符合条件；
③a＞0时，[x﹣（a）]（x﹣4）＞0，其中a4，
∴故解集为（﹣∞，4）∪（a，+∞），整数解有无穷多，故a＞0不符合条件；
综上所述，a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】
本题考查了解不等式，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
14、
【解析】
根据垂直向量的坐标表示可得出关于实数的等式，即可求得实数的值.
【详解】
，且，则，解得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用向量垂直求参数，涉及垂直向量的坐标表示，考查计算能力，属于基础题.
15、
【解析】
先利用倍角公式及差角公式把已知条件化简可得，平方可得.
【详解】
∵，∴，
则，平方可得．
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换，倍角公式的合理选择是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
16、9
【解析】
根据集合交集的定义即得.
【详解】
集合，，，
，则a的值是9.
故答案为：9
【点睛】
本题考查集合的交集，是基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）由得令可得，进而得到，同理，利用数量积坐标计算即可；
（2），分，两种情况讨论即可.
【详解】
（1）证明：点的坐标为.
联立方程，消去后整理为
有，可得，，.
可得点的坐标为.
当时，可求得点的坐标为，
，.
有,
故有.
（2）若点在轴上方，因为，所以有，
由（1）知
①因为时.由（1）知，
由函数单调递增，可得此时.
②当时，由（1）知
令
由
，故当时，
，此时函数单调递增：当时，，此时函数单
调递减，又由，故函数的最小值，函数取最小值时
，可求得.
由①②知，若点在轴上方，当的面积最小时，直线的斜率为.
【点睛】
本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到分类讨论求函数的最值，考查学生的运算求解能力，是一道难题.
18、矩阵属于特征值的一个特征向量为，矩阵属于特征值的一个特征向量为
【解析】
先由矩阵特征值的定义列出特征多项式，令解方程可得特征值，再由特征值列出方程组，即可求得相应的特征向量.
【详解】
由题意，矩阵的特征多项式为，
令，解得，，
将代入二元一次方程组，解得，
所以矩阵属于特征值的一个特征向量为；
同理，矩阵属于特征值的一个特征向量为v
【点睛】
本题主要考查了矩阵的特征值与特征向量的计算，其中解答中熟记矩阵的特征值和特征向量的计算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
19、（Ⅰ）3；（Ⅱ）.
【解析】
(Ⅰ)函数，利用和差公式和倍角公式，化简即可求得；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知函数，根据点是函数图象的一个对称中心，代入可得，利用余弦定理、基本不等式的性质即可得出.
【详解】
(Ⅰ)

的最大值为最小正周期为

(Ⅱ)由题意及（Ⅰ）知，
,
故
故的面积的最大值为.
【点睛】
本题考查三角函数的和差公式、倍角公式、三角函数的图象与性质、余弦定理、基本不等式的性质，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于中档基础题.
20、（1）（2）见解析
【解析】
（1）设数列的公差为，由，得到，再结合题干所给数据得到公差，即可求得数列的通项公式；
（2）由（1）可得，再利用放缩法证明不等式即可；
【详解】
解：（1）设数列的公差为，∵，∴，
∴，∴.
（2）∵，
∴
，
∴.
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式的计算，放缩法证明数列不等式，属于中档题.
21、（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】
（1）先根据绝对值不等式求得的最大值，从而得到，再利用基本不等式进行证明；
（2）利用基本不等式变形得，两边开平方得到新的不等式，利用同理可得另外两个不等式，再进行不等式相加，即可得答案.
【详解】
（1）∵，∴.
∵，，，
∴，
∴，
∴.
（2）∵，，
即两边开平方得.
同理可得，.
三式相加，得.
【点睛】
本题考查绝对值不等式、应用基本不等式证明不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和推理论证能力.
22、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）要证明线面平行，需先证明线线平行，所以连接，交于点M，连接ME，证明；
（Ⅱ）由题意可知点到平面ABC的距离等于点到平面ABC的距离，根据体积公式剩余部分的体积是.
【详解】
（Ⅰ）如图，连接，交于点M，连接ME，则．
因为平面，平面，所以平面．
（Ⅱ）因为平面ABC，所以点到平面ABC的距离等于点到平面ABC的距离．
如图，设O是AC的中点，连接，OB．因为为正三角形，所以，
又平面平面，平面平面，所以平面ABC．
所以点到平面ABC的距离，故三棱锥的体积为
．
而斜三棱柱的体积为．
所以剩余部分的体积为．
【点睛】
本题考查证明线面平行，计算体积，意在考查推理证明，空间想象能力，计算能力，属于中档题型，一般证明线面平行的方法1.证明线线平行，则线面平行，2.证明面面平行，则线面平行，关键是证明线线平行，一般构造平行四边形，则对边平行，或是构造三角形中位线.