2026届广东省广州市越秀区高三考前热身数学试卷含解析

这是一份2026届广东省广州市越秀区高三考前热身数学试卷含解析，共19页。试卷主要包含了复数的模为，若的展开式中的系数为150，则等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，则的取值范围是（ ）
A．[0，1]B．C．[1，2]D．[0，2]
2．已知集合A＝{x∈N|x2＜8x}，B＝{2，3，6}，C＝{2，3，7}，则＝（ ）
A．{2，3，4，5}B．{2，3，4，5，6}
C．{1，2，3，4，5，6}D．{1，3，4，5，6，7}
3．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）
A．B．1C．D．
4．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点为抛物线上任意一点的平分线与轴交于，则的最大值为
A．B．C．D．
5．已知函数，其中，记函数满足条件：为事件，则事件发生的概率为
A．B．
C．D．
6．复数的模为（ ）．
A．B．1C．2D．
7．若的展开式中的系数为150，则（ ）
A．20B．15C．10D．25
8．很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以再加1；如果它是偶数，则将它除以；如此循环，最终都能够得到.下图为研究“角谷猜想”的一个程序框图.若输入的值为，则输出i的值为（ ）
A．B．C．D．
9．金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（ ）
A．20B．24C．25D．26
10．为得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A．向右平移个长度单位B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位
11．若双曲线：绕其对称中心旋转后可得某一函数的图象，则的离心率等于（ ）
A．B．C．2或D．2或
12．已知向量，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件D．充要条件
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．三对父子去参加亲子活动，坐在如图所示的6个位置上，有且仅有一对父子是相邻而坐的坐法有________种（比如：B与D、B与C是相邻的，A与D、C与D是不相邻的）.
14．已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则_________．
15．已知实数满足（为虚数单位），则的值为_______.
16．设为锐角，若，则的值为____________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知不等式对于任意的恒成立.
（1）求实数m的取值范围；
（2）若m的最大值为M，且正实数a，b，c满足.求证.
18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为．
（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（2）设点，直线l与曲线C交于不同的两点A、B，求的值．
19．（12分）设椭圆的离心率为，圆与轴正半轴交于点，圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设圆上任意一点处的切线交椭圆于点，试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
20．（12分）在直角坐标系中，是过定点且倾斜角为的直线；在极坐标系（以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线的极坐标方程为.
（1）写出直线的参数方程，并将曲线的方程化为直角坐标方程；
（2）若曲线与直线相交于不同的两点，求的取值范围.
21．（12分）小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工.节假日期间的某一天，每名员工休假的概率都是，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店维持营业，否则该店就停业.
（1）求发生调剂现象的概率；
（2）设营业店铺数为X，求X的分布列和数学期望.
22．（10分）已知函数，．
（Ⅰ）若，求的取值范围；
（Ⅱ）若，对，，都有不等式恒成立，求的取值范围．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
设，可得，构造（）22，结合，可得，根据向量减法的模长不等式可得解.
【详解】
设，则，
，
∴（）2•2
||22＝4，所以可得：，
配方可得，
所以，
又
则[0，2]．
故选：D．
【点睛】
本题考查了向量的运算综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
2、C
【解析】
根据集合的并集、补集的概念，可得结果.
【详解】
集合A＝{x∈N|x2＜8x}＝{x∈N|0＜x＜8}，
所以集合A＝{1，2，3，4，5，6，7}
B＝{2，3，6}，C＝{2，3，7}，
故＝{1，4，5，6}，
所以＝{1，2，3，4，5，6}.
故选：C.
【点睛】
本题考查的是集合并集，补集的概念，属基础题.
3、C
【解析】
该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，体积．故选.
4、A
【解析】
求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义，转化求出比值，，
求出等式左边式子的范围，将等式右边代入，从而求解．
【详解】
解：由题意可得，焦点F（1，0），准线方程为x＝−1，
过点P作PM垂直于准线，M为垂足，
由抛物线的定义可得|PF|＝|PM|＝x＋1，
记∠KPF的平分线与轴交于
根据角平分线定理可得，
，
当时，，
当时，，
，
综上：．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用，直线的斜率公式、利用数形结合进行转化是解决本题的关键．考查学生的计算能力，属于中档题．
5、D
【解析】
由得，分别以为横纵坐标建立如图所示平面直角坐标系，由图可知，.
6、D
【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．
【详解】
解：，
复数的模为．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题．
7、C
【解析】
通过二项式展开式的通项分析得到，即得解.
【详解】
由已知得，
故当时，，
于是有，
则.
故选：C
【点睛】
本题主要考查二项式展开式的通项和系数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
8、B
【解析】
根据程序框图列举出程序的每一步，即可得出输出结果.
【详解】
输入，不成立，是偶数成立，则，；
不成立，是偶数不成立，则，；
不成立，是偶数成立，则，；
不成立，是偶数成立，则，；
不成立，是偶数成立，则，；
不成立，是偶数成立，则，；
成立，跳出循环，输出i的值为.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题.
9、D
【解析】
利用组合的意义可得混合后所有不同的滋味种数为，再利用组合数的计算公式可得所求的种数.
【详解】
混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（种），
故选：D.
【点睛】
本题考查组合的应用，此类问题注意实际问题的合理转化，本题属于容易题.
10、D
【解析】
，所以要的函数的图象，只需将函数的图象向左平移个长度单位得到，故选D
11、C
【解析】
由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为，所以或，由离心率公式即可算出结果.
【详解】
由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为，又双曲线的焦点既可在轴，又可在轴上，所以或，或.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的概念，考查了分类讨论的数学思想.
12、A
【解析】
向量，，，则，即，或者-1，判断出即可．
【详解】
解：向量，，
，则，即，
或者-1，
所以是或者的充分不必要条件，
故选：A．
【点睛】
本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量平行的坐标表示，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、192
【解析】
根据题意，分步进行分析：①，在三对父子中任选1对，安排在相邻的位置上，②，将剩下的4人安排在剩下的4个位置，要求父子不能坐在相邻的位置，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】
根据题意，分步进行分析：
①，在三对父子中任选1对，有3种选法，由图可得相邻的位置有4种情况，将选出的1对父子安排在相邻的位置，有种安排方法；
②，将剩下的4人安排在剩下的4个位置，要求父子不能坐在相邻的位置，有种安排方法，
则有且仅有一对父子是相邻而坐的坐法种；
故答案为：
【点睛】
本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
14、
【解析】
由题意可得，又由于为的中点，且点在轴上，所以可得点的横坐标，代入抛物线方程中可求点的纵坐标，从而可求出点的坐标，再利用两点间的距离公式可求得结果.
【详解】
解：因为是抛物线的焦点，所以，
设点的坐标为，
因为为的中点，而点的横坐标为0，
所以，所以，解得，
所以点的坐标为
所以，
故答案为：
【点睛】
此题考查抛物线的性质，中点坐标公式，属于基础题.
15、
【解析】
由虚数单位的性质结合复数相等的条件列式求得，的值，则答案可求．
【详解】
解：由，，，
所以，
得，．
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位的性质，属于基础题．
16、
【解析】
∵为锐角，，∴，
∴，，
故.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）法一：，，得，则，由此可得答案；
法二：由题意，令，易知是偶函数，且时为增函数，由此可得出答案；
（2）由（1）知，，即，结合“1”的代换，利用基本不等式即可证明结论．
【详解】
解：（1）法一：（当且仅当时取等号），
又（当且仅当时取等号），
所以（当且仅当时取等号），
由題意得，则，解得，
故的取值范围是；
法二：因为对于任意恒有成立，即，
令，易知是偶函数，且时为增函数，
所以，即，则，解得，
故的取值范围是；
（2）由（1）知，，即，
∴
，
故不等式成立．
【点睛】
本题主要考查绝对值不等式的恒成立问题，考查基本不等式的应用，属于中档题．
18、（1），（2）
【解析】
(1)利用极坐标与直角坐标的互化公式即可把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,利用消去参数即可得到直线的直角坐标方程;
(2) 由于在直线上,写出直线的标准参数方程参数方程,代入曲线的方程利用参数的几何意义即可得出求解即可.
【详解】
（1）直线的普通方程为，即，
根据极坐标与直角坐标之间的相互转化，，，
而，则，
即，
故直线l的普通方程为，
曲线C的直角坐标方程
（2）点在直线l上，且直线的倾斜角为，
可设直线的参数方程为：（t为参数），
代入到曲线C的方程得
，，，
由参数的几何意义知．
【点睛】
熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、方程思想、直线的参数方程中的参数的几何意义是解题的关键,难度一般.
19、（1）； （2）见解析.
【解析】
（I）结合离心率，得到a,b,c的关系，计算A的坐标，计算切线与椭圆交点坐标，代入椭圆方程，计算参数，即可．（II）分切线斜率存在与不存在讨论，设出M,N的坐标，设出切线方程，结合圆心到切线距离公式，得到m,k的关系式，将直线方程代入椭圆方程，利用根与系数关系，表示，结合三角形相似，证明结论，即可．
【详解】
(Ⅰ)设椭圆的半焦距为，由椭圆的离心率为知，，
∴椭圆的方程可设为.
易求得，∴点在椭圆上，∴，
解得，∴椭圆的方程为.
(Ⅱ)当过点且与圆相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为，由(Ⅰ)知，，
，∴.
当过点且与圆相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为，，
∴，即.
联立直线和椭圆的方程得，
∴，得.
∵，
∴，
，
∴.
综上所述，圆上任意一点处的切线交椭圆于点，都有.
在中，由与相似得，为定值.
【点睛】
本道题考查了椭圆方程的求解，考查了直线与椭圆位置关系，考查了向量的坐标运算，难度偏难．
20、（1）（为参数），；（2）
【解析】
分析：（1）直线的参数方程为（为参数），其中表示之间的距离，而极坐标方程可化为，从而的直角方程为.
（2）设，则 ，利用在圆上得到满足的方程，最后利用韦达定理就可求出两条线段的和.
详解：（1）直线的参数方程为（为参数）.
曲线的极坐标方程可化为.
把，代入曲线的极坐标方程可得
，即.
（2）把直线的参数方程为（为参数）代入圆的方程可得：.
∵曲线与直线相交于不同的两点，
∴，
∴，又，
∴.
又，.
∴，
∵，∴，
∴.
∴的取值范围是.
点睛：（1）直线的参数方程有多种形式，其中一种为（为直线的倾斜角， 是参数），这样的参数方程中的参数有明确的几何意义，它表示 之间的距离.
（2）直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生以便转化.
21、（1）（2）见解析，
【解析】
（1）根据题意设出事件，列出概率，运用公式求解；（2）由题得，X的所有可能取值为，根据（1）和变量对应的事件，可得变量对应的概率，即可得分布列和期望值.
【详解】
（1）记2家小店分别为A，B，A店有i人休假记为事件（，1，2），B店有i人，休假记为事件（，1，2），发生调剂现象的概率为P.
则，
，
.
所以.
答：发生调剂现象的概率为.
（2）依题意，X的所有可能取值为0，1，2.
则，
，
.
所以X的分布表为：
所以.
【点睛】
本题是一道考查概率和期望的常考题型.
22、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）由题意不等式化为，利用分类讨论法去掉绝对值求出不等式的解集即可；
（Ⅱ）由题意把问题转化为，分别求出和，列出不等式求解即可．
【详解】
（Ⅰ）由题意知，，
若，则不等式化为，解得；
若，则不等式化为，解得，即不等式无解；
若，则不等式化为，解得，
综上所述，的取值范围是；
（Ⅱ）由题意知，要使得不等式恒成立，
只需，
当时，，，
因为，所以当时，
，
即，解得，
结合，所以的取值范围是.
【点睛】
本题考查了绝对值不等式的求解问题，含有绝对值的不等式恒成立应用问题，以及绝对值三角不等式的应用，考查了分类讨论思想，是中档题．含有绝对值的不等式恒成立应用问题，关键是等价转化为最值问题，再通过绝对值三角不等式求解最值，从而建立不等关系，求出参数范围.
X
0
1
2
P