数学八年级下册（2024）1.2 二次根式的性质学案

这是一份数学八年级下册（2024）1.2 二次根式的性质学案，文件包含专题13二次根式的加法和减法举一反三讲义数学新教材浙教版八年级下册试题版docx、专题13二次根式的加法和减法举一反三讲义数学新教材浙教版八年级下册解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共30页， 欢迎下载使用。
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\l "_Tc6826" 【题型1 判断二次根式能否合并】 PAGEREF _Tc6826 \h 2
\l "_Tc2051" 【题型2 二次根式的加减运算】 PAGEREF _Tc2051 \h 1
\l "_Tc16393" 【题型3 二次根式的混合运算】 PAGEREF _Tc16393 \h 3
\l "_Tc15797" 【题型4 比较二次根式的大小】 PAGEREF _Tc15797 \h 3
\l "_Tc8615" 【题型5 整数部分和小数】 PAGEREF _Tc8615 \h 4
\l "_Tc13405" 【题型6 二次根式的化简求值】 PAGEREF _Tc13405 \h 5
\l "_Tc70" 【题型7 二次根式的规律探索】 PAGEREF _Tc70 \h 5
\l "_Tc4441" 【题型8 二次根式的应用】 PAGEREF _Tc4441 \h 6
知识点1 二次根式的加减运算
二次根式的加减法的实质是合并同类二次根式，一般按如下步骤进行：
知识点2 二次根式的混合运算
1. 运算法则
与整式的混合运算顺序一样，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的．
2. 实数运算中的运算律及公式同样适用于二次根式的运算．
3. 二次根式混合运算的结果应写成最简二次根式或整式的形式．
【题型1 判断二次根式能否合并】
【例1】（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）若最简二次根式2a−b+6与3a−b4a+3b是能合并，那么（ ）
A．a=2，b=1B．a=1，b=−1C．a=1，b=0D．a=1，b=1
【变式1-1】（24-25八年级下·河南焦作·阶段练习）如果最简二次根式a−2与27可以进行合并，则a2的值为（ ）
A．7B．16C．25D．81
【变式1-2】（24-25八年级上·陕西西安·期中）若a与12是可以合并的二次根式，请写出一个符合条件的最简二次根式a为 ．
【变式1-3】（24-25八年级下·山东潍坊·阶段练习）下列各式经过化简后与−−27x3的被开方数不相同的二次根式是（ ）
A．−x3B．−x327C．19−3x3D．27x3
【题型2 二次根式的加减运算】
【例2】（24-25八年级下·安徽亳州·阶段练习）化简：18+11+111+14+114+17+117+20+120+23 +123+26+126+29+129+32结果是（ ）
A．1B．223C．22D．42
【变式2-1】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）下列等式正确的是（ ）
A．23+32=55B．914=312
C．(π−3.14)2=3.14−πD．3+5−3+5=2
【变式2-2】我们规定运算符号“”的意义是：当a>b时，ab=a+b； 当a≤b时， ab=a−b，其他运算符号的意义不变，计算：23−223=
【变式2-3】（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）小文和小博同学玩一个摸球计算游戏，在一个不透明的容器中放入四个小球，小球上分别标有一个数．现从容器中摸取小球，若摸到白色球，就减去球上的数；若摸到灰色球，就加上球上的数．
(1)如图1，若小文摸到图示两个小球，请计算出结果；
(2)如图2，若小博摸到图示四个小球，最后的计算结果能和48合并吗？说明理由．
【题型3 二次根式的混合运算】
【例3】（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）对于任意不相等的两个正实数a，b，定义一种运算“※”如下：a※b=a+ba−b，例如：5※4=5+45−4=3．
（1）3※6= ；
（2）2−3※7※5= ．
【变式3-1】（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，它是一个数值转换机，若输入的a值为2，则输出的结果应为 ．
【变式3-2】（24-25八年级下·云南昆明·阶段练习）计算：
(1)27÷3−13×18+24
(2)23+3223−32−5−12
【变式3-3】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）已知x=2−3
(1)计算：x2=________，1x=________；
(2)求代数式7+43x2+2+3x+3−1的值．
【题型4 比较二次根式的大小】
【例4】（24-25八年级下·福建厦门·期中）在解决问题“已知a=12+3，求2a2−8a+1的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵ a=12+3=2−32+32−3=2−3，
∴ a−2=−3，∴ a−22=3，a2−4a+4=3，
∴ a2−4a=−1，∴ 2a2−8a+1=2a2−4a+1=2×−1+1=−1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)比较大小：213−11与215−13；
(2)若b=12+2，且a+2b2=9，求a的值；
(3)若c=11+2，d=13+22，求5c2+4cd+2d2+2c−6d+10的值．
【变式4-1】（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）比较大小：
（1）12−5 15−6；
（2）2−3 5−2．
【变式4-2】（24-25八年级下·山东潍坊·期中）用两种方法比较5+1与10的大小．
【变式4-3】（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）项目式学习：
【题型5 整数部分和小数】
【例5】（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）11−1的整数部分为a，小数部分为b，11+ab+1的值为（ ）
A．11+2B．2C．7D．5+211
【变式5-1】（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）估计22−32的值应在（ ）
A．1到2之间B．2到3之间C．5到6之间D．10到11之间
【变式5-2】（24-25七年级上·全国·期末）实数19−1的整数部分为a，小数部分为b，则3a+2b=（ ）
A．219+5B．219+1C．219−1D．219−5
【变式5-3】（24-25八年级下·四川德阳·阶段练习）已知12−3的整数部分为a，小数部分为b，则a2+2(3+1)b−2= ．
【题型6 二次根式的化简求值】
【例6】已知 a=5−35+3，b=5+35−3，则二次根式a3b+ab3+19的值是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【变式6-1】（24-25八年级下·吉林白城·阶段练习）先化简，再求值：5x5−544x5+x45x，其中x=4．
【变式6-2】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如果x2+y2−8x−6y+25=0，试求yx+xy+2−xy+yx−2的值．
【变式6-3】（24-25八年级上·江苏南通·期末）若−m2−n2≥10−6m+2n，且x=5+nm，则81x5−80x+1= ．
【题型7 二次根式的规律探索】
【例7】观察下列各式：
1+112+122=1+11×2=1+1−12
1+122+132=1+12×3=1+12−13
1+132+142=1+13×4=1+13−14
…
请利用你发现的规律，计算：1+112+122+1+122+132+1+132+142+⋯+1+192+1102其结果为 ．
【变式7-1】（24-25八年级下·四川自贡·阶段练习）观察下列各式：12+1=2−1，13+2=3−2，12+3=2−3，…利用你发现的规律解决：13+2+12+3+15+2+⋯+12025+2024×2025+2= ．
【变式7-2】将一张长与宽之比为2的矩形纸片ABCD进行如下操作：对折并沿折痕剪开，发现每一次所得到的两个矩形纸片长与宽之比都是2（每一次的折痕如图中的虚线所示），则第3次操作后所得到的其中一个矩形纸片的周长是 ；第2024次操作后所得到的其中一个矩形纸片的周长是 ．

【变式7-3】化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：12+1=2−12+12−1=2−122−1=2−11=2−1，23=2×33×3=63，
(1)若a=15−2，求3a2−12a−1的值；
(2)比较2025−2024与2024−2023的大小，并说明理由．
(3)利用这一规律计算：121+2+132+23+143+34+⋯+120242023+20232024．
【题型8 二次根式的应用】
【例8】（24-25八年级下·江西赣州·期中）如图，张大伯家有一块长方形空地ABCD，长方形空地的BC为72m，宽AB为32m，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为13+1m，宽为13−1m．
(1)长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
(2)若市场上某种蔬菜10元/千克，张大伯种植该种蔬菜，每平方米可以产20千克的蔬菜，张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？
【变式8-1】某小区有一块长方形的草地，这块草地的宽为6−2m，为美化小区环境，给这块长方形草地围上白色的低矮栅栏，所需的栅栏的长度为106−22m，那么这块草地的面积为 m2．
【变式8-2】（24-25八年级下·广西桂林·阶段练习）某室内展区有一块长方形闲置区域ABCD（如图），该区域的长BC为83米，宽AB为98米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为(6−1)米．
(1)求该长方形闲置区域ABCD的周长；
(2)除去放置展台的地方，其余区域全部需要铺上红毯，若所铺红毯的售价为10元/平方米，则购买红毯大约需要花费多少元？（6≈2.4495，结果保留到小数点后两位）
【变式8-3】（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）有一块矩形木板ABCD，木工甲采用如图的方式，将木板的长AD增加23cm，宽AB增加73cm，得到一个面积为192cm2的正方形AEFG．
(1)求矩形木板ABCD的面积；
(2)木工乙想从矩形木板ABCD中裁出一个面积为12cm2，宽为62cm的矩形木料，则该矩形木料的长为_______cm；
(3)木工丙想从矩形木板ABCD中截出长为2.0cm、宽为1.5cm的矩形木条，最多能截出_________根这样的木条．课题名称
平方法比较实数的大小
参与人员
八下第（3）小组 日期：2025年××月××日
原理解读
对于任意两个正数a，b，若a>b，则a>b．
典例展示
比较23和32的大小．解：(23)2=12，(32)2=18，∵12