浙江省五湖联盟2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试题（Word版附解析）

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考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 若复数是纯虚数，则实数（ ）
A. B. 2C. D. 0
2. 已知向量，，且，则（ ）
A. 2B. C. 4D.
3. 已知，则（ ）
A. 0B. 1C. D.
4. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则最大角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，正方形边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（ ）

A. B. C. D.
6. 在中，，记，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知向量，满足，，若，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，已知中，，点D，E分别为边，上的两个动点，且满足，若点M，N分别为，的中点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若复数，则
B. 若复数，则z的虚部是
C. 已知，是关于x的方程的一个根，则
D. 若复数z满足，则的最小值为
10. 已知平面向量，满足，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. ，使
D. ，
11. 如图，为圆锥底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（ ）
A. 圆锥的表面积为
B. 圆锥的外接球体积是
C. 圆锥的内切球半径为
D. 若，E为线段上的动点，则的最小值为
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，若，则______.
13. 如图测量河对岸的塔高时，选择与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高为__________.
14. 在圆的内接四边形中，已知，，，则四边形的面积的最大值是__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15. 已知复数，，，.
（1）若，求m的值；
（2）若复数在复平面上对应的点在第二象限，求m的范围.
16. 已知向量，满足，，且.
（1）求的值；
（2）求与的夹角余弦值.
17. 已知长方体中，其外接球的表面积为，用平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体.
（1）求的长；
（2）求几何体的体积；
（3）求几何体的表面积.
18. 在平面直角坐标系中，已知四边形是等腰梯形，且，，，点M满足，点P在线段上运动（包括端点），如图所示.
（1）求与共线的单位向量的坐标；
（2）求在上的投影向量的坐标；
（3）是否存在实数，使？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
19. 已知a，b，c分别为三角形三个内角A，B，C的对边，且.
（1）求角A的大小；
（2）若，，求的面积.
（3）如图，若直线l与三角形的边，分别相交于点D，E，设，求证.