【数学】浙江五湖联盟2025-2026学年高一第二学期期中联考试题（学生版+解析版）

这是一份【数学】浙江五湖联盟2025-2026学年高一第二学期期中联考试题（学生版+解析版），共4页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 若复数是纯虚数，则实数（ ）
A. B. 2C. D. 0
【答案】B
【解析】因为复数是纯虚数，所以，解得．
2. 已知向量，，且，则（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】B
【解析】已知向量，，且，
则，解得.
3. 已知，则（ ）
A. 0B. 1C. D.
【答案】A
【解析】，，
，则.
4. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则最大角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因，可设，，
因，则最大内角为C，
由余弦定理，．
5. 如图，正方形边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据题意，直观图边长为，
，，还原为平行四边形，
，，所以，
原平面图形的周长是cm.

6. 在中，，记，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】在中，，记，，
所以，，，
所以，即.
7. 已知向量，满足，，若，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意知：,
,
当且仅当时，.
8. 如图，已知中，，点D，E分别为边，上的两个动点，且满足，若点M，N分别为，的中点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在中，线段的中点分别为，
记，
则，，
∴，，
∴两边平方得：
∵，，
，
，
∴
，
当时，等号成立，
所以最小值为，即的最小值为.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若复数，则
B. 若复数，则z的虚部是
C. 已知，是关于x的方程的一个根，则
D. 若复数满足，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】A：由题设，正确，
B：，
虚部为，错误，
C：由题设，是方程的另一个复数根，则，即，
故，正确，
D：由，则对应点在以为圆心，2为半径的圆上，
而表示圆上点到点的距离，且点在圆内，

故其最小值为，正确.
10. 已知平面向量，满足，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. ，使
D. ，
【答案】BD
【解析】A选项，，故A错误；
B选项，，
所以，故B正确；
C选项，，则，
因为，所以不存在，使，故C错误；
D选项，若，则，
则，即，
因为对，所以D正确.
11. 如图，为圆锥底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（ ）
A. 圆锥的表面积为
B. 圆锥的外接球体积是
C. 圆锥的内切球半径为
D. 若，E为线段上的动点，则的最小值为
【答案】ABD
【解析】根据题意可得底面半径和母线的长分别为，
所以侧面积为，底面积为，
所以圆锥的表面积为，故A对；
设外接球的半径为，球心到圆锥底面的距离为。
由于圆锥的高，底面半径，
所以，代入得
，
所以，故B正确；
圆锥的体积，
，
，故C错误；
由，E为线段上的动点，得，
又，所以为等边三角形，则，
将以为轴旋转到与共面，得到，
所以为等边三角形，则，则,
因为,
,
则，故D正确
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，若，则______.
【答案】2
【解析】由题意得，，得.
13. 如图测量河对岸的塔高时，选择与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高为__________.
【答案】米
【解析】在△BCD中，，
由正弦定理得，解得(m），
在Rt△ABC中，(m).
14. 在圆的内接四边形中，已知，，，则四边形的面积的最大值是__________.
【答案】
【解析】由题设，
即（负数舍去），
又外接圆的半径，
要使四边形的面积最大，只需的面积最大，
由到的距离，
则中边上的最大高为，
所以最大.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15. 已知复数，，，.
（1）若，求m的值；
（2）若复数在复平面上对应的点在第二象限，求m的范围.
解：（1）由已知得，
所以，
又，解得，
故实数m的值为.
（2）由（1）得，
，
由复数在复平面上对应的点在第二象限得，
，解得，
故实数m的取值范围为.
16. 已知向量，满足，，且.
（1）求的值；
（2）求与的夹角余弦值.
解：（1）由得，
所以，又，得；
（2）由（1）得，又，，
即得，
又，
所以，
即与的夹角余弦值为.
17. 已知长方体中，其外接球的表面积为，用平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体.
（1）求的长；
（2）求几何体的体积；
（3）求几何体的表面积.
解：（1）设，由可得，，
因为外接球的表面积为，即，解得，
又长方体外接球的直径等于长方体的体对角线长，
即，解得，
所以；
（2），
即几何体的体积为160；
（3）由（1）得，，，则，
，，
在中由余弦定理，
则，
所以，
从而得几何体的表面积为
.
18. 在平面直角坐标系中，已知四边形是等腰梯形，且，，，点M满足，点P在线段上运动（包括端点），如图所示.
（1）求与共线的单位向量的坐标；
（2）求在上的投影向量的坐标；
（3）是否存在实数，使？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
解：（1）由题意可知：，
则，可得，
所以或.
（2）由题意可得：，
则，，
所以在上的投影向量为.
（3）设，，则，
，，
若，则，
即，可得，
若，则不存在；
若，则，
因为，则，
可得；
综上所述：存在实数满足题意，的取值范围为．
19. 已知a，b，c分别为三角形三个内角A，B，C的对边，且.
（1）求角A的大小；
（2）若，，求的面积.
（3）如图，若直线l与三角形的边，分别相交于点D，E，设，求证.
解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∵，∴，∴，
∵为三角形内角，∴
（2）∵，，，
∴，即，
∴
（3）如图，在中，，
设单位向量，于是，
即.
过点D作的平行线，则，
而，，
故，
即证.