四川省南充市2025-2026学年高二上学期期末考试 数学试卷含解析（word版）

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1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将答题卡交回.
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求.
1. 样本数据 1,1,3,5,7 的中位数是( )
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】根据中位数的定义求出.
【详解】共5个数, 中位数是第 3 个数, 即中位数是 3 .
故选: B
2. 直线 y=3x+1 的倾斜角为( )
A. 30∘ B. 45∘ C. 60∘ D. 135∘
【答案】C
【解析】
【分析】先求出直线的斜率, 然后利用直线斜率和倾斜角关系求出即可.
【详解】由直线 y=3x+1 得出直线斜率为: k=3 ,
设直线的倾斜角为 θ0∘≤θ0 截得的弦长为 2 ,则圆 C1 与圆 C2:x−42+y−12=9 的位置关系是( )
A. 相离 B. 外切 C. 相交 D. 内切
【答案】C
【解析】
【分析】根据弦长求出 a ,再根据圆心距与两圆半径的关系判断两圆的位置关系即可求出答案.
【详解】圆 C1:x2+y2−2ax=0a>0 可化为 x−a2+y2=a2 ,
则圆 C1 圆心坐标为 C1a,0 ,半径 r1=a ,
圆心到直线 x−y=0 的距离 d=a2=2a2 ,
又截得的弦长为 2 ,
所以 222+2a22=a2 ,解得 a=1 ,
即 C11,0,r1=1 ,
由题意知 C24,1 ,圆 C2 半径 r2=3 ,
因为 C1C2=1−42+0−12=10,r2−r1=2,r2+r1=4 ,
则 r2−r10 的左右焦点,点 P 在直线 y=34x+a 上, △PF1F2 为等腰三角形， ∠F1F2P=120∘ ，则椭圆 C 的离心率为( )
A. 14 B. 12 C. 23 D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】结合图像,得到 PF2=2c ,再在 △PF2Q 中,求得 F2Q ,从而得到 P2c,3c ,代入直线 AP 的方程可得到 a=2c ,由此可求得椭圆 C 的离心率.
【详解】由题意知 A−a,0,F1−c,0,F2c,0 ,
由 △PF1F2 为等腰三角形,且 ∠F1F2P=120∘ ,得 PF2=F1F2=2c ,
过 P 作 PQ 垂直 x 轴于 Q ,如图所示,
则在 Rt△PF2Q 中， ∠PF2Q=180∘−120∘=60∘ ，故 PQ=PF2sin∠PF2Q=2c×32=3c ，
F2Q=PF2cs∠PF2Q=2c×12=c,
所以 Pc+c,3c ,即 P2c,3c ,代入直线 AP 的方程 y=34x+a ,
得 3c=342c+a ,即 a=2c ,所以所求的椭圆离心率为 e=ca=12 .
故选: B.

二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多 项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 甲、乙两人各投掷一枚质地均匀的正四面体骰子, 正四面体骰子的面上分别标记数字 1, 2, 3,
4，分别观察骰子底面上的数字，下列说法正确的是( )
A. 事件“甲投得骰子底面数字 1 ”的概率为 14
B. 事件“甲投得骰子底面数字是奇数”与事件“甲投得骰子底面数字是偶数”是对立事件
C. 事件“甲投得骰子底面数字 1 ”与事件“乙投得骰子底面数字 2”是互斥事件
D. 事件“甲投得骰子底面数字 4”与事件“乙投得骰子底面数字 4”是相互独立事件
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据对立事件、互斥事件以及相互独立事件的定义依次进行分析即可.
【详解】对于 A : 正四面体骰子质地均匀,每个面朝上(底面数字)的概率相等,均为 14 ,
故甲投得数字 1 的概率为 14 , A 正确;
对于 B: “甲投得奇数”与“甲投得偶数”的并集为所有可能结果(全集)，交集为空集，
即二者不能同时发生, 且必有一个发生, 因此是对立事件, B 正确;
对于 C: 互斥事件要求不能同时发生, 但甲投得 1 与乙投得 2 是两个独立事件, 可以同时发生, 故不是互斥事件，C 错误；
对于 D: 相互独立事件的定义是 PAB=PAPB ,甲投得 4 的概率为 14 ,乙投得 4 的概率也为 14 ,
且甲乙都投得 4 的概率为 14×4=116 ,所以 PAB=PAPB ,符合独立事件定义, D 正确.
故选: ABD
10. 如图，在正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1 中， AB=2,AA1=4 ，点 P 为线段 AD1 上一动点，则下列说法正确的是( )

A. 正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1 的外接球表面积为 32π
B. 三棱锥 B1−PBC 的体积为定值
C. 当 P 为 AD1 中点时,直线 AD1 不垂直于平面 PBC
D. 平面 ABCD 内的动点 M 到直线 AC 与 DD1 的距离相等，则点 M 的轨迹是抛物线
【答案】BCD
【解析】
【分析】计算正四棱柱的外接球半径后计算外接球表面积判断 A 选项; 采用等体积法判断 B 选项; 通过建系计算 AD1 与平面 PBC 的法向量是否平行判断 C 选项; 计算动点 M 到直线 AC 与 DD1 的距离结合抛物线的定义判断 D 选项.
【详解】正四棱柱的外接球的直径为体对角线, 则体对角线长度
=AB2+AD2+AA12=22+22+42=26，
故正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1 的外接球半径为 6 ，表面积 S=4π⋅62=24π ，A 选项错误； 由题可知三棱锥 VB1−PBC=VP−B1BC ， △BB1C 的面积为定值，点 P 为线段 AD1 上动点，
AD1⊂ 平面 ADD1A1 ,又 ABCD−A1B1C1D1 为正四棱柱,
则平面 ADD1A1 到平面 BCB1C1 的距离恒为 2,即点 P 到平面 BCB1C1 的距离恒为 2,
故三棱锥 B1−PBC 的体积为定值，B 选项正确；
如图建系以 D 为原点， DA,DC,DD1 方向建立空间坐标系，

则 A2,0,0,B2,2,0,C0,2,0,D10,0,4
P 为 AD1 中点,故 P1,0,2 ,
AD1=−2,0,4,PB=1,2,−2,PC=−1,2,−2
设平面 PBC 的法向量为 n=x,y,z ,则 n⋅PB=0n⋅PC=0 ,
即 x+2y−2z=0−x+2y−2z=0 ,两式上下相加得: 4y−4z=0 ,
取 y=1 ,则 z=1,x=0 ,平面 PBC 的法向量为 n=0,1,1 ,
AD1=−2,0,4≠n=0,1,1 ,则 P 为 AD1 中点时,
直线 AD1 不垂直平面 PBC,C 选项正确；
设平面 ABCD 内动点 Mx0,y0 ,
M 到 DD1 的距离为 MD=x0​2+y0​2 ,
在平面 xy 上, A2,0,C0,2 ,则 AC 所在的直线斜率 =2−00−2=−1 ,
则 AC 所在的直线方程为 y−2=−1x−0 ,整理得: x+y−2=0 ,
点 M 到 AC 所在直线的距离 d=x0+y0−212+12 ,
x0+y0−212+12=x0​2+y0​2 ,两边同时平方得: x0+y0−222=x0​2+y0​2 ,
化简整理得: x0​2+y0​2−2x0y0+4x0+4y0−4=x0−y02+4x0+y0−1=0 , 令 x0−y0=p,x0+y0=q ,
则方程化为 p2+4q−1=0⇒p2=−4q−1 ,满足抛物线定义, D 选项正确.
故选: BCD
11. 已知抛物线 Γ:x2=aya>0 的焦点为 F ， O 为坐标原点，过点 F 的直线与抛物线交于 A,B 两点, 下列说法正确的是 ( )
A. 点 F 的坐标为 0,a4
B. 过点 A 作抛物线准线的垂线，垂足为 A1 ，则 A1,O,B 三点共线
C. 若 1≤a≤2 ,则抛物线上的点到直线 x−y−2a=0 距离的最小值为 22
D. 过点 P−1,−2 作抛物线 Γ 的两条切线,切点分别为 M,N ,则点 P 到直线 MN 的距离的最大值为 1 17
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于 A ,利用焦点坐标公式即可求解;
对于 B ,将直线方程与抛物线联立求出 x1x2=−a24 ,再用斜率相等证明点共线;
对于 C ,表示出抛物线上任意一点到直线的距离,结合函数单调性即可求解;
对于 D ,求出在切点处的切线方程,利用两切线都过点 P−1,−2 ,从而求出直线 MN 的方程,再求出点 P 到直线 MN 的距离,利用导数即可求解.
【详解】如图:

易得 F0,a4 ,设直线 AB 的方程为 y=kx+a4,Ax1,1ax12,Bx2,1ax22,A1x1,−a4 .
将直线 y=kx+a4 与抛物线 x2=aya>0 联立 y=kx+a4x2=ay ,
化简整理得 x2−akx−a24=0 ,则 x1x2=−a24 ,
所以 x2a=−a4x1 ,又 kOB=1ax2,kOA1=−a4x1 ,
所以 kOB=kOA1 ,又 O 为公共点,所以 A1,O,B 三点共线,故 B 正确;
设抛物线上的点 Qx0,1ax02 到直线 x−y−2a=0 距离为 d ,则 d=x0−x02a−2a2 ,
令 t=−x0​2a+x0−2a,Δ=1−8a2=a2−8a2 ,因为 1≤a≤2 ,所以 Δ0 在 N 处的切线为 y=2ax4x−y4 ,
又点 P−1,−2 在两切线上,故 −2=−2ax3−y3,−2=−2ax4−y4 ,
所以直线 MN 的方程为: −2=−2ax−y ,即 2x+ay−2a=0 .
点 P 到直线 MN 的距离为: d1=−2−2a−2a4+a2=2+4a4+a2=2+4a4+a2 ，
令 fa=2+4a4+a2,a>0 ,则 f′a=44+a2−2+4aa4+a24+a2=16−2a4+a23/2
令 f′a=0 ,得 a=8 .
当 08 时， f′ab>0 经过点 0,3 ,离心率为 12 .

(1)求椭圆 C 的方程；
(2)若斜率为 k 的直线与椭圆 C 交于 M,N 两点，线段 MN 的中点为 D1,mm>0 . 求证: kb>0 经过点 0,3 ,
所以 02a2+32b2=1 ,①
又离心率为 12 ,则 e=ca=12 ,(2
在椭圆中有: a2−b2=c2 ,③
联立①②③解得: a2=4,b2=3,c2=1 ，
所以椭圆 C 的方程为: x24+y23=1 .
【小问 2 详解】
如图所示:

设 Mx1,y1,Nx2,y2 ,由 M,N 在椭圆 C 上,
则 x124+y123=1x224+y223=1 ,两式相减得: x12−x224+y12−y223=0 ,
即 x1+x2x1−x24=−y1+y2y1−y23 ,
因为线段 MN 的中点为 D1,mm>0 ,
所以 x1+x2=2,y1+y2=2m ,②
又直线 MN 的斜率为: k=y1−y2x1−x2 ,
将②③代入①化简得: k=−34m ，
因为点 D 在椭圆内，所以 124+m23