湖北省联盟学校2026届高三5月模拟考试数学试卷含解析（word版+pdf版）

这是一份湖北省联盟学校2026届高三5月模拟考试数学试卷含解析（word版+pdf版），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知集合 ，且 ，则实数
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】因为 ,所以 或 ,解得 或 2,当 时,此时 ,不能满足题意; 当 时, ,满足题意; 故 .
2. 已知实数 ,则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当 时,无论 为何值, 成立,此时无法判断 的大小,则充分条件不成立,若 ,可知 ,则必要性成立.
3.已知复数 ,则
A. 1 B.i C. -1 D. -i
【答案】B
【解析】 .
4.若 为奇函数,则 的值为
A. -1 B. 0 C. 1 D. -1 或 1
【答案】C
【解析】由题意得 ,即 ,故 ,经检验 符合题意.
5.某项比赛共有 10 个评委评分,若去掉一个最高分与一个最低分,则与原始数据相比,一定不变的是
A. 极差 B. 45 百分位数 C. 平均数 D. 众数
【答案】B
【解析】由 ,所以将 10 个数据从小到大排列,45 百分位数为第 5 个数据,从 10 个原始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分,得到 8 个有效评分, ,所以 45 百分位数为 8 个数据从小到大排列后第 4 个数据，即为原来的第 5 个数据，数据没变，故 选项正确.
6.若 5 个正数之和为 10 ，且依次成等差数列，则公差 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设 5 个正数组成数列 ,则 , 则 ,解得 公差 的取值范围是 .
7.已知函数 ,若 使得 的图象在点 处的切线与 轴平行,则 的最小值是
A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】 使得 的图象在点 处的切线与 轴平行, 函数 在 上存在最值,即函数 在 上存在对称轴, 令 ,得 , 又 ,故 时, 取最小值为 1.
8.已知正方体 中， ， 为 的中点， 为正方形 内的一个动点 (含边界),且 ,则 的最小值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设 的中点为 ,连接 ,则在 中, , 是以 为圆心,以 2 为半径的圆面 (位于正方形 内).
以 为原点建系如图所示,
则 ,设 的坐标为 ,则


设 点的坐标为 ,则 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的有
A. 若随机变量 ,则
B. 若 ,且 ,则
C. 已知事件 互斥, ,则
D. 已知事件 相互独立, ,则
【答案】ACD
【解析】对于 : 因为 ,则 ,故 正确;
对于 ,若 ,且 ,则 ,故 错误;
对于 ,因为事件 互斥,所以 ,故 正确;
对于 ,因为事件 相互独立,所以 ,故 正确.
10.已知函数 在 上是增函数，在 上是减函数，且方程 有实数根 ,则
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】对于 ,由题意可知 是极值点,所以 ,解得 , 故 选项正确；
对于 ，由于 在 上单调递减，所以 在 上恒成立，即 恒成立,则 ,解得 ,故 选项正确;
对于 ,由 可得 , 所以 ,故 选项错误;
对于 ,由方程 有实数根 ,可得 ,故 . ,
又 ，所以 ，即 ，故 选项正确.
11.已知 分别为双曲线 的左、右顶点， 为双曲线上位于第一象限内任意一点,记 (其中 均不为 ), 的面积为 则
A. 的值随着 的增大而减小 B.
C. 为定值D. 为定值
【答案】ACD
【解析】在 中,由正弦定理可知 均为锐角且随着 的增大分别减小与增大,即 随着 的增大分别减小与增大且均为正数,所以 的值随着 的增大而减小,故选项 正确; 因为 , 又 ,所以 ,故选项 错误; 因为 的面积 , ,又 ,
所以 ,故选项 正确.
为定值,故 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.编号为 1,2,3,4 的四位同学,分别就座于编号为1,2,3,4的四个座位上,每个座位只坐一位同学，则恰有两位同学编号和座位编号一致的坐法种数为________.
【答案】6
【解析】由题意 4 人中选 2 人出来, 他们的编号一致, 剩下 2 人编号不一致, 只有一种坐法, 方法数为 .
13.已知椭圆 的上顶点为 ,直线 交椭圆 于 两点. 若 的重心坐标为 ，则直线 的斜率为_______.
【答案】
【解析】由椭圆 ,可得上顶点坐标为 . 设 ,因为 的重心为 ,所以 ,则由点差法得直线的斜率 .
14.已知数列 的通项公式为 ,设集合 的所有非空子集中的最小元素的和为 . 若 ,则实数 的取值范围为________.
【答案】
【解析】易知数列 是递减数列,对于 中任意一个元素 ,比它大的元素有 个,这 个元素组成的集合的所有子集有 个,把 加进这些子集形成新的集合,每个新集合都是以 为最小元素的 的非空子集,故以 为最小元素的 的非空子集有 个,即在 中 出现了 次,加在一起就是 , 显然 是单调递增的,当 时, ,且当 时, 故 ，故实数 的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15. 中, 为边 上一点,且 .
(1)若 ，求 的长；
(2)若 ，求 的长 .
【解析】(1)在 中，由正弦定理得 ， ，
解得 ,则 或 ,
若 ,则 ,所以 ,所以 ;
若 ,则 ,所以 ,所以 .
综上, 的长为 4 或 8 .
(2)由 ，得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
设 ,在 和 中,由余弦定理得
即 ,
两式相加得 ,所以 ,即 的长为 4 .
16.如图，在 中， ， . 平面 外的动点 在以 为直径的半圆上,且满足平面 平面 .
(1)证明: 平面 ;
(2)若线段 上的点 满足 ，当三棱锥 的体积取得最大值时， 求平面 与平面 夹角的余弦值.
【解析】(1) 证明: 过点 作 于 ,
由平面 平面 , 平面 平面 平面 ,
所以 平面 平面 ,故 ,
又 为直径,则 ,且 平面 ,所以 平面 平面 ,所以 ,且 平面 , ,所以 平面 .
(2)由(1)知， ，
当 时， 取到最大值，
过点 作 于 ,建立以 为原点,直线 为 轴,直线 为 轴,过 点垂直于平面 的方向为 轴,
则 ,
所以 ,
设平面 与平面 的法向量分别为 ,
则 ,则 ,令 ,可得 ,
因为平面 的法向量为 ,
则平面 与平面 夹角的余弦值 .
17.已知函数 ,其中 .
(1)当 时,求 的单调递增区间;
(2)若 恒成立，求a. 的取值范围；
(3)试比较 2.5 与 的大小并说明理由.(e为自然对数的底数，e≈2.718).
【解析】
(1) 的定义域为 ,
当 时,函数 ,
由 ,得 ,因此 的单调递增区间是 .
(2)根据题意，导函数 ，
当 时, ; 当 时, ,因此 在 上递增,在 上递减,
,根据函数 恒成立,得不等式 恒成立,
那么 ,即 ,解得 ,因此 .
(3)由(2)知，当 时，函数 ，即 ，
令 , ,
.
18.已知抛物线 在点 处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 .
(1)求 的值；
(2)若抛物线 上存在 两点，使得 ,求点 的横坐标的取值范围；
(3)将抛物线 向下平移一个单位长度得到抛物线 是抛物线 与 轴的交点,过点 作直线 与抛物线 交于 两点,与 轴交于点 ,其中点 均在 轴左侧,直线 与 交于点 . 问在平面内是否存在一定点 ,使得 为定值? 若存在,求出点 的坐标; 若不存在,请说明理由.
【解析】(1) ,所以切线斜率为 ,
故抛物线 在 处的切线方程为 ,令 得 ; 令 得 ,
故切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 ,解得: .
故 的值为 .
(2)设 ，则 ， ，
由 得
则 ,其中 ,解得: 令 ,则 ,
结合对勾函数的图象可知 的取值范围为 ,
故点 的横坐标的取值范围为
(3)由题意可知: ，设 ，则 故直线 的方程为 同理,直线 的方程为 联立直线 与 的方程解得: , 故
又直线 的方程为 ,即
代入 得 ,令 得 ,故 ,
假设在平面内存在一定点 , 使得 为定值,
由对称性分析可知: 一定在 轴上,故设
则

要使得对于任意的变量 为定值,则 ,解得 ,此时 综上所述: 在平面内存在定点 ,使得 为定值 .
方法二: 由题意可知: 设 ,
设直线 的方程为 ,令 解得: ,故
联立 消去 ,解得:
故
故直线 的方程为 ,直线 的方程为
联立直线 与 的方程解得: ,
故
假设在平面内存在一定点 ,使得 为定值
由对称性分析可知: 一定在 轴上,故设
则 QS⋅QT=xS−xQxT−xQ+yS−yQyT−yQ =k2−k2+8−0−1k−0+2k2+8−32−k2+8−y00−y0 =−12−k2+8+23−k2+8y02−k2+8+y02=−1+23−k2+8y02−k2+8+y02 =−2y0k2+8+6y0−1−k2+8+2+y02
要使得对于任意的变量 为定值,则 ,解得 ,此时 综上所述: 在平面内存在定点 ,使得 为定值 .
19.某互联网大数据实验室为研究短视频平台 AI 智能推荐算法的内容传播规律，建立如下概率扩散模型:
科研人员选定 名平台用户作为研究样本. 每名用户被内容打动并产生互动传播的 “基础易感性”参数均为常数 . 内容传播按天数逐级扩散,传播规则如下:
① 第一天(冷启动推荐阶段):AI系统从 名用户中随机选取 名用户进行初始定向推送，每名被推送的用户主动点赞并参与传播(称为激活用户)的概率均为 ， 且各用户是否被激活相互独立.
② 第二天及以后(社交扩散推荐阶段):每一天，所有已激活用户都会通过 AI 协同推荐,对所有未激活用户 (即 名用户中还未被激活的) 进行二次流量触达. 任一未激活用户只要被成功激活，就会转为激活用户，并继续参与下一轮传播.
已知: 若某一天有 个激活用户同时对同一未激活用户进行推荐触达,则此用户当天被成功激活的概率为:
(1)求第一天结束时，被成功激活的用户人数的数学期望；
(2)求第一天结束时，被成功激活的用户人数为偶数的概率；
(3)若取 ， ， ，求两天后用户甲是激活用户的概率(用含 的代数式表示); 并结合该概率模型, 简要说明为什么 AI 推荐平台上的部分短视频会出现爆发式流量暴涨的现象.
【解析】(1) 设 表示第一天结束时被成功激活的用户人数,易知 , 则 ;
(2)考虑二项展开:
①,
②,
① + ②可得 ，
为偶数时, 为奇数时, ,
设第一天结束时,被成功激活的用户人数为偶数的概率为 ,则 ,
所以得到 ;
(3)甲在第一天被选中记为事件 ，两天后甲是激活用户记为事件 ，则 ， ，
一、甲在第一天被选中，①甲第一天被激活的概率为 ；②第一天未被激活，则第二天能否被激活取决于另一被选中者的状态,另一人被激活的概率为 ,此时 ,甲被激活的概率为 , 因此, 在甲是初始选中的两人之一的条件下,
甲在两天后被成功激活的概率为: ;
二、甲在第一天未被选中，①第一天选中的 2 人中有 1 人被成功激活，再由此人成功激活甲，
概率为 ,
② 第一天有 2 人被成功激活，甲在第二天被成功激活的概率为:
因此, 在甲不是初始选中的两人的条件下,
甲在两天后被成功激活的概率为: ,
综上, 甲在两天后是激活用户的概率:
爆发式流量暴涨解释:
激活概率 随激活人数 指数增长,初期激活人数少,传播慢; 当 增大到一定规模, 迅速趋近于0,用户被激活概率急剧接近1,大量用户在短时间内集中被激活,形成爆发式流量暴涨 .