湖北省“高中名校联盟·圆创教育”联盟2025届高三下学期5月模拟数学试卷（解析版）

这是一份湖北省“高中名校联盟·圆创教育”联盟2025届高三下学期5月模拟数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】A
【解析】因为，，
所以，，
所以.
故选：A
2. 设复数z满足，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】法一：设（x，），则.
由复数相等，得，解得，即，
可得，所以的虚部为；
法二：由，得，所以.
所以的虚部为.
故选：B.
3. 在的展开式中，含项的系数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为的展开式通项为，
所以，二项式、和展开式中含项的系数分别为、、，
所以它们的和为.
故选：A.
4. 已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为等差数列，的前n项和分别为，，所以，
因为，所以可设，，则，，
所以.
故选：D.
5. 已知圆O的半径为2，弦，D为圆O上一动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】方法一：建立如图所示的直角坐标系，
则，，，
所以，.
所以.
当时，取最小值.
故选：B
方法二：如图，作圆的直径，过E作的延长线，垂足为C.
而可以看作在上的投影向量与的数量积.
由圆的性质知，当D与E重合时，取得最小值.
因为，所以，
则.
所以的最小值为.
故选：B.
6. 已知函数，若对，，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，，所以为奇函数.
又，
当且仅当即时等号成立，所以在上单调递增.
由，所以，所以.
对任意，由，得，所以只需即可.
令，则，
令，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以，所以.
故选：D.
7. 从分别标有1，2，3，…，10的10个小球中，不放回地随机选取两个小球，记这两个小球的编号分别为.若，则为实数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选取小球有种选法，
若为实数，则有2种情况：
①x偶数，则y为偶数，有种选法；
②x为奇数，则y为奇数，设，，
在中任取一个数，在B中任取一个数；
或者在B中任取一个数，y在A中任取一个数，共种选法.
所以为实数的概率为.
故选：A
8. 已知长方体中，，，点是底面上的一个动点.设平面与平面的夹角为，平面与平面的夹角为，记表示，中的最大者，表示，中的最小者，若，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】如图，取长方体的下底面的各边中点,,,，上底面的中心为，下底面的中心为.
平面与平面的夹角为，平面与平面的夹角为，
过作于，作于，则，.
所以，等价于到的距离比到的距离大，所以在如图所示的阴影范围内.
在和中，，为公共边，为共同的中点，
，的大小由与，所成的角大小所决定.所成角越小，则对应角越大.
显然与和所成的角的大小关系不确定：
当在靠近时与直线所成的角较小，与直线所成的角则接近于，此时.
同样当接近于时，故A、B错误；
与的大小关系实际上是看在的左侧还是右侧.
若在左侧，则；
若在右侧，则；
若是在上，则.
同样，在的前面，则；
在上，则；
在的后面，则，
所以当在内时，，，
，.
因为，所以.
因为，所以.
因此，
，
根据对称性，在其余区域内，具有相同的结论.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知a，b为实数，当时，，则的值可能为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】BCD
【解析】方法一：当时，，
则的函数图象始终在函数图象上方或相切，
当时，显然不成立；
当时，设曲线与相切于点，
因的导函数为，
则，所以，则.
令，则，
则得；得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，则B、C、D选项满足.
方法二：令，则，则B、C、D选项满足.
故选：BCD.
10. 已知是定义域为的偶函数，当时，.若对，，则（ ）
A. 与有相同的零点
B. 的图象有无数条对称轴
C. 当时，
D. 与的图象仅有一个交点
【答案】AC
【解析】由，，
则，，与的零点均为，，故A正确；
的图象仅有一条对称轴，所以B错误；
当时，，所以时，.
对，总有成立，所以时，有，
所以，.
同理，当时，，.
当时，，，所以C正确；
显然原点为一个交点.
当时，设，
则，，
所以，当时有零点.
则与图象在上也有一个交点，D错误.
故选：AC.
11. 已知椭圆：与双曲线：有公共的焦点，，.若为，在第一象限的一个公共点，和的离心率分别为，，，则（ ）
A.
B.
C.
D. 当时，的取值范围是
【答案】ABD
【解析】由，，得，.
所以，则正确.；
因为，其中，，
所以，则正确；
对于，将，，，代入，可得，则错误；
对于，因为，所以，即，
化简得，即，即.
令，，则，其中，，取.
因为，，所以，，
所以，，故.
因为，其中，，
所以在上单调递增，故，则正确.
故选：.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. __________.（用数字作答）.
【答案】1
【解析】.
故答案为：1.
13. 随机变量的取值为、、，若，，则__________.
【答案】
【解析】设，，则，即，
则，，
由，
整理得，而，解得，，
所以.
故答案为：.
14. 设数列满足，，其中表示不超过x的最大整数，则__________；__________.
【答案】①. 65 ②. 9173
【解析】由，得.
同理可得，，，，，，，.
若，其中，则.
则对，
，
即.①
若，则.则由①知.②
由，结合②知，，，，.
再由①知.
故答案为：65；9173.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，在恒成立，求的取值范围.
解：（1）由，，，
求导得.
当，由，解得或；由，解得.
当时，恒成立.
当时，由，解得或；由，解得.
综上，当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，的在单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）知，当时，函数在单调递减，在单调递增，
所以.
令，，得.
令，，得，
所以在单调递减，得，
所以.所以在上单调递减.
因为且，所以，
则，所以a的取值范围为.
16. 如图，四棱锥中，是以为斜边等腰直角三角形，，，，为上一点，且平面，.
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
（1）证明：如图，取的中点，连接、.
因为三角形是以为斜边的等腰直角三角形，
不妨设，则，.
因为，，
所以四边形为平行四边形，所以，.
因为，所以，则.
因为，则为等边三角形，得.
又，，所以，所以.
又，，、平面，则平面.
因为平面，所以平面平面.
（2）解；过作，因，所以，所以、、、共面.
因为平面平面，平面，平面，所以.
所以四边形为平行四边形，，为的中点.
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，，.
因为为的中点，所以.
所以，，.
设平面的一个法向量为，则.
取，得.
设直线与平面的夹角为，
则.
所以，即直线与平面所成角的余弦值为.
17. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知.
（1）求B；
（2）求的取值范围.
解：（1）因为，由余弦定理得，
即，
所以，
即，
所以，
因为，所以；故，
又因为，所以；
（2）由（1）知，可得，
根据正弦定理，得
，
令，则，因为，所以，
所以，
所以
.
因为，所以.
所以的取值范围是.
18. 已知F为抛物线：（）的焦点，为在第一象限上的动点，当时，.设的准线与x轴交于点F，与交于点N，，，MO与FP交于点，NO与FQ交于点.
（1）求的方程；
（2）求的轨迹方程；
（3）若，求的取值范围.
解：（1）由，可得，所以，
由抛物线的准线方程为，所以.
解得（其中舍去）.所以的方程为.
（2）由题意，知.
设，则.
因为P，，F三点共线，所以，即.
设，由，得，，
所以，即（）.
所以的轨迹方程（）.
（3）因为，所以.
因为，
所以.同理.
设，，
则，
.
所以，解得.
又，设，有.于是，
解得，即的取值范围是.
19. 已知集合，，、是的非空子集.记集合除以的余数.若正整数满足：存在非空集合、，使得两两的交集为空集，且，则称为“好的”.
（1）设，，当时，求，并直接判断是否为“好的”；
（2）证明：是“好的”，是“好的”；
（3）求所有“好的”正整数.
（1）解：当时，由题中定义可得，且，故是“好的”.
（2）证明：时，取，，则的值为、、、，除以8的余数为4，7，5，0.
所以，此时，合乎题意；
时，取，，
的值分别为4，7，12，15，5，8，13，16，20，23，21，24，除以16的余数为4，7，12，15，5，8，13，0.
所以，则，满足条件.
故是“好的”，是“好的”.
（3）解：①首先证明：若正整数是“好的”，则也是“好的”.（*）
事实上，若正整数是“好的”，
设，，，此时集合、满足时条件.时，考虑，，
则也满足条件，（*）得证.
②再证：为奇数是“好的”.（**）
事实上，取，，则满足条件，（**）得证.
由（*）（**）及（2）知除1，2，4外的正整数均为“好的”.
③再证：不是“好的”.
对集合，记为中元素个数，由条件，.
若，则，矛盾.
若或，则，则，矛盾.
于是不是“好的”.
同理易知，2不是“好的”.
所以，所求为除1，2，4外的正整数.