2026年中考数学二轮复习 专题16 几何探究综合题(高频考点专练)

这是一份2026年中考数学二轮复习 专题16 几何探究综合题(高频考点专练)，共6页。试卷主要包含了三角形的几何探究，四边形的几何探究，相似三角形的几何探究题型四，圆的几何探究等内容，欢迎下载使用。

几何探究综合题是中考数学的核心压轴模块，分值约 12～18 分，以解答题形式为主，多为中考卷的压轴题或次压轴题，整体以中高档题为主，是拉开分数差距、突破高分的关键板块。该模块侧重考查几何直观、逻辑推理、数学建模与探究创新能力，常结合图形变换、动态问题进行综合命题。
基础知识必备：掌握三角形、四边形的核心性质与判定，熟练运用相似三角形的判定与性质、
圆的基本定理进行推理论证；理解平移、旋转、折叠等图形变换的本质，能结合勾股定理、三角函数进行几何计算；具备从特殊到一般、分类讨论、数形结合的数学思想，能通过观察、猜想、验证、推理的步骤解决探究性问题，能实现几何条件的合理转化与代数化表达。
2026 中考预测：
题型稳定：三角形、四边形、相似三角形、圆相关几何探究为必考类型，多以多问形式呈现，层层递进；
难度梯度明显：第一问基础铺垫，第二问进阶探究，第三问拓展延伸，重点考查逻辑推理与探
究能力；
命题趋势：贴近教材核心知识，注重几何图形间的关联与转化，部分题目融入新定义、新情境，偶尔结合平面直角坐标系实现几何问题代数化，强调数学思想方法与创新思维的考查。
题型一 三角形的几何探究
【典例 01】（2025·贵州遵义·模拟预测）综合与探究：
问题情境：如图， △ ???和 △ ???都是等腰直角三角形，∠??? = ∠??? = 90°，连接??，?是??的中点，连接??．
(1)【问题发现】
??
如图 1，当点?在边??上时，连接??，??，则∠??? = °，?? = ；
(2)【进阶探究】
如图 2，当点?在边??上时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明该结论；若不成立，请说明理由； (3)【拓展延伸】
如图 3，将图 1 中△ ???绕点?逆时针旋转?度（0° < ? < 360°），若?? = 4，?? = 2．直接写出??的最小值．
2
【答案】(1)90， 2
2
(2)成立，见解析 (3)
【分析】（1）证明∠??? = ∠??? = 90°，∠??? = ∠??? = 45°，?? = ?? = ?? = ??，结合三角形的外
角的性质可得∠??? = 2(∠??? + ∠???) = 2∠??? = 90°，可得∠??? = ∠??? = 45°，即可求解；
（2）如图，延长??至?，使?? = ??，连接??,??，证明 △ ???≌ △ ???，可得?? = ??，∠??? = ∠???，
∠? = ∠???，证明△ ???≌ △ ???，可得?? = ??，∠??? = ∠???，再进一步求解即可；
（3）如图，延长??至?，使?? = ??，连接??,??，证明
1，结合?在以?圆心，??为半径的圆上，
?? = 2??
可得当?,?,?共线时，??最小，最小值为??−??，再进一步求解即可.
【详解】（1）解：∵ △ ???和 △ ???都是等腰直角三角形，∠??? = ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠??? = 90°，∠??? = ∠??? = 45°，
∵?是??的中点，
∴?? = ?? = ?? = ??，
∴∠??? = ∠???，∠??? = ∠???，
∵∠??? = ∠??? + ∠???，∠??? = ∠??? + ∠???，
∴∠??? = 2(∠??? + ∠???) = 2∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠??? = 45°，
∴ △ ???是等腰直角三角形，
∴?? = 2??，
∴?? = 2；
??2
（2）解：（1）中的结论成立，理由如下： 如图，延长??至?，使?? = ??，连接??,??，
∵?是??的中点，
∴?? = ??，
∵∠??? = ∠???，
∴ △ ???≌ △ ???，
∴?? = ??，∠??? = ∠???，∠? = ∠???，
∵ △ ???和 △ ???都是等腰直角三角形，∠??? = ∠??? = 90°，
∴?? = ?? = ??，∠? = ∠??? = 45°，?? = ??，∠??? = ∠??? = 45°，
∴∠??? = ∠??? = 90°，
∴ △ ???≌ △ ???，
∴?? = ??，∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠??? = 90°，
∵?? = ??，
∴∠??? = 90°，?? = ??，
∴∠??? = ∠??? = 45°，
∴ △ ???是等腰直角三角形，
∴?? = 2??，
∴?? = 2，
??2
∴（1）中的结论成立.
（3）解：如图，延长??至?，使?? = ??，连接??,??，
∵?为??的中点，
∴??为△ ???的中位线，
∴?? =
1??，
2
∵?在以?圆心，??为半径的圆上，
∴当?,?,?共线时，??最小，最小值为??−??，
∵?? = 4，?? = 2，∠??? = ∠??? = 90°，
42 + 42
∴?? = ?? =
= 4 2，?? =
= 2 2，
22 + 22
2
∴??的最小值为4 2−2= 2 2，
1
∴??的最小值为2?? = 2.
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，直角三角形的斜边上的中线的性质，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理的应用，中位线，圆外一点与圆上各点距离的最值，旋转的性质，作 出合适的辅助线是解本题的关键.
【变式 01】（2022·山东青岛·中考真题）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图①．在△ ???和 △ ?′?′?′中，??,?′?′分别是??和?′?′边上的高线，且?? = ?′?′，则△ ???
和△ ?′?′?′是等高三角形．
【性质探究】
如图①，用?△???，?△?′?′?′ 分别表示△ ???和 △ ?′?′?′的面积．
11 ′ ′′ ′
则?△??? = 2?? ⋅ ??,?△?′?′?′ = 2? ?
∵?? = ?′?′
′ ′
∴?△???∶?△?′?′? = ??:? ? ．
【性质应用】
⋅ ? ? ，
如图②，D 是△ ???的边??上的一点．若?? = 3,?? = 4，则?△???∶?△??? = ；
如图③，在 △ ???中，D，E 分别是??和??边上的点．若??:?? = 1∶2，??:?? = 1∶3，?△??? = 1，则
?△??? = ，?△??? = ；
如图③，在 △ ???中，D，E 分别是??和??边上的点，若??:?? = 1:?，??:?? = 1:?，?△??? = ?，则
?△??? = ．
【答案】(1)3∶4
11
(2)2；6
(3)
?
??
【分析】（1）由图可知△ ???和 △ ???是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案；
（2）根据??:?? = 1∶2，?△??? = 1和等高三角形的性质可求得?△???，然后根据??:?? = 1∶3和等高三角形的性质可求得?△???；
（3）根据??:?? = 1:?，?△??? = ?和等高三角形的性质可求得? △ ???，然后根据??:?? = 1:?，和等高三角形的性质可求得?△???．
【详解】（1）解：如图，过点 A 作 AE⊥BC，
则?
△??? =
1?? ⋅ ??，?
2
△??? =
1
2?? ⋅ ??
∵AE=AE，
∴?△???∶?△??? = ??:?? = 3∶4．
解：∵ △ ???和△ ???是等高三角形，
∴?△???∶?△??? = ??:?? = 1∶2，
∴?
△???
111
= ?= × 1 = ；
2 △???22
∵ △ ???和△ ???是等高三角形，
∴?△???∶?△??? = ??:?? = 1∶3，
∴?
= 1?
111
．
△???3 △??? = 3 × 2 = 6
解：∵ △ ???和△ ???是等高三角形，
∴?△???∶?△??? = ??:?? = 1:?，
∴?
= 1 ?
1?
= × ? = ；
△???
? △?????
∵ △ ???和△ ???是等高三角形，
∴?△???∶?△??? = ??:?? = 1:?，
∴?
= 1?
1??
=．
△???? △??? = ? × ???
【点睛】本题主要考查了等高三角形的定义、性质以及应用性质解题，熟练掌握等高三角形的性质并能灵活运用是解题的关键．
【变式 02】【课本再现】（1）如图 1， △ ???和 △ ???都是等边三角形，且点 B、C、E 在一条直线上，连接??和??相交于点?，线段??与??的数量关系是；请你用旋转的性质说明上述关系成立的理由．
【深入探究】（2）如图 2，将△ ???绕点?逆时针旋转一定的角度，其他条件与（1）中相同．
①线段??与??的数量关系是；
②∠???的度数为．
【拓展应用】（3）如图 3， △ ???是等边三角形，∠??? = 30°，?? = 6，?? = 10，求边??的长度．
【答案】（1）?? = ??；理由见解析（2）①?? = ??；②60°；（3）8
【分析】（1）利用等边三角形的性质，可得△ ???绕点?逆时针旋转60°得到△ ???，即可得到?? = ??；
由（1）可知△ ???≌ △ ???，则?? = ??，∠??? = ∠???，再根据等边三角形的性质和角之间的等
量代换，易得∠??? + ∠??? = 120°，从而可求∠???；
将△ ???绕点?逆时针旋转60°得到 △ ???，连接??，易得△ ???是等边三角形，由旋转的性质知
∠??? = ∠???，从而可得∠??? = 90°，再根据勾股定理，计算即可．
【详解】解：（1）?? = ??，理由如下：
∵ △ ???和 △ ???都是等边三角形，
∴ ?? = ??，∠??? = 60°，?? = ??，∠??? = 60°，
∵ ∠??? = ∠??? + ∠???，∠??? = ∠??? + ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ 将△ ???绕点?逆时针旋转60°得到△ ???，
∴ ?? = ??；
（2）①?? = ??；②60°
理由：由（1）可知△ ???绕点?逆时针旋转60°得到△ ???，则△ ???≌ △ ???，
∴ ?? = ??，∠??? = ∠???；
∵ 等边三角形△ ???，
∴ ∠??? = ∠??? = 60°，
∵ ∠??? = ∠??? + ∠???，
∴ ∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? + 60° = ∠??? + 60° = 120°，
∴ ∠??? = 180°−(∠??? + ∠???) = 180°−120° = 60°；故答案为：①?? = ??；②60°；
（3）如图所示，将△ ???绕点?逆时针旋转60°得到 △ ???，连接??，
∴ ?? = ?? = 6，?? = ??，∠??? = 60°，
∴ △ ???是等边三角形，
∴ ?? = ??，∠??? = 60°，
由旋转的性质知∠??? = ∠???，
∵ ∠??? = 30°，
∴ ∠??? = 30°，
∴ ∠??? = ∠??? + ∠??? = 90°，
??2−??2
在Rt △ ???中，由勾股定理得?? =
=
= 8，
102−62
∴ ?? = ?? = 8．
【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，旋转的性质，全等的性质，勾股定理等知识点，掌握“手拉手模型”是解题的关键．
【变式 03】（1）如图①，在 △ ???中，?? = ??，∠??? = 90°，??是过点 A 的直线，?? ⊥ ??于点 D，
?? ⊥ ??于点 E，且?? = ??．求证：?? = ?? + ??．
如图②，在△ ???中，?? = ??，D，A，E 三点都在直线 l 上，并且有∠???＝∠???＝∠???＝?，且? ≠ 90°，请问??＝?? + ??是否成立？若成立，请给出证明，如不成立，请说明理由．
拓展与应用：如图③，D，E 是 D，A，E 三点所在直线 l 上的两动点（D，A，E 三点互不重合），点 F 为∠???平分线上的一点，且 △ ???和 △ ???均为等边三角形，连接??，??．若∠???＝∠???＝
∠???，试判断 △ ???的形状．
【答案】（1）见解析；（2）成立，证明见解析；（3） △ ???为等边三角形
【分析】（1）只需要证明△ ???≌ △ ???，根据已知条件，结合全等三角形的判定定理即可解答；
运用类比的方法，同样可以证明△ ???≌ △ ???；
结合（2）及已知条件，利用SAS可以证明 △ ???≌ △ ???； 接下来根据全等三角形的性质可以得到
?? = ??，∠??? = 60°，至此问题即可解答．
【详解】（1）证明： ∵ ?? ⊥ 直线 l，?? ⊥ 直线 l，
∴ ∠??? = ∠??? = 90°，
∵ ∠??? = 90°，
∴ ∠??? + ∠??? = 90°，
∵ ∠??? + ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠???，
在△ ???和 △ ???中，
∠??? = ∠???
∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴△ ???≌ △ ???(AAS)，
∴ ?? = ??，?? = ??，
∴ ?? = ?? + ?? = ?? + ??；
解：成立，证明如下：
∵ ∠??? = ∠??? = ?，
∴ ∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? = 180°−?，
∴ ∠??? = ∠???，
在△ ???和 △ ???中，
∠??? = ∠???
∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴△ ???≌ △ ???(AAS)，
∴ ?? = ??，?? = ??，
∴ ?? = ?? + ?? = ?? + ??；
解：由（2）可知， △ ???≌ △ ???，
∴ ?? = ??，∠??? = ∠???，?? = ??，
∵△ ???和 △ ???均为等边三角形，
∴ ∠??? = ∠??? = 60°，?? = ??，
∴ ∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
在△ ???和 △ ???中，
?? = ??
∠??? = ??? ，
?? = ??
∴△ ???≌ △ ???(SAS)，
∴ ?? = ??，∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? = ∠??? = 60°，
∴△ ???为等边三角形．
【点睛】根据“一线三等角”模型，准确证明三角形全等是正确解答此题的关键．
【变式 04】（1）【探究发现】
在△ ???中，?? = ??，∠??? = 90°，直线 l 经过点 C，?? ⊥ ?，?? ⊥ ?，D、E 为垂足，则有结论
△ ???≌ △ ???．请在图 1、图 2 中任选一图给予证明．
【知识迁移】
如图 3，已知：?(−2,0)，?(0,3)，?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，?? = ?? = ?? = ??，连接??、??、??，则点 C
的坐标为，点 E 的坐标为， △ ???的面积为．
【拓展应用】
如图 4，已知：点 A 的坐标为(−4,0)，分别以??、??为直角边在第一、第二象限作等腰Rt △ ???与等腰 Rt △ ???，且∠??? = ∠??? = 90°，连接??交 y 轴于点 P，求??的长．
【答案】（1）见解析；（2）(3,1)，(3,5)，2；（3）2
【分析】（1）先证∠??? = ∠???，再证∠??? = ∠???，利用“AAS”即可求证；
过点 C 作?? ⊥ ?轴于点?，过点?作?? ⊥ ?轴于点?，延长??交 x 轴于点 H，利用“AAS”可得
△ ???≌ △ ???， △ ???≌ △ ???，从而求出??、??、??、??，即可求出坐标，再根据三角形面积公
式，计算即可求出面积；
过点 E 作?? ⊥ ?轴于 G，利用“AAS”可得 △ ???≌ △ ???，则1．
?? = ?? = 2?? = 2
【详解】证明：（1）如图 1，（图 2 证明略）
∵ ?? ⊥ ?，?? ⊥ ?，
∴ ∠??? = ∠??? = 90°，
∴ ∠??? + ∠??? = 90°，
∵ ∠??? = 90°，
∴ ∠??? + ∠??? = 180°−90° = 90°，
∴ ∠??? = ∠???，
在△ ???和 △ ???中，
∠??? = ∠???
∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴△ ???≌ △ ???(AAS)；
解：（2）如图 3，过点 C 作?? ⊥ ?轴于点?，过点?作?? ⊥ ?轴于点?，延长??交 x 轴于点 H，
∵ ?(−2,0)，?(0,3)，
∴ ?? = 2，?? = 3，
∵ ?? = ??，x 轴⊥ y 轴，
∴ ?? = ?? = 2，
∵ ?? ⊥ ?轴，
∴ ∠??? = ∠??? = 90°，
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ∠??? + ∠??? = 90°，
∵ ∠??? + ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠???， 在△ ???和△ ???中，
∠??? = ∠???
∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴△ ???≌ △ ???(AAS)，
∴ ?? = ?? = 2，?? = ?? = 3，
∴ ?? = ??−?? = 1，
∴ ?(3,1)，
同理可证△ ???≌ △ ???(AAS)，
∴ ?? = ?? = 2，?? = ?? = 3，
∴ ?? = ?? + ?? = 5，
∴ ?(3,5)，
∵ ?(3,1)，?(3,5)，
∴ ?? ⊥ ?轴，
∴ ?? = ??−?? = 1，?? = 5−1 = 4，
∴ ?11
△??? = 2?? ⋅ ?? = 2 × 1 × 4 = 2；
故答案为：?(3,1)，?(3,5)，2；
解：（3）如图 4，过点 E 作?? ⊥ ?轴于 G，
由（1）知△ ???≌ △ ???，
∴ ?? = ?? = ??，?? = ?? = 4，
∵ ?? ⊥ ??，?? ⊥ ?轴， ∴ ∠??? = ∠??? = 90°，
∠??? = ∠???
在△ ???和 △ ???中， ∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴△ ???≌ △ ???(AAS)，
∴ ?? = ?? =
1?? = 2．
2
【点睛】本题考查平面直角坐标系点的坐标，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握“一线三直角模型”是解题的关键．
【变式 05】如图，点?在等腰直角三角形???的斜边??所在直线上，∠??? = 45°，?? ⊥ ??交??于点?．
(1)当点?在??上，点?在??上方时，如图①，求证：?? + ?? = ??；
(2)当点?在??的延长线上，点?在??上方时，如图②；当点?在??上，点?在??下方时，如图③，猜想线段??，??，??之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要证明．
【答案】(1)见解析
(2)图②结论：?? = ?? + ??；图③结论：?? = ??−??
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．
过点?作?? ⊥ ??交??于?，先判断出∠??? = ∠???，再判断出∠??? = ∠?，进而判断出
△ ???≌ △ ???(A??)，得出?? = ??，?? = ??，再判断出∠??? = ∠???，进而判断出
△ ???≌ △ ???(SAS)，得出?? = ??，即可得出结论；
如图 2，同（1）的方法得出?? = ??，?? = ??，即可得出结论；如图 3，同（1）的方法得出
?? = ??，?? = ??，即可得出结论；
【详解】（1）证明：如图①，过点?作?? ⊥ ??交??于?，
∴ ∠??? = 90° = ∠???，
∴ ∠???−∠??? = ∠???−∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
在?? △ ???中，?? = ??，
∴ ∠? = ∠??? = 45°，
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = 90°−∠??? = 45° = ∠?，
∴△ ???≌ △ ???(A??)，
∴ ?? = ??，?? = ??，
∵ ∠??? = 45°，
∴ ∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? = 45°，
∴ ∠??? = 90°−(∠??? + ∠???) = 45° = ∠???，
∵ ?? = ??，
∴△ ???≌ △ ???(SAS)，
∴ ?? = ??，
∴ ?? = ?? + ?? = ?? + ??；
（2）解：如图②，过点?作?? ⊥ ??交??于?，
∴ ∠??? = 90° = ∠???，
∴ ∠???−∠??? = ∠???−∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
在?? △ ???中，?? = ??，
∴ ∠? = ∠??? = 45°，
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = 90°−∠??? = 45° = ∠?，
∴△ ???≌ △ ???(ASA)，
∴ ?? = ??，?? = ??，
∵ ∠??? = 45°，
∴ ∠??? = 90°−∠??? = 45° = ∠???，
∵ ?? = ??，
∴△ ???≌ △ ???(SAS)，
∴ ?? = ??，
∴ ?? = ?? + ?? = ?? + ??；
如图③，过点?作?? ⊥ ??交??的延长线于?，
∴ ∠??? = 90° = ∠???，
∴ ∠???−∠??? = ∠???−∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
在?? △ ???中，?? = ??，
∴ ∠? = ∠??? = 45°，
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = 90°−∠??? = 45° = ∠?，
∴△ ???≌ △ ???(A??)，
∴ ?? = ??，?? = ??，
∵ ∠??? = 45°
∴ ∠??? = 90°−∠??? = 45° = ∠???，
∵ ?? = ??，
∴△ ???≌ △ ???(SAS)，
∴ ?? = ??，
∴ ?? = ??−?? = ??−??，
综上所述：图②结论：?? = ?? + ??；图③结论：?? = ??−??．
【变式 06】（2025·四川成都·一模）如图，在 △ ???中，?? = ?? = 5，?? = 8，点?在??边上，连接??，将线段??顺时针旋转?度（? = ∠???）得到线段??，连接??．
如图，当点?不与点?、?重合，线段??与??交于点?，求证： △ ??? ∽△ ???；
(2)若?? = 1，求??的长；
(3)点?在运动过程中，当 △ ???是等腰三角形，求??的长．
【答案】(1)证明见解析；
5
(2)?? = 3 2；
125
(3)?? = 2或 64 ．
【分析】（1）由旋转性质得?? = ??，∠??? = ∠??? = ?，结合等边对等角、三角形内角和定理推得
∠? = ∠?，∠??? = ∠???，即可得证；
（2）作?? ⊥ ??于点?，结合三线合一定理得
1，用勾股定理求出??、??后，根据相似三角形的性
?? = 2??
质即可求解；
（3）分三种情况讨论：①当?? = ??时；②当?? = ??时；③当?? = ??时．
【详解】（1）证明：由旋转性质可得?? = ??，∠??? = ∠??? = ?，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ?? = ??，
∴ ∠? = ∠?，
∵ ∠??? = ∠???，
又∠??? + 2∠? = 180°，∠??? + 2∠??? = 180°，
∠??? = ∠???−∠???，∠??? = ∠???−∠???，
∴ ∠??? = ∠??? = ∠? = ∠?，∠??? = ∠???，
∴△ ??? ∽△ ???；
解：作?? ⊥ ??于点?，
∵ ?? = ?? = 5，?? = 8，
∴ ?? =
?? = 4，
1
2
??2−??2
由勾股定理得?? == 3，
∵ ?? = ??−?? = 3，
??2 + ??2
∴ ?? = ?? == 3 2，
由（1）得△ ??? ∽△ ???，
????
∴ ?? = ??，
；
3 2
∴ ?? = 5
解： △ ???是等腰三角形，分三种情况讨论：
①当?? = ??时，
∴ ∠? = ∠???，
由（1）得∠? = ∠? = ∠?，
∴ ∠? = ∠???，∠? = ∠???
∴ ?? ∥ ??，?? ∥ ??，
∴ 四边形????是平行四边形，
∴ ?? = ??，
∵ ?? = ??，
∴ ?? = ?? = ??，
∵ ??2−??2 = 32，
∴ (4−??)2−??2 = 32，
725
∴ ?? = 8，?? = 8 ，
∵ ∠? = ∠???，∠??? = ∠???，
∴△ ??? ∽△ ???，
∴ ??2 = ?? ⋅ ??，
∴ ?? =
125
64 ；
②当?? = ??时，
∴ ∠? = ∠???，
∵ ∠? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ?? ∥ ??，
但此时??、??有公共点?，不可能互相平行，
∴ 此情况不成立；
③当?? = ??时，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ∠? = ∠? = ∠???，∠??? = ∠??? + ∠???，∠??? = ∠? + ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∴△ ??? ∽△ ???，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ?? = ?? = 5，?? = ??−?? = 3 = ??，
∴ ?? = ??−3 = 2，
125
综上所述，当△ ???为等腰三角形时，??的值为2或 64 ．
【点睛】本题考查的知识点是旋转性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，解题关键是利用分类讨论思想解决问题．
【变式 07】（2025·重庆·模拟预测）在 △ ???中，∠??? = 90°，?? = 2??，?是??的中点，?在??边上运动，连接??，将△ ???沿着??折叠得到 △ ???，点?的对应点为?，其中??交??于点?，连接??，??．
如图 1，当∠??? = 90°时，求证：?? = ??；
如图 2，当∠??? = 90°时，用等式表示线段??与??之间的数量关系，并证明；
(3)在点?的运动过程中，当?? = 1，?? = 5时，过点?作?? ⊥ ??于点?，连接??，请直接写出∠???的度数．
【答案】(1)详见解析
(2)?? = 2 2??，详见解析
45°
【分析】（1）易得tan∠??? = ?? = ?? = 1，，进而可得?? = 2??，而折叠可知?? = ??，由此即可得出
????2
?? = ??；
（2）过点?分别作??的垂线，分别交??于点?．易得?? = 2??，由折叠和∠??? = 90°可求出
??2 + ??2
??2 + ??2
(2?)2 + (6?)2
∠??? = 45°，从而可得 △ ???为等腰直角三角形，进而证明?? = ?? = ?? = ??，再证明 △ ???≌ △ ???，可得?? = ??． 设?? = ?? = ?，则?? = ?? = ?? = ?? = 2?，?? = 4?，由?是??的中点，证明
?? = ?? = 4?，再由勾股定理求出?? =
= 5?，?? =
== 2
10?，由此即可得出结论；
（3）过点?作?? ⊥ ??于点?．同理可得?? = 2??，进而求出?? = 1，?? = 2．即可得出
5
?? = ?? = ?? = 1，∠??? = 45°，得到∠??? = 90°，同理（2）可得?? = 3，?? = 2，?? = 10， 然后
计算出?? = ??sin∠??? = 10，?? = ??cs∠??? = 3 10，?? = ??−?? = 10−3 10 = 10 = ??，可得
4444
△ ???为等腰直角三角形，由?，?，?，?四点共圆，即可得出∠??? = ∠??? = 45°．
【详解】（1）证明： ∵ ∠??? = ∠??? = 90°，?? = 2??，
????1
∴tan∠??? = ?? = ?? = 2，
∴ ?? = 2??．
∵ △ ???沿着??折叠得到 △ ???，
∴ ?? = ??，
∴ ?? = 2??，
∴ ?? = ??；
（2）解：?? = 2 2??，证明如下：
如答图 1，过点?分别作??的垂线，分别交??于点?．
∵ ∠??? = ∠??? = 90°，?? = 2??，
????1
∴tan∠??? = ?? = ?? = 2，
∴ ?? = 2??．
∵ ∠??? = 90°，
∴ 由折叠可知
1(360°−90°) = 135°，
∠??? = ∠??? = 2 ×
∴ ∠??? = 45°，
∴ △ ???为等腰直角三角形，
∴ ?? = ??
∵ ?? = 2??，
∴ ?? = ?? = ??
由折叠可知?? = ??，
∴ ?? = ??，
∵ ∠??? = ∠??? = 90°，∠??? = ∠???，
∴△ ???≌ △ ???，
∴ ?? = ??．
设?? = ?? = ?，则?? = ?? = ?? = ?? = 2?，?? = 4?，
??2 + ??2
∴在Rt △ ???中，?? =
=
= 5?
?2 + (2?)2
∵ ?? ⊥ ??，∠??? = 90°，
∴?? ∥ ??，
∴?? = ??
????
又∵?是??的中点，
∴?? = ?? = 4?，?? = ??−?? = 6?，
??2 + ??2
∴在Rt △ ???中，?? =
=
= 2 10?
(2?)2 + (6?)2
∴ ?? = 2 2??
（3）解：∠??? = 45°．
如答图 2，过点?作?? ⊥ ??于点?．
同理可得：?? = 2??，
∵ ?? = 5，??2 +??2 = ??2，
∴ ?? = 1，?? = 2．
∵ ?? = 1，
∴ ?? = ?? = ?? = 1，
∴△ ???为等腰直角三角形，∠??? = 45°，
∴ ∠??? = 135°，
∴ 由折叠可知∠??? = ∠??? = 135°，
∴ ∠??? = 90°，
5
同理（2）可得：?? = 3，?? = 2，?? = 10，
??
∴sin∠??? = ?? =
110
10
，
= 10
??
cs∠??? = ?? =
3
3 10
10
= 10
10
4
510
∴?? = ??sin∠??? = 2 × 10 =．
5
?? = ??cs∠??? = 2 ×
3 10 =，
3 10
4
10
∴ ?? = ??−?? = 10−3 10 = 10 = ??，
44
∴ ∠??? = 45°．
∵ ∠??? = ∠??? = 90°，
∴ ?，?，?，?四点共圆，
∴ ∠??? = ∠??? = 45°．
【点睛】本题主要考查了全等三角形判定和性质、勾股定理、解三角形、折叠等知识点，解题关键是构造并根据特殊角或相等关系证明△ ???为等腰直角三角形.
题型二 四边形的几何探究
【典例 01】（2022·浙江衢州·中考真题）如图，在菱形 ABCD 中，AB=5，BD 为对角线.点 E 是边 AB 延长线上的任意一点，连结??交??于点?，??平分∠???交??于点 G．
(1)求证：∠??? = 90°.
(2)若?? = 6，?? = 2??．
①求菱形????的面积.
②求tan∠???的值.
(3)若?? = ??，当∠???的大小发生变化时（0°＜∠???＜180°），在??上找一点?，使??为定值，说明理由并求出??的值．
【答案】(1)见解析
①24， 4
②
9
10
??＝ 3 ，理由见解析
【分析】（1）由菱形的性质可证得∠CBD＝∠ABD＝1∠ABC，由??平分∠???交??于点 G，得到∠CBG＝∠EBG
2
＝1∠CBE，进一步即可得到答案；
2
52−32
①连接 AC 交 BD 于点 O,Rt△DOC 中，OC＝ ??2−??2== 4，求得 AC＝8，由菱形的面积
公式可得答案；②由 BG ∥ AC，得到?? = ?? = 1，DH＝HG，DG＝2DH，又由 DG＝2GE，得到 EG＝DH＝
????2
HG，则?? = 1，再证明△CDH∽△AEH，CH＝1AC
884
OH＝OC－CH＝4
??2
3＝3，
－3＝3，利用正切的定义得到答案；
过点 G 作 GT ∥ BC，交 AE 于点 T，△BGE∽△AHE，得 AB＝BE＝5，则 EG＝GH，再证
????15
△DOH∽△DBG，得 DH＝GH＝EG，由△EGT∽△EDA 得?? = ?? = 3，GT＝3，为定值，即可得到 ET 的值．
【详解】（1）证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴BC＝DC，AB ∥ CD，
∴∠BDC＝∠CBD，∠BDC＝∠ABD，
∴∠CBD＝∠ABD＝1∠ABC，
2
∵??平分∠???交??于点 G，
∴∠CBG＝∠EBG＝1∠CBE，
2
11
2
∴∠CBD＋∠CBG＝2（∠ABC＋∠CBE）＝×180°＝90°，
∴∠DBG＝90°；
解：①如图 1，连接 AC 交 BD 于点 O，
∵四边形 ABCD 是菱形，BD＝6，
∴OD＝BD＝3，AC⊥BD，
1
2
∴∠DOC＝90°，
52−32
在 Rt△DOC 中，OC＝ ??2−??2== 4，
∴AC＝2OC＝8，
11
∴?菱形???? = 2?? × ?? = 2 × 8 × 6 = 24，
即菱形????的面积是 24．
②如图 2，连接 AC，分别交 BD、DE 于点 O、H，
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，
∵∠DBG＝90°
∴BG⊥BD，
∴BG ∥ AC，
????1
∴?? = ?? = 2，
∴DH＝HG，DG＝2DH，
∵DG＝2GE，
∴EG＝DH＝HG，
∴?? = 1，
??2
∵AB ∥ CD，
∴∠DCH＝EAH，∠CDH＝∠AEH，
∴△CDH∽△AEH，
∴?? = ?? = 1，
????2
18
∴CH＝3AC＝3，
84
∴OH＝OC－CH＝4－3＝3，
??4
∴tan∠BDE＝?? = 9；
10
如图 3，过点 G 作 GT ∥ BC 交 AE 于点 T，此时 ET＝ 3 ．
理由如下：由题（1）可知，当∠DAB 的大小发生变化时，始终有 BG ∥ AC，
∴△BGE∽△AHE，
∴?? = ??，
??
??
∵AB＝BE＝5，
∴EG＝GH，
同理可得，△DOH∽△DBG，
∴?? = ??，
??
??
∵BO＝DO，
∴DH＝GH＝EG，
∵GT ∥ BC，
∴GT ∥ AD，
∴△EGT∽△EDA，
∴?? = ?? = ?? = 1，
??????3
∵AD＝AB＝5，
5
∴GT＝3，为定值，
此时 ET＝1AE
110
AB＋BE
3＝3（）＝ 3 ．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质、菱形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【变式 01】如图 1，四边形????是正方形，点?是边??上的点，∠??? = 90°且??交正方形的外角∠???的角平分线于点 F．
(1)求证：∠??? = ∠???．
试猜想线段??与线段??存在怎样的数量关系，并证明你的结论．
如图 2，线段??与??交于点 N，若?? = 6，?? = 2，连接??，求?? + ??的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)?? = ??，证明见解析
(3)?? + ??的最小值为 10
【分析】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，要注意题目之间的联系，正确作出辅助线构造全等的三角形是本题的关键．
（1）根据∠??? = 90°，即可得到∠??? + ∠??? = 90°，在直角△ ???中，利用三角形内角和定理得到
∠??? + ∠??? = 90°，然后根据同角的余角相等，即可证得；
（2）在??上取一点?，使?? = ??，连接??，根据ASA即可证明 △ ???≌ △ ???，然后根据全等三角形的对应边相等即可证得；
（3）连接??，??，易得?? = ??，则当 A，N，G 三点共线时，?? + ??的值最小,据此求解即可．
【详解】（1）证明： ∵ ∠??? = 90°，
∴ ∠??? + ∠??? = 90°，
又∵ 正方形????中，∠??? = ∠??? + ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠???；
（2）解：?? = ??，证明如下：
如图 2，在??上取一点?，使?? = ??，连接??．
∵ ?? = ??，?? = ??，
∴ ?? = ??，
∴ ∠??? = 45°．
∴ ∠??? = 135°．
∵ ??是外角平分线，
∴ ∠??? = 45°．
∴ ∠??? = 135°．
∴ ∠??? = ∠???．
在△ ???和△ ???中，
∠??? = ∠???
?? = ??，
∠??? = ∠???
∴△ ???≌ △ ???(ASA)．
∴ ?? = ??；
（3）如图，连接??，??，
∵正方形????，
∴∠??? = 45°，
∵??平分∠???，
∴∠??? =
1∠??? = 45°，
2
∴∠??? = 90°，
由正方形的对称性知?? = ??，
∴∠??? = ∠???，
∵ ∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠???，
∴?? = ??，
∴?? = ??，
∴?? + ?? = ?? + ??，
??2 + ??2
当 A，N，G 三点共线时，?? + ?? = ?? =
=
= 10，
62 + 82
∴?? + ??的最小值为 10．
【变式 02】如图，正方形????，点?、?分别在??、??上．
如图 1，当∠??? = 90°时．
①求证：?? = ??；
②平移图 1 中线段??，使?点与?重合，?点在??延长线上，连接??，取??中点?，连接??，如图 2，求证：?? = 2??；
如图 3，若点?在??上，??和??相交于点?．当∠??? = 45°，边长?? = 3，?? = 10，求??的长．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)3 5
2
【分析】（1）①如图 1，可证得四边形????是平行四边形，进而可证△ ???≌ △ ???(AAS)，即可证得结论；
②在??上截取?? = ??，如图 2，则△ ???是等腰直角三角形，?? = 2??，由△ ???≌ △ ???，利用全等三角形性质和正方形性质即可得出结论；
（2）如图 3，过点?作?? ∥ ??交??于点?，则四边形????是平行四边形，作∠??? = ∠???，??交??
延长线于?，利用AAS证明 △ ???≌ △ ???，设?? = ?，则?? = 3−?，运用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）证明：①过点?作?? ∥ ??，交??的延长线于点?，
∵ 四边形????是正方形，
∴ ∠??? = 90°，??∥??，
∵ ?? ∥ ??，
∴ 四边形????是平行四边形，
∴ ?? = ??，?? = ??，
∴ ∠??? = ∠??? = 90°，
∴ ∠??? + ∠??? = 90°，
∵ ∠??? + ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠???，
在△ ???和 △ ???中，
∠??? = ∠???
?? = ??，
∠? = ∠??? = 90°
∴△ ???≌ △ ???(ASA)，
∴ ?? = ??，
∵ ?? = ??，
∴ ?? = ??；
②在??上截取?? = ??，如图 2，
则△ ???是等腰直角三角形，?? = ??，由（1）知， △ ???≌ △ ???，
∴ ?? = ??，
∵ ?? = ??，?? = ??，
∴ ?? = ?? = ??，
∵ ?? = ??，
∴ ?? =
1??，
2
∴ ?? = 2??，
2
即?? = 2??；
（2）解：如图 3，过点?作?? ∥ ??交??于点?，
则四边形????是平行四边形，
∴ ?? = ??，?? = ??，
∵ ∠? = 90°，?? = ?? = 10，?? = ?? = 3，
??2−??2
∴ ?? =
=
= 1，
10−9
∴ ?? = ??−?? = 3−1 = 2，
作∠??? = ∠???，??交??延长线于?，在△ ???和 △ ???中，
∠??? = ∠???
?? = ??，
∠??? = ∠? = 90°
∴△ ???≌ △ ???(ASA)，
∴ ?? = ??，?? = ??，
∵ ∠??? = 45°，
∴ ∠??? = 45°，
∴ ∠??? + ∠??? = 45°，
∴ ∠??? + ∠??? = 45° = ∠???，在△ ???和 △ ???中，
?? = ??
∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴△ ???≌ △ ???(SAS)，
∴ ?? = ??，
∴ ?? + ?? = ??，
设?? = ?，则?? = 3−?，
在Rt △ ???中，??2 +??2 = ??2，
∴ 22 + (3−?)2 = (? + 1)2，
3
解得：? = 2，
??2 + ??2
∴ ?? =
=
=．
32 + ( 3 )2
2
3 5
2
【点睛】本题考查四边形的综合应用，掌握正方形性质，等腰直角三角形判定和性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形判定和性质，勾股定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【变式 03】（2026·陕西宝鸡·一模）【问题探究】
如图1，四边形????为矩形，点?为边??上的一点，连接??，过?作?? ⊥ ??交边??于点?，若
??
?? = 4，?? = 3，则??的值为；
如图2，在正方形????中，?、?分别是边??、??上的点，连接??，过点?作?? ⊥ ??交??边于点?，求证：?? = ??；
【问题解决】
如图3，矩形????是某植物园规划的一个花圃，点?处有一个凉亭，现要在??、??边上分别设立游客服务中心?、?，沿??、??修建两条互相垂直的普通小路，再沿??和??铺设两条石板小路，为节约铺设
??2
石板小路的费用，要求??与??的长度之和尽可能的小，已知?? = 3，?? = 600米，请你帮助植物园规划
人员求出两条石板小路长度之和（?? + ??）的最小值．（凉亭、游客服务中心的大小、所有小路的宽度均忽略不计）
4
【答案】（1）3；
证明见解析；
两条石板小路长度之和的最小值为200 13米．
【分析】（1）结合矩形性质证明△ ??? ∽△ ???，再由相似三角形的性质即可得解；
（2）将线段??沿??平移至??，交??于点?，则?? = ??，结合正方形性质证明 △ ???≌ △ ???，再由全等三角形性质证得?? = ??；
（3）将线段??沿??平移至??，则?? = ??且?? ∥ ??，结合矩形性质证明 △ ??? ∽△ ???，再由相似三角形的性质求出??的长；将线段??沿??平移至??，连接??、??，结合平行四边形的判定与性质、勾股定
理求出??，再由?? + ?? = ?? + ?? ≥ ??即可得解．
【详解】解：（1） ∵ 四边形????为矩形，?? ⊥ ??，
∴ ∠? = ∠? = ∠??? = 90°，
∴ ∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∴△ ??? ∽△ ???，
????4
∴ ?? = ?? = 3，
4
故答案为：3；
（2）证明：如图2，四边形????是正方形，将线段??沿??平移至??，交??于点?，则?? = ??，
∴ ?? ∥ ??，?? = ??，∠??? = ∠? = 90°，?? ∥ ??，
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = 90°，
∴ ∠??? + ∠??? = 90°，
∵ ∠??? + ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠???，
在△ ???和 △ ???中，
∠??? = ∠???
?? = ??，
∠??? = ∠?
∴△ ???≌ △ ???(ASA)，
∴ ?? = ??，
∴ ?? = ??；
（3）如图3，将线段??沿??平移至??，则?? = ??且?? ∥ ??，
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ?? ⊥ ??，
∵ 四边形????是矩形，
∴ ∠??? = ∠? = 90°，
∵ ∠??? = 90∘−∠??? = ∠???，
∴△ ??? ∽△ ???，
????2
∴ ?? = ?? = 3，
∵ ?? = ??，
??2
∴ ?? = 3，
∴ ?? =
2
3?? =
2 × 600 = 400米，
3
将线段??沿??平移至??，连接??、??，则四边形????为平行四边形，
∴ ?? = ??，?? = ?? = 400，
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ?? ⊥ ??，
??2 + ??2
∴ ?? =
=
= 200 13米，
6002 + 4002
∴ ?? + ?? = ?? + ?? ≥ ?? = 200 13米，
∴ 两条石板小路长度之和的最小值为200 13米．
【点睛】本题考查的知识点是矩形的性质、相似三角形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、两点间距离最短，解题关键是利用辅助线构造相似三角形或全等三角形．
【变式 04】如图在四边形????中，点 E 是直线??上一点，将射线??绕点 A 逆时针旋转?交直线??于点 F．
(1)如图①．若四边形????为菱形，∠? = 60°,? = 60°，则??与??之间的数量关系是；
(2)如图②，若四边形????为正方形，? = 45°，连接??，当点 E 在??的延长线上时，试猜想线段??、??
与??之间的数量关系，并加以证明；
(3)若四边形????为正方形，? = 45°，连接??，当
1时，请直接写出??的长．
?? = 4,?? = 2??
【答案】(1)?? = ??
(2)??−?? = ??，证明见解析
10
3 或 10
【分析】（1）如图，连接??，根据菱形的性质得出△ ???是等边三角形，可得出相等的角和边，进而证明
△ ???≌ △ ???，再根据全等三角形的性质即可得出结论；
如图：在??上取点?′，使得??′ = ??，连接??′，根据条件证明 △ ???′≌ △ ???，得出??′ = ??,∠??
?′ = ∠???，再证明 △ ???′≌ △ ???，根据全等三角形的性质即可得出结论；；
根据题意分两种情况进行讨论，借助于（2）的思路，证明三角形全等，得出相等的边，然后假设边的长度，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：如图，连接??，
∵四边形????是菱形，
∴?? = ?? = ?? = ??，??∥??，
∴∠??? = ∠???．
∵∠? = 60°，
∴ △ ???是等边三角形，
∴?? = ??，∠??? = ∠??? = 60°．
∵∠??? = 60°，
∴∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? = 60°，
∴∠??? = ∠???，
∴ △ ???≌ △ ???(ASA)，
∴?? = ??．
故答案为：?? = ??．
（2）解：??−?? = ??，证明如下：
如图：在??上取点?′，使得??′ = ??，连接??′，
∵四边形????是正方形，
∴?? = ??,∠???′ = ∠??? = 90°，在△ ???′和 △ ???中，
?? = ??
∠???′ = ∠??? = 90° ，
??′ = ??
∴ △ ???′≌ △ ???(SAS)，
∴??′ = ??,∠???′ = ∠???．
∵∠??? = 45°,∠??? = 90°，
∴∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠???′ = 45°，
∴∠???′ = ∠??? = 45°．在△ ???′和△ ???中，
??′ = ??
∠???′ = ∠??? ，
?? = ??
∴ △ ???′≌ △ ???(SAS)，
∴??′ = ??，
∴??−?? = ??−??′ = ??′ = ??，即??−?? = ??．
（3）解：①如图，当点 E 在线段??上时，将△ ???绕点 A 顺时针旋转90°，点 D 与点 B 重合，得到
△ ???′，
∴ ?? = ??′,∠???′ = ∠???,?? = ??′，
∵四边形????为正方形，∠??? = 45°，
∴ ∠???′ = ∠???′ +∠??? = ∠??? + ∠??? = 45° = ∠???，又∵ ?? = ??，
∴△ ???≌ △ ???′(SAS)
∴ ?? = ??′ = ??′ +?? = ?? + ??，
∵ ?? = 4
∴ ?? = ?? = 2，
设?? = ?，则?? = ?−2,?? = 4−(?−2) = 6−?，
3 ，
在Rt △ ???中，由勾股定理可得??2 +??2 = ??2，即22 + (6−?)2 = ?2，解得：? = 10
10
∴?? = 3 ．
②如图，当点 E 在??延长线上时，取??的中点 G，连接??，
∴?? =
1??，
2
∵四边形????是正方形，
∴?? = ??,∠??? = ∠?,?? = ??,∠??? = 90°，
∵?? =
1?? = 2，
2
∴?? = ?? = 2，
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴?? = ??,∠??? = ∠???，
∴∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠??? = 45°，又∵?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴?? = ?? = ??−?? = ??−??，
设?? = ?，则?? = ? + 2,?? = ? + 2−4 = ?−2，?? = ?? + ?? = 2 + 4 = 6，在Rt △ ???中，由勾股定理得??2 +??2 = ??2，即62 + (?−2)2 = ?2，
解得∶? = 10．
∴?? = 10．
10
综上所述，??的长为 3 或 10．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识以及正确作出辅助线是解题的关键．
【变式 05】（2026·江西·模拟预测）【猜想探究】
如图 1．在△ ???中，D、E 分别为??、??的中点，连接??：
请结合操作 1 或操作 2 的方法所得出的结论，我们可以得到三角形中位线定理，．
操作 1．将 △ ???绕点 E 按顺时针方向旋转 180°到 △ ???的位 置．
操作 2．延长??到点
F，使?? = ??，连接
??．
试探究??与??有怎样的位置关系和数量关系？
【结论应用】
如图 2，四边形????中，对角线??、??相交于点 O，四条边上的中点分别为 E、F、G、H、依次连接??、??、??、??，得到四边形????．若?? = 16，?? = 20，∠??? = 60°，求四边形????的面积．
【问题解决】
如图 3 所示，在一个四边形????的草坪上修一条小路，其中点 P 和点 Q 分别为边??和边??的中点，且∠? + ∠??? = 90°，?? = 6，?? = 8，求小路??的长度．
【答案】（1）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半；（2）40 3；（3）5
【分析】（1）根据旋转性质或全等三角形的判定与性质证明??∥??，?? = ?? = ??，进而证明四边形????
是平行四边形，利用平行四边形的性质可得结论；
（2）根据（1）中结论，得到?? = 1?? = 8，?? = 1?? = 10，??∥??∥??，??∥??∥??，从而可得四边形
22
????为平行四边形，再根据平行线的性质求得∠??? = ∠??? = ∠??? = 60°，过 H 作?? ⊥ ??于 M，利用
正弦函数定义求得?? = 4 3，然后根据平行四边形的面积公式求解即可；
（3）连接??，取??的中点 M，连接??，??，根据三角形中位线定理得到1
，?? = 1
?? = 2?? = 32
?? = 4，??∥??，??∥??，根据平行线的性质和三角形的外角性质可推导出∠??? = 90°，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）操作 1：将△ ???绕点 E 按顺时针方向旋转180°到 △ ???的位置，则?? = ??，
?? = ??，∠? = ∠???，
∴??∥??，即??∥??，
∵D 是??的中点，
∴?? = ?? = ??，
∴四边形????是平行四边形，
∴??∥??，?? = ??，
∴?? =
1
2?? =
1??，??∥??；
2
操作 2．延长??到点 F，使?? = ??，连接??．
∵E 分别为??的中点，
∴?? = ??，又∠??? = ∠???，
∴ △ ???≌ △ ???(SAS),
∴∠? = ∠???，?? = ??，
∴??∥??，即??∥??，
∵D 是??的中点，
∴?? = ?? = ??，
∴四边形????是平行四边形，
∴??∥??，?? = ??，
∴?? =
1
2?? =
1??，??∥??；
2
∴三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，故答案为：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半
∵四边形????中，对角线??、??相交于点 O，四条边上的中点分别为 E、F、G、H、依次连接
??、??、??、??，
∴?? = ?? =
1??，?? = ?? =
2
1??，??∥??∥??，??∥??∥??，
2
∴四边形????为平行四边形；
∵?? = 16，?? = 20，
∴?? =
1?? = 8，?? =
2
1?? = 10，
2
∵∠??? = 60°，?? ∥ ??，??∥??，
∴∠??? = ∠??? = ∠??? = 60°，
过 H 作?? ⊥ ??于 M，则?? = ?? ⋅ sin60° = 8 × 3 = 4 3，
2
3
∴四边形????的面积为?? ⋅ ?? = 10 × 4= 40 3；
连接??，取??的中点 M，连接??，??，
∵点 P 和点 Q 分别为边??和边??的中点，?? = 6，?? = 8，
∴?? =
1?? = 3，?? =
2
1?? = 4，??∥??，??∥??，
2
∴∠??? = ∠???，∠??? = ∠?，
∵∠? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? + ∠??? = ∠? + ∠??? = 90°，
??2 + ??2
∴?? =
=
= 5，
42 + 32
即小路??的长度为 5．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、矩形的判定、菱形的判定、解直角三角形、三角形的外角性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加合适的辅助线是解答的关键．
【变式 06】（2024·辽宁·模拟预测）【操作判定】
如图 1，在△ ???中，∠??? = 90°，?? = ??，点 E 在??上（且不与点 B、C 重合），在△ ???的外部作△ ???，使∠??? = 90°，?? = ??，连接??，过点?作??∥??，过点?作??∥??，??交??于点?，连
??
接??．根据以上操作，判断：四边形????的形状是，?? = ；
【变换探究】
如图 2，将图 1 中的△ ???绕点 B 逆时针旋转，使点 E 落在??边上，过点 A 作??∥??，过点 D 作
??∥??，??交??于点 F，连接??、??．若?? = 4，求??的长．
【拓展应用】
将图 1 中的△ ???绕点 B 顺时针旋转，使点 D 在??的右侧，过点 A 作??∥??，过点 D 作??∥??，??交??于点 F，连接??，若?? = 2,?? = 6，当四边形????为菱形时．
①求??的长；
②当点 D 在??左侧时，请直接写出??的长．
【答案】（1）平行四边形， 2；（2）?? = 4 2；（3）①2 17−2；②2+2
17
【分析】（1）先证明四边形????是平行四边形，可得?? = ?? = ??，从而得到?? = ??，再证明点 D， E，F 三点共线，可得∠??? = 90°，然后根据勾股定理，即可求解；
（2）连接??，证明四边形????是矩形．可得?? = ??，∠??? = 90°，再证明△ ???≌ △ ???，可得
?? = ??，∠??? = ∠???．从而得到∠??? = ∠??? = 90°．继而得到 △ ???是等腰直角三角形，即可求解；
（3）①连接??并延长交??于点?，连接??，根据四边形????是菱形，可得到?? = ?? = ??．设??交?? 于点?，交??于点?，??交??于点?．证明 △ ???≌ △ ???，可得?? = ??，∠??? = ∠???，可得到 △ ??? 是等腰直角三角形．从而得到?? = 2??．进而得到??是线段??的中垂线，即可；②类比①的方法解答，即可求解．
【详解】解：（1）∵??∥??，??∥??，
∴四边形????是平行四边形；
∴?? = ?? = ??，
∴?? + ?? = ?? + ??，
∵?? = ??，
∴?? = ??，
∵∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°，
∴??∥??，
∵??∥??，
∴点 D，E，F 三点共线，
∴∠??? = 90°，
??2 + ??2
∴?? == 2??，
??
即?? = 2；
故答案为：平行四边形， 2；．
如图，连接??．
∵ ?? ∥ ??，??∥??，
∴ 四边形????是平行四边形．又∵ ∠??? = 90°，
∴ 四边形????是矩形．
∴ ?? = ??，∠??? = 90°，又∵ ?? = ??，
∴ ?? = ??．
又∵ ?? = ??，∠??? = 90°，
∴ ∠? = ∠??? = 45°，
∴ ∠??? = 180°−90°−45° = 45°，
∴ ∠? = ∠???．
∴△ ???≌ △ ???(SAS)，
∴ ?? = ??，∠??? = ∠???．
∴ ∠???−∠??? = ∠???−∠???，即∠??? = ∠??? = 90°．
∴△ ???是等腰直角三角形．
∴ ??2 +??2 = ??2，即2??2 = ??2，
∵ ?? = 4，
∴ ?? = 4 2；
①如图，连接??并延长交??于点?，连接??．
∵ 四边形????是菱形，
∴ ?? = ?? = ??，??∥??，
∵ ?? = ??，
∴ ?? = ?? = ??．
设??交??于点?，交??于点?，??交??于点?．
∵ ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = 90°，
∵ ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠???，∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∴△ ???≌ △ ???(SAS)，
∴ ?? = ??，∠??? = ∠???．又∵ ∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠??? = 90°，
∴△ ???是等腰直角三角形．
∴ ?? = 2??．
∵ ?? = ??，?? = ??，
∴ ??是线段??的中垂线．
∵ ?? = 6，?? = 2，
∴ ?? = ?? = 2．
??2−??2
34
∴ ?? ==
∴ ?? = ??−?? = 34− 2，
∴ ?? = 2?? = 2 17−2；
②延长??交??于?，
∵ ?? ∥ ??，∠??? = 90°，
∴ ∠??? = 90°．
∵ ∠??? = 90°，
∴ ∠??? + ∠??? = 180°，
∴ ∠??? + ∠??? = 180°．
∵∠??? + ∠??? = 180°，
∴ ∠??? = ∠???．
∵?? = ?? = ??,?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???．
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠??? = 90°，
∴△ ???为等腰直角三角形．
∴ ?? = 2??． 设??交??于点?．
由①得：??是线段??的中垂线．
∴ ?? = ?? = 2，
??2−??2
∴?? == 34．
34
∴ ?? = ?? + ?? =+ 2，
17
∴ ?? = 2?? = 2+2．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，旋转的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌握平行四边形的判定，矩形的判定与性质，旋转的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定
理，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键．
【变式 07】（2025·吉林松原·模拟预测）【初步尝试】如图①．点 E、G 分别是▱????的边??、??的中 点，点 F 为对角线??上一点，以点 F 为直角顶点作∠??? = 90°，过点 E 作?? ∥ ??交??于点 H，连接??，求证：四边形????为矩形；
【深入探究】如图②，将图①中的▱????改为菱形．其他条件不变．若∠??? = 60°，且?? = 2，直接写出四边形????的面积；
【拓展延伸】如图③，将图①中的▱????改为矩形，其他条件不变．若?? = 3，?? = 2，直接写出四边形????的面积．
13
【答案】初步尝试：见解析；深入探究：4；拓展延伸：6 13
【分析】初步尝试：证明△ ???≌ △ ???(AAS)，则?? = ??，根据?? ∥ ??，易证四边形????是平行四边形，再根据∠??? = 90°，即可证明结论；
深入探究：连接??，交??于点 O，连接??,??，过点?作?? ⊥ ??于点 T，求出?? = ?? = ?? = ?? = 4，
?? =
1?? = 2，?? =
2
1?? = 2，同理初步尝试得： △ ???≌ △ ???，四边形????为矩形，推出点?,?,?共
2
线，进而得到?? = 4，求出?? = 2 3，?? = 2 3−2，再解直角三角形求出1
，?? = ??·cs
?? = 2?? = 3−1
??2−??2
30° = 3− 3，?? = 2?? = 6− 2，?? =
=
+ 2，即可求解；
6
拓展延伸：连接??，作?? ⊥ ??于 N，同理深入探究可知，?? = ?? = ?? = 2，证明△ ??? ∽△ ???，得
??
??
?1
到?? = ??，求出?? =
= 13，进而求出?? =
，根据
矩形???? = 2 × (?? ⋅ ??)即可求解．
2
??2 + ??2
3 13
13
【详解】初步尝试：
证明： ∵ 四边形????是平行四边形，
∴?? ∥ ??,?? = ??，
∴∠??? = ∠???，
∵点 E、G 分别是边??、??的中点，
∴?? =
1
2?? =
1?? = ??，
2
∵?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠???，
∴180°−∠??? = 180°−∠???，即∠??? = ∠???，
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)，
∴?? = ??，
∵?? ∥ ??，
∴四边形????是平行四边形，
∵∠??? = 90°，
∴四边形????为矩形；深入探究：
解：连接??交??于点 O，连接??,??，过点?作?? ⊥ ??于点 T，
∵ 四边形????是菱形，
∴?? = ?? = ?? = ??，?? ⊥ ??，
∵?? = 2，点 E、G 分别是边??、??的中点，
∴?? = ?? = ?? = ?? = 4，在Rt △ ???中，
∴?? =
同理
1?? = 2，
2
1，
?? = 2?? = 2
同理初步尝试得： △ ???≌ △ ???，四边形????为矩形，
∴?? = ??，
∵?? = ??，
∴??−?? = ??−??，即?? = ??，
∵?? = ??，
∴点?,?,?共线，
∴?? = ?? = ?? + ?? = 4，
∴?? = ?? = ?? + ?? = 4，
∵ ∠??? = 60°，
∴∠??? = 30°，
∴?? =
1?? = 2，
2
??2−??2
∴?? == 2 3，
∴?? = ??−?? = 2 3−2，
∴?? =
1?? = 3−1，?? = ??·cs30° = 3− 3，
2
∴?? = ??−?? = 3−1，
∴?? = ??，
∴ △ ???是等腰直角三角形，
∴?? = 2?? = 6− 2，
??2−??2
∴?? =
=
+ 2，
6
∴四边形????的面积为??·?? = 4； 拓展延伸：连接??，作?? ⊥ ??于 N，
同理深入探究可知，?? = ?? = ?? = 2，
∵∠??? = ∠???,∠??? = ∠??? = 90°，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??，
??
??
??2 + ??2
∵?? == 13，
??
即 2 =
3
2 ，
13
13
解得?? = 3 13，
1
∴?
13 13
6 13
13
矩形???? = 2 × (2?? ⋅ ??) = 2 × 2 × 2 × 13 =．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，正弦，余弦，勾股定理，相似三角形的判定与性质．熟练掌握矩形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，正弦， 余弦，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
题型三 相似三角形的几何探究
【典例 01】同学们学习了华师版数学八年级上册教材中信息技术应用“探索三角形的边、角关系”后，发现可以通过轴对称的性质及“截长补短”法解决一些几何图形问题．
(1)（1）在 △ ???中，??平分∠???，∠??? = 2∠?，求证：?? = ?? + ??；任选下面一种方法，并写出完整的证明过程：
方法一：如图①，在??上截取??，使得?? = ??，连接??，可以得到全等三角形，进而解决问题；方法二：如图②，延长??到点 F，使得?? = ??，连接??，可以得到等腰三角形，进而解决问题．
如图③，在 △ ???中，∠??? = 2∠?，?? ⊥ ??交??于点 H，直接写出??、??、??之间的等量关系
．
如图④，在 △ ???中，??平分∠???，∠??? = 2∠?，??、??分别为∠???、∠???的角平分线，
?? = 5，?? = 3，?? =
25
8 ，直接写出?? = ．
【答案】(1)证明见解析
(2)?? + 2?? = ??
8
(3)39
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、解分式方程、等腰三角形的判定和性质等知识，准确添加辅助线构造全等三角形和熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
（1）选择方法一：证明△ ???≌ △ ???(SAS)．则?? = ??,∠? = ∠???，证明∠??? = ∠?，则
?? = ?? = ??，即可得到结论；选择方法二：证明 △ ???≌ △ ???(AAS)．则?? = ??，即可得到结论；
（2）在??上取点G，使?? = ??，证明?? = ??，?? = ??，则?? = ??，即可得到?? + ?? = ?? + 2?? = ??；
（3）根据角平分线的性质定理可知点 D 到??的距离等于点 D 到??
?△?????
=
?△???
=
的距离，得到?
△???
??，又由?
△???
??
??
??
??
??
??，得到?? = ??，同理，?? = ??，设?? = ?，?? = ?，列出方程组并解方程组即可得到答案．
【详解】（1）若选择方法一．
证明：如图①，在??上截取??，使得?? = ??，连接??，
∵??平分∠???，
∴∠??? = ∠???．又∵?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)．
∴?? = ??,∠? = ∠???，
∵∠??? = 2∠?，
∴∠??? = 2∠?，
∵∠??? = ∠??? + ∠?，
∴∠??? = ∠?，
∴?? = ?? = ??，
∴?? = ?? + ?? = ?? + ??．若选择方法二．
证明：如图②，延长??到点 F，使得?? = ??，连接??，
∵??平分∠???，
∴∠??? = ∠???．又∵?? = ??，
∴∠? = ∠???．
∴∠??? = ∠? + ∠??? = 2∠?．
∵∠??? = 2∠?，
∴∠? = ∠?．
∵?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)．
∴?? = ??，
∴?? = ?? + ?? = ?? + ??，
∴?? = ?? + ??．
解：在??上取点 G，使?? = ??，
∵?? ⊥ ??,?? = ??，
∴?? = ??，
∴∠? = ∠???，
∵∠??? = 2∠?，∠??? = ∠? + ∠???，
∴∠? = ∠???，
∴?? = ??，
∴?? = ??，
∴?? + ?? = ?? + 2?? = ??．故答案为：?? + 2?? = ??；
解：∵??平分∠???，
∴点 D 到??的距离等于点 D 到??的距离，
∴?△??? = ??，
?△???
??
∵
?△???
?△???
??
= ??，
??
??
∴?? = ??，
????
同理，?? = ??
，
设?? = ??? = ?，则?? = ?? + ?? = 3 + ?,?? = ?? + ?? = 25 +?
8
535
∴= ，
25
= 8 ，
25 +?
8
??+3?
39
∴? = 8 ，
39
∴?? = 8 ．
39
故答案为： 8 ．
【变式 01】小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题：如图，在Δ???中，点 D 是??的中点，点 E
是??中点．连结??，??交于点 G，求??的值．
??
小明发现，过点 D 作??∥??交??于 H，根据平行线分线段成比例即可得到问题的答案．下面是小明的部分解题过程：
解：如图 1，过点 D 作??∥??交??于 H，
∵ ?是??的中点，
∴ ?? = ??，
??
∴ ??
??
= ??
= 1，
请你补全余下的解题过程．
【尝试应用】
??
如图 2，在▱????中，E、F 分别是??、??的中点，连接??分别交??、??于 M、N，则?? = ．
【拓展提高】
如图 3，点 E 是??边的中点，?? = 2??,??、??交于?,?? = 10，?? = 6, ?? ⊥ ??，直接写出四边
形????的面积．
1
【答案】（1）见解析；（2）3；（3）18.75
【分析】此题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例等知识，理解题意，熟练掌握平行线分线段成比例是解题关键．
根据平行线分线段成比例定理和中点的定义进行解答即可；
????
（2）连接??交??于点?，则点?为??的中点，点?为??的中点．根据（1）问可得?? = 2．同理可得??
= 2,由点?为??的中点得到?? = ??，即可证明结论成立；
（3）过点 E 作??∥??交??于 G，由（1）同理得出?? = ?? = ?? = 1，确定?? = ?? = ??，同理确定?? =
??
??
??2
??
?? = ?? = 1，?? = 7.5，?? = 2.5，?? = 3，?? = 3，结合图形利用?
= ?
−?
即可求解．
????2
四边形????
△???
△???
【详解】（1）解：如图 1，过点 D 作??∥??交??于 H，
∵ ?是??的中点，
∴ ?? = ??，
??
∴ ??
??
= ??
= 1，
∵ ?是??的中点
∴ ?? = ??
??
∴ ??
= 2．
又∵ ??∥??
????
∴ ?? = ?? = 2
证明：连接??交??于点?，则点?为??的中点，点?为??的中点．
∵ ?为??的中点，根据（1）问可得
??
∴ ??
= 2．
??
同理可得?? = 2
∵ 点?为??的中点
∴ ?? = ??
∴ ?? = ?? = ??，
??1
∴ ?? = 3．
过点 E 作??∥??交??于 G，
同理得：?? = ?? = ?? = 1，
??????2
∴?? = ??，
∵?? = 2??，
∴?? = ?? = ??，
??????1
同理得：?? = ?? = ?? = 2，
∴?? = 4，?? = 10
??
∴?? = 3，
??
∴ ?? = 7.5，?? = 2.5，
??
同理得：?? = 2，?? = 6，
∴?? = 3，?? = 3，
11
∴ ?
△??? = 2?? ⋅ ?? = 2 × 6 × 7.5 = 22.5，
1
∴ ?△??? = ?△??? = 22.5 = 2?△??? ，
∴ ?△??? = 45，
∵?? = 2??，
2
∴ ?△??? = 3?△??? = 30，
?11
△??? = 2?? ⋅ ?? = 2 × 7.5 × 3 = 11.25．
∵ ?四边形???? = ?△???−?△???
= 30−11.25
= 18.75．
【变式 02】（2024·四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图 1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．
在△ ???中，点?为边??上一点，连接??．
初步探究
如图 2，若∠??? = ∠?，求证：??2 = ?? ⋅ ??；
尝试应用
如图 3，在（1）的条件下，若点?为??中点，?? = 4，求??的长；
创新提升
如图 4，点?为??中点，连接??，若∠??? = ∠??? = 30°，∠??? = ∠???，?? = 2 7，求??的长．
【答案】(1)证明见解析
2
(2)?? = 2
21
(3)
【分析】（1）根据题意，由∠??? = ∠?，∠? = ∠?，利用两个三角形相似的判定定理即可得到 △ ???∽
△ ???，再由相似性质即可得证；
（2）设?? = ?? = ?，由（1）中相似，代值求解得到?? = 2?，从而根据△ ???与 △ ???的相似比为
??
?? =
1
2
求解即可得到答案；
（3）过点?作??的平行线交??的延长线于点?，如图 1 所示，设?? = ?? = ?，过点?作?? ⊥ ??于点?，如图 2 所示，利用含30°的直角三角形性质及勾股定理即可得到相关角度与线段长，再由三角形相似的判定
??????
2?1
与性质得到?? = ?? = ?? =
=，代值求解即可得到答案．
2 7?
7
【详解】（1）证明：∵∠??? = ∠?，∠? = ∠?，
∴ △ ???∽ △ ???，
∴?? = ??，
??
??
∴??2 = ?? ⋅ ??；
解：∵点?为??中点，
∴设?? = ?? = ?，
由（1）知△ ???∽ △ ???，
∴??2 = ?? ⋅ ?? = ? ⋅ 2? = 2?2，
∴?? = 2?，
??1
∴ △ ???与 △ ???的相似比为?? = 2，
∴?? = 1 ，
??2
∵?? = 4
∴?? = 2 2；
解：过点?作??的平行线交??的延长线于点?，过?作?? ⊥ ??，如图 1 所示：
∵点?为??中点，
∴设?? = ?? = ?，
∵∠??? = ∠??? = 30°，
∴?? = ?? = 2?，∠??? = 120°，
在Rt △ ???中，1
，则由勾股定理可得?? = 2 3?，
?? = 2?? = ?
过点?作?? ⊥ ??于点?，如图 2 所示：
∴∠??? = 60°，
∴∠??? = 30°，
∴?? =
1??，
2
∴?? = ?，?? = 3?，
∴?? = 2?，
∴?? = 7?，
∵??∥??，点?为??中点，
∴?? = 2?? = 2 7?，?? = 2?? = 4 3?，∠??? = ∠?，又∵∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠?， △ ???∽ △ ???，
2 7?
∴?? = ?? = ?? = 2? = 1 ，
??????7
又∵?? = 2 7，
∴?? = 2，?? = 14，
∴?? = 12，即4 3? = 12，
∴? = 3，
∴?? = 7? = 21．
【点睛】本题考查几何综合，涉及相似三角形的判定与性质、含30°的直角三角形性质、勾股定理等知识，熟练掌握三角形相似的判定与性质是解决问题的关键．
【变式 03】【感知】小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题：
如图，在△ ???中，点?是??的中点，点?是??的一个三等分点，且?? = 1??．连结
3
??，??交于点?，求??的值．
??
小明发现，过点?作?? ∥ ??交??于?，可证明△ ???≌ △ ???，得到相关结论后，再利用相似三角形的性质即可得到问题的答案．下面是小明的部分证明过程：
解：如图①，过点?作?? ∥ ??交??于?，则∠??? = ∠???，∠??? = ∠???，
∵?是??的中点，
∴?? = ??，
∴?? = ?? = 1，
????
∴?? = ??，
∴?? =
1??，
2
∵?是??的一个三等分点，且?? =
1??，
3
∴?? =
1??，
2
∴?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???
请你补全余下的证明过程．
【尝试应用】
如图②，在△ ???中，?为??上一点，?? = ??，连结??，若?? ⊥ ??，交??、??于点?、?．若?? = 6，
?? = 2，?? = 5，则??的长为．
【拓展提高】
如图③，在平行四边形????中，点?为??的中点，点?为??上一点，??与??、??分别交于点?、?，若
??1
??
?? = ?，则??的值为．
35?+1
【答案】【感知】3，补全证明见详解；【尝试应用】 8 ；【拓展提高】 ?
【分析】[感知]由△ ???≌ △ ???得?? = ??，可推导出?? = 3??，进而得出答案．
????
[尝试应用]取??的中点 H，连接??，得?? = ??，则??∥??，可证 △ ??? ∽△ ???，得?? = ??，可得??，
进而求得??．
[拓展提高]作??∥??交??于点 L，得
1
?? = ?? = 2??
，由平行四边形得??∥??和?? = ??，可证
△ ??? ∽△ ???，得到?? = 2? ⋅ ??，由 △ ??? ∽△ ???，得到?? =
2?+1
2?
??，进一步得?? =
2?+1
?
??
??，则有??．
【详解】解：感知：如图①，过点?作?? ∥ ??交??于?，则∠??? = ∠???，∠??? = ∠???，
∵?是??的中点，
∴?? = ??，
∴?? = ?? = 1，
????
∴?? = ??，
∴?? =
1??，
2
∵?是??的一个三等分点，且?? =
1??，
3
∴?? =
1??，
2
∴?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(ASA)，
∴?? = ??，
∴?? = ?? = ?? + ??，
∴?? = 3??，
∴?? = 3，
??
尝试应用：
取??的中点 H，连结??，如下图：
AI
则?? = ??，
∵?? = ??=6，?? ⊥ ??，?? = 2，?? = 5
∴?? = ??，?? = ?? + ?? = 6 + 2 = 8，
∴?? ∥ ??，?? =
1?? = 1，
2
∵?? ∥ ??，
∴ △ ???∽ △ ???，
∴?? = ?? = 1，
????8
∴?? =
1
?? =
8
15
8 × 5 = 8，
535
∴?? = ??−?? = 5−8 = 8 ．
拓展提高：
如图，作?? ∥ ??交??于点 L，
AI
∵点 E 为??的中点，
∴?? = ??，
∴?? = ?? = 1，
??
则
??
1
?? = ?? =
??，
2
∵四边形????是平行四边形，
∴?? ∥ ??，?? = ??，
∵?? ∥ ??，
∴ △ ???∽ △ ???，
∴?? = ?? = ?? = 1 ，
???????
则?? = ? ⋅ ?? = ? × 2?? = 2? ⋅ ??，
∵?? ∥ ??，
∴ △ ???∽ △ ???，
????2?⋅??+??2?+1
∴===
??
??
2?⋅??
2? ，
则?? = 2?+1??，
2?
那么，?? = 2?? = 2 × 2?+1?? = 2?+1，
2?
? ??
∴?? = ??−?? =
2?+1
?
??−?? =
?+1
，
??
?
??
故?? =
?+1
? ．
?+1
故答案为∶ ? ．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线定理、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，解题的关键是作辅助线并转化线段之间的关系．
【变式 04】（2024·四川资阳·中考真题）（1）【观察发现】如图 1，在△ ???中，点 D 在边??上．若
∠??? = ∠?，则??2 = ?? ⋅ ??，请证明；
【灵活运用】如图 2，在△ ???中，∠??? = 60°，点 D 为边??的中点，?? = ?? = 2，点 E 在??上，连接??，??．若∠??? = ∠???，求??的长；
【拓展延伸】如图 3，在菱形????中，?? = 5，点 E，F 分别在边??，??上，∠??? = 2∠???，延长??，??相交于点 G．若?? = 4，?? = 6，求??的长．
【答案】（1）见解析；（2）?? = 13−1；（3）?? = 24 5
311
????
【分析】（1）证明△ ??? ∽△ ???，得出?? = ??，即可证明结论；
过点 C 作?? ⊥ ??于点 F，过点 D 作?? ⊥ ??于点 G，解直角三角形得出?? = ?? × sin60° = 2 × 3 =
2
1??????113
3，?? = ?? × cs60° = 2 × 2 = 1，证明△ ??? ∽△ ???，得出?? = ?? = ?? = 2，求出?? = 2?? = 2 ，
??2−??2
22−
3
2
2
13
根据勾股定理得出?? =
=
= 2 ，得出?? = ?? + ?? = 1 + 13，证明
13−1
3
????
△ ??? ∽△ ???，得出?? = ??，求出?? =；
????
连接??，证明 △ ??? ∽△ ???，得出?? = ??，求出?? = 2，证明 △ ???为直角三角形，得出∠??? = 90°，
??2 + ??2
根据勾股定理求出?? =
=
??
42 + 82
4 5−??
= 4 5，证明△ ??? ∽△ ???，得出
6
= 5，求出结
果即可．
【详解】解：（1）∵∠??? = ∠?，∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??，
??
??
∴??2 = ?? ⋅ ??；
过点 C 作?? ⊥ ??于点 F，过点 D 作?? ⊥ ??于点 G，如图所示：
则∠??? = ∠??? = 90°，
∴??∥??，
∵∠??? = 60°，
∴?? = ?? × sin60° = 2 × 3 = 3，1，
2?? = ?? × cs60° = 2 × 2 = 1
∵?为??的中点，
∴?? = ?? =
1?? = 2，
2
∵??∥??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ?? = ?? = 1，
??????2
，
13
∴?? = 2?? = 2
??2−??2
∴?? =
=
13
22−
3
2
2
，
= 2
∴?? = 2?? = 13，
∴?? = ?? + ?? = 1 + 13，
∵?? = ??，
∴∠??? = ∠???，
∵∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? = 180°，
∴∠??? = ∠???，
∵∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??，
??
??
??2
即 2 = ，
1+ 13
3
解得：?? = 13−1；
连接??，如图所示：
∵四边形????为菱形，
∴∠??? = ∠??? =
1∠???，?? = ?? = ?? = 5，??∥??，
2
∵∠??? = 2∠???，
∴∠??? = ∠??? = ∠???，
∴∠???−∠??? = ∠???−∠???，即∠??? = ∠???，
∵??∥??，
∴∠??? = ∠?，
∴∠??? = ∠?，
∵∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??
????，
∵?? = 6，
∴?? = ?? + 6，
∴?? =4 ，
4??+6
解得：?? = 2，负值舍去，
∴?? = 2 + 6 = 8，
∴?? = ??−?? = 3，
∵??2 +??2 = 32 + 42 = 52 = ??2，
∴ △ ???为直角三角形，∠??? = 90°，
∴∠??? = 180°−90° = 90°，
∴在Rt △ ???中根据勾股定理得：
??2 + ??2
?? =
=
= 4 5，
42 + 82
∴?? = ??−?? = 4 5−??，
∵??∥??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??
????，
??
4 5−??
即
6
= 5，
11
解得：?? = 24 5．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理及其逆定理，三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．
【变式 05】（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在▱????中，∠???为锐角，点?在边??上，连接
??,??，且?△??? = ?△???．
如图 1，若?是边??的中点，连接??，对角线??分别与??,??相交于点?,?．
①求证：?是??的中点；
②求??:??:??；
如图 2，??的延长线与??的延长线相交于点?，连接??,??的延长线与??相交于点?．试探究线段??
与线段??之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)①见解析；②??:??:?? = 2∶1∶3
(2)?? = 3??，理由见解析
【分析】（1）①根据?△??? = ?△???，得出?为??的中点，证明出 △ ???≌ △ ???即可；②先证明出
????
△ ??? ∽△ ???得到?? = ?? = 2，然后再根据平行四边形的性质找到线段的数量关系求解；
连接??交??于点?，证明 △ ???≌ △ ???(AAS)，进一步证明出四边形????为平行四边形，得出??
为△ ???的中位线，得到
1
?? = 2??
，再证明出 △ ???≌ △ ???得到?? = ??，再通过等量代换即可求解．
【详解】（1）解：① ∵ ?△??? = ?△???，
∴ ?为??的中点，
∴ ?? = ??，
∵ ?是边??的中点，
∴ ?? = ??，
∴ ?? = ??，
在▱????中，?? ∥ ??
∴∠??? = ∠???， 又∵∠??? = ∠???，
∴△ ???≌ △ ???(AAS)，
∴ ?? = ??，
∴ ?是??的中点；
② ∵ ?? = ??,??∥??，
∴ 四边形????为平行四边形，
∴ ??∥??，
∴△ ??? ∽△ ???，
????
∴ ?? = ??，
∵ △ ???≌ △ ???，
∴ ?? = ??，
??
∴ ??
??
= ??
= 2，
∴ ?? = 2??，
∴ ?? =
1
3?? =
1??，
3
∴ ??:??:?? = 2∶1∶3；
（2）解：线段??与线段??之间的数量关系为：?? = 3??，理由如下：连接??交??于点?，如下图：
由题意，??的延长线与??的延长线相交于点?，连接??,??的延长线与??相交于点?，
∵ ?? = ??,∠??? = ∠???，又∵ ??∥??，
∴ ??∥??，
∴ ∠??? = ∠???，
∴△ ???≌ △ ???(AAS)，
∴ ?? = ??，
∴ 四边形????为平行四边形，
∴ ?? = ??,?? = ??，
∵ ?? = ??，
∴ ?? = ??，
∴ ?为??的中点，
∵ ??∥??，
????1
∴ ?? = ?? = 2，
∴ ?为??的中点，
∴ ??为△ ???的中位线，
∴ ?? =
1??，
2
∵ ?? = ??,∠??? = ∠???,∠??? = ∠???，
∴△ ???≌ △ ???(ASA)，
∴ ?? = ??，
∴ ?? = ?? =
1??，
2
∴ ?? = 2??，
∴ ?? = ?? + ?? = 3??，
∴ ?? = 3??．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定及性质，三角线相似的判定及性质，三角形的中位线等知识，解题的关键是添加适当的辅助线构造全等三角形来求解．
【变式 06】（2023·浙江湖州·中考真题）【特例感知】
如图 1，在正方形????中，点 P 在边??的延长线上，连接??，过点 D 作?? ⊥ ??，交??的延长线于点 M．求证： △ ???≌ △ ???．
【变式求异】
如图 2，在Rt △ ???中，∠??? = 90°，点 D 在边??上，过点 D 作?? ⊥ ??，交??于点 Q，点 P 在边
??
??的延长线上，连接??，过点 Q 作?? ⊥ ??，交射线??于点 M．已知?? = 8，?? = 10，?? = 2??，求??
的值．
【拓展应用】
如图 3，在Rt △ ???中，∠??? = 90°，点 P 在边??的延长线上，点 Q 在边??上（不与点 A，C 重 合），连接??，以 Q 为顶点作∠??? = ∠???，∠???的边??交射线??于点 M．若?? = ???，?? = ???
??
（m，n 是常数），求??的值（用含 m，n 的代数式表示）．
81−?
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）
1 + ?2
3?
【分析】（1）根据ASA证明 △ ???≌ △ ???即可；
（2）证明△ ???∽ △ ???，得出?? = ?? = ??，根据勾股定理?? =
??2−??2
= 6，根据?? ∥ ??，得
出△ ???∽ △ ???，求出=
??
??
??
??
??
2
= ，得出?? =
16
??
??
8
=
??
??
3
3
，求出
??
??
3
=；
??2 + ??2
（3）?? =
=1 + ?2??，作?? ⊥ ??于点 N，证明△ ???∽ △ ???，得出?? = ??．证明
△ ???∽ △ ???
??
??
????
??
1−?
?
1 + ?2
??
??
??
??
1+?2??
，得出?? = ?? ==
【详解】（1）证明：在正方形????中，
∠? = ∠??? = ∠??? = 90°，?? = ??，
∴∠? = ∠??? = 90°，
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???，
∴ △ ???≌ △ ???(ASA)．
1+?2，求出?? = ?? =．
（2）如图 1，作?? ⊥ ??于点 N，如图所示：
∵∠??? = 90°，?? ⊥ ??，
∴四边形????是矩形，
∴∠??? = 90°，?? = ??，
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???，
∵∠??? = ∠??? = 90°，
∴ △ ???∽ △ ???，
∴?? = ?? = ??，
??
??
??
∵?? = 8，?? = 10，∠??? = 90°，
??2−??2
∴?? == 6，
∵?? = 2??，
∴?? = 2，
∵∠??? = ∠??? = 90°，
∴?? ∥ ??，
∴ △ ???∽ △ ???，
????2
∴?? = ?? = 3，
16
∴?? = 3 ，
∴?? = ?? = 8；
????3
（3）∵?? = ???，?? = ??? ，
∴?? = ????，
∴?? = ??−?? = (?−??)??．
∵∠??? = 90°，
??2 + ??2
∴?? =
=1 + ?2??，
如图 2，作?? ⊥ ??于点 N，
∵∠? + ∠??? + ∠??? + ∠??? = 360°，
∴∠??? + ∠??? = 180°，
∴∠??? = ∠???．
∵∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∵∠? = ∠??? = 90°，
∴ △ ???∽ △ ???，
∴?? = ??．
??
??
∵∠? = ∠??? = 90°，∠??? = ∠???，
∴ △ ???∽ △ ???，
1+?2??
∴?? = ?? =????
??
1+?2
=，
????
∴?? =
?? ??
1+?2
∴?? = ?? = 1−?
1 + ?2．
?????
【点睛】本题主要考查了三角形全等和三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．
【变式 07】（2025·上海金山·一模）已知 △ ???的顶点 E 在△ ???的内部，点 D、点 E 在直线??同侧．
如图 1，联结??、??、??，若 △ ???和 △ ???是等边三角形时，点 C、点 E、点 D 三点共线．??:?? = 1∶2，求?△???∶?△???的比值；
如图 2，联结??、??、??，∠??? = ∠??? = ?°(0 < ? < 90)，若?? = ??,?? = ??求∠???−∠???的值（用含 n 的代数式表示）；
(3)在等腰三角形???中，?? = ?? = 5，?? = 8，?? ⊥ ??，点 E 在高??上，点 D 在??的延长线上，联结
??并延长交边??于点 F，联结??,??，若∠??? = ∠???， △ ???与 △ ???相似时，求??的长．
7
【答案】(1)4
(2)∠???−∠??? = ?°
33
(3)EH = 61或 0
【分析】（1）过点 A 作?? ⊥ ??于点 H，可得?? = 3?，?? = ?? = 2?，根据勾股定理求出?? = 7?，
根据△ ??? ∽△ ???
?△???4
= ；
，可以求出?7
△???
（2）先证明△ ???≌ △ ???，得到∠1 = ∠2，再证明∠??? = ∠??? + ∠2 + ∠3 = ?° + ∠???，即可求出
∠???−∠??? = ?°；
（3）先求出?? = ?? = 4,∠??? = ∠???，?? = 3，①当△ ??? ∽△ ???时，证明
∠1 = ∠2 = ∠3，进而证明?? = ??，∴设?? = ?? = 5?，则?? = 6?，根据 △ ??? ∽△ ???求出?? =
25
6 ,?? =
12555
，?? =
11116133
3636﹒过点 F 作?? ⊥ ??于点 G，求出?? = 12，?? = 9 ，?? = 9 ，即可求出?? = 61；②当
△ ??? ∽△ ???时，则∠1 = ∠2，证明∠??? = ∠???，即可证明 △ ???≌ △ ???，即可得到 E、H 重合，
C、F 重合，从而得到?? = 0﹒
【详解】（1）解：如图，过点 A 作?? ⊥ ??于点 H，
∵ △ ???是等边三角形，
∴?? = ?? = ??，
设?? = ?? = ?? = ?，则?? = 3?，?? = ?? = 2?，
??2 + ??2
在Rt △ ???中，?? == 7?，
∵ △ ???和 △ ???是等边三角形，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?△???
?△???
??
= (??)
2?
7?
2
2
= ()
4
= 7；
（2）解：如图，
∵∠??? = ∠??? = ?°，
∴∠??? = ∠???，
又∵?? = ??,?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???，
∴∠1 = ∠2，
∵∠??? = 180°−(∠??? + ∠???)
= 180°− 180°−(∠??? + ∠2 + ∠3)
= ∠??? + ∠2 + ∠3
= ∠??? + ∠1 + ∠3
= ?° + ∠???
∴∠???−∠??? = ?°；
（3）解：∵?? = ?? = 5，?? = 8，?? ⊥ ??，
∴?? = ?? = 4,∠??? = ∠???，
??2−??2
∴?? == 3，
①如图，
∵∠??? = ∠1 + ∠???,∠??? = ∠3 + ∠???,∠??? = ∠???，
∴∠1 = ∠3，
当△ ??? ∽△ ???时，∠1 = ∠2，
∴∠1 = ∠2 = ∠3，
∴∠??? = ∠???，
∴?? = ??，
∵∠??? = ∠???，
??4
∵sin∠??? = ?? = 5，
4
∴sin∠??? = 5，
∴设?? = ?? = 5?，则?? = 6?，
∵ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ?? = ??，
??
??
??
5 ??6?
即==
??
??
25
5?，
25
6
21
125
∴?? =
6 ,?? =
× 5 =
36 ，
55
∴?? = ??−?? = 36﹒
过点 F 作?? ⊥ ??于点 G，
55311
55411
?? = ?? ⋅ sin∠? = 36 × 5 = 12，?? = ?? ⋅ cs∠? = 36 × 5 = 9 ，
61
∴?? = ??−?? = 9 ﹒
????
∵tan∠??? = ?? = ??，
11
∴?? = 12，
461
9
33
解得?? = 61；
②如图，
当△ ??? ∽△ ???时，则∠1 = ∠2，
∵∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∵?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???，
∴?? = ??，
∴E、H 重合，C、F 重合，
∴?? = 0﹒
33
综上，?? = 61或0﹒
【点睛】本题为相似三角形的综合应用，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数应用等知识，理解相关知识，根据题意正确添加辅助线，是解题关键，第（2）步注意分类思想运用．
题型四 圆的几何探究
【典例 01】（2026·陕西西安·模拟预测）四边形????内接于 ⊙ ?，对角线?? = ??，F 为??延长线上一点，连接??，∠??? = ∠???．
如图 1，求证：??∥??；
如图 2，连接??并延长至点 E，连接??，若??平分∠???，求证：?? = ??；
如图 3，在（2）的条件下，tan∠? = 2，?△??? = 4，?? = 2，延长??交??于点 T，求??的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)?? = 5 13
9
【分析】（1）由等腰三角形的性质及已知得∠??? = ∠???；再由圆内接四边形的性质得
∠??? + ∠??? = 180°，从而得结论成立；
证明△ ???≌ △ ???，得?? = ??，再结合?? = ??即可求证；
过点 C 作?? ⊥ ??于点 H，?? ⊥ ??于点 G，证明△ ???≌ △ ???， △ ???≌ △ ???，则?? = ??，
?? = ??，?? = ??；证明∠? = ∠???，则tan∠??? =
??
??
= 2；设?? = ?? = ?，则?? = 2?，从而可表示
出??、??，由面积可求得 x 的值，从而求得??、??的值；过点 A 作??∥??，交??延长线于点 Q，可证明
??
△ ??? ∽△ ???，得?? =
；设?? = 13?，?? = 2?，则得??；由勾股定理求得 a 的值，即可求解．
13
2
【详解】（1）证明：∵?? = ??，
∴∠??? = ∠???；
∵∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? = ∠???；
∵四边形????是圆内接四边形，
∴∠??? + ∠??? = 180°，
∴∠??? + ∠??? = 180°，
∴?? ∥ ??；
（2）证明：如图，设∠1 = ?；
∵?? = ??，
∴∠??? = ∠1 = ?，
∴∠2 = 180°−2∠1 = 180°−2?；
∵?? = ??，
∴∠4 = ∠1 = ?；
∵?? = ??，
∴∠3 = ∠2 = 180°−2?，
∵∠??? = ∠3 + ∠4 = 180°−2? + ? = 180°−?，∠??? = 180°−∠4 = 180°−?，
∴∠??? = ∠???；
∵??平分∠???，
∴∠5 = ∠6；
∵?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(ASA)，
∴?? = ??；
∵?? = ??，
∴?? = ??；
（3）解：过点 C 作?? ⊥ ??于点 H，?? ⊥ ??于点 G，如图；
∵??∥??，
∴∠? = ∠???，∠? + ∠??? = 180°；
∵∠??? + ∠??? = 180°，
∴∠??? = ∠??? = ∠?；
∵∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠??? = ∠?；
∵∠??? = ∠??? = 90°，?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)，
∴?? = ??，?? = ??；
∵∠??? = ∠??? = 90°，∠??? = ∠???，
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)，
∴?? = ??；
∵tan? = 2，
∴tan∠??? =
??
??
= 2；
设?? = ?? = ?，则?? = 2?，
∴?? = ?? = ?? + ?? = 2 + ?；
1
∵?△??? = 2?? ⋅ ?? = 4，?? = ?? + ?? = ?? + ?? = ? + 2 + ? = 2? + 2，
1
∴(2? + 2) × 2? = 4，
2
解得：?1 = 1，?2 = −2（舍去），
∴?? = 2，?? = 3，
??2 + ??2
由勾股定理得：?? = ?? == 13；
过点 A 作??∥??，交??延长线于点 Q，
∴∠? = ∠???；
∵??平分∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠?，
∴?? = ?? = 13；
∵∠??? = ∠???，∠? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??，
??
??
，
即 13 = 2
????
∴?? = 13；
??2
设?? = 13?，?? = 2?，则?? = ??−?? = 2?−1；在Rt △ ???中，由勾股定理得：??2 +??2 = ??2，
即22 + (2?−1)2 = ( 13?)2，
，
2
解得：?1 = 5?
9
= −1（舍去），
5 13
9
∴?? =．
【变式 01】（2025·云南·中考真题）如图， ⊙ ?是五边形?????的外接圆，??是 ⊙ ?的直径．连接??，
??，??，∠??? = ∠???．
(1)若?? = ??，且∠??? = 60°，求∠???的度数；
(2)求证：直线??是 ⊙ ?的切线；
(3)探究，发现与证明：已知??平分∠???，是否存在常数?, ?，使等式??2 = ??? ⋅ ?? + ??? ⋅ ??成立？若存在，请直接写出一个?的值和一个?的值，并证明你写出的?的值和?的值，使等式??2
= ??? ⋅ ?? + ??? ⋅ ??成立；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)∠??? = 60°；
(2)证明见解析；
(3)存在常数? = 1，? = 1，理由见解析．
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的判定等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
证明△ ???是等边三角形即可；
延长??交 ⊙ ?于点?，连接??，由圆周角定理可得∠??? = 90°，即∠??? + ∠??? = 90°，又
∠??? = ∠???，∠??? = ∠???，所以∠??? + ∠??? = 90°，然后由切线的判定方法即可求证；
（3）设??与??交于点?，由??平分∠???，可得∠??? = ∠???，?? = ??，通过圆周角定理可得
∠??? = ∠??? = ∠???，证明 △ ??? ∽△ ???，△ ??? ∽△ ???
????
=
?? = ??，即有??2 = ?? × ??
，故有????，????
①，?? × ?? = ?? × ??②，然后通过① + ②即可求解．
【详解】（1）解：∵?? = ??，且∠??? = 60°，
∴ △ ???是等边三角形，
∴∠??? = 60°；
解：如图，延长??交 ⊙ ?于点?，连接??，
∵??是 ⊙ ?的直径，
∴∠??? = 90°，即∠??? + ∠??? = 90°，
∵∠??? = ∠???，∠??? = ∠???，
∴∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = 90°，
∴?? ⊥ ??，
∵??是⊙ ?的半径，
∴直线??是⊙ ?的切线；
（3）解：存在常数? = 1，? = 1，使等式??2 = ??? ⋅ ?? + ??? ⋅ ??成立；理由如下：
如图，设??与??交于点?，
∵??平分∠???，
∴∠??? = ∠???，
∵∠??? = ∠???，∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠??? = ∠??? = ∠???，
∴?? = ??，
∵∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???， △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??
????
=，
????，????
∴??2 = ?? × ??①，?? × ?? = ?? × ??②，
① + ②得：??2 +?? × ?? = ?? × ?? + ?? × ?? = ??(?? + ??) = ??2，
∵?? = ??，
∴??2 = ??·?? + ??·??，
∴? = 1，? = 1．
【变式 02】如图，已知??是 ⊙ ?的直径，弦?? ⊥ ??于点 E，点 M 是线段??延长线上的一点，连结??交 ⊙ ?
于点 F，连结??交??于点 G，连结??，??，??．
求证： △ ??? ∽△ ???．
(2)若?? = 2 5??，求tan∠???的值．
??
(3)在（2）的条件下，设tan∠? = ?，GB = ?．
①求 y 关于 x 的函数表达式；
E?
?△???
②若 为??的中点，求
△???
的值．
【答案】(1)见解析
2
(3)①? = 2?； 2
②
3
【分析】本题考查圆的综合应用，涉及垂径定理，圆周角定理和相似三角形的性质和判定以及解直角三角形相关的内容，需要学生对这些知识点都熟悉的情况下进行综合分析思考解题．
利用垂径定理，圆周角定理和相似三角形的判定定理解答即可；
（2）设?? = ?，则?? = 2 5?，利用直角三角形相似的判定定理和性质定理求得??，??，??，利用直角三角形的边角关系定理和（1）的结论解答即可；
①过点 G 作?? ⊥ ??于点 H，由（1）的结论得到∠? = ∠???，利用直角三角形的边角关系定理得到
??2 + ??2
?? = ???，设?? = ?，则?? = 2?，则?? == 5?，利用已知条件得到 m 与 x 的关系，
进而得到??，??的长度，利用已知条件化简即可得出结论；
②过点 A 作?? ⊥ ??于点 M，过点 C 作?? ⊥ ??于点 N，利用直角三角形的边角关系定理和相似三角形的判定与性质用 a 的代数式表示出??，??，利用三角形的面积公式化简运算即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵??是⊙O 的直径，弦?? ⊥ ??于点 E，
∴?? = ??，
∴∠??? = ∠???，
∵∠??? = ∠???，
∴ △ ???∽ △ ???；
（2）解：∵?? = 2 5??，
∴设?? = ?，则?? = 2 5?．
∵??是 ⊙ ?的直径，
∴∠??? = 90°，
∵?? ⊥ ??，
∴ △ ???∽ △ ???，
∴?? = ??．
??
??
∴=，
??−?2 5?
2 5?
??
∴?? = 5?．
∴?? = ??−?? = 4?，
??2−??2
∴?? == 2?．
∴tan∠??? =
??
?? =
4?
2?
= 2，
由（1）知：∠??? = ∠???，
∴tan∠??? = tan∠??? = 2；
（3）解：①过点 G 作?? ⊥ ??于点 H，如图，
??
则tan∠??? = ??．
由（1）知： △ ???∽ △ ???，
∴∠? = ∠???，
∵tan∠? = ?，
∴tan∠??? =
??
??
= ?，
∴?? = ???．
??1
∵tan∠??? = ?? = 2，
??1
∴tan∠??? = ?? = 2．
设?? = ?，则?? = 2?，
??2 + ??2
∴?? == 5?．
∴??? = ?，
?
∴?? = ? ．
∵?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
∴?? ∥ ??，
? ，
∴?? = ?? = 2m
GB??
?
∴? = 2?．
②过点 A 作?? ⊥ ??于点 K，过点 C 作?? ⊥ ??于点 N，如图，
∵E 为??的中点，?? ⊥ ??，
∴??垂直平分??，?? = ?? = ?，
??2 + ??2
∴?? = ??−?? = ?? = 3?， ?? == 5?，
∵??是 ⊙ ?的直径，?? ⊥ ??，
∴?? = ?? = 2?，
∴?? = 4?．
????
∵sin∠??? = ?? = ??，
? ??
∴=，
5?
4?
∴?? = 4 5?，
5
∵∠??? = ∠??? = 90°，∠??? = ∠???，
∴ △ ???∽ △ ???，
∴?? = ??，
??
??
5?
∴?? = 2? ， 3?
∴?? = 6 5?，
5
?1 ??⋅??
4 5 ?2
∴ △??? = 2 = 5 = ．
?△???
1 ??⋅??
2
6 5 ?3
5
【变式 03】（2026·陕西西安·一模）问题提出
如图①，在 △ ???中，∠? = 30°，?? = 4，求△ ???面积的最大值．问题探究
如图②，点?是 ⊙ ?上任意一点，点?在 ⊙ ?外，已知?? = 2，?? = 4，△ ???是等边三角形，求 △ ???
的面积最大值；问题解决
如图③，线段??为 ⊙ ?的直径，点?在??的延长线上，?? = 40，?? = 20，点?是⊙ ?上一动点，连接
??，以??为斜边在??上方作Rt △ ???，使∠??? = 60°，连接??，求 △ ???的面积最大值．
3
【答案】(1)8 + 4
3
(2)4+4
3
(3)300
+300
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，三角形的面积，圆周角定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键．
作出△ ???的外接圆 ⊙ ?，连接??，??，当 △ ???的??边上的高经过点 O 时， △ ???面积最大，如图，过点 O 作?? ⊥ ??，并延长??交圆于点?′，连接?′?，?′?，得出 △ ???为等边三角形，则
∠??? = 30°，?? = ??′ = ?? = 4，求出?? = 2 3，则由三角形面积公式可得出答案；
如图所示，以??为边作等边△ ???，连接??，可证△ ???≌ △ ???(SAS)，可得?? = ?? = 2，点?在以点?为圆心的圆上，且半径?? = 2，过点?作?? ⊥ ??于点?，即??是??的垂直平分线，当点?在??上其在点?的上方时， △ ???的面积的最大值，根据等边三角形，含30°角的直角三角形的性质可求出??，??的值，根据三角形的面积即可求解．
如图，作△ ???，使得∠??? = 90°，∠??? = 60°，则?? = 2??，?? = 20 3，∠??? = ∠???，由
????1
△ ??? ∽△ ???，推出?? = ?? = 2，即?? = 2?? = 10（定长），由点?是定点，??是定长，推出点?在半
径为10的⊙ ?上，由此即可解决问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
【详解】（1）解：作出 △ ???的外接圆 ⊙ ?，连接??，??，当 △ ???的??边上的高经过点 O 时， △ ???
面积最大，
如图，过点 O 作?? ⊥ ??，并延长??交圆于点?′，连接?′?，?′?，
∵∠??? = 30°，
∴∠??? = 60°，
∵?? = ??，
∴ △ ???为等边三角形，
∴∠??? = 30°，?? = ??′ = ?? = 4，
∴?? = cs30° × ?? = 2 3，
∴?′? = 4 + 2 3，
1′1
∴?△?′?? = 2 × ?? × ? ? = 2 × 4 × (4 + 2 3) = 8 + 4 3．
即△ ???面积的最大值(8 + 4 3).
解：如图所示，以??为边作等边△ ???，连接??，
∵ △ ???是等边三角形，
∴∠??? = ∠??? + ∠??? = 60°，
∵ △ ???是等边三角形，
∴∠??? = ∠??? + ∠??? = 60°，
∴∠??? = ∠???，且?? = ??，?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴?? = ?? = 2，
∴点?在以点?为圆心的圆上，且半径?? = 2，过点?作?? ⊥ ??于点?，即??是??的垂直平分线，当点?在??
上且在点?的上方时， △ ???的面积取得最大值，
∴在△ ???中，?? = ?? = ?? = 4，∠??? = 60°，?? ⊥ ??，
∴?? = ?? =
1
2?? =
1 × 4 = 2，
2
∴?? = 3?? = 2 3，且?? = 2，
3
3
∴?? = ?? + ?? = 2+2，
(2
∴?
11
3
= ??·?? = × 4 ×
+ 2) = 4
+4，
△???22
（3）解：∵?? = 40，?? = 20，
∴?? =
1?? = 20，?? = 40，
2
如图，连接??，作 △ ???，使得∠??? = 90°，∠??? = 60°，则1
，?? = 20 3，∠??? = ∠???，
∵∠??? = 90°，∠??? = 60°，
∴?? = 2??，
∴?? = ?? = 2，
?? = 2?? = 20
????
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ?? = 2，
??
即
??
1
?? =
?? = 10（定长），
2
∵点?是定点，??是定长，
∴点?在半径为10的⊙ ?上，
过?点作?? ⊥ ??，交⊙ ?于点?，则当点 D 在点?的上方时， △ ???的面积取得最大值，
∵?? =
1
2?? =
1
3
2 × 20
= 10 3，
3
3
3
∴?? = ?? + ?? = 10+10，
(10
∴?
11
= ??·?? = × 60 ×
+ 10) = 300
+300．
△???22
【变式 04】（2024·湖南·中考真题）【问题背景】
已知点 A 是半径为 r 的⊙ ?上的定点，连接??，将线段??绕点 O 按逆时针方向旋转?(0° < ? < 90°)得到
??，连接??，过点 A 作⊙ ?的切线 l，在直线 l 上取点 C，使得∠???为锐角．
【初步感知】
如图 1，当? = 60°时，∠??? = °；
【问题探究】
以线段??为对角线作矩形????，使得边??过点 E，连接??，对角线??，??相交于点 F．
①如图 2，当?? = 2?时，求证：无论?在给定的范围内如何变化，?? = ?? + ??总成立：
4??2
??
②如图 3，当?? = 3?，?? = 3时，请补全图形，并求tan?及??的值．
41
【答案】（1）30°；①证明见解析；②补全图形见解析，3，2
【分析】（1）可证△ ???是等边三角形，则∠??? = 60°，由直线 l 是⊙ ?的切线，得到∠??? = 90°，故
∠??? = 90°−60° = 30°；
（2）①根据矩形的性质与切线的性质证明△ ???≌ △ ???，则?? = ??，而?? = ??，由?? = ?? + ??，得到?? = ?? + ??；
??4
②过点 O 作?? ⊥ ??于点 G，?? ⊥ ??于点 H，在Rt △ ???中，先证明点 E 在线段??上，tan? = ?? = 3，
由等腰三角形的性质得∠??? = 1?，根据互余关系可得∠??? = ∠??? = 1?，可求tan? = ?? = 4，解
22??3
11???1
△ ???，求得tan∠??? = 2，可证明∠??? = 2?，故在Rt △ ???中，tan∠??? = tan2 = ?? = 2．
【详解】解：（1）由题意得∠??? = ? = 60°，
∵?? = ??，
∴ △ ???是等边三角形，
∴∠??? = 60°，
∵直线 l 是⊙ ?的切线，
∴∠??? = 90°，
∴∠??? = 90°−60° = 30°，故答案为：30°；
（2）①如图：
∵?? = ??，
∴∠??? = ∠???，
∵∠??? = ?，
∴∠??? + ∠??? + ? = 180°，
∴∠??? =
180°−?
2
= 90°−?，
1
2
∵∠??? = 90°，
∴∠??? =
1?，
2
∵四边形????是矩形，
∴?? = ??，?? = ?? =
1?? = ?，
2
∴∠??? = ∠??? =
1?，
2
∴∠??? =
1
2? +
1? = ?，
2
∵?? = ?? = ?，
∴?? = ??,?? = ??，
∵∠??? = ∠???，
∴ △ ???≌ △ ???，
∴?? = ??，
∵四边形????是矩形，
∴?? = ??，
∵?? = ?? + ??，
∴?? = ?? + ??；
②补全图形如图：
过点 O 作?? ⊥ ??于点 G，?? ⊥ ??于点 H，
在Rt △ ???中，4 ，
?? = ?,?? = 3?
∴由勾股定理得?? =
∵?? = 2，
5?，
3
??3
∴?? =
2?，
3
∴?? = ?? + ??，
∴点 E 在线段??上，
??4
∴在Rt △ ???，tan? = ?? = 3，
∵?? ⊥ ??，?? = ??，
∴∠??? =
1?，
2
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠??? =
1?，
2
在Rt △ ???中，tan? = ?? = 4，
??3
∴设?? = 4?,?? = 3?，
∴由勾股定理得?? = ?? = 5?，
∴?? = 5?−3? = 2?，
?
∴在Rt △ ???中，tan∠??? = tan
2
??1
= ?? = 2
∵四边形????是矩形，
∴?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠??? =
1?，
2
而∠??? =
1?，
2
∴∠??? =
1?，
2
???1
∴在Rt △ ???中，tan∠??? = tan2 = ?? = 2．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键．
【变式 05】（2024·山东淄博·中考真题）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习．
【操作发现】
小明作出了⊙ ?的内接等腰三角形???，?? = ??．并在??边上任取一点?（不与点?，?重合），连接??，然后将△ ???绕点?逆时针旋转得到 △ ???．如图①
小明发现：??与⊙ ?的位置关系是，请说明理由：
【实践探究】
连接??，与??相交于点?．如图②，小明又发现：当△ ???确定时，线段??的长存在最大值．请求出当?? = 3 10．?? = 6时，??长的最大值；
【问题解决】
在图②中，小明进一步发现：点?分线段??所成的比??:??与点?分线段??所成的比??:??始终相等．请予以证明．
【答案】操作发现：??与⊙ ?相切；实践探究：3 10；问题解决：见解析
10
【分析】操作发现：连接??并延长交 ⊙ ?于点 M，连接??，根据直径所对圆周角为直角得到
∠??? = 90°，根据旋转的性质得到∠? = ∠???，由圆周角定理推出∠? = ∠???，等量代换得到
∠??? = ∠???，利用直角三角形的性质即可证明∠??? = 90°，即可得出结论；
实践探究：证明 △ ???∽ △ ???，得到∠? = ∠??? = ∠???，结合三角形外角的性质得到∠??? = ∠???，
易证△ ???∽ △ ???
?? = ??，设?? = ?，则?? = 6−?，得到?? = 10?(6−?) = − 10(?−3)2 +
，得到??
??
3030
10
3 10，利用二次函是的性质即可求解；
问题解决：过点 E 作??∥??交??于点 N，由旋转的性质知：∠? = ∠???，证明∠??? = ∠???，推出
?? = ??，由旋转的性质得： △ ???≌ △ ???，
????
得到?? = ??，根据??∥??，易证 △ ???∽ △ ???，得到?? = ??，即可证明结论．
【详解】操作发现：
解：连接??并延长交 ⊙ ?于点 M，连接??，
∵ ??是⊙ ?直径，
∴ ∠??? = 90°，
∴ ∠??? + ∠??? = 90°，
由旋转的性质得∠? = ∠???，
∵ ∠? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? = 90°，
∵ ??是⊙ ?的半径，
∴ ??与⊙ ?相切；实践探究：
解： 由旋转的性质得：∠??? = ∠???,?? = ??，
∴ ∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠???即∠??? = ∠???，
∵ ?? = ??，
????
∴ ?? = ??，
∴△ ???∽ △ ???，
∴ ∠? = ∠??? = ∠???，
∵ ∠??? = ∠??? + ∠??? = ∠? + ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∴△ ???∽ △ ???，
????
∴ ?? = ??，
设?? = ?，则?? = 6−?，
∴ 3 10 = ? ，
6−?
??
= −
∴ ?? = 10?(6−?) 10(?−3)2 + 3 10，
303010
∵ − 10 < 0，
30
3 10
10
∴ 当? = 3时，??有最大值为；
问题解决：
证明：过点 E 作??∥??交??于点 N，
∴ ∠??? = ∠???
由旋转的性质知：∠? = ∠???，
∵ ∠? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ?? = ??，
由旋转的性质得： △ ???≌ △ ???，
∴ ?? = ??，
∴ ?? = ??，
∵ ??∥??，
∴△ ???∽ △ ???，
????
∴ ?? = ??，
∵ ?? = ??，
????
∴ ?? = ??．
【点睛】本题考查圆周角定理，切线的证明，旋转的性质，三角形相似的判定与性质，二次函数最值的应用，正确作出辅助线，构造三角形相似是解题的关键．
【变式 06】（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）在 ⊙ ?中，弦??，??相交于点?，?? = ??，连接??，??．
如图 1，求证：??∥??；
如图 2，连接??并延长交??于点?，求证：∠??? = ∠???；
如图 3，在（2）的条件下，作?? ⊥ ??于点?，连接??，点?在??上，连接??，点?在??上，连接??
交??于点?，交??于点?，连接??，若??−?? = 3??，?? = ??，∠??? = 2∠???，?? = 2，?? = 8，
2
求??的长．
【答案】(1)见解析
见解析
7
24 7
【分析】（1）可得出∠??? = ∠???，∠??? = ∠???，从而∠??? = ∠???，从而??∥??；
连接??，??，可证得 △ ???≌ △ ???，从而得出∠??? = ∠???；
先证明△ ???是等边三角形， △ ???是等边三角形，在??上取一点?，使?? = ??，连接??．得出
△ ???≌ △ ???，设?? = ?? = ?．则?? = 8 + ?，?? = 2 + ?，求出?? = 4 + ?，设∠??? = ?．则
∠??? = 2∠??? = 2?，证明∠??? = ∠???，得出?? = ?? = 8 + ?，过?作?? ⊥ ??于点?，则
?? = ?? = 1?? = ? + 2，∠??? = ∠??? = 90°．列方程得出(4 + 2?)2−(2 + ?)2 = (8 + ?)2−22，根据勾
2
股定理得出?? =
= 8 3，在Rt △ ???中，tan? = tan∠??? = ?? = 8 3 = 3，设??与??的交
??2−??2
??162
点为?．证明△ ??? ∽△ ???， △ ??? ∽△ ???，得出?? = 8，过?作?? ⊥ ??于点?．则
228 7
2
∠??? = ∠??? = 90°．设?? = 3?，?? = 2?，根据( 3?) + (2?) = 8 ，得出? = 7 进而可得出答案．
【详解】（1）证明： ∵ ?? = ??，
∴ ∠??? = ∠???．
∵ ?? = ??，
∴ ∠??? = ∠???．
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ?? ∥ ??.
证明： ∵ ??∥??．
∴ ∠??? = ∠??? = ∠???，
∴ ?? = ??，连接??，??．
则?? = ??．
∵ ?? = ??．
∴△ ???≌ △ ???．
∴ ∠??? = ∠???．
解： ∵ ?? ⊥ ??．
∴ ?? = ??．
∵ ??−?? = 3??，
2
2
∴ ?? = ??−?? = 3??．
∵ 在Rt △ ???中，
．
??3
cs∠??? = ?? = 2
∴ ∠??? = 30°
∴ ∠??? = ∠??? = 30°，
∴ ∠??? = 60°．
∵ ?? = ??，
∴△ ???为等边三角形．
∴ ∠??? = ∠??? = 60°，?? = ??．
∵ ∠??? = ∠??? = 60°，?? = ??．
∴△ ???为等边三角形，
∴ ?? = ?? = 8．
在??上取一点?，使?? = ??，连接??．
∵ ∠??? = ∠??? = 60°，?? = ??．
∴△ ???≌ △ ???，
∴ ?? = ??，∠??? = ∠???．
设?? = ?? = ?．则?? = 8 + ?，?? = 2 + ?．
∵ ?? = ??，∠??? = ∠???，
∴ ?? = ?? = 2 + ?．
∴ ?? = ?? = 4 + 2?，
∴ ?? = 4 + ?．
设∠??? = ?．则∠??? = 2∠??? = 2?．
∴ ∠??? = ∠??? = 180°−2?．
∴ ∠??? = 180°−∠???−∠??? = 180°−?−(180°−2?) = ? = ∠???．
∴ ?? = ?? = 8 + ?．
过?作?? ⊥ ??于点?，则
1，∠??? = ∠??? = 90°．
?? = ?? = 2?? = ? + 2
∴ ?? = ??−?? = 2．
∵ ??2−??2 = ??2 = ??2−??2
∴ (4 + 2?)2−(2 + ?)2 = (8 + ?)2−22．
∴ ? = 6或? = −4．
∴ ?? = 6，?? = ?? = ?? = 14，?? = 16．
??2−??2
∴ ?? == 8 3．
∴ 在Rt △ ???中，tan? = tan∠??? = ?? = 8 3 = 3
设??与??的交点为?．
∵ ?? = ??，
∴ ∠??? = ∠???．
∵ ∠??? = ∠???，
∴△ ??? ∽△ ???．
??162
????
∴ ?? = ??，
????
∴ ?? = ??
∵ ∠??? = ∠???，
∴△ ??? ∽△ ???．
∴ ∠??? = ∠??? = 60°．
∵ ∠??? + ∠??? = ∠??? = 60°，∠??? + ∠??? = ∠??? = 60°，
∴ ∠??? = ∠??? = ?
∴ ∠??? = ∠???−∠??? = 2?−? = ?．
∴ ∠??? = ∠??? = ∠??? = ?．
∴ ?? = ?? = 6．
∴ ?? = ??−?? = 14−6 = 8，过?作?? ⊥ ??于点?．
则∠??? = ∠??? = 90°．
．
??3
∴ tan? = tan∠??? = ?? = 2
设?? = 3?，?? = 2?，
∵ ??2 +??2 = ??2，
282
2
∴ ( 3?) + (2?) =，
．
8 7
∴ ? = 7
在Rt △ ???中，tan∠??? = ?? = tan60° = 3．
??
∴ ?? = 3? = ?．
3
24 7
7
∴ ?? = ?? + ?? = ? + 2? = 3? =．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的弧、弦、圆周角之间的关系，确定圆的条件，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
【变式 07】（2024·江苏扬州·中考真题）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．
如图，已知△ ???，?? = ??， ⊙ ?是△ ???的外接圆，点?在 ⊙ ?上（?? > ??），连接??、??、??．
【特殊化感知】
如图 1，若∠??? = 60°，点?在??延长线上，则??−??与??的数量关系为；
【一般化探究】
如图 2，若∠??? = 60°，点?、?在??同侧，判断??−??与??的数量关系并说明理由；
【拓展性延伸】
（3）若∠??? = ?，直接写出??、??、??满足的数量关系．（用含?的式子表示）
【答案】（1）??−?? = ??；（2）??−?? = ??（3）当?在??上时，?
；当?在??上
2?? ⋅ sin2 = ??−??
时，?
2?? ⋅ sin2 = ?? + ??
【分析】（1）根据题意得出△ ???是等边三角形，则∠??? = 60°，进而由四边形????是圆内接四边形，设??,??交于点?，则?? = ??，设?? = 1，则?? = ?? = 1，分别求得??,??，即可求解；
（2）在??上截取?? = ??，证明 △ ???≌ △ ???(AAS)，根据全等三角形的性质即得出结论；
（3）分两种情况讨论，①当?在??上时，在??上截取?? = ??，证明 △ ??? ∽△ ???， △ ??? ∽△ ???，
??−??
??
???
得出 ??= ??，作?? ⊥ ??于点?，得出?? = 2?? ⋅ sin2，进而即可得出结论；②当?在
上时，延长??
?
至?，使得?? = ??，连接??，证明 △ ??? ∽△ ???， △ ??? ∽△ ???，同①可得?? = 2?? ⋅ sin2，即可
求解．
【详解】解：∵?? = ??，∠??? = 60°，
∴ △ ???是等边三角形，则∠??? = 60°
∵ ⊙ ?是△ ???的外接圆，
∴??是∠???的角平分线，则∠??? = 30°
∴?? ⊥ ??
∵四边形????是圆内接四边形，
∴∠??? = 120°
∴∠??? = ∠??? = 30°
设??,??交于点?，则?? = ??，设?? = 1，则?? = ?? = 1
在Rt △ ???中，
∴?? = cs30° ⋅ ?? = 3?? = 3
22
∴?? = 3，
∵??是直径，则∠??? = 90°，在Rt △ ???中，?? = 2?? = 2
∴??−?? = 2−1 = 1
∴??−?? = ??
（2）如图所示，在??上截取?? = ??，
∵?? = ??
∴∠??? = ∠??? = 60°
∴ △ ???是等边三角形，
∴?? = ??，则∠??? = 60°
∴∠??? = 120°
∵四边形????是圆内接四边形，
∴∠??? = 120°
∴∠??? = ∠???；
∵?? = ??，∠??? = 60°，
∴ △ ???是等边三角形，则∠??? = 60°
∴?? = ??，又∵?? = ??
∴∠??? = ∠???
在△ ???, △ ???中
∠??? = ∠???
∠??? = ∠???
?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)
∴?? = ??，
∴??−?? = ??−?? = ?? = ??
即??−?? = ??；
解：①如图所示，当?在??上时，
在??上截取?? = ??，
∵?? = ??
∴∠??? = ∠???
又∵?? = ??,?? = ??
∴ △ ??? ∽△ ???，则∠??? = ∠???
∴?? = ??
????
=
??
??即??
??
又∵∠??? = ∠???
∴∠??? = ∠???
∴ △ ??? ∽△ ???
∴?? = ?? = ??
??????
∵?? = ??−?? = ??−??
∴??−?? = ??
????
如图所示，作?? ⊥ ??于点?，
在Rt △ ???中，11 ，
∠??? = 2∠??? = 2?
?
∴?? ⋅ sin2 = ??
?
∴?? = 2?? ⋅ sin2
∴??−?? = 2sin?，即?
??
22?? ⋅ sin2 = ??−??
②当?在??上时，如图所示，延长??至?，使得?? = ??，连接??，
∵四边形????是圆内接四边形，
∴∠??? = ∠??? = 180°−∠???
又∵?? = ??,?? = ??
∴ △ ??? ∽△ ???，则∠??? = ∠???
∴?? = ??即?? = ??，
??
??
??
??
又∵∠??? = ∠???
∴∠??? = ∠???
∴ △ ??? ∽△ ???
∴?? = ??，
??
??
∵?? = ?? + ?? = ?? + ??
同①可得?? = 2?? ⋅ sin?
2
∴ ??
????
==
??+??
??
2??⋅sin ?
2
?
∴2?? ⋅ sin2 = ?? + ??
综上所述，当?在??上时，?
；当?在??上时，?．
2?? ⋅ sin2 = ??−??2?? ⋅ sin2 = ?? + ??
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握截长补短的辅助线方法是解题的关键．
（限时训练：50 分钟）
1．（2026·安徽阜阳·一模）四边形????的两条对角线??,??相交于 O 点，?? = ??，E 为??边上一点，??交??于 F．
如图 1，若??∥??，求证：四边形????是平行四边形；
如图 2，若∠??? = ∠???，?? = ?? = 2??．
??
求??的值；
（ⅱ）求证：∠??? = ∠???．
【答案】(1)见解析
??1
(2)（ⅰ）?? = 4；（ⅱ）见解析
【分析】（1）先证明△ ???≌ △ ???(AAS)，得到?? = ??，结合?? = ??即可证明结论；
（2）（ⅰ）先证明△ ???∽ △ ???，推出?△??? = 1，由?? = ??，得到?
= ?
，进而得到?△??? = 1，
?△???4
△???
△???
?△???4
即可求解；
分别过 B，D 两点作?? ⊥ ??于 G，?? ⊥ ??于 H．先证明△ ???≌ △ ???(AAS)，推出?? = ??，再证明Rt △ ???≌Rt △ ???(HL)，即可证明∠??? = ∠???．
【详解】（1）证明：∵??∥??，
∴∠??? = ∠???，
∠??? = ∠???
在△ ???和 △ ???中， ∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)，
∴?? = ??， 又∵?? = ??，
∴四边形????是平行四边形；
（2）（ⅰ）解：∵∠??? = ∠???，∠??? = ∠???，
∴ △ ???∽ △ ???，
∵?? = 1，
??2
∴?△??? = 1
，
?△???4
又∵?? = ??，
∴?△??? = ?△???，
∴?△??? = 1，
?△???4
∴?? = 1；
??4
（ⅱ）证明：如图，分别过 B，D 两点作?? ⊥ ??于 G，?? ⊥ ??于 H．
在△ ???和 △ ???中，
∠??? = ∠??? = 90°
∠??? = ∠???，
?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)，
∴?? = ??，
?? = ??
在Rt △ ???和Rt △ ???中， ?? = ?? ，
∴Rt △ ???≌Rt △ ???(HL)，
∴∠??? = ∠???．
2．（2025·湖北襄阳·一模）在矩形????中，点 E 在边??上，将线段??绕点 E 顺时针旋转90°，点 A 的对应点 F 恰好落在??上．
(1)如图 1，求证：?? = ??；
(2)连接??，作∠???的平分线交??于点 P，交??于点 M．
①如图 2，判断点 P 是否为线段??的中点，并说明理由；
②如图 3，连接??交??于点 N，若?? = ?? = 1，求??的长．
【答案】(1)见解析
(2)①点 P 为线段??的中点，理由见解析，②5 2
6
【分析】（1）根据矩形的性质及旋转的性质，证明△ ???≌ △ ???(AAS)，即可得证；
????
（2）①连接??，根据题意及角平分线的定义，证明△ ??? ∽△ ???，得到?? = ??，进而证明
△ ??? ∽△ ???，得到?? ⊥ ??，即可解答；
②连接??，根据题意及角的等量代换证明 △ ???≌ △ ???(SAS)，利用解直角三角形及勾股定理求出??、??、
??，进而证明 △ ??? ∽△ ???，列出比例式，代入??、??即可解答．
【详解】（1）证明：∵四边形????是矩形，
∴?? = ??，∠??? = ∠??? = 90°，
∵将线段??绕点 E 顺时针旋转90°得到线段??，
∴?? = ??，∠??? = 90°，
∴∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)，
∴?? = ??，
∴?? = ??．
解：①点 P 为线段??的中点，理由如下：如图，连接??，
∵∠??? = 90°，?? = ??，
∴∠??? = ∠??? = 45°，
∵??平分∠???，∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠??? = ∠??? = 45°，又∵∠??? = ∠???，
∴ △ ???∽ △ ???，
∴?? = ??，
??
??
又∵∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴∠??? = ∠??? = 45°，
∴∠??? = ∠??? + ∠??? = 90°，
∴?? ⊥ ??，
∴点 P 是线段??的中点．
②如图，连接??，?? ⊥ ??，∠??? = 90°，?? = ??，
∴?? = ?? = ??，∠??? = ∠??? = 45°，
∵?? = ?? = 1，
∴?? = ?? = 2，?? = ?? = 1，?? = 3，
∵ △ ???≌ △ ???，
∴∠??? = ∠???，
∵∠??? = ∠??? = ∠??? = 45°，
∴∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠???，即∠??? = ∠???，
又∵?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴?? = ??，
∴∠??? = ∠??? = 45°，∠??? = 90°，
∴?? = ?? ⋅ sin45° = 322，
∵∠??? = 90°，
??2 + ??2
∴?? == 10，
10
2
1
∴?? = 2?? =，
∵∠??? = 90°−∠??? = 45° = ∠???，∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??，
??
??
??2
23 25 2
10
2
∴?? = ?? =÷ 2 = 6 ．
【点睛】本题考查四边形的综合应用，主要考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，角平分线的定义，三角函数的应用，掌握矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质是解题的关键．
3．【知识回顾】
△ ???是等边三角形，?? ⊥ ??于点?，?是射线??上一动点，连接??，将线段??绕点?按逆时针方向旋转60°，得到线段??，连接??，??．
（1）如图1，当?? = 2时，?? = ；
（2）如图2，点?在线段??的延长线上，连接??，当点?在线段??上，?? = 6时，求??的长；
【变式应用】
如图3，在△ ???中，?? = ??，∠??? = 120°，点?是??的中点，点?在线段??上，连接??，将线段??绕点?按逆时针方向旋转120°得到线段??，连接??，??，点?是??的中点，连接??并延长交??于点
?，求证：?? =
1??．
2
【答案】（1）2；
（2）2 21；
（3）详见解析．
【分析】（1）先利用等边三角形的性质得?? = ??，∠??? = 60°，再通过旋转得?? = ??，∠??? = 60°，
然后证明△ ???≌ △ ???，最后利用全等三角形的性质来求解??的长度；
（2）先通过旋转得?? = ??，∠??? = 60°，证明△ ???是等边三角形，再结合等边三角形△ ???，证明
△ ???≌ △ ???，则∠??? = ∠??? = 30°，根据三角形内角和定理得出∠??? = 180°−∠???−??? = 90°，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得?? = 2? = 4 3，证明∠??? = 90°根据勾股定理， 即可求解；
（3）在??上截取?? = ??，连接??，证明 △ ???≌ △ ???，进而得出△ ???是等边三角形，则?? ⊥ ??，进而证明??是 △ ???的中位线，得出?? ∥ ??，?? ⊥ ??，进而根据含30度角的直角三角形的性质，即可 得证．
【详解】（1）解：∵ △ ???是等边三角形，
∴?? = ??，∠??? = 60°，
又∵将线段??绕点?按逆时针方向旋转60°，得到线段??，
∴?? = ??，∠??? = 60°，
∵∠??? + ∠??? = ∠??? = 60°，∠??? + ∠??? = ∠??? = 60°，
∴∠??? = ∠???，
∵在△ ???和 △ ???中，
?? = ??
∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴?? = ??，
∵?? = 2，
∴?? = 2，
故答案为：2．
（2）解：∵将线段??绕点?按逆时针方向旋转60°，得到线段??，
∴?? = ??，∠??? = 60°，
∴ △ ???是等边三角形，∠??? = 60°，
∵?? ⊥ ??， △ ???是等边三角形，
∴?? = ?? =
1?? = 3，∠??? = 30°，
2
∵∠??? = ∠??? + ∠??? = 60° + ∠???，
∠??? = ∠??? + ∠??? = 60° + ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∵在△ ???和 △ ???中，
?? = ??
∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴∠??? = ∠??? = 30°，
∵点?在线段??上，
∴∠??? = 180°−∠???−∠??? = 90°，设?? = ?，则?? = 2?，
??2−??2
∴?? == 3?，
∵?? = ?? = 6，
∴ 3? = 6，
解得：? = 2 3，
∴?? = 2? = 4 3，
∵∠??? = 60°，∠??? = ∠??? = 30°，
∴∠??? = 90°，
∴在Rt △ ???中，?? =
??2 + ??2
=
= 2 21；
62 + (4 3)
2
（3）证明：如图，在??上截取?? = ??，连接??，
∵?? = ??，∠??? = 120°，将线段??绕点?按逆时针方向旋转120°得到线段??，
∴?? = ??，∠??? = 120°，
∴∠??? + ∠??? = ∠??? = 120°，∠??? + ∠??? = ∠??? = 120°，
∴∠??? = ∠???，
∵在△ ???和 △ ???中，
?? = ??
∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴∠??? = ∠???，?? = ??，
∴?? = ??，
∴∠??? = ∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? = 180°−∠??? = 60°，
∴ △ ???是等边三角形，
∴?? = ?? = ??，
∵?? = ??，∠??? = 120°，
∴∠??? = ∠??? = 30°，
∵∠??? = ∠??? = 30°， △ ???是等边三角形，
∴?? ⊥ ??，
∵点?是??的中点，
∴?? = ??，
∴??−?? = ??−??，即?? = ??，又∵点?是??的中点，
∴?? ∥ ??，
∴?? ⊥ ??，
而∠??? = ∠??? = 30°，
∴?? =
??．
1
2
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定、旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，三角形中 位线的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，通过证明三角形全等是解题关键． 4．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，??是 ⊙ ?的直径，??是一条弦，点?是??的中点，?? ⊥ ??于点?，交??于点?，连结??交??于点?．
(1)求证：?? = ??；
(2)延长??至点?，使?? = ??，连接??．
①求证：??是 ⊙ ?的切线；
②若?? = 6，?? = 5，求⊙ ?的半径．
【答案】(1)证明见解析
20
(2)①证明见解析，② ⊙ ?的半径为 3 ．
【分析】（1）如图，连接??，证明?? = ??，可得∠??? = ∠???，证明?? = ??，可得∠??? = ∠???，进一步可得结论；
（2）①证明∠??? = 90° = ∠???，可得??是??的垂直平分线，可得?? = ??，∠? = ∠??? = ∠??? + ∠?，
∠??? = ∠???，而∠??? = ∠?，可得∠??? = ∠?，进一步可得结论；②证明??∥??，可得
△ ??? ∽△ ???，求解?? = 10，?? =
??
??2−??2
，结合
= 8tan∠? =
8????
=，可得答案．
【详解】（1）证明：如图，连接??，
∵点?是??的中点，
∴?? = ??，
∴∠??? = ∠???，
∵?? ⊥ ??，??为 ⊙ ?的直径，
∴?? = ??，
∴∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴?? = ??．
（2）证明：①∵??为 ⊙ ?的直径，
∴∠??? = 90° = ∠???，
∴∠? + ∠??? = 90°，
∵?? = ??，
?? = 6 = ??10
∴??是??的垂直平分线，
∴?? = ??，
∴∠? = ∠??? = ∠??? + ∠?，∠??? = ∠???，而∠??? = ∠?，
∴∠??? = ∠?，
∴∠??? + ∠??? = ∠? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = 90°，
∵??为 ⊙ ?的直径，
∴??是 ⊙ ?的切线；
②∵?? = 6，
∴?? = ?? = 6，
∵?? ⊥ ??，∠??? = 90°，
∴??∥??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ?? = 6 ，
??
??12
∵?? = 5，
∴?? = 10，
??2−??2
∴?? == 8，
??8????
∴tan∠? = ?? = 6 = ?? = 10 ，
8040
∴?? = 6 = 3 ，
20
∴ ⊙ ?的半径为 3 ．
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，弧与圆心角之间的关系，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键．
5．（2025·广东韶关·二模）【问题背景】菱形????的边长为6，其中∠??? = 60°，?是??边上的一个动点，
作射线??，点?关于直线??的对称点为?，连接??，直线??与射线??交于点?，连接??、??．
【知识技能】
如图 1，连接??，求证：∠??? = ∠???；
如图 2，连接??，求证：??2 = ?? ⋅ ??；
【拓展探索】
（3）当?在直线??上运动时，求?? = 2时，??的长度是多少？
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）当?在直线??上运动，?? = 2时，?? = 18 13或18 7
137
【分析】（1）根据对称得到??垂直平分??；得到?? = ??,?? = ??，证出△ ???≌ △ ???(SSS)；得到
∠??? = ∠???，根据菱形性质得到?? = ??，根据?? = ??；得到?? = ??；求出∠??? = ∠???；即可证出结论．
（2）结合（1）得到?、?、?、?四点共圆，得到∠??? = ∠???；结合菱形性质；证出 △ ???∽ △ ???，得到?? ⋅ ?? = ?? ⋅ ??，得到△ ???是等边三角形；即可证出结论；
①当点?在点?右侧时，过点?作??的垂线，交??的延长线于点?；结合三角函数和勾股定理求出??；
②当点?在点?左侧时，过点?作??的垂线，交??的延长线于点?；结合三角函数和勾股定理，再证出
△ ???∽ △ ???，求出??即可．
【详解】解：（1）证明：∵点?、?关于直线??对称；
∴??垂直平分??；
∴?? = ??,?? = ??；又∵?? = ??；
∴ △ ???≌ △ ???(SSS)；
∴∠??? = ∠???；
∵四边形????为菱形；
∴?? = ??；
∵?? = ??；
∴?? = ??；
∴∠??? = ∠???；
∴∠??? = ∠???
（2）证明：∵∠??? + ∠??? = 180°；由（1）得：∠??? = ∠???；
∴∠??? + ∠??? = 180°；
∴?、?、?、?四点共圆；
∵∠???和∠???是同弧所对圆周角；
∴∠??? = ∠???；
∵在四边形????中，
∠??? + ∠??? = 360°−(∠??? + ∠???) = 180°，且∠??? = 60°；
∴∠??? = 120°；
∵四边形????为菱形；
∴??∥??，?? = ??；
∴∠??? = 180°−∠??? = 120°，；
∴∠??? = ∠???； 又∵∠??? = ∠???；
∴ △ ??? ∽△ ???；
∴?? = ??，即?? ⋅ ?? = ?? ⋅ ??；
??
??
∵?? = ??，∠??? = 60°；
∴ △ ???是等边三角形；
∴?? = ??；
∴??2 = ?? ⋅ ??
（3）①当点?在点?右侧时，过点?作??的垂线，交??的延长线于点?；
∵∠??? = 120°；
∴∠??? = 180°−∠??? = 60°；
∴?? = ?? ⋅ sin60° = 3 3，?? = ?? ⋅ cs60° = 3；
∴?? = ?? + ?? = 5；
??2 + ??2
∴在Rt △ ???中，?? == 2 13；
13
由（2）得：??2 = ?? ⋅ ??，即62 = 2
⋅ ??；
18 13
13
∴?? =；
②当点?在点?左侧时，过点?作??的垂线，交??的延长线于点?；如图所示：
∵∠??? = 60°；
∴?? = ?? ⋅ sin60° = 3 3，?? = ?? ⋅ cs60° = 3；
∴?? = ??−?? = 1；
??2 + ??2
∴在Rt △ ???中，?? == 2 7；
同（1）可证：∠??? = ∠???，且∠???和∠???都是??同侧所对；
∴?、?、?、?四点共圆；
∵∠???和∠???是同弧所对圆周角，∠???和∠???是同弧所对圆周角；
∴∠??? = ∠???，∠??? = ∠??? = 60°；
∴∠??? = ∠??? = 60°；
∴ △ ??? ∽△ ???；
∴?? = ??，即2 7 = 6 ；
??
??
6??
18 7
7
∴?? =；
综上所得，当?在直线??上运动，?? = 2时，?? = 18 13或18 7．
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【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，菱形性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握四点共圆及相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.