2026年中考数学二轮复习 专题14 几何最值问题(高频考点专练)

这是一份2026年中考数学二轮复习 专题14 几何最值问题(高频考点专练)，共8页。试卷主要包含了将军饮马问题，造桥选址问题题型三，胡不归模型题型五，隐圆模型，2PB，阿氏圆模型，费马点模型，瓜豆模型等内容，欢迎下载使用。
高频考情深度解读（中考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧）聚焦题型精准解密（5 大题型精讲+变式拔高训练）
题型一 将军饮马问题
题型二 造桥选址问题题型三 隐圆模型
题型四 胡不归模型题型五 阿氏圆模型题型六 费马点模型题型七 瓜豆模型
实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升）
几何最值是中考数学核心高频考点，分值约 8～12 分，多以选择、填空压轴题出现，少数结合解答题压轴设问，整体以中高档题为主，侧重考查模型识别、转化思想与计算能力，是拉开分差的关键板块。
基础知识必备：掌握两点之间线段最短、垂线段最短、三角形三边关系、圆的性质四大核心原
理；熟练识别将军饮马、隐圆、胡不归、阿氏圆、造桥选址、等模型；能将几何最值转化为线段、周长、面积最值问题；形成 “找模型→作辅助线→算结果” 的解题思路。
2026 中考预测：
题型稳定：选择填空压轴必考几何最值，解答题常结合圆、二次函数、折叠、旋转综合考查；难度平稳：基础模型题占比 60%，综合模型题占比 40%，无超纲偏题；
命题趋势：贴近教材母题，多结合动态几何（动点、动直线、动图形），注重数形结合与转化思想，模型嵌套考查频率提升。
◆◆重难知识汇总：
核心原理：两点之间线段最短；垂线段最短；三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；圆上点到定点距离最值 = 半径 ± 圆心距。
核心模型：将军饮马（和最小 / 差最大）、造桥选址、隐圆（定角对定边、定长对定角、定点定长）、胡不归（系数不为 1 的线段和）、阿氏圆（带系数的圆上动点线段和）、费马点模型、瓜豆模型 。
核心转化：动态最值→静态定点定长；不规则线段和→共线线段；带系数线段→相似 / 三角函数转化。
◆◆常用技巧方法：
对称法：将军饮马、折叠最值必用轴对称转化定点。
定圆法：动点满足定角、定长、到定点定距，先找隐圆再算最值。
旋转法：分散线段共点，用旋转转化为三角形三边关系。
函数法：设动点坐标，用二次函数 / 一次函数求最值。
垂线段法：点到直线最短距离直接用垂线段。
◆◆易错避坑提效：
对称时找错对称轴，导致转化后不共线。
隐圆模型漏判圆心、半径，算错最值。
胡不归 / 阿氏圆系数处理错误，未正确构造相似。
忽略动点范围，最值取到无效点。
计算时符号、长度单位出错。
题型一将军饮马问题
【典例 01】（22-23 九年级上·安徽池州·期末）如图，?? △ ???中，∠? = 90°，?? = 4，?? = 3，点 P 为
AC 边上的动点，过点 P 作?? ⊥ ??于点 D，则?? + ??的最小值为（ ）
152420
A． 4B． 5C．5D． 3
【答案】B
【分析】作点 B 关于??的对称点?′，过点?′作?′? ⊥ ??于点 D，交??于点 P，点 P 即为所求作的点，此时
△???
?? + ??有最小值，连接??′，根据对称性的性质，可知：?? = ?′?，△ ???≅ △ ??′?，根据?△???′ = ?
+ ?△??′? = 2?△???，即可求出?? + ??的最小值．
【详解】解：如下图，作点 B 关于??的对称点?′，过点?′作?′? ⊥ ??于点 D，交??于点 P，连接??′，点 P 即为所求作的点，此时?? + ??有最小值，
根据对称性的性质，可知：?? = ?′?，
在?? △ ???中，∠??? = 90°,?? = 4,?? = 3，
??2 + ??2
∴ ?? == 5，
根据对称性的性质，可知： △ ???≅ △ ??′?，
∴ ?△???′ = ?△??? + ?△??′? = 2?△???，
1
即2 × ?? ⋅
?′
? = 2 × ?? ⋅ ??，
1
2
∴ 5?′? = 24，
5 ，
∴ ?′? = 24
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题，解题的关键是掌握轴对称的性质．
【变式 01】如图所示，在 △ ???中，∠??? = 68°，??平分∠???，?为线段??上一动点，?为 边??上一动点，当?? + ??的值最小时，∠???的度数是（ ）
A．118°B．125°C．136°D．124°
【答案】D
【分析】先在??上截取?? = ??，连接??，证明 △ ???≌ △ ???(SAS)，得出?? = ??，说明
?? + ?? = ?? + ??，找出当 A、P、E 在同一直线上，且?? ⊥ ??时，?? + ??最小，即?? + ??最小，过点 A 作?? ⊥ ??于点 E，交??于点 P，根据三角形外角的性质可得答案．
【详解】解：在??上截取?? = ??，连接??，如图：
∵??平分∠???，∠??? = 68°，
∴∠??? = ∠??? =
1∠??? = 34°，
2
∵?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴?? = ??，
∴?? + ?? = ?? + ??，
∴当 A、P、E 在同一直线上，且?? ⊥ ??时，?? + ??最小，即?? + ??最小，过点 A 作?? ⊥ ??于点 E，交
??于点 P，如图：
∵∠??? = 90°，∠??? = 34°，
∴∠??? = ∠??? + ∠??? = 124°．故选：D．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与三角形的外角的性质，解题的关键是找出使?? + ??最小时点 P 的位置．
【变式 02】如图，在 △ ???中，?? = ??,?? = 6,?△??? = 27，直线??垂直平分线段??，若点?为边 BC 的中点，点?为直线??上一动点，则△ ???周长的最小值为（）
A．9B．13C．12D．14
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一、线段垂直平分线的性质等知识，掌握将军饮马模型是解题关键．
连接??，??，推出 △ ???周长的最小值为?? + ??，证明?? ⊥ ??，再利用三角形的面积公式列方程求出??
即可解决问题．
【详解】解：连接??，??，
∵直线??垂直平分线段??．
∴ ?? = ??，
∵点?为边??的中点，?? = 6，
1
∴ ?? = 2 ?? = 3,
∴△ ???周长 = ?? + ?? + ?? = ?? + ?? + ?? ≥ ?? + ??，
∴△ ???周长的最小值为?? + 3，
∵ ?? = ??，点?为边??的中点，
∴ ?? ⊥ ??,
∵?? = 6,?△??? = 27，
∴ 1 × 6?? = 27，
2
解得?? = 9，
∴△ ???周长的最小值为9 + 3 = 12，故选：C．
【变式 03】（2025·四川遂宁·一模）如图，点?在等边 △ ???的边??上，?? = 4，射线?? ⊥ ??，垂足为点
?，点?是射线??上一动点，点?是线段??上一动点，当?? + ??的值最小时，?? = 5．则?? + ??这个最小值是（）
3
A．9B．10C．5
【答案】C
D．3
5
【分析】作 E 点关于??的对称点?′，连接??、 ?′?、??，当?′、P、F 三点共线，?′? ⊥ ??时，此时?? + ??的值最小，由题意可得∠??′? = 30°，则??′ = 2?? = 10，根据勾股定理即可求出 ?′?的值，即?? + ??的最小值．
【详解】解：作 E 点关于??的对称点?′，过?′作?′? ⊥ ??交??于点 F，交??于点 P，
连接??，则?? = ??′，
∴?? + ?? = ??′ +?? ≥ ?′?，
当?′、P、F 三点共线，且?′? ⊥ ??时，?? + ??的值最小，
∵ △ ???是正三角形，
∴∠? = 60°，
∵?′? ⊥ ??，
∴∠??′? = 30°，
∴??′ = 2??，
∵?? = 5，?? = 4 ，
∴?′? = 10，
102−52
在Rt △ ???′中，由勾股定理可得??′ =
= 5 3，
∴?? + ??的最小值 = ??′ = 5 3．故选：C．
【点睛】本题主要考查了将军饮马问题，垂线段最短，等边三角形的性质，含 30 度角直角三角形的性质以及勾股定理．熟练掌握相关知识是解题的关键．
【变式 04】（2024 四川成都中考真题）如图，在平面直角坐标系???中，已知?(3,0)，?(0,2)，过点?作?
轴的垂线?，?为直线?上一动点，连接??，??，则?? + ??的最小值为．
【答案】5
【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．先取点 A 关于直线?的对称点?′，
连?′?交直线?于点 C，连??，得到?? = ?′?，?′? ⊥ ?，再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，得到当?,?,?′三点共线时，?? + ??的最小值为?′?，再利用勾股定理求?′?即可．
【详解】解：取点 A 关于直线?的对称点?′，连?′?交直线?于点 C，连??，则可知?? = ?′?，?′? ⊥ ?，
∴?? + ?? = ?? + ??′ ≥ ?′?，
即当?,?,?′三点共线时，?? + ??的最小值为?′?，
∵直线?垂直于 y 轴，
∴?′? ⊥ ?轴，
∵?(3,0)，?(0,2)，
∴?? = 3,??′ = 4，
∴在Rt △ ?′??中，
??2 + ??′2
?′? =
=
= 5，
32 + 42
故答案为：5
题型二 造桥选址问题
【典例 01】（2024 四川泸州一模）如图，在直角坐标系中，?(−2,0)，?(0,2)，C 是??的中点，点 D 在第二象限，且四边形????为矩形，P 是??上一个动点，过点 P 作?? ⊥ ??于 H，Q 是点 B 关于点 A 的对称点，则?? + ?? + ??的最小值为．
【答案】6
【分析】本题考查了一次函数点的坐标的求法、三角形面积的求法和三点共线及最值，综合性强，是中考常见题型．连接??，根据?、?的坐标先确定??和??的长，证明四边形????是矩形，得
?? = ?? = ?? = 1，再证明四边形????是平行四边形，则?? = ??，在?? + ?? + ??中，?? = 1是定值，所以只要?? + ??的值最小就可以，当?、?、?在同一直线上时，?? + ??的值最小，利用平行四边形的性质求出即可．
【详解】解：如图，连接??，
∵ ?(−2,0)，?(0,2)，
∴ ?? = 2，?? = 2，
∵ ?是??的中点，
∴ ?? = ?? = 1，
∵ ∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°，
∴ 四边形????是矩形，
∴ ?? = ?? = ?? = 1，
∵ ?? ∥ ??，
∴ 四边形????是平行四边形，
∴ ?? = ??，
∴ ?? + ?? + ?? = ?? + ?? + 1，
要使?? + ??的值最小，只需?、?、?三点共线即可，
∵ 点?是点?关于点?的对称点，
∴ ?(−4,−2)，又∵ 点?(0,1)，
(0 + 4)2 + (1 + 2)2
根据勾股定理可得?? == 5，
此时，?? + ?? + ?? = ?? + ?? + ?? = ?? + 1 = 5 + 1 = 6，即?? + ?? + ??的最小值，6；
故答案为：6
【变式 01】如图，已知直线?1∥?2，?1、?2之间的距离为 8，点 P 到直线?1的距离为 6，点 Q 到直线?2的距离为 4，PQ=4 30，在直线 l1 上有一动点 A，直线?2上有一动点 B，满足 AB⊥?2，且 PA+AB+BQ 最小，此时 PA+BQ=．
【答案】16
【分析】作 PE⊥?1于 E 交?2于 F，在 PF 上截取 PC=8，连接 QC 交?2于 B，作 BA⊥?1于 A，此时 PA+AB+BQ最短．作 QD⊥PF 于 D．在 Rt△PQD 中，由勾股定理可求得 DQ 的长；易证四边形 ABCP 是平行四边形，由平行四边形的性质及勾股定理可求得结果．
【详解】作 PE⊥?1于 E 交?2于 F，在 PF 上截取 PC=8，连接 QC 交?2于 B，作 BA⊥?1于 A，此时 PA+AB+BQ
最短．作 QD⊥PF 于 D．
在 Rt△PQD 中，∵∠D=90°，PQ=4 30，PD=18，
??2−??2
∴DQ== 156，
∵AB=PC=8，AB∥PC，
∴四边形 ABCP 是平行四边形，
∴PA=BC，又 CD=10，
??2+??2
∴PA+BQ=CB+BQ=QC== 156+100=16．
故答案为：16．
【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，平行线的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识．
【变式 02】如图，抛物线? = 1?2−4? + 6与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 B，线段??在抛物线的对称轴上
2
移动（点 C 在点 D 下方），且?? = 3．当四边形????的周长最小时，点 D 的坐标为（ ）
A．(4,1)B．(4,2)C．(4,3)D．(4,4)
【答案】D
【分析】四边形????中，线段??和??的长度是确定的，将四边形????周长的最小值转化为两条线段和的最小值，可通过平移点 B 关于抛物线对称轴的对称点构造平行四边形确定点 D 的位置，求出直线??的解析式即可求出点 D 的坐标；
本题主要考查了抛物线的对称性和两点之间线段最短等知识点，利用抛物线的对称性构造平行四边形是解题的关键．
【详解】解：抛物线与 x 轴的另一个交点为 E 点，把 E 点向上平移 3 个单位得到 F 点，连接??交对称轴于 D 点，如图，
∵ ?? = ?? = 3，?? ∥ ??，
∴ 四边形????为平行四边形，
∴ ?? = ??，
∵ ?? = ??，
∴ ?? = ??，
∴ 四边形????的周长 = ?? + ?? + ?? + ?? = ?? + ?? + ?? + ?? = ?? + ?? + ??，
∴ 此时四边形????的周长最小；
当? = 0
1
?2
时，2−4? + 6 = 0，
解得?1 = 2,?2 = 6，
∴ ?(2,0),?(6,0)，
∴ 抛物线的对称轴为直线? = 4，?(6,3)，
当? = 0时，? = 1?2−4? + 6 = 6，
2
∴ ?(0,6)，
设直线??的解析式为? = ?? + ?，
? = 6
把?(0,6)，?(6,3)代入得 6? + ? = 3 ，
? = − 1
解得2 ，
? = 6
1
∴ 直线??的解析式为? = −? + 6，
1
2
当? = 4时，
? = −2? + 6 = 4，
∴ ?(4,4)．故选：D．
5
【变式 03】（2025 四川宜宾二模）如图，在正方形????中，?? = 4，点?是??边的中点，点?、?是??边上的两个动点且?? = 1，连结??、??，则?? + ??的最小值为．
【答案】3
【分析】本题考查了平移的性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，把△ ???向右平移1个单 位长度，使点?与点?重合，得到△ ?′??′，作点?′关于??的对称点?，连接??，则有?? + ?? = ?? + ??，当点?、?、?三点共线时?? + ??最短，利用勾股定理求出??的长度，即为?? + ??的最小值．
【详解】解：如下图所示，把△ ???向右平移1个单位长度，使点?与点?重合，得到 △ ?′??′，延长?′?′
交??于 M，则四边形???′?是矩形，
∴?′? = ?? = 4，?? = ??′ = 1；
∵ 四边形????是正方形，
∴ ?? = ?? = ?? = ?? = 4，∠? = ∠? = 90°，
1
则?′?′ = ?? = ?? = 2，
2
由平移的性质可知△ ???≌ △ ?′?′?，
∴ ?′? = ??，
作点?′关于??的对称点?，连接??，则??′ = ??，
∴ ?? = ??，
∴ ?? + ?? = ?? + ??，
当点?、?、?三点共线时?? + ??最短，
∵?? = ??′ = 1，?′? = ?? = 4，
∴ ?? = ??−?? = 4−1 = 3，?′? = ?? = 2，
∴ ?? = ?′? + ?′? = 2 + 4 = 6，
??2 + ??2
在Rt △ ???中，?? =
=
=
= 3 5，
32 + 62
45
∴ ?? + ??的最小值是3 5．
故答案为： 3 5．
【变式 04】在“最短路径问题”综合与实践活动中，我们通过牧民饮马、造桥选址等实际问题，探究出利用轴对称、平移等求最短路径的方法．请结合几何图形的特征继续深入探究以下问题：已知，如图 1，
3
△ ???、 △ ???都是等边三角形，?是??的中点，建立如图平面直角坐标系，点?坐标为0,3，点?坐
标为(3,0)．
求点?、?的坐标；
如图 2，点?为?轴上一点，连接??、??，求?? + ??的最小值；
如图 3，点?为??中点，线段??在?轴上滑动，且?? = 3，连接??、??，请直接写出?? + ?? + ??
的最小值．
3
【答案】(1)点?坐标为(−3,0)，点?坐标为6,3；
(2)6 3；
(3)5 3．
【分析】（1）过?作?? ⊥ ?轴于?，由?是??的中点，则?? = ??，可得点?坐标为(−3,0)，因为 △ ???、△ ???
都是等边三角形，所以∠??? = ∠??? = 90°，从而证明△ ???≌ △ ???(AAS)，所以?? = ?? = 3 3，
3
?? = ?? = 3，则?? = ?? + ?? = 3 + 3 = 6，故点?坐标为6,3；
（2）作点?关于?轴的对称点即点?，连接??与?轴交于点?，连接??、??，此时
?? + ?? = ?? + ?? = ??，即?? + ??的最小值为??，过?作?? ⊥ ?轴于?，证明△ ???≌ △ ???(SSS)，
所以∠??? = ∠??? = 1∠??? = 30°，在Rt △ ???中，?? = 2?? = 6 3，从而可得?? + ??的最小值6 3；
2
（3）连接??、??相交于点?，同理可得：?? = 3 3，?? ⊥ ??，
∠??? = ∠??? = ∠??? = ∠??? = 30°，所以?? = ?? = 2??，所以?? =
1
3?? =
1
3
3 × 3
= 3，即点?
向下平移 3单位到点?，此时?? + ?? = 4 3．
【详解】（1）解：过?作?? ⊥ ?轴于?，
∵?是??的中点，
∴?? = ??，
∵点?坐标为(3,0)，
∴点?坐标为(−3,0)，
∵ △ ???、 △ ???都是等边三角形，
∴∠??? = ∠??? = 90°（三线合一），
∵∠??? = ∠??? = 60°，?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)，
∴?? = ?? = 3 3，?? = ?? = 3，
∴?? = ?? + ?? = 3 + 3 = 6，
3
∴点?坐标为6,3；
解：作点?关于?轴的对称点即点?，连接??与?轴交于点?，连接??、??，
此时?? + ?? = ?? + ?? = ??，即?? + ??的最小值为??，过?作?? ⊥ ?轴于?，
∵?? = ??，?? = ??，?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(SSS)，
∴∠??? = ∠??? =
1∠??? = 30°，
2
∴在Rt △ ???中，?? = 2?? = 6 3，
∴?? + ??的最小值6 3；
解：连接??、与??相交于点?，
同理可得：?? = 3 3，?? ⊥ ??，∠??? = ∠??? = ∠??? = ∠??? = 30°，
∴?? = ?? = 2??，所以?? =
1
3?? =
1
3
3 × 3
= 3，
即点?向下平移 3单位到点?，
3
此时?? + ?? = ?? + ?? = ?? = 2?? = 2 × 2= 4 3，
所以?? + ?? + ?? = ?? + ?? = 5 3．
【点睛】本题考查了坐标与图形，轴对称性质，垂直平分线性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
题型三 隐圆模型
【典例 01】（2024·安徽·一模）如图，在矩形????中，?? = 8，?? = 4，点 E 是矩形????内部一动点，且∠??? = 90°，点 P 是??边上一动点，连接??、??，则?? + ??的最小值为（ ）
5
A．8B．4
【答案】A
C．10D．4 5−2
【分析】根据∠??? = 90°得到点的运动轨迹，利用“将军饮马”模型将??进行转化即可求解．
【详解】解：如图，设点 O 为??的中点，由题意可知，
点 E 在以??为直径的半圆 O 上运动，作半圆 O 关于??的对称图形（半圆?′），点 E 的对称点为?1，连接?′?1,则?? = ??1，
∴当点 D、P、?1、?′共线时，?? + ??的值最小，最小值为??1的长，如图所示，在?? △ ???′中，?? = 8，??′ = 6，
82 + 62
∴ ??′ =
又∵ ?′?1 = 2，
= 10，
∴ ??1 = ??′−?′?1 = 8，即?? + ??的最小值为 8，故选：A．
【点睛】本题考查线段和最短问题、轴对称的性质、勾股定理及圆周角定理，利用“将军饮马”模型将??进行转化时解题的关键．
【变式 01】如图，长方形 ABCD 中，?? = 2 3，BC=2，点 E 是 DC 边上的动点，现将△BEC 沿直线 BE 折叠，使点 C 落在点 F 处，则点 D 到点 F 的最短距离为．
【答案】2
【分析】由题意易得点 F 的运动轨迹是以点 B 为圆心，BC 长为半径的圆弧，连接 BD，然后根据隐圆问题可进行求解．
【详解】解：由题意得：点 F 的运动轨迹是以点 B 为圆心，BC 长为半径的圆弧，连接 BD，交圆弧于点 H，如图所示：
∴当点 F 与点 H 重合时，点 D 到点 F 的距离为最短，
∵四边形 ABCD 是矩形，?? = 2 3，BC=2，
∴?? = ?? = 2 3,∠??? = 90°，
??2 + ??2
∴?? == 4，
∴?? = ??−?? = 4−2 = 2，即点 D 到点 F 的最短距离为 2；故答案为 2．
【点睛】本题主要考查隐圆问题，矩形与折叠，勾股定理，解题的关键是分析得出点 F 的运动轨迹．
【变式 02】（2026·江苏苏州·模拟预测）矩形????中，?? = 4，?? = 8，点?为矩形????内一点，使得
∠??? = 90°．将△ ???绕点?顺时针旋转90°，得到 △ ???，则??的最小值为（ ）
A．2 29−2B．2 27−4C．4 10−4D．2 26−2
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，矩形的性质，旋转的性质．取??的中点?，连接??，先判断出点?在⊙ ?上运动，当?、?、?共线时，??有最小值?? = ??−??，据此求解即可．
【详解】解：取??的中点?，连接??，
由旋转的性质知：∠??? = ∠??? = 90°，
∴点?在⊙ ?上运动，
∴当?、?、?共线时，??有最小值?? = ??−??，由旋转的性质知：∠??? = 90°，?? = ?? = 4，
∴?? = 2,?? = 2 + 8 = 10，
42 + 102
∴?? == 2 29，
∴??的最小值为2 29−2，故选：A．
【变式 03】如图，在菱形????中，∠??? = 60°,?? = 6，点 E 在边??上，且?? = 4，F 是边??上一动点，将△ ???沿直线??折叠，点 D 落在点 N 处，当点 N 在四边形????内部（含边界）时，??的长度的最大值 是（）
13
A．2 13−2B．2
【答案】A
+2C．4 2−2D．4+2
2
【分析】根据题意可知，点?在以?为圆心，??长为半径的圆上运动．由此可找出临界点，当点?落在??上时，??最短，当点?落在边??上时，??最长．根据轴对称的性质分别求解，可得出??的取值，进而得最大值．
【详解】解：根据题意可知，点?在以?为圆心，??长为半径的圆上运动，如图所示：
当点?正好落在边??上时，
∵ ?? = ??,∠? = ∠??? = 60°，
∴△ ???是等边三角形，
∴ ?? = ?? = ?? = 4，
∴ ??最短，
此时1；
?? = 2?? = 2
当点?落在边??上时，??最长，
过点?作?? ⊥ ??于点?，分别过点?,?作??的垂线，交??的延长线于点?,?．
∴ 四边形????是矩形，
在菱形????中，∠??? = 60°，?? = 6，点?在边??上，且?? = 4，
∴ ?? = ?? = ?? = 6，?? = 2，?? ∥ ??，?? ∥ ??，
∴ ∠??? = ∠??? = 60°，
∴ ?? = cs∠??? ⋅ ?? = 3,?? = cs∠??? ⋅ ?? = 1，
??2−??2
∴ ?? = ?? =
= 3 3，?? =
= 3，?? = 2，
??2−??2
在Rt △ ???中，?? = ?? = 4，?? = 3，
∴ ?? = 13，
13
∴ ?? =+2，
13
∴ ?? = ?? =+2，
13
设?? = ?，则?? = ?，?? =+2−?，
在Rt △ ???中，
由勾股定理可知，??2 +??2 = ??2，
13
2
即(3 3) + (
+ 2−?)2 = ?2，
解得? = 2 13−2，
∵ 2 13−2 > 2，
故答案为：A．
【点睛】本题在折叠的背景下考查菱形的性质，矩形的性质，含30°角的直角三角形，勾股定理等知识，得出点 N 的运动轨迹并找到临界点是解题关键．
【变式 04】已知正方形????边长为 2，点 E 是正方形??边上的动点，点 F 在边??上，?? = ??，线段??、??
相交于点 M，连接??，则点 E 从点 A 运动到点 B 的过程中，线段??扫过的面积是．
5 ?
【答案】2−4
【分析】先证明 △ ???≌ △ ???(SAS)得到∠??? = ∠???，进而证得∠??? = 90∘，利用圆周角定理得到点
M 在以 AD 为直径的圆上运动，如图，设圆心为 N，连接??、??相交于 O，连接??，利用正方形的性质和圆周角定理得到点 O 在圆 N 上，根据图形结合已知得到在点 E 从点 A 运动到点 B 的过程中，点 M 在劣弧??上运动，点 F 在??上运动，由线段??扫过的面积? = ?△??? + ?△???−?扇形???求解即可．
【详解】解： ∵ 正方形????边长为 2，
∴ ?? = ?? = ?? = ?? = 2，∠??? = ∠??? = 90∘，在△ ???和 △ ???中，
?? = ??
∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴△ ???≌ △ ???(SAS)，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? = ∠??? = 90∘，
∴ ∠??? = 90∘，
∴ ?? ⊥ ??，
∴ 点 M 在以??为直径的圆弧上运动，
、
如图，连接????相交于 O，设圆心为 N，连接??，则?? = ?? = 1?? = 1，?? ⊥ ??，∠??? = 45∘，
2
∴ ∠??? = 90∘，
∴ 点 O 在圆 N 上，
∴ ∠??? = 2∠??? = 90∘，?? = ?? = 1，
∵ ?? = ??，?? ⊥ ??，
∴ 当点 E 在点 A 处时，点 F 在点 B 处，这时点 M 在点 A 处，当点 E 在点 B 处时，点 F 在点 C 处，这时点 M
在点 O 处，
∴ 在点 E 从点 A 运动到点 B 的过程中，点 M 在劣弧??上运动，点 F 在??上运动，
∴ 线段 FM 扫过的面积是? = ?
+ ?
1
−?
1112
5 ?
△???
△???
扇形??? = 2 × 2 × 2 + 2 × 1 × 1−4? ×
= 2−4，
5 ?
故答案为：2−4．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，轨迹，正确地添加所需要的辅助线，得到点 M 的运动轨迹是解题的关键．
题型四 胡不归模型
【典例 01】如图，在 △ ???中，∠??? = 90°,∠? = 60°,?? = 4，若 D 是??边上的动点，则2?? + ??的最小值是（ ）
B．8C．10D．12
【答案】D
【分析】过点 C 作射线??，使∠??? = 30°，再过动点 D 作?? ⊥ ??，垂足为点 F，连接??，在?t △ ???中，
∠??? = 30°,?? = 1??,2?? + ?? = 2(?? + 1??) = 2(?? + ??)当 A，D，F 在同一直线上，即?? ⊥ ??时，
22
?? + ??的值最小，最小值等于垂线段??的长．
【详解】解：过点 C 作射线??，使∠??? = 30°，再过动点 D 作?? ⊥ ??，垂足为点 F，连接??，如图所示：
在?t △ ???中，∠??? = 30°，
∴?? = 1??， 2
∵2?? + ?? = 2(?? + 1??)
2
＝2(?? + ??)，
∴当 A，D，F 在同一直线上，即?? ⊥ ??时，?? + ??的值最小，最小值等于垂线段??的长，此时，∠? = ∠??? = 60°，
∴ △ ???是等边三角形，
∴?? = ?? = ?? = 4，
在?t △ ???中，∠? = 90°,∠? = 60°,?? = 4，
∴?? = 8，
∴?? = 4，
∴?? = 1?? = 2,，
2
∴?? = ?? + ?? = 4 + 2 = 6，
∴2(?? + ??) = 2?? = 12，
∴2(?? + ??)的最小值为 12，故选：D．
【点睛】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题．
【变式 01】（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为 D，P 为线段 AD 上的一动点，连接 PB、PC．则 PA+2PB 的最小值为 ．
2
【答案】4
2
＝2
【分析】在∠BAC 的外部作∠CAE＝15°，作 BF⊥AE 于 F，交 AD 于 P，此时 PA+2PB＝2 1 ?? + ??1
(?? + ??)＝2BF，通过解直角三角形 ABF，进一步求得结果．
【详解】解：如图，
在∠BAC 的外部作∠CAE＝15°，作 BF⊥AE 于 F，交 AD 于 P，
此时 PA+2PB 最小，
∴∠AFB＝90°
∵AB＝AC，AD⊥BC，
11
∴∠CAD＝∠BAD＝2∠??? = 2 × 30° = 15°，
∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，
1
∴PF＝2??，
2
∴PA+2PB＝2 1 ?? + ??
＝＝2BF，
1(?? + ??)
2
在 Rt△ABF 中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，
∴BF＝AB•sin45°＝4 × 2 = 2 2，
2
∴（PA+2PB）最大＝2BF＝4 2，故答案为：4 2．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角直角三角形，解题的关键是作辅助线．
【变式 02】如图平行四边形????中∠? = 60°，?? = 6，?? = 2，?为边??上一点，则 3?? + 2??的最小值为 ．
3
【答案】6
【分析】作 PH 丄 AD 交 AD 的延长线于 H，由直角三角形的性质可得 HP= 3DP，因此 3PD+2PB=2( 3
22
DP+PB)=2(PH+PB)，当 H、P、B 三点共线时 HP+PB 有最小值，即 3PD 十 2PB 有最小值，即可求解．
【详解】如图，过点?作?? ⊥ ??，交??的延长线于?，
∵ 四边形????是平行四边形，
∴ ??//??，
∴∠? = ∠??? = 60°
∵PH 丄 AD
∴∠??? = 30°
∴?? =
1??，?? = 3?? =
2
??，
3
2
3
∴ 3?? + 2?? = 2( 2 ?? + ??) = 2(?? + ??)
∴ 当点?，点?，点?三点共线时，HP+PB 有最小值，即 3?? + 2??有最小值，此时 ?? ⊥ ??，∠??? = 30°，∠? = 60°，
∴?? =
?? = 3 ，?? = 3?? = 3
3
1
2
则 3?? + 2??最小值为6 3，故答案为：6 3．
【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．构造直角
三角形是解题的关键．
【变式 03】如图，在 △ ???中，?? = ??，∠??? = 30°，半径为5的⊙ ?经过点?，??是圆?的切线，且圆
的直径??在线段??上，设点?是线段??上任意一点(不含端点)，则?? + 1??的最小值为．
2
2
【答案】5 3
【分析】过点?作关于??的平行线，过点?作??垂直于该平行线于?
11
??转化为??，此时
，可将2?? + 2??
就等于?? + ??，当???共线时，即为所要求的最小值．
【详解】解：如图所示，过点?作关于??的平行线，过点?作??垂直于该平行线于?，
∵ ??//??，∠??? = 30°，?? = ??，
∴ ∠??? = ∠??? = 30°，
??1
∴ sin∠??? = ?? = 2，∠??? = 60°，
1
∴ ?? = ??，
2
∴ ?? +
1?? = ?? + ??，
2
∵ 当?，?，?三点共线，即在图中?在?′位置，?在?′位置的时候有?? + ??最小，
∴ 当?，?，?三点共线时，?? +
1??有最小值，
2
此时??′ = ?? × sin∠??? = ?? × sin60° = 5 × 3 = 5 3，
22
5 3
2
1
∴ ?? + ??的最小值为，
2
2
故答案为5 3．
1
【点睛】本题主要考查了最值问题中的胡不归问题，解题的关键是在于将2??进行转换．
【变式 04】如图，直线 y＝x﹣3 分别交 x 轴、y 轴于 B、A 两点，点 C（0，1）在 y 轴上，点 P 在 x 轴上运动，则 2PC＋PB 的最小值为．
【答案】4
【详解】思路引领：过 P 作 PD⊥AB 于 D，依据△AOB 是等腰直角三角形，可得∠BAO＝∠ABO＝45°＝
2
∠BPD，进而得到△BDP 是等腰直角三角形，故 PD = 2PB，当 C，P，D 在同一直线上时，CD⊥AB，PC+PD的最小值等于垂线段 CD 的长，求得 CD 的长，即可得出结论．
答案详解：如图所示，过 P 作 PD⊥AB 于 D，
∵直线 y＝x﹣3 分别交 x 轴、y 轴于 B、A 两点，令 x＝0，则 y＝﹣3；令 y＝0，则 x＝3，
∴A（0，﹣3），B（3，0），
∴AO＝BO＝3，又∵∠AOB＝90°，
∴△AOB 是等腰直角三角形，
∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，
∴△BDP 是等腰直角三角形，
2
∴PD = 2PB，
2
∴ 2PC+PB = 2（PC + 2PB） = 2（PC+PD），
当 C，P，D 在同一直线上，即 CD⊥AB 时，PC+PD 的值最小，最小值等于垂线段 CD 的长，此时，△ACD 是等腰直角三角形，
又∵点 C（0，1）在 y 轴上，
∴AC＝1+3＝4，
2
∴CD = 2AC＝2 2，
2
即 PC+PD 的最小值为2 2，
2
∴ 2PC+PB 的最小值为故答案为：4．
× 2
= 4，
题型五 阿氏圆模型
【典例 01】如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点 C 为圆心，6 为半径的圆上有一个动点
10
D.连接 AD、BD、CD，则 2AD+3BD 的最小值是.
【答案】12
22
【分析】如下图，在 CA 上取一点 E，使得 CE=4，先证△DCE∽△ACD，将3??转化为 DE，从而求得3?? + ??
的最小距离，进而得出 2AD+3BD 的最小值．
【详解】如下图，在 CA 上取一点 E，使得 CE=4
∵AC=9，CD=6，CE=4
????
∴?? = ??
∵∠ECD=∠ACD
∴△DCE∽△ACD
∴?? = ?? = 6
????9
∴ED=??
2
3
在△EDB 中，ED+DB≥EB
∴ED+DB 最小为 EB，即 ED+DB=EB
2
∴?? + ?? = ??
3
122 + 42
10
在 Rt△ECB 中，EB== 4
10
2
∴?? + ?? = 4
3
10
∴2AD+3DB=12
故答案为：12 10．
【点睛】本题考查求最值问题，解题关键是构造出△DCE∽△ACD．
2
【变式 01】如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，⊙B 的半径为 2，点 P 是⊙B 上的一个动点，则 PD﹣1PC
的最大值为．
【答案】5
【详解】分析: 由 PD−1PC＝PD−PG≤DG，当点 P 在 DG 的延长线上时，PD−1PC 的值最大，最大值为 DG＝
22
5．
详解: 在 BC 上取一点 G，使得 BG＝1，如图，
∵??2
??4
?? = 1 = 2，?? = 2 = 2，
∴?? = ??，
??
??
∵∠PBG＝∠PBC，
∴△PBG∽△CBP，
∴?? = ?? = 1，
????2
∴PG＝PC，
1
2
2
当点 P 在 DG 的延长线上时，PD−1PC 的值最大，最大值为 DG＝ 42 + 32＝5．
故答案为 5
点睛: 本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．
3
【变式 02】如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以 C 为圆心、3 为半径作⊙C，P 为⊙C上一动点，连接 AP、BP，则1AP＋BP 的最小值为（ ）
2
B．5
【答案】B
C．4 +
D．2
10
13
【详解】思路引领：如图，在 CA 上截取 CM，使得 CM＝1，连接 PM，PC，BM．利用相似三角形的性质证明 MP = 1PA，可得1AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出 BM 即可解决问题．
33
答案详解：如图，在 CA 上截取 CM，使得 CM＝1，连接 PM，PC，BM．
∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，
∴PC2＝CM•CA，
∴?? = ??，
??
??
∵∠PCM＝∠ACP，
∴△PCM∽△ACP，
????1
∴?? = ?? = 3，
3
∴PM =
1PA，
∴AP+BP＝PM+PB，
1
3
∵PM+PB≥BM，
在 Rt△BCM 中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，
12 + 72
∴BM == 5 2，
∴AP+BP≥5 2，
1
3
∴AP+BP 的最小值为 5 2．
1
3
故选：B．
【变式 03】如图所示的平面直角坐标系中，?(0,4)，?(4,0)，?是第一象限内一动点，?? = 2，连接??、
??，则?? +
1??的最小值是 ．
2
17
【答案】
【分析】取点?(0,1)，连接??，??．根据??2 = ?? ⋅ ??，有?? = ??，即可证明 △ ??? ∽△ ???，即有?? =
??
??
??
??1
= ，进而可得
1，则有1
，利用勾股定理可得?? =
= 17，则有
??2
?? = 2??
?? + 2?? = ?? + ??
12 + 42
?? +
1?? ≥ 17，问题得解．
2
【详解】解：如图，取点?(0,1)，连接??，??．
∴ ?? = 1，?? = 4，?? = 4，
∵ ?? = 2，
∴ ??2 = ?? ⋅ ??，
∵ ?(0,1)，?(0,4)，?(4,0)，
????
∴ ?? = ??，
∵ ∠??? = ∠???，
∴△ ??? ∽△ ???，
????1
∴ ?? = ?? = 2，
∴ ?? =
1??，
2
∴ ?? +
1?? = ?? + ??，
2
12 + 42
∵ ?? == 17，
∴ ?? + ?? ≥ 17，
∴ ?? +
1?? ≥ 17，（当 B、P、T 三点共线时取等号）
2
∴ ?? +
1??的最小值为 17．
2
故答案为： 17．
【点睛】本题考查阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
【变式 04】如图，已知正方 ABCD 的边长为 6，圆 B 的半径为 3，点 P 是圆 B 上的一个动点，则1的
??−2??
最大值为．
15
【答案】 2
【分析】如图，连接??，在??上取一点?，使得?? =
3
2，进而证明△ ??? ∽△ ???,则在点 P 运动的任
2
意时刻，均有 PM=1??，从而将问题转化为求 PD-PM 的最大值．连接 PD，在△PDM 中，PD-PM＜DM，故当 D、M、P 共线时，PD-PM=DM 为最大值，勾股定理即可求得??．
3
【详解】如图，连接??，在??上取一点?，使得?? = 2，
??
∵ ??
3
= 2 =
3
1??
2，??
31
= 6 = 2
????
∴ ?? = ??
∵ ∠??? = ∠???
∴ △ ??? ∽△ ???
????1
∴ ?? = ?? = 2
1
∴ ?? = 2 ??
1
∴ ??− 2 ?? = ??−??
在△PDM 中，PD-PM＜DM，
当 D、M、P 共线时，PD-PM=DM 为最大值，
∵ 四边形????是正方形
∴ ∠? = 90°
在?? △ ???中，?? =
15
??2 + ??2
6 +
2
9 2
2
== 2
15
故答案为： 2 ．
1
【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造2??是解题的关键．
题型六 费马点模型
【典例 01】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，点?是边长为2的正方形????内一点，连接??,??，点?在线段??上运动，连接??，则?? + ?? + ??的最小值是．
3
【答案】
+2/2 +
3
【分析】如图所示，将△ ???绕点?顺时针旋转60°得到 △ ?′??′，连接??′，过点?′作?′? ⊥ ??，交??,??
于点?,?，则∠???′ = ∠???′ = 60°，?? = ?? = 2，?? = ??，可证△ ???′是等边三角形，得到
?? + ?? + ?? = ?′?′ + ?′? + ??，当点?′,?′,?,?四点共线且?′? ⊥ ??时，取得最小值?′?，即可求解．
【详解】解：如图所示，将 △ ???绕点?顺时针旋转60°得到 △ ?′??′，连接??′，过点?′作?′? ⊥ ??，交??,??
于点?,?，则∠???′ = ∠???′ = 60°，?? = ?? = 2，
∴ △ ???≌ △ ?′??′，
∴?? = ??′，?? = ??′，
∴ △ ???′是等边三角形，
∴?? = ??′，
∴?? + ?? + ?? = ?′?′ + ?′? + ??，
当点?′,?′,?,?四点共线且?′? ⊥ ??时，取得最小值?′?，
∵四边形????是正方形，边长为2， △ ???绕点?顺时针旋转60°得到 △ ?′??′，
∴?′? = ?? = 2,∠???′ = 60°，∠??′? = 30°，
∴?? = 1?′? = 1，
2
?′?2−??2
∴?′? =
=
= 3，
22−1
3
∴?′? = ?′? + ?? =
+2，
3
∴?? + ?? + ??的最小值是+2，
3
故答案为：+2 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，含 30 度角的直角三角形的性质，勾股定理的运用，将 △ ???绕点?顺时针旋转60°得到 △ ?′??′，得到?? + ?? + ?? = ?′?′ + ?′? + ??
是解题的关键．
【变式 01】如图，在 △ ???中，∠??? = 90°，?? = ?? = 1，P 是△ ???内一点，求?? + ?? + ??的最小值为．
6+ 2
【答案】 2
【分析】将△APC 绕点 C 顺时针旋转60°得△DFC，可得 PC=PF，DF=AP，将?? + ?? + ??转化为
?? + ?? + ??，此时当 B、P、F、D 四点共线时，?? + ?? + ??的值最小，最小值为 BD 的长；根据勾股定理求解即可．
【详解】解：将△APC 绕点 C 顺时针旋转60°得△DFC，连接 PF、AD、DB，过点 D 作 DE⊥BA，交 BA 的延长线于点 E；
∴AP=DF，∠PCF=∠ACD=60°，PC=FC，AC=CD，
∴△PCF、△ACD 是等边三角形，
∴PC=PF，AD=AC=1，∠DAC=60°
∴?? + ?? + ?? = ?? + ?? + ??，
∴当 B、P、F、D 四点共线时，?? + ?? + ??的值最小，最小值为 BD 的长；
∵∠??? = 90°，∠CAD=60°，
∴∠EAD=30°，
11
∴?? = 2?? = 2，
??2−??2
∴?? =
3
= 2 ，
3
∴?? = 1 + 2 ，
??2 + ??2
∴?? =
6+ 2
=2，
6+ 2
2
∴?? + ?? + ??的值最小值为．
6+ 2
故答案为： 2．
【点睛】本题考查费马点问题，解题的关键在于将△APC 绕点 C 顺时针旋转60°得△DFC，将三条线段的长转化到一条直线上．
【变式 02】如图，已知矩形 ABCD，AB＝4，BC＝6，点 M 为矩形内一点，点 E 为 BC 边上任意一点，则
MA＋MD＋ME 的最小值为．
【答案】4+3
3
【分析】将△AMD 绕点 A 逆时针旋转 60°得到△AM′D′，则 MD＝M′D′，△ADD′和△AMM′均为等边三角形，推出 AM＝MM′可得 MA＋MD＋ME＝D′M＋MM′＋ME，共线时最短；由于点 E 也为动点，可得当 D′E⊥BC 时最短，此时易求得 D′E＝DG＋GE 的值；
【详解】
解：将△AMD 绕点 A 逆时针旋转 60°得到△AM′D′，
由性质的性质可知：MD＝M′D′，△ADD′和△AMM′均为等边三角形，
∴AM＝MM′，
∴MA＋MD＋ME＝D′M＋MM′＋ME，
∴D′M、MM′、ME 共线时最短，
由于点 E 也为动点，
3
∴当 D′E⊥BC 时最短，此时易求得 D′E＝D′G＋GE＝4+3
3
∴MA＋MD＋ME 的最小值为4+3 3，故答案为：4+3
【点睛】本题考查轴对称、旋转变换、矩形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加
常用辅助线，构造等边三角形解决问题，用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
【变式 03】（2021·山东滨州·中考真题）如图，在 △ ???中，∠??? = 90°，∠??? = 30°，?? = 2．若点 P
是△ ???内一点，则?? + ?? + ??的最小值为．
【答案】
7
【分析】根据题意，首先以点 A 为旋转中心，顺时针旋转△APB 到△AP′B′，旋转角是 60°，作出图形，然后根据旋转的性质和全等三角形的性质、等边三角形的性质，可以得到 PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，再根据两点之间线段最短，可以得到 PA+PB+PC 的最小值就是 CB′的值，然后根据勾股定理可以求得 CB′的值，从而可以解答本题．
【详解】解：以点 A 为旋转中心，顺时针旋转△APB 到△AP′B′，旋转角是 60°，连接 BB′、PP′，??′，如图
所示，
则∠PAP′=60°，AP=AP′，PB=P′B′，
∴△APP′是等边三角形，
∴AP=PP′，
∴PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，
∵PP′+P′B′+PC≥CB′，
∴PP′+P′B′+PC 的最小值就是 CB′的值，即 PA+PB+PC 的最小值就是 CB′的值，
∵∠BAC=30°，∠BAB′=60°，AB=??′=2，
∴∠CAB′=90°，AB′=2，AC=AB•cs∠BAC=2×cs30°=2 × 3 = 3，
2
??2 + ??′2
∴CB′== 7，
故答案为： 7．
【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质、最短路径问题、勾股定理，解答本题的关键是作出合适的辅助线，得出 PA+PB+PC 的最小值就是 CB′的值，其中用到的数学思想是数形结合的思想．
【变式 04】阅读下面材料，并解决问题：
思维指引
如图①等边△ ???内有一点?，若点?到顶点?、?、?的距离分别为8，15，17，求∠???的度数．为了解决
本题，我们可以将△ ???绕顶点?旋转到 △ ???′处，此时△ ???′≌ △ ???，连接??′，这样就可以利用旋转变换，将三条线段??、??、??转化到一个三角形中，从而求出∠??? = °；
知识迁移
如图②， △ ???中，∠??? = 90°，?? = ??，?、?为??上的点且∠??? = 45°，?? = 3，?? = 2，求??的长度；
方法推广
如图③，在△ ???中，∠??? = 30°，?? = 4，?? = 6，点?为△ ???内一点，连接??、??、??，直接写出?? + 2?? + ??的最小值．
【答案】(1)150
13
(2)
19
(3)2
【分析】（1）由全等三角形和旋转的性质可得△ ???′为等边三角形，即得??′ = ?? = 8， ∠??′? = 60°，
进而由勾股定理的逆定理可得∠??′? = 90°，进而可得∠??? = ∠??′? = 150°，即可求解；
把△ ???绕点?逆时针旋转90°得到 △ ???，可证△ ???≌ △ ?′??(SAS)，得到?? = ?′?，再根据等腰直角三角形和旋转的性质可得∠?′?? = 90°，进而利用勾股定理求出?′?的长即可求解；
在△ ???内部任取一点?，连接??，??，??，将 △ ???绕点?顺时针旋转90°得到△ ??′?′，由旋转的性质可得?? + 2?? + ?? = ?? + ??′ + ?′?′，可知当?，?，?′，?′四点共线时，?? + 2?? + ??取最小值，最小值为??′，过点?作?′?的垂线交?′?延长线于点?，分别求出??和?′?的长，再利用勾股定理求出??′的长即可求解．
【详解】（1）解：∵ △ ???′≌ △ ???，
∴??′ = ?? = 8，??′ = ?? = 15，∠??′? = ∠???，
∵ △ ???为等边三角形，
∴∠??? = 60°，
由旋转得，∠???′ = ∠??? = 60°，
∴ △ ???′为等边三角形，
∴??′ = ?? = 8，∠??′? = 60°，
∵?? = 17，
∴??′2 +??′2 = ??2 = 289，
∴ △ ??′?为直角三角形，且∠??′? = 90°，
∴∠??? = ∠??′? = ∠??′? + ∠??′? = 60° + 90° = 150°，故答案为：150；
解：如图②，把△ ???绕点?逆时针旋转90°得到 △ ???，
由旋转得，??′ = ??，??′ = ?? = 3，∠???′ = ∠???，∠???′ = ∠?，∠???′ = ∠??? = 90°，
∵∠??? = 45°，
∴∠?′?? = 90°−45° = 45°，
∴∠??? = ∠?′??，
在△ ???和△ ?′??中，
?? = ??′
∠??? = ∠?′?? ，
?? = ??
∴ △ ???≌ △ ?′??(SAS)，
∴?? = ?′?，
∵∠??? = 90°，?? = ??，
∴∠? = ∠??? = 45°，
∴∠???′ = ∠? = 45°，
∴∠?′?? = 45° + 45° = 90°，
∵?? = 2，
??′2 + ??2
∴?? = ?′? =
=
= 13；
32 + 22
解：如图③，在△ ???内部任取一点?，连接??，??，??，
将△ ???绕点?顺时针旋转90°得到△ ??′?′，
由旋转得，?? = ??′，?? = ?′?′，??′ = ?? = 6， ∠???′ = ∠???′ = 90°，
∴??′ = 2??，
∴?? + 2?? + ?? = ?? + ??′ + ?′?′，
∴当?，?，?′，?′四点共线时，?? + 2?? + ??取最小值，最小值为??′，如图，过点?作?′?的垂线交?′?延长线于点?，则∠? = ∠???′ = 90°，
∴??∥??，
∴∠??? = ∠??? = 30°，
∴?? =
1?? = 2，
42−22
2
??2−??2
(2 3) + 82
2
∴?? =
=
= 2 3，?′? = ??′ +?? = 6 + 2 = 8，
??2 + ?′?2
∴??′ =
=
= 2 19，
∴?? + 2?? + ??的最小值为2 19．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
题型七 瓜豆模型
【典例 01】（2019 江苏宿迁中考真题）如图，正方形????的边长为 4，?为??上一点，且?? = 1，?为??
边上的一个动点，连接??，以??为边向右侧作等边????，连接??，则??的最小值为．
5
【答案】
2
【分析】由题意分析可知，点?为主动点，?为从动点，所以以点?为旋转中心构造全等关系，得到点?的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得??最小值．
【详解】由题意可知，点?是主动点，点?是从动点，点?在线段上运动，点?也一定在直线轨迹上运动
将????绕点?旋转60°，使??与??重合，得到????≅????，从而可知????为等边三角形，点?在垂直于??的直线??上，作?? ⊥ ??，则??即为??的最小值，
作?? ⊥ ??，可知四边形????为矩形，
则?? = ?? + ?? = ?? + 1?? = 1 + 3 = 5.
222
5
故答案为．
2
【点睛】本题考查了线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点?的运动轨迹，是本题的关键．
【变式 01】（2025·江苏苏州·二模）如图，菱形????的边长为 4，∠? = 120°，E 是??的中点，F 是对角线
??上的动点，连接??．将线段??绕点 F 按逆时针旋转30°，G 为点 E 对应点，连接??，则??的最小值为（ ）
A．B．
2
3
C． 2−1
D． 3−1
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质、菱形的性质、等边对等角、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．将线段??绕点 F 按顺时针旋转30°，得到??，连接??、??，由旋转的性质得到，
?? = ??，?? = ??，∠??? = ∠??? = 30°，通过证明 △ ???≌ △ ???得到?? = ??，利用菱形的性质和等边对等角得到∠??? = 30°，∠??? = 75°，则有∠??? = ∠???−∠??? = 45°，分析可得点?在过点?且与??夹角为45°的直线上运动，当?? ⊥ ??时，??有最小值，再利用等腰直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：将线段??绕点 F 按顺时针旋转30°，得到??，连接??、??，由旋转的性质得到，?? = ??，?? = ??，∠??? = ∠??? = 30°，
∴ ∠???−∠??? = ∠???−∠???，即∠??? = ∠???，
∴△ ???≌ △ ???(SAS)，
∴ ?? = ??，
∵ 菱形????的边长为 4，
∴ ?? = ?? = 4，
∵ ∠? = 120°，
∴ ∠??? = 180°−∠? = 30°，
2
∵ E 是??的中点，
∴ ?? = 1?? = 2，
2
∵ ?? = ??，∠??? = 30°，
∴ ∠??? = 180°−∠??? = 75°，
2
∴ ∠??? = ∠???−∠??? = 75°−30° = 45°，
∴ 点?在过点?且与??夹角为45°的直线上运动，
2
2
∴ 当?? ⊥ ??时，??有最小值，此时 △ ???为等腰直角三角形，则?? = ?? = 2 = 2，
∴ ??的最小值为 2，即??的最小值为 2．故选：A．
【变式 02】（2024 四川宜宾中考真题）如图，在平行四边形????中，?? = 2，?? = 4，E、F 分别是边??、??上的动点，且?? = ??．当?? + ??的值最小时，则?? = ．
2
【答案】
3
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质．延长
??，截取?? = ??，连接??，??，证明 △ ???≌ △ ???，得出?? = ??，说明当?? + ??最小时，?? + ??
最小，根据两点之间线段最短，得出当 A、E、G 三点共线时，?? + ??最小，即?? + ??最小，再证明
△ ??? ∽△ ???，根据相似三角形的性质，求出结果即可．
【详解】解：延长??，截取?? = ??，连接??，??，如图所示：
∵四边形????为平行四边形，
∴?? = ?? = 2，?? = ?? = 4，??∥??，
∴∠? = ∠???，
∵?? = ??，?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???，
∴?? = ??，
∴?? + ?? = ?? + ??，
∴当?? + ??最小时，?? + ??最小，
∵两点之间线段最短，
∴当 A、E、G 三点共线时，?? + ??最小，即?? + ??最小，且最小值为??的长，
∵??∥??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
2
∴?? = ??
42−??
??
??，即 =
，
??
3
解得?? = 2．
2
故答案为：．
3
【变式 03】（2024 山东济南一模）如图，矩形 ABCD 中，AD=6，DC=8，点 E 为对角线 AC 上一动点，
BE⊥BF，?? = 4，BG⊥EF 于点 G，连接 CG，当 CG 最小时，CE 的长为．
??3
32
【答案】
5
【分析】过点?作?? ⊥ ??于点?，连接??，则可得Δ??? ∽ Δ???，进而可知∠???为定值，所以当?? ⊥ ??
时，??最小，利用三角函数和相似比列式可表示出??、??，即可求出结果．
【详解】解：过点?作?? ⊥ ??于点?，连接??，如图所示：
∵ ?? = ?? = 4，∠??? = ∠???，
????3
∴ Δ??? ∽ Δ???，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ∠??? = ∠??? = 90°，
∴ Δ??? ∽ Δ???，
∴ ?? = ?? =1
= ?? = 5，∠??? = ∠???，
????sin∠???
??3
∴ ∠??? = ∠???，
∴ Δ??? ∽ Δ???，
∴ ∠??? = ∠???，
即在点?的运动过程中，∠???的大小不变且等于∠???，
∴ 当?? ⊥ ??时，??最小，设此时?? = ?，
∵ ?? = ?? = 5，
????3
∴ ?? = 3?，
5
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = ∠??? = ∠???，
∴ ?? = 5，
??3
代入?? = 3?，解得?? = ?，
5
18
∵ ?? = ?? ⋅ sin∠??? = ?? ⋅ sin∠??? = 5 ，
18
∴ ? = 5 ，
18
∴ ?? = 5 ，
32
∴ ?? = 5 ，
32
故答案为：
5
【点睛】本题考查相似三角形综合，熟练掌握手拉手相似模型是解题关键，确定点 G 的运动路径是本题的难点．
【变式 04】（2025·江苏宿迁·三模）如图，在矩形????中，?? = 4，?? = 2，?是对角线??上的一动点，连接??，若以??为边向右上侧作等边△ ???；点?从点?运动到点?的过程中，连接??，则线段??的最小 值是．
【答案】2 5− 15
5
【分析】以??为边作等边 △ ???，连接??．证明 △ ???≌ △ ???(SAS)，得到∠??? = ∠???，从而tan∠??? = tan∠??? = 2，因此∠???是定值，即点 G 在与??成定角的直线??上运动．过点 C 作?? ⊥ ??于点 H，则点 G 在点 H 时，??取得最小值，最小值为??的长．当点 E 与点 A 重合时，过点 G 作?? ⊥ ??于点 M，过点 F 作?? ⊥ ??于点 N，求出 △ ???， △ ???， △ ???的面积，得到?△??? = ?Rt△???−?△???−?△??? = 2− 3，根据勾股定理求出??，再由三角形的面积求出??，即可解答．
【详解】解：如图，以??为边作等边△ ???，连接??．
∵ △ ???和△ ???都是等边三角形，
∴?? = ??，?? = ??，∠??? = ∠??? = 60°，
∴∠??? = ∠???，
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴∠??? = ∠???，
∵在矩形????中，?? = 4，?? = 2，
∴tan∠??? = ?? = 2，
??
∴tan∠??? = tan∠??? = 2，
∴∠???是定值，即点 G 在与??成定角的直线??上运动．
过点 C 作?? ⊥ ??于点 H，则点 G 在点 H 时，??取得最小值，最小值为??的长．
如图，当点 E 与点 A 重合时，
过点 G 作?? ⊥ ??于点 M，过点 F 作?? ⊥ ??于点 N，
∴?? = 1?? = 2，
2
∴?
= 1?? ⋅ ?? = 1 × 2 × 2 = 2．
△???22
∵ △ ???是等边三角形，
3
∴?? = ?? = 2，?? = ?? ⋅ sin∠??? = 2sin60° = 3，
∴?
= 1?? ⋅ ?? = 1 × 2 ×
= 3．
△???22
∵?
= 1?? ⋅ ?? = 1 × 4 × 2 = 4， △ ???≌ △ ???，
Rt△???22
∴?Rt△??? = ?Rt△??? = 4，
∠??? = ∠??? = 90°，?? = ?? = 4，
??2 + ??2
42 + 22
5
∴在Rt △ ???中，?? === 2
3
∵?△??? = ?Rt△???−?△???−?△??? = 4−2−
= 2− 3，
又?
△???
= 1?? ⋅ ??，
2
∴2−
= 1 ⋅ 2 5??，
3
2
5
∴?? = 2 5− 15，
5
∴点?从点?运动到点?的过程中，线段??的最小值是2 5− 15．
故答案为：2 5− 15
5
【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，解直角三角形，正确找出点 G 的运动轨迹，根据三角形的面积求解是解题的关键．
（限时训练：60 分钟）
如图，等边 △ ???中，?? ⊥ ??于点?，点?，?分别为??，??上的两个定点且?? = ?? = 3，?? = 2，在??上有一动点?使?? + ??最短，则?? + ??的最小值为（）
A．4B．5C．6D．7
【答案】D
【分析】在??上找到?点关于??的对称点?′，连接?′?交??于点?，连接??，推出?? + ??的最小值是
?′?的长，再证明出△ ??′?是等边三角形，即可求出?′?的长，从而解决问题．
【详解】解：在??上找到?点关于??的对称点?′，连接?′?交??于点?，连接??，
此时??是??′的垂直平分线，
∴ ?? = ??′，?? = ??′ = 2，
此时?? + ??取最小值，最小值为??′ +?? = ?′?，
∵ 等边△ ???中，?? ⊥ ??，
∴ ?? = ?? = ?? + ?? = 3 + 2 = 5，
∴ ??′ = ?? + ??′ = 5 + 2 = 7，?? = 2?? = 10，
∵ 等边△ ???中，?? = ?? = 10，∠? = 60°，又?? = 3，
∴ ?? = ??−?? = 7 = ??′，
∴△ ??′?是等边三角形，
∴ ?′? = ?? = 7，
即?? + ??的最小值为7．故选：D．
【点睛】本题考查的知识点是轴对称性质、将军饮马模型、垂直平分线性质、等边三角形的判定与性质，解题关键是能将两线段的和的最小值用一条线段长表示．
如图，正方形????的边长是 5，点?，?分别是边??，??上的动点，且?? = ??，连接??，??，则?? + ??
的最小值是（ ）
2
5
5
A．5B．5
【答案】D
C．2
D．5
【分析】连接??，根据SAS可得 △ ???≌ △ ???，则?? = ??，?? + ?? = ?? + ??．延长??至 G，使
?? = ?? = 5，则 G 点与 A 点关于直线??对称，连接??交??于?′， 此时??的长就是?? + ??的最小值．求出??的长即可得解．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，以及将军饮马．正确的作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接??，
∵四边形????是正方形，
∴?? = ?? = ??, ∠??? = ∠??? = 90°，
∵?? = ??，
∴?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴?? = ??，
∴?? + ?? = ?? + ??，
延长??至 G，使?? = ?? = 5，则 G 点与 A 点关于直线??对称，
连接??交??于?′，连接??′，则??′ = ??′，
此时，?? + ??的值最小，最小值为??的长，
∵?? = 5,?? = ?? + ?? = 10，
52 + 102
∴?? == 5 5，
∴?? + ??的最小值为5 5．故选：D．
如图， ⊙ ?的半径为 2，圆心 M 的坐标为(3,4)，点 P 是⊙ ?上的任意一点，?? ⊥ ??，且??、??与 x
轴分别交于 A、B 两点，若点 A、点 B 关于原点 O 对称，则??的最小值（）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】由??Δ???中?? = 2??知要使??取得最小值，则??需取得最小值，连接??，交 ⊙ ?于点?′，当
P 位于?′位置时，??′取得最小值，故可求解．
此题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到??取得最小值时 P 的位置．
【详解】连接??，∵?? ⊥ ??，∴∠??? = 90°，∵?? = ??，∴?? = 2??，要使??取得最小值，则??需取得最小值，
连接??，交 ⊙ ?于点?′，当 P 位于?′位置时，??′取得最小值，过点 M 作?? ⊥ ?轴于点 Q，
则?? = 3,?? = 4，
32 + 42
∴?? == 5，
又??′ = 2，
∴??′ = 3，
∴?? = 2??′ = 6，故选 D．
4．（2022·山东泰安·中考真题）如图，四边形????为矩形，?? = 3，?? = 4．点 P 是线段??上一动点，点 M 为线段??上一点．∠??? = ∠???，则??的最小值为（ ）
5
A．2
【答案】D
12
C． 13−
3
D． 13−2
B． 52
【分析】证明∠???=90°，得出点 M 在 O 点为圆心，以 AO 为半径的圆上，从而计算出答案．
【详解】设 AD 的中点为 O，以 O 点为圆心，AO 为半径画圆
∵四边形????为矩形
∴∠???+∠???=90°
∵∠??? = ∠???
∴∠???+∠???=90°
∴∠???=90°
∴点 M 在 O 点为圆心，以 AO 为半径的圆上
连接 OB 交圆 O 与点 N
∵点 B 为圆 O 外一点
∴当直线 BM 过圆心 O 时，BM 最短
∵??2 = ??2 +??2，1
??=??=2
2
∴??2 = 9 + 4 = 13
13
∴?? =
∵?? = ??−?? = 13−2
故选：D．
【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．
5．（24-25 八年级上·江苏无锡·期末）如图，在矩形????中，?? = 3，?? = 4，E，F 分别是??，??上的点．现将四边形????沿??折叠，点 A、B 的对应点分别为 M、N，且点 N 恰好落在??上．连接??，过 B作?? ⊥ ??，垂足为 G，则2?? + ??的最小值为（ ）
73
A．
【答案】A
B．5C．
D．7
52
【分析】连接??，??，延长??到 J，使得?? = ??，连接??，证明2?? = ?? + ?? = ?? + ?? ≥ ??，利用勾股定理求出??即可解决问题．
【详解】解：连接??，??，延长??到 J，使得?? = ??，连接??．
由翻折变换的性质可知??垂直平分线段??，?? = ??，
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ?，G，N 三点共线，
∴ 2?? + ?? = ?? + ??，
∵ 四边形????是矩形，
∴ ∠??? = ∠??? = 90°，
∴ ?? ⊥ ??，
∵ ?? = ??，
∴ ?? = ??，
∴ 2?? + ?? = ?? + ?? ≥ ??，
∵ ?? = 3，?? = 2?? = 8，
??2 + ??2
∴ ?? =
=
= 73，
32 + 82
∴ 2?? + ?? ≥ 73，
∴ 2?? + ??的最小值为 73．故选：A．
【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，翻折变换，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称变换的性质解决最短问题．
如图， △ ???中，?? = ?? = 10，tan? = 2，?? ⊥ ??于点?，?是线段??上的一个动点，则?? + 5??
5
的最小值是．
5
【答案】4
【分析】过点 D 作?? ⊥ ??于?，过点 C 作?? ⊥ ??于?，首先通过勾股定理及tan? = 2求出 AE,BE 的长度，
然后根据等腰三角形两腰上的高相等得出?? = ??，然后通过锐角三角函数得出?? = 5??，进而可得出
5
?? + 5?? = ?? + ??，最后利用?? + ?? ≥ ??即可求值．
5
【详解】解：如图，过点 D 作?? ⊥ ??于?，过点 C 作?? ⊥ ??于?．
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°，
∵tan? =
??
??
= 2，
设?? = ?，?? = 2?，
∵ ??2 = ??2 +??2
∴100 = ?2 +4?2，
∴?2 = 20，
∴? = 2 5或−2 5（舍弃），
∴?? = 2? = 4 5，
∵?? = ??，?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
∴?? = ?? = 4 5（等腰三角形两腰上的高相等）
∵∠??? = ∠???，∠??? = ∠???，
????5
∴sin∠??? = ?? = ?? = 5 ，
∴?? = 5??，
5
∴?? + 5?? = ?? + ??，
5
∴?? + ?? ≥ ??，
∴?? + 5?? ≥ 4 5，
5
∴?? + 5??的最小值为4 5,
5
故答案为：4 5．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等，学会添加辅助线并利用转化的思想是解题的关键．
如图，在⊙ ?中，点 A、点 B 在⊙ ?上，∠??? = 90°，?? = 6，点 C 在 OA 上，且?? = 2??，点 D 是
10
??的中点，点 M 是劣弧 AB 上的动点，则?? + 2??的最小值为．
【答案】4
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．延长??到 T，使得?? = ??，连接??，??．利用相似三角形的性质证明?? = 2??，求?? + 2??的最小值问题转化为求?? + ??的最小值．利用两点之间线段最短得到
?? + ?? ≥ ??，利用勾股定理求出??即可解题．
【详解】解：延长??到 T，使得?? = ??，连接??，??．
∵ ?? = 6，
∴ ?? = ?? = 6，
∵ 点 D 是??的中点，
∴ ?? = ?? = 3，?? = 12，
∴ ??2 = ?? ⋅ ??，
????
∴ ?? = ??，
∵ ∠??? = ∠???，
∴ △ ???∽ △ ???，
????1
∴ ?? = ?? = 2，
∴ ?? = 2??，
∵ ?? + 2?? = ?? + ?? ≥ ??，
∵ ?? = 2??，
∴ ?? = 4，
又∵ 在Rt △ ???中，∠??? = 90°，?? = 12，
??2 + ??2
∴ ?? =
=
= 4 10，
42 + 122
∴ ?? + 2?? ≥ 4 10，
∴ ?? + 2??的最小值为4 10，故答案为：4 10．
如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点 P 是 AB 边上一动点，作 PD⊥BC 于点 D，线段 AD 上存
在一点 Q，当 QA+QB+QC 的值取得最小值，且 AQ=2 时，则 PD=．
3
【答案】3+
【分析】如图 1，将△BQC 绕点 B 顺时针旋转 60°得到△BNM，连接 QN，当点 A，点 Q，点 N，点 M 共线时，QA+QB+QC 值最小，此时，如图 2，连接 MC，证明 AM 垂直平分 BC，证明 AD=BD，此时 P 与 D 重合，设 PD=x，则 DQ=x-2，构建方程求出 x 可得结论．
【详解】解：如图 1，将△BQC 绕点 B 顺时针旋转 60°得到△BNM，连接 QN，
∴BQ=BN，QC=NM，∠QBN=60°，
∴△BQN 是等边三角形，
∴BQ=QN，
∴QA+QB+QC=AQ+QN+MN，
∴当点 A，点 Q，点 N，点 M 共线时，QA+QB+QC 值最小，此时，如图 2，连接 MC
∵将△BQC 绕点 B 顺时针旋转 60°得到△BNM，
∴BQ=BN，BC=BM，∠QBN=60°=∠CBM，
∴△BQN 是等边三角形，△CBM 是等边三角形，
∴∠BQN=∠BNQ=60°，BM=CM，
∵BM=CM，AB=AC，
∴AM 垂直平分 BC，
∵AD⊥BC，∠BQD=60°，
∴BD= 3QD，
∵AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴AD=BD，此时 P 与 D 重合，设 PD=x，则 DQ=x-2，
∴x=tan60° × (?−2) = 3(?−2)，
∴x=3+ 3，
∴PD=3+ 3．
故答案为：3+ 3．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确运用等边三角形的性质解决问题，学会构建方程解决问题．
9．（2025 四川眉山一模）如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线? = ??2 +?? + 6与 x 轴相交于点?(−6,0)和点?(2,0)，与 y 轴交于点 C．
求抛物线的表达式；
连接??、??，点 Q 为抛物线上的点且在第三象限，当?△??? = ?△???时，请求出点 Q 的坐标；
如图 2，在（2）问的条件下，过点 C 作直线 l 平行于 x 轴，动点 M 在直线 l 上，?? ⊥ ?轴交 x 轴于点
N，点 P 是抛物线的顶点，连接??、??，请求出?? + ?? + ??的最小值及此时点 M 的坐标．
【答案】(1)? = −1?2−2? + 6
2
(2)(−8,−10)
(3)最小值为6 + 6 5，点?(−3,6)
【分析】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、勾股定理及根据两点间线段最短得到点 P、Q 的位置．
利用待定系数法求二次函数解析式即可；
过点 B 作??∥??交抛物线于点 Q，则有?△??? = ?△???，利用待定系数法分别求直线??、??的解析式，再联立方程组即可求解；
根据题意得出顶点?(−2,8)，将顶点?(−2,8)向下平移 6 个单位得到点?(−2,2)，连接??交 x 轴于点 N，连接??，得出?? = 6，设?(?,6)、?(?,0)，利用平行四边形的判定和性质得出四边形????是平行四边 形，?? = ??，由作图知当 Q、N、D 三点共线时，?? + ?? + ?? = ?? + ?? + ??取最小值，由待定系 数法确定直线??的解析式为? = 2? + 6，过点 Q 作??∥?轴交??延长线于点 F，利用各点坐标及勾股定理结 合图象即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线 ? = ??2 +?? + 6 经过点 ?(−6,0)，?(2,0)，
36?−6? + 6 = 0
∴ 4? + 2? + 6 = 0 ，
? = − 1
解得：
2 ，
? = −2
1
∴? = −?2
2
−2? + 6．
（2）解：由（1）得? = −1?2−2? + 6，
2
当? = 0时，? = 6，
∴?(0,6)，
设直线??解析式? = ?? + ?，
将点?(−6,0)，?(0,6) 代入，得：
−6? + ? = 0
? = 6，
解得：
? = 1
? = 6 ，
则直线??解析式为 ? = ? + 6，
过点 B 作??∥??交抛物线于点 Q，则有?△??? = ?△???，
则直线??的解析式为? = ? + ?，
将点?(2,0) 代入，得：2 + ? = 0，解得：? = −2，
∴直线??解析式为? = ?−2，
? = ?−2
由 ? = − 1 ?2−2? + 6 ，
2
? = −8
解得： ? = −10
? = 2
或
? = 0 ，
∵点 Q 为抛物线上的点且在第三象限，
∴点 Q 坐标为(−8,−10)．
（3）解：由（1）得? = −1?2−2? + 6 = −1(? + 2)2 +8，
22
∴顶点?(−2,8)，
将顶点?(−2,8)向下平移 6 个单位得到点?(−2,2)，连接??交 x 轴于点 N，连接??，
则?? = 6，
设?(?,6)、?(?,0)，
∴?? ⊥ ?轴，且?? = ?? = 6，
∴??∥??，且?? = ??，
∴四边形????是平行四边形，
∴?? = ??，
由作图知当 Q、N、D 三点共线时，?? + ?? + ?? = ?? + ?? + ??取最小值，设直线??的解析式为? = ?? + ?，
将点?(−8,−10)、?(−2,2)代入，得：
−8? + ? = −10
−2? + ? = 2 ，
? = 2
解得： ? = 6 ，
∴直线??的解析式为? = 2? + 6，当? = 0时，? = −3，
∴?(−3,0)，即? = −3，
此时过点 Q 作??∥?轴交??延长线于点 F，
∵?? = 2−(−10) = 12，?? = −2−(−8) = 6，
122 + 62
∴?? == 6 5，
∴?? + ?? = 6 5，
∴?? + ?? + ?? = 6 + 6 5，
∴当? = −3时，?? + ?? + ??的最小值为6 + 6 5，此时，点?(−3,6)．
10．如图，在矩形????中，∠??? = 90°．
如图 1，过点 D 作?? ⊥ ??，垂足为 E，求证：??2 = ?? ⋅ ??；
如图 2，在（1）条件下，点 F 为??上一点，连接??并延长至点 G，??交??于点 O，连接??、??，当
∠??? = ∠???时，判断 △ ???的形状，并说明理由；
如图 3，平面内一点 M，满足∠??? = ∠???，?? = 1，?? = 6，连接??并延长至点 H，使
∠??? = ∠???，连接??，当线段??取最小值时，求线段??的长．
【答案】(1)见解析
(2) △ ???是直角三角形，理由见解析
10
(3)
【分析】（1）根据矩形的性质得到∠??? = 90°，根据垂直的定义得到∠??? = 90°，则∠??? = ∠???，通
????
过证明△ ??? ∽△ ???，得到?? = ??，再利用比例的性质即可证明；
先证明△ ??? ∽△ ???，得到??2 = ?? ⋅ ??，结合（1）中的结论得到?? ⋅ ?? = ?? ⋅ ??，再证明
△ ??? ∽△ ???，得到∠??? = ∠???，结合垂直的定义得到∠??? = 90°，则有∠??? = 90°，即可得出结论；
根据题意可知点?在以?为圆心，半径为 1 的圆上运动，作?? ⊥ ??交??延长线于点?，??与 ⊙ ?交于点?，连接??，先证明 △ ??? ∽△ ???，得到?? ⋅ ?? = ??2 = 6，再证明△ ??? ∽△ ???，得到
?? ⋅ ?? = ?? ⋅ ?? = 6，得出?? = 3，则点?在过点?且与??垂直的直线上运动，当?? ⊥ ??时，线段??取最小值，此时四边形????是矩形，再利用矩形的性质和勾股定理即可求出线段??的长．
【详解】（1）证明：∵矩形????，
∴∠??? = 90°，
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???， 又∵∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??，
??
??
∴??2 = ?? ⋅ ??；
（2）解：∵∠??? = ∠???，∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
??
??
∴?? = ??；
∴??2 = ?? ⋅ ??，
由（1）得，??2 = ?? ⋅ ??，
∴?? ⋅ ?? = ?? ⋅ ??，
∴?? = ??，
??
??
又∵∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴∠??? = ∠???，
∵?? ⊥ ??，点 F 为??上一点，
∴∠??? = 90°，
∴∠??? = 90°，
∴ △ ???是直角三角形；
（3）解：∵∠??? = ∠???，
∴?? = ?? = 1，
∴点?在以?为圆心，半径为 1 的圆上运动，
作?? ⊥ ??交??延长线于点?，??与 ⊙ ?交于点?，连接??，
则∠? = 90°，
∵∠??? = ∠???，∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??，
??
??
∴?? ⋅ ?? = ??2 = 6，
∵??是⊙ ?的直径，
∴∠??? = 90°，?? = 2?? = 2，
∴∠??? = ∠?，
又∵∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
??
??
∴?? = ??，
∴?? ⋅ ?? = ?? ⋅ ?? = 6，即2?? = 6，
∴?? = 3，
∴?是定点，
∴点?在过点?且与??垂直的直线上运动，
∴当?? ⊥ ??时，线段??取最小值，
∵矩形????，
∴∠??? = 90°，
又∵∠??? = ∠? = 90°，
∴四边形????是矩形，
∴?? = ?? = 6，
( 6) + 22
2
∵?? = ??−?? = 3−1 = 2，
??2 + ??2
∴?? =
=
= 10．
【点睛】本题考查了矩形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、圆周角定理、勾股定理、动点轨迹问题，添加适当的辅助线构造相似三角形，探究出点?的运动轨迹是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生．