2026年中考数学二轮复习 高频考点11 几何解答题压轴14大题型专练

这是一份2026年中考数学二轮复习 高频考点11 几何解答题压轴14大题型专练，共7页。试卷主要包含了三角形解答题压轴，四边形解答题压轴，圆中解答题压轴，折叠旋转中解答题压轴等内容，欢迎下载使用。
命题探源·考向解密（分析近 3 年中考考向与命题特征）
根基夯实·知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等）
高频考点·妙法指津（4 大命题点+12 道中考预测题，中考必考·（8-12）分）
每个考点中考预测题3 道
好题速递·分层闯关（精选 2 道最新名校模拟试题+2 道中考闯关题）
考点一 三角形解答题压轴
考点二 四边形解答题压轴
命题 1 三角形中解答题压轴（常规题）
命题 2 三角形中解答题压轴之实践探究题
命题 3 三角形中解答题压轴之新定义类题型
命题 4 三角形中解答题压轴之阅读题型
命题 1 四边形中解答题压轴（常规题）
命题 2 四边形中解答题压轴之实践探究题
命题 3 四边形中解答题压轴之新定义类题型
命题 4 四边形中解答题压轴之阅读题型
命题 5 四边形中解答题压轴之与函数综合
考点三 圆中解答题压轴
考点四 折叠旋转中解答题压轴
命题 1 圆中解答题压轴与相似综合
命题 2 圆中解答题压轴之实践探究问题
命题 3 圆中解答题压轴之阅读材料问题
命题 1 折叠中解答题压轴
命题 2 旋转中解答题压轴
考点
考向
命题特征
1. 三角形全等、相似的综合证明与计
1. 以解答题压轴题为主，分值 8~12 分，是中考核
三角形综
算；
心拉分题型；
合压轴（全
2. 等腰/直角/等边三角形的性质与判
2. 核心考查三角形边角关系、全等/相似判定定理；
等/相似/
定；
3. 侧重逻辑推理与分类讨论，常结合动点、折叠、
特殊三角
3. 三角形中的动点、动角、定值问题；
旋转；
形）
4. 三角形中的周长、面积、线段最值
4. 综合性强，常与勾股定理、三角函数、特殊四边
问题。
形结合。
特殊四边
1. 矩形、正方形、菱形的性质与判定；
1. 以解答题压轴题为主，分值 8~12 分，是中考高频
形综合压
2. 四边形中的折叠、旋转、动点问题；
难点题型；
轴（矩形/
3. 四边形中的线段、角度关系证明；
2. 核心考查特殊四边形的边、角、对角线性质；
正方形/
4. 四边形中的最值、存在性问题。
3. 侧重转化思想与模型应用（如一线三等角、半角
菱形）
模型）；
4. 常结合全等、相似、勾股定理，对几何建模能力
要求高。
特殊四边形综合压轴（矩形/正方形/ 菱形）
矩形、正方形、菱形的性质与判定；
四边形中的折叠、旋转、动点问题；
四边形中的线段、角度关系证明；
四边形中的最值、存在性问题。
以解答题压轴题为主，分值 8~12 分，是中考高频难点题型；
核心考查特殊四边形的边、角、对角线性质；
侧重转化思想与模型应用（如一线三等角、半角模型）；
常结合全等、相似、勾股定理，对几何建模能力
要求高。
圆综合压轴（切线/圆周角/隐圆）
圆的切线判定与性质证明；
圆周角、圆心角、垂径定理的综合应用；
圆中的相似三角形、线段求值、阴影面积；
隐圆（定边定角、定点定长）背景
下的最值问题。
以解答题压轴题为主，分值 8~12 分，是中考区分度最高的题型；
核心考查圆的基本性质、切线判定、圆周角定理；
侧重几何综合能力，常与三角形、四边形、相似、三角函数结合；
隐圆模型对轨迹思想要求高，是中考几何压轴的
难点。
折叠/旋转综合压轴
矩形、正方形、三角形的折叠问题；
旋转背景下的全等、相似、角度计算；
折叠/旋转后的动点轨迹与最值问题；
折叠/旋转与相似、三角函数的综合
应用。
以解答题压轴题为主，分值 8~12 分，是中考高频拉分题型；
核心考查折叠/旋转的轴对称性、全等性；
侧重转化思想与分类讨论，需结合勾股定理列方程求解；
综合性强，常与相似、三角函数结合。
考点一 三角形解答题压轴
《解题指南》
审题标条件：圈出已知条件(边相等、角相等、特殊三角形),标出关键数据
分析图形：判断图形是否对称、是否有全等/相似模型、是否有特殊三角形
确定小问关系：前一小问的结论往往是后一小问的条件，注意承接使用
分步解题：
①第 1 小问：证明全等/相似，求基础线段/角度，送分题必拿
②第 2 小问：结合特殊三角形性质，求线段长、面积，中档题稳拿
③第 3 小问：动点/最值/定值，分情况讨论，压轴题尽量拿步骤分
④规范书写：证明题写清判定条件，计算题写清公式与步骤，分类讨论要分点说明
命题点 01 三角形中解答题压轴（常规题）
【典例 01】（2026·辽宁大连·一模）如图，在 △ ???中，?? = ??，D，E 是边??上的点，?? = ??．
如图 1，求证： △ ???≌ △ ???；
如图 2，点 F 是△ ???内一点，∠??? = 2∠???−45°，∠??? = 2∠???．
①求证：∠??? = 90°；
??
②??与??相交于点 G；且 G 是??的中点，求??的值；
③如图 3，在②的条件下，当?? = ?? = 2时，求??的长．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；② 2 ；③1 + 3
【分析】（1）由等边对等角得到∠? = ∠?，再证明?? = ??，即可利用SAS证明 △ ???≌ △ ???；
2
（2）①由全等三角形的性质得到∠??? = ∠???；由等边对等角得到∠??? = ∠???；由三角形外角的性质
得到∠??? = ∠??? + 2∠???−45°，则可证明2∠??? = ∠??? + 2∠???−45°，据此得到
∠??? = ∠??? = 45°，则∠??? = 180°−∠???−∠??? = 90°；②过点 A 作?? ⊥ ??于点 H，连接??，可证明??为 △ ???的中位线，得到?? ∥ ??，则∠??? = ∠???；可证明∠??? = ∠???，得到?? = ??；证明
??
2
△ ???是等腰直角三角形，得到?? = ??，则可证明?? = 2??，进而得到?? = 2??，则?? =
2；③过
点F 作?? ⊥ ??于点N，证明??垂直平分??，则可证明点F 在??上；证明?? = ??，进而证明 △ ??? ∽△ ???，得到?? ⋅ ?? = ??2 = 1，则可推出?? ⋅ ?? + ??2 = 1；由勾股定理得??2 +??2 = ??2 = 4，同理可证明
?? = ??，则可得到(?? + ??)2 +??2 = 4，据此求出?? = 2；证明△ ???是等腰直角三角形，推出
?? = ?? = 1，则?? =??2−??2 = 3，即可得到?? = ?? + ?? = 1 + 3．
【详解】（1）证明：∵?? = ??，
∴∠? = ∠?，
∵?? = ??，
∴?? + ?? = ?? + ??，即?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)；
解：①∵ △ ???≌ △ ???，
∴∠??? = ∠???；
∵?? = ??，
∴∠??? = ∠???；
∵∠??? = ∠??? + ∠???，∠??? = 2∠???−45°，
∴∠??? = ∠??? + 2∠???−45°，
∵∠??? = 2∠???，
∴∠??? = 2∠???，
∴2∠??? = ∠??? + 2∠???−45°，
∴∠??? = 45°，
∴∠??? = ∠??? = 45°，
∴∠??? = 180°−∠???−∠??? = 90°；
②如图所示，过点 A 作?? ⊥ ??于点 H，连接??，
∵?? = ??，
∴点 H 为??的中点，∠??? = ∠??? = 90°；
∵点 G 为??的中点，
∴??为 △ ???的中位线，
∴?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠???；
由（2）①可知，∠??? = ∠??? = 45°，
∴∠??? = ∠??? = ∠???−∠??? = 45°−∠???，
∴∠??? = ∠???−∠??? = 45° + ∠???；
∵∠??? = ∠??? + ∠??? = 45° + 2∠???−45° = 2∠???，
∴∠??? = ∠??? + ∠??? = 45° + ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴?? = ??；
在△ ???中，∠??? = 90°，∠??? = 45°，
∴ △ ???是等腰直角三角形，
∴?? = ??，
∴?? =??2 + ??2 = 2??，
∴?? = 2??，
∴?? = 2；
??2
③如图所示，过点 F 作?? ⊥ ??于点 N，
∵?? = ??，?? ⊥ ??，
∴?? = ??，
∴??垂直平分??，
∵?? = ??，
∴点 F 在??的垂直平分线上，
∴点 F 在??上；
∵?? = ?? = 2，点 G 为??的中点，且??是 △ ???的中位线，
∴?? =
1?? = 1，?? =
2
1?? = 1，
2
∴?? = ??，
∴∠??? = ∠???，
又∵∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??，
??
??
∴?? ⋅ ?? = ??2 = 1，
∴?? ⋅ ?? = ??2 = 1，
∴(?? + ??) ⋅ ?? = 1，
∴?? ⋅ ?? + ??2 = 1；
在Rt △ ???中，由勾股定理得??2 +??2 = ??2 = 22 = 4，
同理可证明?? = ??，
∴??2 +??2 = 4，
∴(?? + ??)2 +??2 = 4，
∴??2 +2?? ⋅ ?? + ??2 +??2 = 4，
∴??2 +2(?? ⋅ ?? + ??2) = 4，
∴??2 +2 = 4，
∴?? = 2或?? = − 2（舍去）；
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = ∠??? = 90°；
∵?? = ??，?? ⊥ ??，
∴∠??? =
1∠??? = 45°，
2
∴ △ ???是等腰直角三角形，
∴?? = ??，
∴?? =??2 + ??2 = 2?? = 2，
∴?? = ?? = 1，
∴?? =??2−??2 = 3，
∴?? = ?? + ?? = 1 + 3．
【变式 01】（2026·河南周口·一模）如图 1，在 △ ???中， ?? = ??,∠??? = 90∘,D，E 分别是边??，??的中点．将 △ ???绕点 A 顺时针旋转?角（ (0∘ < ? < 360∘),连接??，??．
猜想 ??与 ??的数量关系，并结合图 2 给予证明；
探究：
①当旋转角?的度数为时，则 ??∥??，
②在旋转过程中，当点 B，D，E 在一条直线上，且 ?? = 2时，直接写出??的长．
【答案】(1)?? = ??；理由见解析
(2)①60°或300°②??的长为 7 +1或 7−1
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程的求解以及根据三角函数值求角，解题的关键是熟练应用相关基础知识进行求解．
（1）根据题意可得∠??? = ∠???，?? = ??，?? = ??，从而得到△ ???≌ △ ???(SAS)，即可求证；
（2）①分两种情况，根据旋转的性质以及平行线的性质求解即可；②分两种情况，根据旋转的性质以及勾股定理表示出??，??，??，再根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解： ?? = ??，理由如下：
∵?为??的中点，
∴?? = ??，同理可得?? = ??，
1
1
22
∵?? = ??，
∴?? = ??，
由旋转的性质可得，∠??? = ∠???，
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴?? = ??；
（2）解：①如图 1，
当 ??∥??时， ∠??? = ∠??? = 45° ，
又∵∠??? = 45°，
∴∠??? = 90°，
由（1）可得，?? = 1??，即cs∠??? = 1，则∠??? = 60°，即? = 60°；
22
如图 2，同理可得∠??? = 60°，此时? = 300°；
故答案为：60°或300°；
②如图 3，由（1）可得∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠??? = 90°，
∵?? = 2，
∴?? = ?? = 2?? = 2 2，?? = ?? = 2，
由勾股定理可得，?? =??2 + ??2 = 4，?? =??2 + ??2 = 2，
设?? = ?，则?? = ?? = 2 + ?，
由勾股定理可得，(2 + ?)2 + ?2 = 42，
解得? = 7−1（负值舍去），即?? = 7−1，
∴?? = 7 +1；
如图 4，
同理∠??? = 90°，?? = 4 ?? = 2，设?? = ?? = ?，则?? = 2 + ?，由勾股定理可得，(2 + ?)2 + ?2 = 42，
解得? = 7−1，即?? = 7−1，
??的长为 7 +1或 7−1．
【变式 02】（2026·安徽合肥·一模）在∠???中，点 C 是∠???的平分线上一点，过点 C 作?? ⊥ ??，垂足为点 D，过点 D 作?? ⊥ ??，垂足为点 E，直线??，??交于点 F，过点 C 作?? ⊥ ??，垂足为点 G．
观察猜想:如图 1，当∠???为锐角时，用等式表示线段??，??，??的数量关系；．
类比探究:如图 2，当∠???为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明．
????
拓展应用:当0° < ∠??? < 180°，且∠??? ≠ 90°时，若?? = 4，请直接写出??的值．
【答案】(1)?? = ?? + ??
(2)不成立，?? = ??−??，见解析
(3)??的值为 2 或 2
??
6 2
【分析】（1）如图，过点 C 作?? ⊥ ??于点 P，由角平分线的性质定理可得?? = ??，再证明Rt △ ???≌Rt
△ ???(HL)可得?? = ??，然后说明四边形????是矩形可得?? = ??，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答；
（2）如图，过点 C 作?? ⊥ ??于点 Q，由角平分线的性质定理可得?? = ??，再证明Rt △ ???≌Rt △ ???
可得?? = ??，然后说明四边形????是矩形可得?? = ??，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答；
分0° < ∠??? < 90°和90° < ∠??? < 180°分别利用（1）（2）的相关结论以及相似三角形的判定与性质、勾股定理解答即可．
【详解】（1）解：如图，过点 C 作?? ⊥ ??于点 P，
∵??平分∠???，?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
∴?? = ??，
在Rt △ ???和Rt △ ???中，
∵?? = ??，?? = ??，
∴Rt △ ???≌Rt △ ???(HL)，
∴?? = ??，
∵?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
∴∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°，
∴四边形????是矩形，
∴?? = ??，
∴?? = ?? = ?? + ?? = ?? + ??．
（2）解：不成立，?? = ??−??，证明如下：
如图，过点 C 作?? ⊥ ??于点 Q，
∵??平分∠???，?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
∴?? = ??，
在Rt △ ???和Rt △ ???中，
∵?? = ??，?? = ??，
∴Rt △ ???≌Rt △ ???，
∴?? = ??，
∵?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
∴∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°，
∴四边形????是矩形，
∴?? = ??，
∴?? = ?? = ??−?? = ??−??．
（3）解：①如图：当0° < ∠??? < 90°时，
∵?? ⊥ ??,?? ⊥ ??，
∴?? ∥ ??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ?? = 4，即?? = 4??，
????
∴?? = ?? + ?? = 4?? + ?? = 5??，
∴?? =??2−??2 =(5??)2−??2 = 2 6??，
∵∠??? + ∠??? = 90°,∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ?? = 2 6?? = 6；
??
??
4??2
②如图：当90° < ∠??? < 180°时，
2
6
??
综上，??的值为 2 或 2 ．
2
2 ．
????4??
∴?? = ?? = 2 2?? =
∴?? = ??−?? = 4??−?? = 3??，
∴?? =??2−??2 =(3??)2−??2 = 2 2??，
∵∠??? + ∠??? = 90°,∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
????
∴?? = ?? = 4，即?? = 4??，
∵?? ⊥ ??,?? ⊥ ??，
∴?? ∥ ??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
【变式 03】（2026·安徽阜阳·二模）已知 △ ???是等边三角形，点?，?分别是??，??上的点，??与??交于点?，?? = ??．
如图 1，求∠???的度数；
如图 2，延长??到点?，连接??，??，已知∠??? = 120°．
（i）求证：∠??? = ∠???；
??
（ii）如图 3，连接??，若∠??? = 90°，求??的值．
【答案】(1)60°
(2)（i）见解析；（ii）2
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到?? = ??，∠??? = 60°，易证明△ ???≌ △ ???(SAS)，进而得
1
到∠??? = ∠???，从而求出∠???的度数；
（2）（i）过点?作?? ⊥ ??于点?，?? ⊥ ??交??的延长线于点?，易证明△ ???≌ △ ???(AAS)，进而得
到?? = ??，根据角平分线判定定理得到??平分∠???，从而得出结论；
（ii）根据角平分线的性质得到△ ???是等边三角形，证明△ ???≌ △ ???(SAS)，进而得到
??
?? = ?? = 2??，从而得出??的值．
【详解】（1）解： ∵△ ???是等边三角形，
∴ ?? = ??，∠??? = ∠??? = ∠??? = 60°，
又∵ ?? = ??，
∴△ ???≌ △ ???(SAS)，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? = ∠??? = 60°；
（2）（i）证明：如图，过点?作?? ⊥ ??于点?，?? ⊥ ??交??的延长线于点?，
∴ ∠? = ∠??? = 90°，
∵ ∠??? = 60°，∠??? = 120°，
∴ ∠??? + ∠??? = 180°，
∴ ∠??? + ∠??? = 180°，
∵ ∠??? + ∠??? = 180°，
∴ ∠??? = ∠???，
在△ ???和 △ ???中，
∠??? = ∠???
∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴△ ???≌ △ ???(AAS)，
∴ ?? = ??，
∵ ?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
∴ ??平分∠???，
∴ ∠??? = ∠???；
（ii）解：连接??，
∵ ∠??? = 120°，??平分∠???，
∴ ∠??? = ∠??? =
1
2∠??? =
1 × 120° = 60°，
2
∵ ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = 180°−∠???−∠??? = 180°−90°−60° = 30°，
在Rt △ ???中，∠??? = 30°，
∴ ?? = 2??，
∵ ∠??? = ∠??? = 60°，
∴△ ???是等边三角形，
∴ ?? = ?? = ??，∠??? = 60°，
∵ ∠??? = ∠??? = 60°，
∴ ∠???−∠??? = ∠???−∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
在△ ???和 △ ???中，
?? = ??
∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴△ ???≌ △ ???(SAS)，
∴ ?? = ?? = 2??，
????1
∴ ?? = 2?? = 2．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线判定与性质、含30°角直角三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
命题点 02 三角形中解答题压轴之实践探究题
【典例 02】（2026·贵州遵义·一模）在 △ ???中，?? = ??，点?为射线??上一动点（不与点?，?重合），作∠??? = ∠???，并交射线??于点?，连接??，?? ≠ ??．
(1)【操作发现】如图（1），当∠??? = 45∘时，过点?作?? ⊥ ??，交??于点?．
①请补全图形；
②??，??的数量关系为；
(2)【类比探究】如图（2），当∠??? = 120∘，且点?在线段??上时，探究：线段??，??，??之间的数量关系，并说明理由；
【答案】(1)?? = ??
3?? + ?? = ??
10− 3或 10 + 3
【分析】（1）先补全图形，证明∠??? = 90°，进而证明△ ???≌ △ ???(ASA)，即可得到?? = ??；
（2）将线段??绕点?逆时针旋转120°交??于点?，先证明 △ ???≌ △ ???(ASA)，得到?? = ??，
?? = ??，过点?作?? ⊥ ??于?，可得?? = 3??，由?? + ?? = ??，即可得到 3?? + ?? = ??；
（3）分两种情况进行讨论，当点?在线段??上时,由（2）可知，?? = 3?? = 3，?? =??2−??2，
?? = ?? = ??−??；当点?在线段??的延长线上时,将线段??绕点?顺时针旋转120°交??于点?，先证明
△ ???≌ △ ???(ASA)，得到?? = ??，?? = ??，过点?作?? ⊥ ??于?，通过?? = ?? + ??即可求解??
的长．
【详解】（1）解：①补全图形如下：
②?? = ??，
∵ ∠??? = 45∘，?? = ??，
∴ ∠??? = ∠??? = 45∘，
∴ ∠??? = 90°，
∵ ?? ⊥ ??，
(3)【拓展延伸】当∠??? = 120∘，过点?作?? ⊥ ??于点?，若?? = 11，?? = 1，请直接写出??的长．
∴ ∠??? = 90°，
∴ ∠???−∠??? = ∠???−∠???，即∠??? = ∠???，
∵ ?? = ??，∠??? = ∠???，
∴ △ ???≌ △ ???(ASA)，
∴ ?? = ??；
3?? + ?? = ??，理由如下：
如图所示，将线段??绕点?逆时针旋转120°交??于点?，
∵ ∠??? = 120∘，∠??? = 120°，
∴ ∠???−∠??? = ∠???−∠???，即∠??? = ∠???，
∵ ?? = ??，∠??? = ∠???，
∴ △ ???≌ △ ???(ASA)，
∴ ?? = ??，?? = ??，
过点?作?? ⊥ ??于?，
∵ ?? = ??，∠??? = 120°，
∴ ∠??? = ∠??? = 30°，
∴ ?? = cs30° × ?? = 3??，1
2?? = ?? = 2??
∴ ?? = 3??，
∵ ?? + ?? = ??，
∴3?? + ?? = ??；
第一种情况：点?在线段??上时,由（2）可知，
∵ ?? = 11，?? = 1，
∴ ?? = 3?? = 3，?? =??2−??2 = 10
∴ ?? = ?? = ??−?? = 10− 3；
第二种情况：点?在线段??的延长线上时,
如图所示，将线段??绕点?顺时针旋转120°交??于点?，
∵ ∠??? = 120∘，∠??? = 120°，
∴ ∠???−∠??? = ∠???−∠???，即∠??? = ∠???，
∵ ?? = ??，∠??? = ∠???，
∴ △ ???≌ △ ???(ASA)，
∴ ?? = ??，?? = ??，过点?作?? ⊥ ??于?，
∵ ?? = ??，∠??? = 120°，
∴ ∠??? = ∠??? = 30°，
∵ ?? = 11，?? = 1，
∴ ?? = ?? = 3?? = 3，?? =??2−??2 = 10
∴ ?? = ?? + ?? = 10 + 3；
综上所述，??的长为 10− 3或 10 + 3．
【变式 01】（2026·广东深圳·一模）【综合与实践】
在数学的学习过程中，我们除了掌握课本中常见的四边形外，还会遇到许多具有独特性质的特殊四边形．让我们结合已有知识，对以下特殊四边形展开探究．
定义：在四边形中，若有一个内角为直角，且从该直角顶点引出的对角线，将其对角分成的两个角中恰有一个角为直角，则称这样的四边形为“璧合四边形”．
??
(1)【初步探究】如图1，在“璧合四边形????”中，若∠? = 60°，则∠??? = ，??的值为．
(2)【问题解决】如图2，在“璧合四边形????”中，∠??? = ∠??? = 90°，∠? = 45°，?为线段??上一点，
??
且?? ⊥ ??，求??的值．
(3)【拓展应用】如图3，在“璧合四边形????”中，∠? = 45°，?? = 12，?为线段??上一动点，且
?? ⊥ ??，连接??，将△ ???沿??翻折，得到△ ???，连接??，若?? = 4，作出图形并求线段??的长．
， 3 ；
【答案】(1)60° 3
??
(2)?? = 1
图见解析，8 2或4 2
【分析】（1）根据“璧合四边形????”和正切的定义解答即可求解；
证明△ ???≌ △ ???(ASA)，可得?? = ??，进而即可求解；
过点?作?? ⊥ ??于点?，可得?? = ?? = 2?? = 6 2，四边形????为正方形，再分点?的对应点?
2
在??的上方和下方两种情况，利用相似三角形的判定和性质解答即可求解．
【详解】（1）解：∵“璧合四边形????”中，∠? = 60°，
∴∠??? = ∠??? = 90°，
∴∠??? = 90°−∠? = 30°，
∴∠??? = 90°−∠??? = 60°，
∵tan∠??? =
∴?? = 3，
??
??
= tan30°，
??3
， 3 ；
故答案为：60° 3
解： ∵ ∠? = 45°，∠??? = 90°，
∴ ∠??? = 180°−90°−45° = 45°，
∴ ∠??? = ∠???−∠??? = 90°−45° = 45°，∠? = ∠???，
∴ ∠? = ∠???，?? = ??，
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = 90°，
∴ ∠??? + ∠??? = 90°，
∵ ∠??? + ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠???，
在△ ???和 △ ???中，
∠??? = ∠???
?? = ??，
∠? = ∠???
∴△ ???≌ △ ???(ASA)，
∴ ?? = ??，
??
∴ ??
= 1；
解：如图3，过点?作?? ⊥ ??于点?，
由（2）知，?? = ?? = 12，
∴ ∠??? =
1∠??? = 45°，
2
∵ ∠? = 45°，
∴∠??? = ∠? = 45°，
∴∠??? = 90°，
∴ ?? = ?? = 2?? = 6 2，
2
同理（2）可得， △ ???≌ △ ???(ASA)，
∴ ?? = ??，
由折叠的性质可知，?? = ?? = ?? = ??，
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°，
∴四边形????为正方形，
如图3，连接??，当点?的对应点?在??的上方时，则?? = 2??，∠??? = ∠??? = 45°，
2
∴ ∠???−∠??? = ∠???−∠???，
即∠??? = ∠???，
????2
∵ ?? = ?? = 2 ，
∴△ ??? ∽△ ???，
????2
∴ ?? = ?? = 2 ，
∵ ?? = 4，
∴ ?? = 2?? = 2 2，
2
∴ ?? = ??−?? = 6 2−2 2 = 4 2，
∵?? = 2?? = 12 2，
∴?? = ??−?? = 12 2−4 2 = 8 2； 如图4，当点?的对应点?在??的下方时，
同理可得：?? = ?? + ?? = 6 2 +2 2 = 8 2，?? = 12 2−8 2 = 4 2；
综上所述，??的长为8 2或4 2．
【点睛】本题考查了锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质等，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【变式 02】（2026·河南周口·二模）在 △ ???和 △ ???中，?? = ??，?? = ??，∠??? = ∠???，连接
??，??．
探索发现：如图 1，若∠??? = 60°，求证：?? = ??．
??
猜想验证：如图 2，若∠??? = 90°，将△ ???绕着点 A 旋转，旋转过程中，??的值是否为定值？若是定
??
值，请仅用图 2 的情形求出??的值；若不是定值，请说明理由．
(3)拓展应用：在（2）的条件下，若?? = 12，?? = 6，当射线?? ⊥ ??于点 F 时，请直接写出线段??的长．
【答案】(1)见解析
(2) 2
2
(3)6 7−6
【分析】（1）根据题意可知△ ???、 △ ???为等边三角形，再证∠??? = ∠???，进而可得
△ ???≌ △ ???(SAS)即可求解；
????
先证?? = ??，再证明∠??? = ∠???，得到△ ??? ∽△ ???即可求解；
解直角三角形Rt △ ???、Rt △ ???
??2
=进行计算．
，再结合??2
【详解】（1）证明： ∵ ?? = ??,∠??? = 60°，
∴△ ???是等边三角形，
∴ ?? = ??,∠??? = 60°，
∵ ?? = ??,∠??? = ∠??? = 60°，
∴△ ???是等边三角形,
∴ ?? = ??,∠??? = 60°,
∵ ∠??? = ∠???−∠??? = 60°−∠???，∠??? = ∠???−∠??? = 60°−∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
在△ ???和 △ ???中，
?? = ??
∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴△ ???≌ △ ???(SAS)，
∴ ?? = ??；
??
（2
??2
）解：??的值为定值，?? = 2 ，
∵ ?? = ??,∠??? = 90°，
∴△ ???是等腰直角三角形，
，
??2
∴ ∠??? = 45°,?? = 2
∵ ?? = ??,∠??? = ∠??? = 90°，
∴△ ???是等腰直角三角形，
，
??2
∴ ∠??? = 45°,?? = 2
∵ ∠??? = ∠??−∠??? = 45°−∠???,∠??? = ∠???−−∠??? = 45°−∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
又∵ ?? = ??，
????
∴△ ??? ∽△ ???，
答：线段??的长为6 7−6．
??2
由(2)知?? = 2 ，
∴ ?? = 2?? = 2 × 3 14−3 2 = 6 7−6，
在Rt △ ???中，?? = 12,?? = 3 2，
?? =??2−??2 = 144−18 = 126 = 3 14，
?? = ??−?? = 3 14−3 2，
2
∴ ?? = ?? = ?? ⋅ sin45° = 6 × 2 = 3 2，
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = 90°，
在Rt △ ???中，∠??? = 45°，
∴ ?? = ?? = 12，
在Rt △ ???中，?? = 6,∠??? = 90°，
?? = ?? = 6,?? =??2 + ??2 =62 + 62 = 6 2，设??与??交于点?，
????2
∴ ?? = ?? = 2 ．
（3）解：在Rt △ ???中，?? = 12,∠??? = 90°,
【变式 03】（2026·辽宁·模拟预测）【阅读理解】
利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．如图 1，?是等边△ ???内一点，?? = 1， ?? = 3，
?? = 2．求∠???的度数．
为了利用已知条件，可以把△ ???绕点?顺时针旋转60°得到△ ??′?，连接??′，则可求出??′的长为2；在
△ ???′中，易证∠???′ = 90°，且∠??′?的度数为30°，综上可得∠???的度数为90°．
请你写出推理过程；
【类比探究】
如图 2，?是等腰Rt △ ???内一点，∠??? = 90°，?? = 2，?? = 2，?? = 1，求∠???的度数；
【拓展应用】
如图 3，在Rt △ ???中，∠??? = 90°，?? = ?? =5，点?，?分别在??，??上，?? = ?? = 1，连接
??．将 △ ???绕点?逆时针旋转一周，当点?，?，?在同一条直线上时，求??的长．
【答案】(1)见解析
(2)90∘
(3)??的长为25或2
【分析】（1）由旋转性质、等边三角形的判定可知 △ ??′?是等边三角形，由等边三角形的性质知∠??′? = 60°，根据勾股定理逆定理可得△ ??′?是直角三角形，继而可得答案．
如图 2，把△ ???绕点?顺时针旋转90°得到△ ??′?，连接??′，同理可得△ ??′?是等腰直角三角形
和△ ??′?是直角三角形，进而可得∠??? = 90°；
如图 3，将△ABD 绕点 A 逆时针旋转得到△ACG，连接 DG．则 BD=CG，根据勾股定理求 CG 的长，就可以得 BD 的长．
【详解】（1）解∶由旋转的性质，得?′? = ?? = 2， ?′? = ?? = 3，∠?′?? = 60°，∠??? = ∠??′?．
∴ △ ??′?是等边三角形．
∴∠??′? = 60°，??′ = ?? = 2，
∵ ??2 + ?′?2 = 12 + ( 3)2 = 4，??′2 = 22 = 4，
∴ ??2 + ?′?2 = ??′2．
∴ △ ??′?是直角三角形，∠?′?? = 90°．
在Rt △ ??′?中， ∵ sin∠??′? = ?? = 1，
??′2
∴∠??′? = 30°．
∴∠??? = ∠??′? = ∠??′? + ∠??′? = 30° + 60° = 90°
（2）如图 1，把△ ???绕点?顺时针旋转90°得到△ ??′?，连接??′．
由旋转的性质，得?′? = ?? = 2，?′? = ?? = 1， ∠?′?? = 90∘．
∴ △ ??′?是等腰直角三角形．
∴∠???′ = 45°．
在Rt △ ??′?中，根据勾股定理，得??′ =?′?2 + ??2 =12 + 12 = 2
∴ ?′? = ??′．
∵ ?′?2 + ??′2 =2 2 +2 2 = 4，??2 = 22 = 4，
∴ ?′?2 + ??′2 = ??2．
∴ △ ??′?是直角三角形，∠??′? = 90°．又?′? = ??′，
∴ △ ??′?是等腰直角三角形．
∴ ∠???′ = 45°
∴ ∠??? = ∠???′ + ∠???′ = 45° + 45° = 90°
（3）当点?在线段??上时，如图2，将 △ ???绕点?顺时针旋转90°得到 △ ???，连接??．
∵ ∠??? = 90∘，?? = ?? = 5，
∴ ∠??? = ∠??? = 45°．
∴ ∠??? = 45°．
∵ ?? = ??，
∴ ∠??? = ∠??? = 45°．
∴ ∠??? = 180°−∠???−∠??? = 180°−45°−45° = 90°．
∴△ ???为等腰直角三角形．
在Rt △ ???中，根据勾股定理，得?? =??2 + ??2 =12 + 12 = 2
222
2
在Rt △ ???中，根据勾股定理，得?? =?? −?? =5 −1 = 2，
∴ ?? = ?? + ?? = 2 + 1 = 3．
由旋转的性质，得?? = ??，?? = ?? = 3， ∠??? = 90° = ∠???．
11
∴ ∠??? = ∠??? = 2 (180°−∠???) = 2 × (180°−90°) = 45°．
∴ ∠??? = ∠??? + ∠??? = 45° + 45° = 90°．
在Rt △ ???中，根据勾股定理，得?? =??2 + ??2 =32 + 32 = 3 2．
在Rt △ ???中，根据勾股定理，得?? =??2 + ??2 =2 2 + 3 2 2 = 2 5．
∴ ?? = ?? = 2 5
当点?在线段??上时，如图3，将△ ???绕点?顺时针旋转90°得到 △ ???，连接??．
同理上种情况可得，?? = 2，∠??? = ∠??? = 45°．∠??? = 45°，?? = 2，?? = ??，?? = ??．
∴ ?? = ?? = ??−?? = 2−1 = 1， ∠??? = 180°−∠???−∠??? = 180°−45°−45° = 90°．
在Rt △ ???中，根据勾股定理，得
?? =??2 + ??2 =12 + 12 = 2．
在Rt △ ???中，根据勾股定理，得
?? =??2 + ??2 =2 2 +2 2 = 2．
∴ ?? = ?? = 2．
综上所述，??的长为2 5或2．
命题点 03 三角形中解答题压轴之新定义类题型
【典例 03】（2026·广东深圳·一模）【定义】连接三角形的一个顶点与对边上任意一点的线段，把这个三角形分割成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个是直角三角形，就称这条线段是该三角形的“奇妙分割线”．
【理解定义】
如图，在△ ???中，?? = ??，∠??? = 120°，D 是线段??上一点，连接??，若?? = ??，那么线段??
（填“是”或“不是”） △ ???的“奇妙分割线”．
【运用定义】
如图，在平行四边形????中，?? = 5，?? = 5，连接??，若∠??? = 90°，E 是线段??上一点，?? = 3，连接??交??与点 F．求证：线段??是△ ???的“奇妙分割线”．
【拓展提升】
3
如图，在 △ ???中，?? = 5，?? = 3，sin∠??? = 5，点 D 是线段??上的动点（点 D 不与 B、C 重合），
【答案】(1)是
见解析
1 或7−2 6
【分析】（1）根据“奇妙分割线”的定义即可判断；
（2）根据平行四边形的性质得到??∥??，??∥??，?? = ?? = 5，?? = ?? = 5，则△ ??? ∽△ ???，
∠??? = ∠??? = 90°，得到△ ???为直角三角形，再利用相似三角形的性质和勾股定理求出??和??的长，进而推出△ ???是等腰三角形，即可证明；
（3）由翻折可知，?? = ??，?? = ?? = 5，∠??? = ∠???，则 △ ???是等腰三角形，根据??是 △ ???
的“奇妙分割线”，可知△ ???为直角三角形，再分 3 种情况讨论求解线段??的长即可．
【详解】（1）解：∵?? = ??，∠??? = 120°，
∴∠? = ∠? = 30°，
∵?? = ??，
连接??，将 △ ???沿??翻折得到 △ ???，点 B 的对应点为点 E，连接??、??，当??是 △ ???的“奇妙分割线”时，求线段??的长．
∴∠??? = ∠? = 30°，
∴∠??? = ∠???−∠??? = 120°−30° = 90°，即△ ???为直角三角形，
∵?? = ??，
∴ △ ???为等腰三角形，
∴??是 △ ???的“奇妙分割线”；
证明：∵四边形????是平行四边形，
∴??∥??，??∥??，?? = ?? = 5，?? = ?? = 5，
∴ △ ??? ∽△ ???，∠??? = ∠??? = 90°，
∴?? = ?? = ?? = 5， △ ???为直角三角形，
??????3
∵∠??? = 90°，
∴?? =??2−??2 =52−5 2 = 2 5，
∴?? =
33
8?? = 4
5，?? =
55
，
8?? = 4 5
∵∠??? = 90°，
22
2325
∴?? =??
+ ?? =5+ 4 5
=5，
4
∴?? =
33
?? =
54
5 = ??，
∴ △ ???是等腰三角形，
∴??是△ ???的“奇妙分割线”；
（3）解：由翻折可知，?? = ??，?? = ?? = 5，∠??? = ∠???，
∴ △ ???是等腰三角形，
又∵??是△ ???的“奇妙分割线”，
∴ △ ???为直角三角形；
①当∠??? = 90°时，∠??? = 90°，
∵∠??? + ∠??? + ∠??? = 360°
∴∠??? = ∠??? = 135°，
∴∠??? = 45°，
如图，过点 A 作?? ⊥ ??交??的延长线于 F，则∠??? = 90°，
3
∵?? = 5，sin∠??? = 5，
∴?? = ??sin∠??? = 3，
∴?? =??2−??2 = 4，
∵∠??? = 45°，
∴?? = ?? = 3，
∴?? = ??−?? = 1；
②当∠??? = 90°时，
如图，作?? ⊥ ??交??的延长线于 F，过 E 作?? ⊥ ??交??的延长线于 G，
则∠? = ∠??? = ∠??? = 90°，
∴四边形????是矩形，
∴?? = ??，?? = ??，
由①可知，?? = 3，?? = 4，
∴?? = ?? = ??−?? = 4−3 = 1，
∵?? = ?? = 5，?? ⊥ ??，
∴?? =??2−??2 =52−12 = 2 6，
∴?? = ?? = ??−?? = 2 6−3，
设?? = ?? = ?，则?? = 3−?，
在Rt △ ???中，∠??? = 90°，
∴??2 +??2 = ??2，即(3−?)2 + (2 6−3) = ?2，
2
解得? = 7−2 6，
∴?? = 7−2 6；
③当∠??? = 90°时，不存在满足题意的图形，舍去；综上，??的长为 1 或7−2 6．
【变式 01】（2025·江苏宿迁·一模）我们定义：三角形中，如果有一个角是另一个角的 2 倍，那么称这个三角形是 2 倍角三角形．
定义应用：如果一个等腰三角形是 2 倍角三角形，则其底角的度数为；
性质探索：小思同学通过对 2 倍角三角形的研究，发现：
在△ ???中，如果∠? = 2∠? = 90°，那么??2 = ??(?? + ??)．下面是小思同学的证明方法：
已知：如图 1，在△ ???中，∠? = 90°，∠? = 45°．
求证：??2 = ??(?? + ??)．
证明：如图 1，延长??到?，使得?? = ??，连接??．
∴∠? = ∠???，?? + ?? = ?? + ?? = ??
∵∠??? = ∠? + ∠??? = 2∠?，∠??? = 90°∴∠? = 45°，
∵∠???=45°，∴∠? = ∠???，又∠? = ∠?∴ △ ???∽ △ ???
∴?? = ??∴??2 = ?? ⋅ ??∴??2 = ??(?? + ??)
????
根据上述材料提供的信息，请你完成下列情形的证明：
已知：如图 2，在△ ???中，∠? = 2∠?．
求证：??2 = ??(?? + ??)．
性质应用
已知：如图 3，在△ ???中，∠? = 2∠?，?? = 6，?? = 5，则?? = ；
拓展应用
已知：如图 4，在△ ???中，∠??? = 3∠?，?? = 5，?? = 3，求??的长．
【答案】(1)45°或72°
见解析
4
(4)4 6
3
【分析】（1）分底角度数是顶角的 2 倍和顶角的度数是底角的 2 倍，结合三角形内角和定理，进行求解即
可；
（2）作??平分∠???，交??于?，易得：?? = ??，证明 △ ??? ∽△ ???，得到??2
= ?? ⋅ ??,?? ⋅ ?? = ?? ⋅ ?? = ?? ⋅ ??，进而得到??2 +?? ⋅ ?? = ?? ⋅ ?? + ?? ⋅ ?? = ?? ⋅ (?? + ??)
= ??2，即可得证；
根据（2）的结论，进行求解即可；
（4）如图，作∠??? = ∠?，交??于点?，易证 △ ???是 2 倍角三角形．得到??2 = ??(?? + ??)，证明
△ ??? ∽△ ???，推出?? = ??2 =
??
9 ??
,
5 ??
= 3,进而求出??的长，设?? = 3?，则?? = 5?，根据??2 = ??
5
(?? + ??)，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：如果一个等腰三角形是 2 倍角三角形，
①底角度数是顶角的 2 倍，设顶角度数为?，则两个底角的度数均为2?，
∴? + 2? + 2? = 180°，
解得：? = 36°，
∴底角度数为：2 × 36° = 72°；
②顶角的度数是底角的 2 倍，设底角度数为?，则：顶角度数为2?，
∴? + ? + 2? = 180°，
解得：? = 45°，即：底角度数为：45°；
综上，底角的度数为：45°或72°；
故答案为：45°或72°．
证明：如图，作??平分∠???，交??于?，
∴∠??? = 2∠??? = 2∠???，
∵∠??? = 2∠?，
∴∠??? = ∠??? = ∠???，
∴?? = ??，
∵∠??? = ∠???,∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ?? = ??，
??
??
??
∴??2 = ?? ⋅ ??,?? ⋅ ?? = ?? ⋅ ?? = ?? ⋅ ??，
∴??2 +?? ⋅ ?? = ?? ⋅ ?? + ?? ⋅ ?? = ?? ⋅ (?? + ??) = ??2，
∴??2 = ??(?? + ??)．
解：由（2）可知，??2 = ??(?? + ??)，即：62 = ??(5 + ??)，
∴??2 +5??−36 = 0，
解得?? = 4或−9（舍掉）．
故答案为：4；
（4）解：如图，作∠??? = ∠?，交??于点?，
则∠??? = 2∠?，
∴ △ ???是 2 倍角三角形．
∴??2 = ??(?? + ??)，
∵∠???是 △ ???的外角，
∴∠??? = ∠? + ∠??? = 3∠?，
∴∠??? = ∠??? = 3∠?，
又∵∠? = ∠?，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ?? = ??，
??
??
??
∴?? = ??2 =
??
9 ??
,
5 ??
3
= 5,
∴?? = ??−?? =
16 ，
5
设?? = 3?，则?? = 5?，
∴ 16
5
2
= 3?(3? + 5?),
解得：? = 4 6或 ? = −4 6
不合题意舍去），
1515
．
4 6
∴?? = 5? = 3
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．理解并掌握 2 倍角三角形的定义，
证明三角形相似，是解题的关键．
【变式 02】（2025·江西南昌·模拟预测）定义：在三角形中，如果存．在．两边长之和与其中一边长之积，等于第三边长的平方，则称此三角形为“和积方三角形”．
定义感知
学习新定义之后，小明猜想“含有 30°角的直角三角形”是“和积方三角形”，请你利用第一幅图验证小明的猜想是正确的．
直接运用
在△ ???中，若 a，b，c 分别为∠?,∠?,∠?所对边的长，? = 2,? = 3,? < ? < ?，且△ ???是“和积方三角形”，直接写出 c 的值．
推理论证
在△ ???中，∠? = 2∠?，如图，求证： △ ???是“和积方三角形”．知识迁移
在?? △ ???中，∠??? = 90°,∠? = 60°，如图，P 是??上一动点（与点 B 不重合），连接??．当∠???
的度数为多少时， △ ???是“和积方三角形”？
【答案】（1）证明见解析；（2）? = 2.5或 10−1；（3）证明见解析；（4）∠???的度数是30°或40°或
80°
【分析】（1）用锐角三角函数求出 AB 和 AC 的长，证明(?? + ??) ⋅ ?? = ??2；
分六种情况讨论，根据“和积方三角形”的定义列式求出满足条件的 c 的值；
延长 CB 至 D，使 BD=BA，连接 AD，设?? = ?，?? = ?，?? = ?，证明△ ??? ∼△ ???，利用对应边成比例得??2 = ?? ⋅ ??，证出?2 = ?(? + ?)；
根据（3）得到△ ???中必存在一个角是另一个角的 2 倍，设∠??? = ?，进行分类讨论，列式求出 x
的值．
【详解】解：（1）∵?? = ?，
∴?? =
??
sin30°
= 2?，?? =
??
tan30°
= 3?，
∵(?? + ??) ⋅ ?? = 3?2，??2 = 3?2，
∴(?? + ??) ⋅ ?? = ??2，
故小明的猜想是正确的；
（2）①?(? + ?) = ?2， 2(2 + ?) = 9，
? = 2.5，
满足? < ? < ?，所以成立；
②?(? + ?) = ?2，
?(2 + ?) = 9，
? = 10−1，
满足? < ? < ?，所以成立；
③?(? + ?) = ?2， 10 = ?2，
? = 10，不成立；
④?(? + ?) = ?2， 15 = ?2，
? = 15，不成立；
⑤?(? + ?) = ?2， 3(3 + ?) = 4，
5
? = −3，不成立；
⑥?(? + ?) = ?2，
?(3 + ?) = 4，
? = 1，不成立；
综上：? = 2.5或 10−1；
（3）如图，延长 CB 至 D，使 BD=BA，连接 AD，
设?? = ?，?? = ?，?? = ?，则?? = ?，
∵?? = ??，
∴∠2 = ∠?，
∴∠1 = ∠2 + ∠? = 2∠?，
∵∠1 = 2∠?，
若∠??? = 2∠? = 120°时，不存在；
若∠??? = 2∠? = 120°时，不存在； 综上：∠???的度数为30°或40°或80°．
【点睛】本题考查的是几何的新定义题型，解题的关键是掌握用锐角三角函数解直角三角形，相似三角形
的性质和判定，还需要注意根据题意进行分类讨论．
2
若∠??? = 1∠? = 30°时，P 与 B 重合，不合题意，舍去；
2
当∠??? = 2∠???时，? + 1? + 60° = 180°，解得? = 80°；
2
当∠??? = 1∠???时，? + 2? + 60° = 180°，解得? = 40°；
2
当∠??? = 1∠?时，? = 30°；
（4）∵ △ ???是“和积方三角形”，由（3）知△ ???中必存在一个角是另一个角的 2 倍，
设∠??? = ?，则0° < ? < 90°，
∵?? = ?，?? = ?，?? = ? + ?，
∴?2 = ?(? + ?)，
∴ △ ???是“和积方三角形”；
??
??
∴?? = ??，即??2 = ?? ⋅ ??，
∴∠? = ∠?，∠2 = ∠?，
∴?? = ?? = ?，
∵∠? = ∠?，∠2 = ∠?，
∴ △ ??? ∼△ ???，
命题点 04 三角形中解答题压轴之阅读题型
射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理．在直角三角形中，斜边
【典例 04】（2024·山西阳泉·二模）阅读与思考阅读以下材料，并按要求完成相应任务：
上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的
射影和斜边的比例中项．
射影定理：如图 1，在Rt △ ???中，∠??? = 90°，??是斜边??上的高，财有如下结论：
①??2 = ?? ⋅ ??；②??2 = ?? ⋅ ??；③??2 = ?? ⋅ ??．下面是该定理的证明过程（部分）：
∵??是斜边??上的高，
∴∠??? = 90° = ∠???．
∵∠? + ∠??? = 90°，∠? + ∠? = 90°，
∴∠??? = ∠?，
∴ △ ??? ∽△ ???（依据），
∴=，
??
??
????
即??2 = ?? ⋅ ??．
任务一：（1）材料中的依据是指；
（2）选择②或③其中一个定理加以证明；任务二：应用：
如图 2，正方形????中，点?是对角线??、??的交点，点?在??上，过点?作?? ⊥ ??于点?，连接
??，证明：?? ⋅ ?? = ?? ⋅ ??；
在图 2 中，若?? = 2??，??的长为655，则正方形????的边长为．
【答案】任务一：（1）两角分别对应相等的两个三角形相似；（2）见解析；任务二：（1）见解析；（2）
6
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定和性质进行推理证明和计算；
任务一：（1）根据“两角分别对应相等的两个三角形相似”即可解答；
（2）根据“两角分别对应相等的两个三角形相似”证明△ ??? ∽△ ???，据此即可解答；
任务二：（1）根据射影定理得??2 = ?? ⋅ ??，??2 = ?? ⋅ ??，则?? ⋅ ?? = ?? ⋅ ??；
（2）先证明△ ??? ∽△ ???，设?? = ?? = 3?，用?表示出??，??，??，??，再利用相似三角形的性质
????
得到?? = ??，代入数据即可求解．
【详解】解：任务一：（1）∵∠??? = 90° = ∠???，∠??? = ∠?，
∴ △ ??? ∽△ ???（两角分别对应相等的两个三角形相似），
故答案为：两角分别对应相等的两个三角形相似；
证明：②??2 = ?? ⋅ ??；
如图，
∵ ?? ⊥ ??，∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠??? = 90°，
而∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴ ??:?? = ??:??，
∴??2 = ?? ⋅ ??；
③??2 = ?? ⋅ ??，
如图，
∵ ?? ⊥ ??，∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠??? = 90°，
而∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴ ??:?? = ??:??，
∴ ??2 = ?? ⋅ ??；
任务二：（1）证明：如图，
∵ 四边形????为正方形，
∴ ?? ⊥ ??，∠??? = 90°，
∴ ??2 = ?? ⋅ ??，
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ??2 = ?? ⋅ ??，
∴ ?? ⋅ ?? = ?? ⋅ ??；
（2）解：设?? = ?? = 3?，
而?? = 2??，
∴ ?? = 2?，?? = ?，
在Rt △ ???中，?? =?2 + (3?)2 = 10?，
在Rt △ ???中，?? = 2?? = 3 2?，
22
????
∵?? ⋅ ?? = ?? ⋅ ??，即?? = ??，
而∠??? = ∠???，
∴△ ??? ∽△ ???，
????
∴ ?? = ??，
6 53 2 ?
即 5 = 2，
2?
10?
解得? = 2，
∴?? = ?? = 6．
故答案为：6．
【变式 01】（2026·山西运城·一模）阅读与思考
下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
关联点
【概念理解】
如图 1，?是线段??上的一点（不与点?，?重合），若点?满足??2 = ?? ⋅ ??，则称点?
是点?关于??的“关联点”．
【问题解决】如图 2，在△ ???中，?? = ??，点?在??边上（不与点?,?重合），且点?
在??边的垂直平分线上．求证：点?是点?关于??的“关联点”．证明： ∵ ?? = ??，
∴ ∠? = ∠?．
∵点?在??边上（不与点?，?重合），且点?在??边的垂直平分线上，
∴ ?? = ??，（依据 1）
∴ ∠? = ∠???，
∴ ∠? = ∠???，
∴△ ??? ∽△ ???，
∴ ?? = ??，（依据 2）
∴ ??2 = ?? ⋅ ??，
∴点?是点?关于??的“关联点”．
??
??
任务：
材料中的依据 1 是指，依据 2 是指．
如图 3，在△ ???中，?? = 10，?? = 8，?是线段??上一点，?? ⊥ ??，点?是点?关于??的“关联点”，求??的长．
【答案】(1)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；相似三角形对应边成比例
(2)24
5
已知点?是点?关于??的“关联点”，请在图 4 中作出点?关于??的另一个“关联点”点?（不与点?重合），且△ ???与 △ ???的面积相等．（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作一个点即可）
(3)见解析
【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，可得?? = ??；根据相似三角
????
形对应边成比例可得?? = ??；
????
（2）根据“关联点”的定义可得?? = ??，根据相似三角形的判定和性质得出∠??? = ∠???，根据直角三角
形的两个锐角互余和等角的余角相等推得∠??? = 90°，再根据勾股定理求出??的值，即可求解；
根据△ ???与 △ ???的面积相等得出点?在经过点?，且与??平行的直线上，根据“关联点”的定义可得?? = ??，即点?在以点?为圆心，??的长为半径的圆上，据此，即可确定点?的位置，结合作一个角等于已知角的方法，作图即可求解．
【详解】（1）解： ∵ ?? = ??，
∴ ∠? = ∠?．
∵点?在??边上（不与点?，?重合），且点?在??边的垂直平分线上，
∴ ?? = ??，（依据：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）．
∴ ∠? = ∠???，
∴ ∠? = ∠???，
∴△ ??? ∽△ ???，
????
∴ ?? = ??，（依据：相似三角形对应边成比例）
∴ ??2 = ?? ⋅ ??，
∴点?是点?关于??的“关联点”．
解：∵点?是点?关于??的“关联点”，
∴ ??2 = ?? ⋅ ??，
????
∴ ?? = ??．
∵ ∠??? = ∠???，
∴△ ??? ∽△ ???，
∴ ∠??? = ∠???．
∵ ∠? + ∠??? = 90°，
∴ ∠? + ∠? = 90°，
∴ ∠??? = 90°，
∴ ?? =??2−??2 =102−82 = 6．
∴ ?? =
??⋅??
?? =
6×824
10 = 5 ．
解：如图，点?1为所求．（或点?2为所求）
理由：∵ △ ???与 △ ???的面积相等，
∴点?到??的距离等于点?到??的距离，
∴?? ∥ ??，
即点?在经过点?，且与??平行的直线上；
∵点?是点?关于??的“关联点”，点?是点?关于??的“关联点”，故??2 = ?? ⋅ ??，??2 = ?? ⋅ ??，
∴?? = ??，
即点?在以点?为圆心，??的长为半径的圆上；
据此，即可作图．
作法：第一步，以点?为圆心，??的长为半径，画圆；
第二步，作∠???，使得∠??? = ∠???，即?? ∥ ??；
第三步，延长??，与圆?交于点?1、?2．如图：点?1为所求．（或点?2为所求）
【变式 02】（2026·山西阳泉·一模）【材料阅读】
下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
关联点
【概念理解】
如图 1，?是线段??上的一点（不与点?,?重合），若点?满足??2 = ?? ⋅ ??，则称点?是点?关于??的“关联点”．
【问题解决】如图 2，在△ ???中，?? = ??，点?在??边上（不与点?,?重合），且点?
在??边的垂直平分线上．求证：点?是点?关于??的“关联点”．证明： ∵ ?? = ??，
∴ ∠? = ∠?．
∵ 点?在??边上（不与点?,?重合），且点?在??边的垂直平分线上，
∴ ?? = ??．（依据 1）
∴ ∠? = ∠???．
∴ ∠? = ∠???．
∴△ ??? ∽△ ???．
∴ ?? = ??，（依据 2）
??2 = ?? ⋅ ??
??
??
∴ 点?是点?关于??的“关联点”
任务：
材料中的依据 1 是指，依据 2 是指
如图 3，在△ ???中，?? = 10,?? = 8,?是线段??上一点，?? ⊥ ??，点?是点?关于??的“关联点”，求
??的长．
已知点?是点?关于??的“关联点”，请在下图中作出点?关于??的另一个“关联点”点 E（不与点?重合），且△ ???与 △ ???的面积相等．（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作一个点即可）
【答案】(1)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；相似三角形对应边成比例
(2)4.8
(3)见解析
【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，可得?? = ??；根据相似三角
????
形对应边成比例可得?? = ??；
????
（2）根据“关联点”的定义可得?? = ??，根据相似三角形的判定和性质得出∠??? = ∠???，根据直角三角
形的两个锐角互余和等角的余角相等推得∠??? = 90°，再根据勾股定理求出??的值，即可求解；
（3）根据△ ???与 △ ???的面积相等得出点?在经过点?，且与??平行的直线上，根据“关联点”的定义可得?? = ??，即点?在以点?为圆心，??的长为半径的圆上，据此，即可确定点?的位置，结合作一个角等于已知角的方法，作图即可求解．
【详解】（1）解： ∵ ?? = ??，
∴ ∠? = ∠?．
∵点?在??边上（不与点?，?重合），且点?在??边的垂直平分线上，
∴ ?? = ??，（依据：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）．
∴ ∠? = ∠???，
∴ ∠? = ∠???，
∴△ ??? ∽△ ???，
????
∴ ?? = ??，（依据：相似三角形对应边成比例）
∴ ??2 = ?? ⋅ ??，
∴点?是点?关于??的“关联点”．
解：∵点?是点?关于??的“关联点”，
∴ ??2 = ?? ⋅ ??，
????
∴ ?? = ??．
∵ ∠??? = ∠???，
∴△ ??? ∽△ ???，
∴ ∠??? = ∠???．
∵ ∠? + ∠??? = 90°，
∴ ∠? + ∠? = 90°，
∴ ∠??? = 90°，
∴ ?? =??2−??2 =102−82 = 6．
∴ ?? =
??⋅??
?? =
6×824
10 = 5 ．
解：如图，点?1为所求．（或点?2为所求）
理由：∵ △ ???与 △ ???的面积相等，
∴点?到??的距离等于点?到??的距离，
∴?? ∥ ??，
即点?在经过点?，且与??平行的直线上；
∵点?是点?关于??的“关联点”，点?是点?关于??的“关联点”，故??2 = ?? ⋅ ??，??2 = ?? ⋅ ??，
∴?? = ??，
即点?在以点?为圆心，??的长为半径的圆上；
据此，即可作图．
作法：第一步，以点?为圆心，??的长为半径，画圆；
第二步，作∠???，使得∠??? = ∠???，即?? ∥ ??；
第三步，延长??，与圆?交于点?1、?2．如图：点?1为所求．（或点?2为所求）
关于“射影定理”的研究报告如图①，Rt △ ???被平行于 CD 的光线照射，∠??? = 90°，?? ⊥ ??于点 D， AB 在投影面上．那么线段??的投影是??，线段??的投影是??．我们可以利用三角形相似证明??2
【变式 03】（2026·山西吕梁·一模）阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务：
= ?? ⋅ ??，这个结论我们称为射影定理．下面为某同学的证明过程：
证明：∵?? ⊥ ??，∴∠??? = ∠??? = 90°，
∵∠??? = 90°，∴∠? + ∠??? = ∠??? + ∠??? = 90°，∴∠? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，则=，∴??2 = ?? ⋅ ??．
??
??
????
某数学兴趣小组利用上述结论进行了如下的探究：
已知：如图②，在矩形????中，?? > ??．
求作：等腰直角三角形，使等腰直角三角形的面积等于矩形????面积的一半．
作法：
（1）在??的延长线上截取?? = ??；
作线段??的垂直平分线 l，交??于点 0；
以点 0 为圆心，??长为半径画弧，交??的延长线于点 H；
以点 C 为圆心，??长为半径画弧，交??的延长线于点 G，连接??，△ ???即为所求等腰直角三角形．
根据上述作法，请在图②中使用尺规完成作图，并标注对应字母；
请结合作图过程，证明该小组作法的正确性；
结合（1）（2）问的思路，已知正方形，也可以作出与其面积相等的矩形（长宽不等）．如图③，在正方形????的边??上取一点 E（不与 B，C 重合），以点 C 为圆心，??长为半径作弧，交??于点 F，连接
??，作?? ⊥ ??，交??的延长线于点 G，以??,??为邻边作矩形????，则矩形????即为所求．若 E 是??
边的三等分点，请直接写出矩形????的长和宽的比值．
【答案】(1)图见解析
见解析
9
4或 9
【分析】（1）按要求完成作图即可；
如图②，以点 0 为圆心，以??的长为半径作半圆 0，由作图知点 H 在半圆 0 上，连接??,??，证明
△ ??? ∽△ ???，得出??2 = ?? ⋅ ??，进而得出结论；
先证明△ ??? ∽△ ???，得出??2 = ?? ⋅ ??，进而证明?正方形???? = ?矩形????；设正方形????边长为3?，分两种情况：当点 E 为靠近点 B 的??边的三等分点时，
或当点 E 为靠近点 C 的??边的三等分点时，分别求出结论即可．
【详解】（1）解： △ ???即为所求作；
解：如图②，以点 0 为圆心，以??的长为半径作半圆 0，由作图知点 H 在半圆 0 上，连接??,??，
由作图可知，直线 l 垂直平分??,?? = ??，
∴ ??是半圆 0 的直径，
∴ ∠??? = 90°，
∵ 四边形????是矩形，
∴ ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = 180°−∠??? = 180°−90° = 90°，
∴ ∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = 90°−∠???,∠??? = 90°−∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ∠??? = ∠???，
∴△ ??? ∽△ ???，
????
∴ ?? = ??，
∴ ??2 = ?? ⋅ ??，
∵ ?
1 ?21，
△??? = 2?
= 2?? ⋅ ??,?? = ??
∴ ?矩形???? = ?? ⋅ ?? = ?? ⋅ ??，
∴ ?
△???
= 1?矩形????； 2
解： ∵ ?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = ∠??? + ∠??? = 90°，
在正方形????和矩形????中，∠??? = ∠??? = 90°，
∴ ∠??? + ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠???，
∴△ ??? ∽△ ???，
????
∴ ?? = ??，
∴ ??2 = ?? ⋅ ??，
∵ ?正方形???? = ??2,?矩形???? = ?? ⋅ ??,?? = ??，
∴ ?正方形???? = ?矩形????；
设正方形????边长为?? = ?? = 3?，
∵E 是??边的三等分点，
分两种情况：当点 E 为靠近点 B 的??边的三等分点时，
则?? = 2? = ??，
????
∵ ?? = ??，
2?3?
∴ 3? = ??，
∴ ?? =
?，
9
2
????9
∴ ?? = ?? = 4；
当点 E 为靠近点 C 的??边的三等分点时，
则?? = ? = ??，
∵ ?? = ??，
??
??
∴ 3? = ??，
∴ ?? = 9?，
?
3?
∴== 9；
??
??
????
综上，矩形????的长和宽的比值为4或 9．
9
中考预测题
综合与实践
图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题．
【观察猜想】
如图 1，在△ ???中，?? = ??，∠??? = 60°，点?是平面内不与点?，?重合的任意一点，连接??，将线
??
段??绕点?逆时针旋转60°得到线段??，连接??，??，??，则??的值是，直线??与直线??相
交所成的较小角的度数是；
【类比探究】
如图 2，点?是线段??上的动点，分别以??，??为边在??的同侧作正方形????与正方形????，连接??分别交线段??，??于点?，?．
①求∠???的度数；
②连接??交??于点?，若?? = 2，求??；
【拓展延伸】
如图 3，△ ???中，?? = ?? = 12，∠??? = 120°，?，?分别是??，??的中点，连接??．如图 4，将 △ ???
绕着点?顺时针旋转角度?(0° < ? < 30°),??交??于点?，连接??，射线??交??于点?．若射线??将∠???
??
分成的两个角满足∠???：∠??? = 1：3，求??的值．
【答案】(1)1；60°
(2)①∠??? = 45°；②?? = 2 2；
2
(3)3 5−3
【分析】（1）根据题意可得△ ???和 △ ???为等边三角形，结合角的和差可得 △ ???≌ △ ???(SAS)，利
??
用全等三角形的性质可得?? = 1，结合三角形内角和可得直线??与直线??相交所成的较小角的度数．
（2）①连接??，??，根据正方形的性质可得∠??? = ∠??? = 90°， ?? = ?? = 2，证明
????
△ ??? ∽△ ???，根据相似三角形的性质可得∠??? = ∠??? = 45°．
②连接??交??于点?，根据正方形的性质可得?? = 2??，进而证明 △ ??? ∽△ ???，利用相似三角形
????
??2
的性质可得?? = ?? =
进而得出?? = 2 2．
=，
2
2??
（3）连接??，根据题意可利用中位线定理和等腰三角形的性质，得?? ⊥ ??，?? = ??，?? = ?? = 6，
?? ∥ ??，根据平行线的性质可得∠??? = ∠??? = 120°，根据三角形内角和可得
∠??? = ∠??? = ∠??? = ∠??? =
180°−120°
2
= 30°，根据勾股定理即可求得?? = 2?? = 12 3，由题意可
知∠??? = 30°，∠??? = 90°，直线??交??于点?，直线??交??于点?，过点?作??垂线，垂足为?，直线
??交??于点?，连接??，根据相似三角形的性质和判定，勾股定理，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵?? = ??,∠??? = 60°，
∴ △ ???为等边三角形，
∵线段??绕点?逆时针旋转60°得到线段??，
∴?? = ??，∠??? = 60°
∴ △ ???为等边三角形，
∴∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? = 60°，
∴∠??? = ∠???，
∵?? = ??，?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴?? = ??，∠??? = ∠???
∴?? = 1，∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? = 60°
??
∴∠??? + ∠??? + ∠??? = 120°
∴如图，延长??,??交于点?，则直线??与直线??相交所成的较小角的度数是：180°−120° = 60°．
解：①如图，连接??，??，??交??与点?，
∵四边形????，????是正方形，
∴∠??? = ∠??? = 90°，且?? = 2??，?? = 2??，
∴?? = ?? = 2，
????
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴∠??? = ∠???，
又∵∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠??? = 45°．
②解：补充图?，如图所示：
∵??是正方形????的对角线，
∴∠??? = ∠??? = 45°，
由①可知，∠??? = ∠??? = 45°，
∴∠??? = ∠??? = ∠??? = 45°，
∴?? = 2??，
∵∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
2
∴?? = ?? = ?? =，
??
??
2??2
∵?? = 2，
∴?? = 2 2．
解：连接??，如图所示：
∵?? = ?? = 12，点?、?分别是??、??的中点，
∴??是△ ???的中位线，?? ⊥ ??，?? = ??，
∴?? = ?? = 6，?? ∥ ??，
∵∠??? = 120°，
∴∠??? = ∠??? = 120°，
∴∠??? = ∠??? = ∠??? = ∠??? =
180°−120°
2
= 30°，
∵?? = 12，∠??? = 90°，
∴?? =
1?? = 6，
2
∴?? =??2−??2 = 6 3，
∴?? = 2?? = 12 3，
∵ 射线??将∠???分成的两个角∠???:∠??? = 1∶3，
∴ ∠??? = 30°,∠??? = 90°，
旋转后，直线??交??于点?，直线??交??于点?，过点?作??垂线，垂足为?，直线??交??于点?，连接
??，如图所示：
∵∠??? = ∠??? = 30°，
∴∠??? = ∠???−∠??? = ∠???−∠??? = ∠???，
又∵?? = 12，?? = 6，?? = 6 3，?? = 12 3，
∴?? = ?? = 1，
????2
∴ △ ??? ∽△ ???，
????3
∴∠??? = ∠???，?? = ?? = 3 ，
∵∠??? = 30°，
∴∠??? = ∠??? = 180°−∠??? = 150°，
∵∠??? = 120°，∠??? = 30°，
∴∠??? = ∠??? = 120°，
又∵∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??，
??
??
∵∠??? = ∠??? = 30°，∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ?? = ?? = 1，
??????2
设?? = ?，则?? = 2?，?? = 4?，?? = ??−?? = 3?，
∵?? ⊥ ??
∴∠??? = ∠??? = 90°，
又∵∠??? = 30°
??3
=，
，??3
∴?? =
1?，?? = 3 3?，
2
∴?? =??2−??2 = 3?，
2
，
3
∴?? = ??−?? = 6− ?
2
2
∴??2 +??2 = ??2，即 1 ?
2
+ 6− 3 ?
2
2
= (2?)2，
解得：?1 = − 3 + 15，?2 = − 3− 15（舍），
??
?? =
??
??
= 3 3 − 3+ 15
6
3 5−3
．
=2
解答下列问题：
【问题发现】：如图 1，在Rt △ ???和Rt △ ???中，∠??? = ∠??? = 90°，∠? = ∠??? = 30°，
?? = ?? = 2，Rt △ ???绕点?逆时针旋转，?为??的中点，当点?与点?重合时，判断??与??的数量关系和位置关系，并说明理由；
【问题证明】：在Rt △ ???绕点?逆时针旋转的过程中，当??经过点?时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图 2 的情形给出证明；若不成立，请说明理由；
【拓展应用】：在Rt △ ???绕点?逆时针旋转的过程中，当??∥??时，请直接写出 △ ???的面积．
【答案】(1)?? = 2 3??，?? ⊥ ??
(2)（1）中的结论仍然成立，理由见解析
(3)4 + 2 3或4−2 3
【分析】（1）解直角三角形求出??，??即可判断．
（2）延长??到?使得?? = ??，连接??，证明 △ ??? ∽△ ???即可解决问题；
（3）分两种情形：①当??在??的下方时，延长??交??于?；②当??在??的上方时，结合相似三角形的判定和性质即可解决问题．
【详解】（1）解：在Rt △ ???中，?? = 2，∠? = 30°，
∴ ?? = 2?? = 4，
在Rt △ ???中，∠??? = 30°，?? = ?? = 2，
∴ ?? = cs30° =
∵ ?? = ??，
??4 3
3 ，
∴ ?? = 2?? = 3 ，
∴ ?? = 2 3 = 2 3，
3
1
2 3
??4
∴ ?? = 2 3??．
在Rt △ ???中，点?是??的中点，
∴ ?? = ?? = ??，
∴ ∠??? = 2∠???，
∵ ∠??? = 30°，
∴ ∠??? = 60°，
∴△ ???是等边三角形，
∴ ∠??? = 60°，
∴ ∠??? + ∠? = 90°，
∴ ?? ⊥ ??；
解：（1）中的结论仍然成立，理由如下：
延长??到?使得?? = ??，连接??，如图 2，
∵ ?? = ??，?? = ??，∠??? = ∠???，
∴△ ???≌ △ ???(SAS)，
∴ ?? = ??，∠? = ∠???，
∴ ?? ∥ ??，
∵∠??? = ∠??? = 30°，
??
??
??
??
∴?? = tan∠??? =
∴ ?? = 3??，
3 = 3??，?? = tan∠??? = tan30° = 3??，
3
????
∴ ?? = ?? = 3，
∵ ?? ∥ ??，
∴ ∠??? + ∠??? = 180°，
∵ ∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? + ∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? = 180°，
∴ ∠??? = ∠???，
∴△ ??? ∽△ ???，
????
∴ ∠??? = ∠???，?? = ?? = 3，
∴ ?? = 3?? = 2 3??，
∵ ∠??? + ∠??? = 90°，
∴ ∠??? + ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = 90°，
∴ ?? ⊥ ??；
解：如图，当??在??的下方时，延长??交??于?，设??,??交于点 P，
∵ ?? ∥ ??，
∴ ∠??? = ∠??? = 90°，
33
由题意得：?? = ?? = 2，?? = 2 3，?? = 2 3，?? = 4 3，
∵ ?11
△??? = 2?? ⋅ ?? = 2?? ⋅ ??，
∴1 ×
2
2 3 × 2 =
3
1 × 4 3
23
× ??，
∴ ?? = 1，
∴?? =??2−??2 = 3，
∵ ?? ∥ ??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??，即 2
??
=，
??
??
31−??
解得：?? = 4−2 3，
∴?? = ?? + ?? = 4，
∴ △ ???的面积 = ?△???
1111
；
+ ?△??? = 2?? × ?? + 2?? × ?? = 2 × 4 × 2 + 2 × 4 3 = 4 + 2 3
如图，当??在??的上方时，设??交??于?，??,??的延长线交于点 P，
同理?? = 1，?? = 3，
?? = 3，
∵ ?? ∥ ??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??，即 2
??
=，
??
??
3??−1
解得：?? = 4 + 2 3，
∴?? = ??−?? = 4，
∴ △ ???的面积 = ?△???
1111
；
−?△??? = 2?? × ??−2?? × ?? = 2 × 4 × 2−2 × 4 3 = 4−2 3
综上所述， △ ???的面积为4 + 2 3或4−2 3．
3
如图 1，在△ ???中，∠???为锐角，?? = 20，tan? = 4．点?在边??上，∠??? = ∠?，??的垂直平分
线?与??交于点?，连接??．
(1)当∠??? = 90°时，求??的长．
①当??长度发生变化时，△ ???的周长是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不变，请求出 △ ???
的周长．
②当?? ⊥ ??时，求??的长．
如图 2，?与??交于点?，??与??交于点?，当?? = ??时，求tan∠???的值．
【答案】(1)25
(2)① △ ???的周长为 20；②?? = 15
2
(3)tan∠??? = 3 14
7
【分析】（1）在∠??? = 90°的条件下，由tan? = ?? = 3，结合?? = 20得?? = 15；再通过勾股定理即可
??
4
求解．
（2）①由直线?垂直平分??，得?? = ??；再由∠??? = ∠?，根据等角对等边得?? = ??．将 △ ???的周长?? + ?? + ??转化为?? + ??，而?? + ?? = ?? = 20，故周长恒为 20，不随??变化；②作?? ⊥ ??，
由?? ⊥ ??得??∥??，则∠??? = ∠?，∠??? = ∠??? = ∠?，故tan∠??? = tan∠??? = 4．设?? = ?? = 3?，
3
?? = 4?，则?? = ?? = 5?；结合周长为 20 列方程，解得? = 4，故?? = 2 ．
（3）延长??交??于?，作?? ⊥ ??．由垂直平分线性质得?? = ??、?? = ??，证得△ ???≌ △ ???，结
5
15
合?? = ??得?? = ??．再证 △ ???∽ △ ???，结合tan? = 与勾股定理，求得tan∠??? = 3 14．
3
4
7
【详解】（1）解： ∵ ∠??? = 90°，tan? = 4，
3
∴ ?? = 4，
∵ ?? = 20，
??
3
∴ ?? = 15，
∴ ??2 = ??2 +??2 = 625，
∴ ?? = 25；
解：① △ ???的周长不发生变化．理由如下：
∵ ?垂直平分??，
∴ ?? = ??，
∵ ∠??? = ∠?，
∴ ?? = ??，
∵ ?? + ?? + ?? = ?? + ?? + ??
= ?? + ??
= ?? + ??
= ?? = 20，
∴△ ???的周长为 20；
②如图，作?? ⊥ ??，
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ??∥??，
∴ ∠??? = ∠?，∠??? = ∠???，
又∵∠??? = ∠?，
∴∠??? = ∠??? = ∠?，
∵∠??? = ∠??? = 90°，?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(ASA)，
∴?? = ??，
3
∵ tan? = 4，
????3
∴ ?? = ?? = 4．
∴ 设?? = ?? = 3?，?? = 4?，
∵ ??2 = ??2 = (3?)2 + (4?)2 = 25?2，
∴ ?? = ?? = 5?，
∵△ ???的周长为 20，
∴ 5? + 5? + 6? = 20，
5
解得：? = 4，
15
∴ ?? = 6? = 2 ；
解：如图，延长??与??交于点?，作?? ⊥ ??，
∵ ?垂直平分??，
∴ ?? = ??，?? = ??，
∴ ∠??? = ∠???，∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠???−∠??? = ∠???−∠??? = ∠???．
∵ ∠??? = ∠???，?? = ??，
∴△ ???≌ △ ???(ASA)，
∴ ?? = ??，
∵ ?? = ??，
∴ 设?? = ?? = 5?，
∵ ∠??? = ∠??? = ∠?，∠??? = ∠???，
∴△ ???∽ △ ???，
????
∴ ?? = ??，
∴ ??2 = 5? ⋅ 10? = 50?2，
∴ ?? = 5 2?．
3
∵ tan? = 4，
3
∴ sin? = 5，?? = ?? ⋅ sin? = 6?．
∴ ??2 = ??2−??2 = 14?2，
??
∴ tan∠??? = ?? =
3 14
．
7
【点睛】本题以垂直平分线的轴对称性为核心，结合等腰三角形的边相等性质进行线段转化，通过构造辅助线，利用全等、相似及三角函数，将动态问题转化为固定关系求解．
考点二 四边形解答题压轴
《解题指南》
通用解题步骤(压轴标准流程)
标条件：圈已知边长、直角、平行、中点、特殊图形；
看设问：前一问结论直接用作后一问条件；
选方法：证明→用性质+全等相似；求边长→设 x+勾股方程；动点→含 t 表示线段+分类列方程；最值→轴对称、隐圆、二次函数；
验结果：舍去负数、超出范围、不符合图形位置的解；
规范书写：几何证明步步有依据，计算题列式清晰。
命题点 01 四边形中解答题压轴（常规题）
【典例 05】（2026·湖北咸宁·模拟预测）如图 1，在正方形????边??上有一动点 E，连接??，将△ ???沿
??折叠，点 B 的对应点为点?′，连接??′并延长交线段??于点 F，连接??，过点?′作?′? ⊥ ??，垂足为点
G．
①求证： △ ???∽ △ ???′；
②求证： △ ???≌ △ ??′?；
如图 2，若正方形边长为 m．
①求△ ???周长；
?
②填空：若?? =
△ ??′?的周长为．
3 ，则
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)① △ ???的周长为2?；②
12?
5
【分析】（1）①根据折叠得出∠??′? = ∠? = 90°，确定∠??′? = 180°− ∠??′? = 90°，再由各角之间
的等量代换得出∠??′? = ∠???，即可证明相似；
②根据折叠及正方形的性质得出??′ = ??，再由全等三角形的判定即可证明；
（2）①根据题意得出?? = ?′?，?? = ?′?，得出△ ???的周长为：?? + ?? + ?? = ?? + ?? ，再由正方
形的性质即可求解；
②由折叠知??′ = ?,?′? = ??? = ? ，则?? = ?−? ，?′? = ?−?，根据勾股定理得出? = ?
3 ，设2 ，再由
相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：由折叠可知，∠??′? = ∠? = 90°，
∴ ∠??′? = 180°− ∠??′? = 90°，
∵ ?′? ⊥ ??，
∴ ∠???′ = 90°，
∴ ∠???′ = ∠? = ∠? = 90°，
∴??′∥??，
∴∠??′? = ∠?′??，
∵∠??′? + ∠??′? = 90°，∠??? + ∠??? = 90°
∴ ∠??′? = ∠???，
∴ △ ???∽ △ ???′；
②由折叠可知， ?? = ??′
∵四边形????是正方形，
∴ ?? = ??,∠? = 90° ，
∴ ??′ = ??，
由①知 ∠??′? = 90°，
∴ ∠??′? = ∠?，
∵?? = ??
∴ Rt △ ???≌Rt △ ??′?(HL)；
（2）解：①由（1）②知Rt △ ???≌Rt △ ??′?(HL)，
∴ ?? = ?′?，
由折叠可知?? = ?′?
∴ △ ???的周长为：?? + ?? + ??
= ?? + ?? + ??′ + ?′?
= ?? + ?? + ?? + ??
??′
?
∴ ?? = 3 + 2 = 6 ，
∵ △ ???∽ △ ???′，
??
5?
∴
?△??′?
?△???
=== ，
∴ ?? = 2 ,?? = 2 ，
?6
??
5?
6
5
∵ ?△??? = 2?，
∴ ?△??′? = 5 × 2? = 5 ．
6
12?
即 ?−
= (?? + ??) + (?? + ??)
= ?? + ??，
∵正方形边长为 m，
∴?? = ?? = ? ，
∴ △ ???的周长为2?；
②由折叠知?? = ?,? ? = ?? = 3 ，
设?? = ? ，则?′? = ?? = ?−? ，
′
′
?
∴?? = ??′ + ?′? = ? +?−? = 4?−?，
3
3
在Rt △ ???中， ??2 +??2 = ??2，
?
? 2
3
+ ? =
2
4?
3
2
−?，
解得? = 2 ，
?
【变式 01】（2026·湖北武汉·一模）如图，在正方形????中，E，F 分别为边??,??上的点，且?? = ??，连接??,??交于点?．
(1)如图（1），求证：?? ⊥ ??；
(2)连接??．
①如图（2），若??平分∠???，求证：?? = ??；
??
②如图（3），连接??，若??平分∠???，直接写出??的值．
【答案】(1)见详解
(2)①见详解
?? = 5−1
②
??2
【分析】（1）结合正方形的性质，证明△ ???≌ △ ???(SAS)，再进行角的等量代换，即可作答．
（2）①由（1）得?? ⊥ ??，且结合正方形的性质，得出∠??? + ∠??? = 180°，故?,?,?,?四点共圆，再运用圆周角定理得 ∠??? = ∠??? = 45°，故△ ???是等腰直角三角形，结合?? = ??，故?? = ??；
②设?? = ?,?? = ?(0 < ? < ?)，结合正方形的性质证明△ ???≌ △ ???(AAS)，再得出四边形????是矩
形，?? = ?? = ?，?? = ?? = ?−?，同理证明 △ ???≌ △ ???(AAS)，即?? = ??−?? = ?−?，因为??平分
∠???，得tan∠??? = tan∠???
?? = ??，整理得?2−3?? + ?2 = 0，运用公式法解得? =
，再把数值代入??
3− 5 ?，再代入?? = ?−?计算，即可作答．
??
2???
【详解】（1）证明：∵四边形????是正方形，
∴?? = ??,∠??? = ∠? = 90°，
∴∠??? + ∠??? = 90°，
∵?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴∠??? = ∠???，
则∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = 90°，
即?? ⊥ ??；
（2）解：①由（1）得?? ⊥ ??，
即∠??? = 90°
∵??平分∠???，
∴∠??? = 45°
∵四边形????是正方形，
∴∠??? = 90°，
∵∠??? + ∠??? = 180°，
∴?,?,?,?四点共圆，如图所示：
∵?? = ??，
∴∠??? = ∠??? = 45°，
∵∠??? = 90°，
∴ △ ???是等腰直角三角形，
∴?? = ??，
∵?? = ??，
∴?? = ??；
②设?? = ?,?? = ?(0 < ? < ?)，
过点?作?? ⊥ ??，过点?作?? ⊥ ??，过点?作?? ⊥ ??的延长线，如图所示：
∵四边形????是正方形，
∴?? = ??,∠??? = 90°
∴∠??? + ∠??? = 90°
由（1）得?? ⊥ ??，
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = ∠??? = 90°，
则∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???，
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)，
∴?? = ?? = ?，?? = ?? = ?，
∴?? = ??−?? = ?−?，
∵∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°，
∴四边形????是矩形，
∴?? = ?? = ?，?? = ?? = ?−?，同理证明△ ???≌ △ ???(AAS)，
∴?? = ?? = ?，?? = ?? = ?，
则?? = ??−?? = ?−?，
∵??平分∠???，
∴∠??? = ∠???，
则tan∠??? = tan∠???，
??
??
∵tan∠??? = ??,tan∠??? = ??，
∴?? = ??，
??
??
∴?−? = ? ，
??−?
∴?? = (?−?)2，
整理得?2−3?? + ?2 = 0，
∴Δ = (−3?)2−4 × 1 × ?2 = 9?2−4?2 = 5?2，则? = −(−3?)± 5?2 = 3?± 5?，
22
则?1 = 3?+ 5? = 3+ 5 ? > ?（舍去），?2 = 3?− 5? = 3− 5 ?
2222
与①同理得?,?,?,?四点共圆，如图所示：
∵?? = ??
∴∠??? = ∠???
∴tan∠??? = tan∠???，
∵tan∠??? = tan∠???
则?? = ??
????
∵?? = ??，
∴?? =
??
?−?
?
?− 3− 5 ?
= 2 = 1−
?
3− 5 =
2
5−1
．
2
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，四点共圆，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，圆周角定理，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【变式 02】（2026·辽宁沈阳·一模）在 △ ???中，?? = ?? = 5,?? = 8，D 是??边的中点，E 是射线??上
一点，将△ ???沿??翻折得到 △ ???，点 F 是点 B 的对应点．
如图 1，点 E 在线段??上，?? ∥ ??，??,??分别交??于点 G，H．
①求证：四边形????是菱形；
②连接??，求△ ???的面积；
如图 2，点 E 在??延长线上，??,??分别交??于点 M，N．连接??，??，若∠??? = 90°−∠???，求??
的长．
【答案】(1)①证明见解析；②?
△???
72
=
25
(2)?? = 56
25
【分析】（1）①由翻折得出?? = ??,?? = ??,∠??? = ∠???，证明∠??? = ∠???，进而得出
?? = ?? = ?? = ??，即可得出结论；②先求出?? = 3，证明△ ??? ∽△ ???，得出?? = 5，求出?? =
8
12
5 ，?? = 5 ，即可求出结论；
12
（2）连接??，延长??交??于点 G，证明△ ??? ∽△ ???，设?? = 3?,?? = 4?,?? = 5?，则?? = 4?−4，
根据勾股定理求出? = 25，再根据勾股定理求出结论即可．
【详解】（1）①证明：∵将△ ???沿??翻折得到 △ ???，
32
∴△ ???≌ △ ???，
∴ ?? = ??,?? = ??,∠??? = ∠???，
∵ ?? ∥ ??，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ?? = ??，
∴ ?? = ?? = ?? = ??，
∴四边形????是菱形；
②连接??，设??交??于点 M，
∵ ?? = ?? = 5,?? = 8，D 是??边的中点，
∴ ?? = 4,?? ⊥ ??，
∵ ?? ∥ ??，
∴ ?? ⊥ ??，
在Rt △ ???中，?? =??2−??2 = 3，
∵四边形????是菱形，
∴ ?? = ?? = 4，
∴ ?? = ??−?? = 5−4 = 1，
∵ ?? ∥ ??，
∴△ ??? ∽△ ???，
??
??
??
1??
??
∴ ?? = ?? = ??，即5 = 8 = 3 ，
83
解得：?? = 5，?? = 5，
812
∴ ?? = ??−?? = 4−5 = 5 ，
312
∴ ?? = 3−5 = 5 ，
∴ ?
1121272
△??? = 2 × 5 × 5 = 25；
解： ∵ ∠??? = 90°−∠???，
∴ ∠??? + ∠??? = 90°，
连接??，
∵ ?? = ??,?? = ??，
∴ ?? ⊥ ??，
∴ ∠??? + ∠??? = 90°，
56
= 25．
192 2
25
2
8 −
2
2
?? =?? −?? =
∴ ∠??? = ∠???,∠??? = ∠???，
∵ ∠??? + ∠??? + ∠??? + ∠??? = 180°，
∴ ∠??? = ∠??? + ∠??? = 90°，在Rt △ ???中，
192
∴ ?? = 2?? = 6? = 25 ，
∵ ?? = ?? = ??，
32
解得：? = 0（不合题意舍去），或? = 25，
∴ ∠??? = ∠???，
延长??交??于点 G，
由翻折知，?? = ??,?? = ??，则?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = ∠??? = 90°，
∴△ ??? ∽△ ???，
∴ ??:??:?? = ??:??:?? = 3:4:5,∠??? = ∠???，设?? = 3?,?? = 4?,?? = 5?，
∵ ?? = ?? = 4，
∴ ?? = 4?−4，
在Rt △ ???中，??2 = ??2 +??2，
∴ 42 = (3?)2 + (4?−4)2，
【变式 03】（2026·辽宁盘锦·一模）菱形????中，点 F 是射线??上一点，且满足?? = ??，连接??、??，以点 F 为圆心，??长为半径画弧，交直线??于点 E．
如图 1，当∠???是直角时，判断??与??的数量关系与位置关系，并说明理由；
如图 2，当∠???是锐角时，求证：?? = ??；
(3)若?? = 9，?? = 5，请直接写出菱形????的面积．
【答案】(1)?? = ??，且?? ⊥ ??，理由见解析
证明见解析
56 2或4 77
【分析】（1）先由菱形+ 直角判定为正方形，利用??平分∠???，SAS证 △ ???≌ △ ???，得?? = ??；结合圆的半径相等得?? = ??，故?? = ??；再通过等腰三角形角度计算，推出∠??? = 90°，得?? ⊥ ??；
（2）利用菱形性质得?? = ??、??平分∠???，推出∠??? = ∠???；结合?? = ?? = ??与?? = ??，通过角度关系得∠??? = ∠???，用AAS证 △ ???≌ △ ???，故?? = ??；
分两种情况讨论：E 在线段??上或其延长线上，利用（2）的?? = ??，结合?? = ?? = 9算出??的长
度；再由菱形对角线互相垂直平分，勾股定理求??，用1
得两种面积结果．
? = 2?? ⋅ ??
【详解】（1）?? = ??，且?? ⊥ ??，理由如下：
∵四边形????是菱形，∠??? = 90°，
∴四边形????是正方形，
∴?? = ??，对角线??平分∠???，即∠??? = ∠??? = 45°，
又∵?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴?? = ??，∠??? = ∠???．
∵以?为圆心、??为半径画弧交??于?，
∴?? = ??，
∴?? = ??．
∵?? = ??，∠??? = 45°，
∴在△ ???中，∠??? = ∠??? =
180°−45°
2
= 67.5°，
∴∠??? = ∠??? = 67.5°，∠??? = ∠??? + ∠??? = 135°．
∵?? = ??，
∴∠??? = ∠??? = 67.5°，
∴在△ ???中，∠??? = 180°−67.5° × 2 = 45°，
∴∠??? = ∠???−∠??? = 135°−45° = 90°，
∴?? ⊥ ??；
证明：∵四边形????是菱形，
∴?? = ??，??∥??，??平分∠???，
∴∠??? = ∠??? = ∠???，
∵?? = ??，
∴?? = ??，∠??? = ∠???，
∵?? = ??，
∴∠??? = ∠??? = ∠???，
由图可得，180°−∠??? = 180°−∠???，
∴∠??? = ∠???．
在△ ???和△ ???中，
∠??? = ∠???
∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)，
∴?? = ??；
解：当?在线段??上时，连接??交??于点?，如图，
∵?? = 5，?? = 9，且?? = ??，
∴?? = 5，
又∵?? = ?? = 9，
∴?? = ?? + ?? = 14，
∵四边形????是菱形，
∴?? =
??
2
= 7，?? = 2??，
在Rt △ ???中，?? =??2−??2 =92−72 = 4 2，
∴?? = 8 2，
11
∴?菱形???? = 2 × ?? × ?? = 2 × 14 × 8 2 = 56 2；
当点?在??的延长线上时，连接??交??于点?，如图，
∵?? = 5，且?? = ??，
∴?? = 5，
∴?? = ??−?? = 9−5 = 4，
∵四边形????是菱形，
∴?? == 2，?? = 2??，
??
2
在Rt △ ???中，?? =92−22 = 77，
∴?? = 2 77，
∴?菱形???? = 2 × ?? × ?? = 2 × 4 × 2 77 = 4 77．
【点睛】本题核心是依托菱形的轴对称性，通过全等三角形证明线段关系，并将其作为后续计算的桥梁；
1
1
第 3 问需注意点 E 的位置分情况讨论，避免漏解，同时菱形对角线互相垂直的性质是面积计算的关键．
命题点 02 四边形中解答题压轴之实践探究题
【典例 06】（2026·山西晋城·一模）综合与探究
问题情境：已知在▱????与▱?′?′?′?′中，?? = ?′?′ = 4，?? = ?′?′ = 2
3
+2，∠??? = ∠?′?′?′
= 60°．同学们利用这样的两张平行四边形纸片开展操作实验，从中发现了许多有趣的数学问题，请你和他们一起进行探究．
操作发现：希望小组的同学将▱????与▱?′?′?′?′按图 1 的方式摆放，其中，点 B 与点?′重合，点?′落在??边上，点?′落在??边的延长线上．??与?′?′相交于点 E，他们提出了如下问题，请你解答：求证：??平分∠???′；
操作探究：创新小组的同学在图 1 的基础上进行了如下操作：保持▱????不动，将▱?′?′?′?′绕点 B 沿
顺时针方向旋转，他们提出了如下问题，请你解答：
在▱?′?′?′?′旋转的过程中，当点?′与点 D 重合时，如图 2，设??与??′交于点?，??与??'交于点?，他们提出了如下问题，请你解答：
请求出四边形????的周长．
【答案】(1)见解析
(2)32−8 3
(3)30°或300°
【分析】（1）根据两组对边平行的四边形是平行四边形，可证明四边形???′?是平行四边形，结合?? = ?′
?′，可得四边形???′?是菱形，由菱形的性质即可证得结论；
连接??，过点 D 作?? ⊥ ??交??延长线于点 G，同理可证四边形????是平行四边形，然后根据SSS
可证△ ???≌ △ ?′?′?′，利用全等三角形对应角相等，结合等角对等边可得?? = ??，从而证得四边形
????是菱形，接着在Rt △ ???中可解直角三角形求得??和??，进而求得??，最后在Rt △ ???中利用勾股定理建立方程，即可求得??，即可求得答案；
①当四边形?′??′?为矩形时，?′?′交??于点?，连接??交??′于点?，过点?作?? ⊥ ??，交??的延
长线于点?，先根据平行四边形的性质和矩形的性质，利用勾股定理求得的??和??，从而求得??，易知??垂直平分??′，然后利用勾股定理在Rt △ ?′??和Rt △ ?′??中建立方程，求得?? = 2，从而得到
∠??? = ∠??? = 45°，进而根据角度的和差和等边对等角求得∠???′ = 30°，即可解答；②当四边形?′???′
为矩形时，易得∠??′? = ∠???′ = 30°，从而得到此时点?和?′重合，即可解答．
【详解】（1）证明：∵四边形????和?′?′?′?′是平行四边形，
∴?? ∥ ??，?′?′ ∥ ?′?′，
∴四边形???′?是平行四边形，
∵?? = ?′?′，
∴四边形???′?是菱形，
∴??平分∠???′；
（2）解：如图 2，连接??，过点 D 作?? ⊥ ??交??延长线于点 G，
探究发现：求真小组按创新小组的操作，在图 1 的基础上进行旋转，发现在旋转过程中（如图 3），以点?、?′、?、?′为顶点的四边形会是矩形，他们提出了如下问题，请你解答：直接写出旋转?(0° < ? < 360°)为多少度时，以点?、?′、?、?′为顶点的四边形是矩形．
同理可得，四边形????是平行四边形，?′?′ = ?? = 4，?? = ?′?′ = 2 3 +2
∵?? = ?′?′，
∴ △ ???≌ △ ?′?′?′(SSS)，
∴∠??? = ∠?′?′?′，
∴?? = ??，
∴四边形????是菱形，
在Rt △ ???中，?? = 4，∠??? = ∠??? = 60°，
1
∴?? = ?? ⋅ cs60° = 4 × 2
= 2，?? = ?? ⋅ sin60° = 4 ×
3 = 2 3，
2
∴?? = ?? + ?? = 2 3 +2 + 2 = 2 3 +4，
设?? = ?，则?? = ?，?? = ??−?? = 2 3 +4−?，
在Rt △ ???中，??2 = ??2 +??2，即?2 = (2 3 + 4−?)2 + (2 3)2，
解得? = 8−2 3，
∴?? = 8−2 3，
∴四边形????的周长 = 4?? = 4(8−2 3) = 32−8 3；
（3）解：①当四边形?′??′?为矩形时，
如图 3 所示，?′?′交??于点?，连接??交??′于点?，过点?作?? ⊥ ??，交??的延长线于点?，
∵四边形????是平行四边形，?? = 4，?? = ?′?′ = 2 3 +2，∠??? = 60°，
∴?? = ?? = 4，∠??? = 120°，
∴∠??? = 60°，
∵∠??? = 90°，
∴∠??? = 30°，
1
∵四边形?′??′?为矩形，?′?′交??于点?，
∴?? = ?? = ?′? = ?′
? = 2?? = 2，
∴?? =
1
2?? =
1 × 2 = 1，
2
∴?? =??2−??2 =22−12 = 3，?? = ?? + ?? = 2 3 +2 + 1 = 2 3 +3，
∴?? =??2 + ??2 =(2 3 + 3)2 + ( 3)2 = 3 2 + 6，
∵?? = ??′，?? = ??′，
∴??垂直平分??′，即∠?′?? = ∠?′?? = 90°，
设?? = ?，则?? = 3 2 + 6−?，
∵在Rt △ ?′??和Rt △ ?′??中，?′?2 = ??2−??2 = ??′2−??2，
∴22−?2 = (2 3 + 2)2− 3 2 + 6−? 2
解得? = 2，
∴?? = 2，
∴?? =??2−??2 =22−2 2 = 2 = ??，
∴∠??? = ∠??? = 45°，
∴∠??? = ∠???−∠??? = 120°−45° = 75°，
∵?? = ??′，
∴∠??? = ∠??′? = 75°，
∴∠???′ = 180°−∠???−∠??′? = 30°，
∴∠???′ = ∠???−∠???′ = 60°−30° = 30°，
即此时旋转了30°；
②如备用图所示，当四边形?′???′为矩形时，
则∠?′?? = 90°，
∵四边形????和?′?′?′?′是平行四边形，∠??? = ∠?′?′?′ = 60°，
∴∠??? = 120°，
∴∠???′ = 120°−90° = 30°，
∵?? = ?′?′
∴∠??′? = ∠???′ = 30°，
∴∠???′ = 180°−∠??′?−∠???′ = 120°，又∵∠??? + ∠?′?′?′ = 120°，
∴此时点?和?′重合，即此时旋转了360°−60° = 300°；
综上，当旋转30°或300°时，以点?、?′、?、?′为顶点的四边形是矩形．
【变式 01】（2026·山东济宁·一模）感知、应用、深化模型，利用已知条件进行拓展延伸求值．
【感知模型】如图 1，已知△ ??? ∽△ ???．求证： △ ??? ∽△ ???；
【应用模型】如图 2，四边形????是正方形，点 E 和点 F 分别是边??，??上的动点，且∠??? = 45°，过点 F 作?? ⊥ ??，交边??于点 G，垂足为 0，连接??．试判断△ ???的形状，并证明你的猜想（方法不 唯一）；
【深化模型】如图 3，在【应用模型】的条件下，过点 F 作?? ⊥ ??，垂足为 P，连接??．求∠???的度数；
【拓展延伸】如图 4，在【深化模型】的条件下，延长??交边??于点 Q，连接??．若 △ ???为等腰直角三角形，请直接写出tan∠???的值．
【答案】(1)证明见详解
(2) △ ???是等腰直角三角形，证明见详解
(3)∠??? = 45°
1
(4)tan∠??? = 1或3
????
【分析】（1）利用相似三角形的性质得出?? = ??，∠??? = ∠???，再利用角度和差关系推出
∠??? = ∠???，从而证得结论；
过点 F 作?? ⊥ ??交??于点 H，??交??于点 K，连接??，??，利用正方形的性质结合直角三角形两锐角互余证明△ ???≌ △ ???(ASA)， △ ???≌ △ ???(SAS)， △ ???≌ △ ???(ASA)，结合已知条件证明
△ ???是等腰直角三角形，得到?? = ??，从而证得结论；
利用圆内接四边形和圆周角定理即可求得结果；
根据已知条件，由定弦定角可知，点 B，P，0，F 四点共圆，此时分情况讨论：①当点 Q 在??中点时；②当点 Q 与点 D 重合时；利用正方形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，勾股定理设未知数，表示出相关线段的表达式，最终利用正切的定义即可得解．
【详解】（1）证明：∵ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??，∠??? = ∠???，
??
??
∴?? = ??，
??
??
∵∠??? = ∠???，
∴∠???−∠??? = ∠???−∠???，
即∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???．
（2）解： △ ???是等腰直角三角形，
证明：如图，过点 F 作?? ⊥ ??交??于点 H，??交??于点 K，连接??，??，
在正方形????中，?? = ??，∠??? = ∠??? = 90°，
∵∠??? = ∠??? = 90°，
∴?? ∥ ??且?? = ??，
∴?? = ??，
∵?? ⊥ ??，∠??? = ∠???，
∴∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???，
在△ ???和△ ???中，
∠??? = ∠???
?? = ??，
∠??? = ∠???
∴ △ ???≌ △ ???(ASA)，
∴∠??? = ∠???，?? = ??，
∵∠??? = 45°，
∴∠??? = 90°−∠??? = 45°，
∴ △ ???是等腰直角三角形，
∴?? = ??，
在△ ???和 △ ???中，
?? = ??
∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴∠??? = ∠???，
∵∠??? = ∠??? = 90°，
∴∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???，
在△ ???和 △ ???中，
∠??? = ∠???
?? = ??，
∠??? = ∠???
∴ △ ???≌ △ ???(ASA)，
∴?? = ??，
∴ △ ???是等腰直角三角形．
（3）解：∵∠? + ∠??? = 90° + 90° = 180°，
∴点 A，B，0，F 四点共圆，
∴??为直径，
∵∠??? = 90°，
∴点 P 在圆上，
∵∠??? = 45°，
∴∠??? = ∠??? = 45°，
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???−∠??? = 45°．
（4）解：∵?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
∴∠??? = ∠??? = 90°，
由定弦定角可知，点 B，P，0，F 四点共圆，
由题意知，此时分情况讨论：
①如图，当点 Q 在??中点时，过点 Q 作?? ⊥ ??交??于点 M，
易证得：四边形????是矩形，
∵∠??? = 45°，∠??? = 90°，
∴ △ ???是等腰直角三角形，
∴?? = ??，
∴四边形????是正方形，
∴?? = ??，∠??? = ∠??? = 45°，
∵点 Q 为??的中点，
∴?? = ??，
∴?? = ??，
同理可证得：四边形????是正方形，
∵??为四边形????是正方形的对角线，
∴∠??? = ∠??? = 45°，
∴∠??? + ∠??? = ∠??? = 90°，
∴ △ ???是等腰直角三角形，
此时点 F，P 分别在??，??的中点，
设正方形????的边长为2?，
∴?? = ?? = ?? = ?? =
1
2?? =
1
2?? =
1?? = ?，
2
过点 0 作?? ⊥ ??交??于点 N，
∵?? = ??，
∴点 0 为正方形????对角线??的中点，
∴?? ∥ ??，
∴?? =
1
2?? =
1?，
2
在Rt △ ???中，?? =??2 + ??2 = 5?，
∵ △ ???是等腰直角三角形，
∴?? = ?? = 2?? = 10?，
3
22
在Rt △ ???中，?? =
∵∠??? = ∠???，
??2
−??2
= 2?，
??1
∴tan∠??? = tan∠??? = ?? = 3；
②如图，当点 Q 与点 D 重合时，则点 E 也与点 D 重合，
此时点 F 与点 A 重合，点 P 与点 B 重合，点 G 与点 C 重合，
∴点 0 为正方形????对角线中点，
∴ △ ???为等腰直角三角形，即 △ ???为等腰直角三角形，
∴tan∠??? =
??
??
??
= ??
= 1，
1
综上所述，tan∠??? = 1或3．
【变式 02】（2026·山西临汾·一模）综合与探究
【问题情境】在矩形????中，?? = 8，?? = 10，?是??边上一动点，将矩形沿??所在直线翻折，点?的对应点为点?．
【猜想证明】
如图 1，过点?作?? ∥ ??交??于点?，连接??．
①试判断四边形????的形状，并说明理由．
②如图 2，当点?恰好落在??边上时，求出此时四边形????的周长．
【深入探索】
连接??、??，当 △ ???的面积为10时，直接写出??的长．
【答案】(1)①四边形????是菱形，理由见解析；②20
(2)14
3
【分析】（1）①连接??，根据折叠的性质得出??垂直平分??，?? = ??，∠??? = ∠???，根据垂直平
分线的性质得出?? = ??，根据平行线的性质结合等角对等边可证明?? = ??，进而得出
?? = ?? = ?? = ??，可得四边形????是菱形；
②根据折叠的性质结合勾股定理得出?? = 6，?? = 4，设?? = ?? = ?，在Rt △ ???中，利用勾股定理列方程求出?的值，即可求出菱形????的周长；
（2）分点?在??下方和上方两种情况，利用矩形的判定定理、折叠的性质及勾股定理分别求解即可．
【详解】（1）解：①四边形????是菱形，理由如下：如图，连接??，
∵将矩形沿??所在直线翻折，点?的对应点为点?，
∴??垂直平分??，?? = ??，∠??? = ∠???，
∴?? = ??，
∵?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴?? = ??，
∴?? = ??，
∴?? = ?? = ?? = ??，
∴四边形????是菱形．
②∵将矩形沿??所在直线翻折，点?的对应点为点?，点?恰好落在??边上，
∴?? = ?? = 10，?? = ??，∠? = ∠? = 90°，?? = ?? = 10，?? = ?? = 8，
∴?? =??2−??2 =102−82 = 6，
∴?? = ??−?? = 10−6 = 4，
设?? = ?? = ?，则?? = ??−?? = 8−?，
∵??2 = ??2 +??2，
∴?2 = (8−?)2 + 42，解得：? = 5，
由①可知，四边形????是菱形，
∴四边形????的周长为4? = 4 × 5 = 20．
解：如图，当点?在??下方时，过点?作?? ∥ ??，交??于?，交??于?，延长??，交??于?，
∵?? ∥ ??，∠? = 90°，
∴∠??? = 90°，即?? ⊥ ??，
∵ △ ???的面积为10，
11
2
∴ ?? ⋅ ?? = 10，即 × 10?? = 10，
2
解得：?? = 2，
∵?? ∥ ??，
∴∠??? = 90°，
∴四边形????、????、????都是矩形，
∴?? = ?? = 2，?? = ?? = ??−?? = 6，?? = ?? = 10，
∵?? = ?? = 10，
∴?? =??2−??2 =102−62 = 8，?? = ??−?? = 10−8 = 2，
设?? = ?? = ?，则?? = 6−?，
∴?2 = (6−?)2 + 22，
10
解得：? = 3 ，
1014
∴?? = ??−?? = 8− 3 = 3 ；
如图，当点?在??上方时，过点?作?? ⊥ ??于?，?? ⊥ ??交??延长线于?，
同理可得，?? = 2，四边形????是矩形，?? = ?? = 2，
∴?? = ?? + ?? = 8 + 2 = 10，
∵??为Rt △ ???的斜边，
∴?? > ??，
∴?? ≠ 10，
∴此种情况不存在；
14
综上所述：??的长为 3 ．
【变式 03】（2026·湖北襄阳·二模）如图，在▱????中，点?在??边上，点?关于直线??的对称点?落在▱????
内，射线??交射线??于点?，交射线??于点?，射线??交??边于点?．
(1)【特例感知】如图 1，当?? = ??时，点?在??延长线上，求证： △ ???≌ △ ???；
(2)【问题探究】在（1）的条件下，若?? = 3，?? = 5，求??的长；
【拓展延伸】如图 2，当?? = 2??时，点?在??边上．
①试判断??与??的数量关系，并说明理由．
??2??
②若?? = 3，直接写出??的值．
【答案】(1)见详解
(2)４
(3)①= 2
??
??
4
②
15
【分析】（1）利用点的对称性和平行线的性质找出对应的角相等，解出答案．
利用小问1中的全等，得到新的条件，证明△ ???≅ △ ???，得到?? = ?? = 3,?? = ?? = 5，最后利用方程思想和相似解出答案．
①同小问1中证全等的方法，证△ ??? ∼△ ???，利用相似三角形对应边成比例解出答案．
②作辅助线，利用方程思想，将题中的线段设出来，经过两次８字模型的相似，求出??的代数式，第三次利用相似解出答案．
【详解】（1）证明：∵点?与点?关于直线??的对称,
∴ △ ???≅ △ ???，
∴?? = ??,∠? = ∠???，
∵?? = ??,∠? = ∠???，
∴?? = ??,∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
在△ ???和△ ???中，
∠??? = ∠???
∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴ △ ???≅ △ ???(???)．
（2）解：由（1）知，?? = ??,?? = ??,∠??? = ∠??? = ∠???，
∴?? = ??，
在△ ???和 △ ???中，
∠??? = ∠???
∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴ △ ???≅ △ ???(???)，
∵?? = 3,?? = 5，
∴?? = ?? = 3,?? = ?? = 5，
∵四边形????是平行四边形，
∴?? ∥ ??， △ ??? ∼△ ???，
????35
?? = ??，即?? = ??+8，
∵?? = ?? = ??，
∴ 3
??
5
= ??+8
，解得?? = 12，
∴?? = ??−??−?? = 12−3−5 = 4．
①解：∵点?与点?关于直线??的对称,
∴ △ ???≅ △ ???，
∴?? = ??,∠? = ∠???，
∵四边形????是平行四边形，点Ａ、F、P 共线，
∴∠? + ∠??? = 180°,∠??? + ∠??? = 180°，
∴∠??? = ∠???，
∵∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∼△ ???，
∴?? = ??，
??
??
?? = 2??，?? = ??，
∴?? = ?? = 2?? = 2．
??
??
??
②解：如图所示，延长线段??交??的延长线于点?,
∵?? = 2,?? = 2,?? = 2??，
??
??3
∴设?? = ?,?? = ?，则?? = 2?,?? = 3?,?? = 2?,?? = ?? = 3?，?? = ?? = ?? = 5?，
∵?? ∥ ??，
∴ △ ??? ∼△ ???，
∴?? = ?? = 3，
??
??2
∴?? = 3?，则?? = 6?，
∵?? ∥ ??，
∴ △ ??? ∼△ ???，
∴=
??
?? 6?5?
6?
??
??,??
=，解得?? = 5 ，
?
则?? = ??−?? = 2?−= 5 ，
6?
4?
5
∵?? ∥ ??，
∴ △ ??? ∼△ ???，
4?
∴?? = ?? = 5 = 4
????3?15
．
【点睛】本题主要考查了平行四边形与相似三角形的综合，解题的关键点是能找出线段是已知条件的相似
三角形，得出新的条件，再利用相似和方程思想解题．
命题点 03 四边形中解答题压轴之新定义类题型
【典例 07】（2025·山西大同·二模）阅读与思考
下面是善思小组研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务．
关于“勾股四边形”的研究报告善思小组
研究对象：勾股四边形．
研究思路：分类讨论，由特殊到一般进行研究．
定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
【特例研究】如图 1，根据勾股四边形的定义证明正方形????是勾股四边形．
证明：如图 1 所示，连接??，由四边形????是正方形可知∠? = 90°，在Rt △ ???中根据勾股定理可得??2 +??2 = ??2，所以正方形????是勾股四边形．
【一般研究】如图 2，四边形????中，??，??为对角线，?? = ?? = ??且
∠??? = 30°，求证：四边形????为勾股四边形．证明：以??为边作等边三角形???，连接??．
……
任务：
根据勾股四边形的定义，下列特殊四边形中，一定是勾股四边形的是（从下列选项中选出两个即可）；
A．矩形；B．等腰梯形；C．直角梯形；D．平行四边形
请你阅读上述报告，补全一般研究中的探究过程；
如图 3，在四边形????中，??，??为对角线，?? = ??，∠??? = ∠??? = 45°，请直接写出线段??，
??，??的关系．
【答案】(1)AC
补全一般研究中的探究过程见解析
??2 +2??2 = ??2
【分析】（1）由勾股四边形定义逐项验证即可得到答案；
（2）由等边三角形性质，在Rt △ ???中，由勾股定理可得??2 +??2 = ??2，再利用“手拉手”模型，由两个三角形全等的判定与性质即可得到??2 +??2 = ??2，从而由勾股四边形定义得证；
（3）以点?为旋转中心，将??逆时针旋转90°到??，连接??、??，如图所示，由旋转性质得到?? = ??，
∠??? = 90°，由等腰三角形性质得到∠??? = ∠??? = 45°，由勾股定理可得?? = 2??，从而在Rt △ ???
中，由勾股定理可得??2 +??2 = ??2，再利用“手拉手”模型，由两个三角形全等的判定与性质即可得到??2
+2??2 = ??2，从而确定线段??，??，??的关系．
【详解】（1）解： ∵ 若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
如图所示：
∵ ??2 +??2 = ??2，
∴ 矩形是勾股四边形，符合题意；
如图所示：
∵ 等腰梯形的任意两条邻边都不垂直，
∴ 等腰梯形不是勾股四边形，不符合题意；
如图所示：
∵ ??2 +??2 = ??2，
∴ 直角梯形是勾股四边形，符合题意；
如图所示：
∵ 平行四边形的任意两条邻边都不垂直，
∴ 平行四边形不是勾股四边形，不符合题意；
故选：AC；
解：补全一般研究中的探究过程如下：
证明：以??为边作等边三角形???，连接??，如图所示：
∴ ?? = ?? = ??，∠??? = ∠??? = 60°，
∵ ∠??? = 30°，
∴ ∠??? = ∠??? + ∠??? = 30° + 60° = 90°，
在Rt △ ???中，由勾股定理可得??2 +??2 = ??2，
∵ ?? = ??，
∴ ??2 +??2 = ??2，
∵ ?? = ?? = ??，
∴△ ???是等边三角形，则∠??? = 60°，
∴ ∠??? = ∠??? + ∠??? = 60° + ∠???，∠??? = ∠??? + ∠??? = 60° + ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
在△ ???和△ ???中，
?? = ??
∠??? = ∠???
?? = ??
∴△ ???≌ △ ???(SAS)，
∴ ?? = ??，
∴ ??2 +??2 = ??2，
由勾股四边形定义可知，邻边??、??平方和等于对角线??的平方，故四边形????为勾股四边形；
解：以点?为旋转中心，将??逆时针旋转90°到??，连接??、??，如图所示：
∴ ?? = ??，∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠??? = 45°，由勾股定理可得?? = 2??，
∵ ∠??? = 45°，
∴ ∠??? = ∠??? + ∠??? = 90°，
在Rt △ ???中，由勾股定理可得??2 +??2 = ??2，
∵ ?? = ??，∠??? = 45°，
∴ ∠??? = ∠??? = 45°，则∠??? = 90°，
∴ ∠??? = 90° + ∠??? = ∠???，在△ ???和 △ ???中，
?? = ??
∠??? = ∠???
?? = ??
∴△ ???≌ △ ???(SAS)，
∴ ?? = ??，
∵ ??2 +??2 = ??2,
∴ ??2 +
2
2??= ??2，即??2 +2??2 = ??2，
故线段??，??，??的关系是??2 +2??2 = ??2．
【点睛】本题几何综合，涉及勾股定理、矩形性质、等腰梯形性质、直角梯形性质、平行四边形性质、等
边三角形性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，读
懂题意，理解勾股四边形定义及求证方法是解决问题的关键．
【变式 01】（2025·广东深圳·二模）【定义】若平行四边形的一条内角平分线平分它的一条边，则该平行四边形称为“角分平行四边形”，该角平分线称为“角分线”．例如：如图 1，在▱????中，∠???的角平分线
??交??于点?，若?为??边的中点，则称▱????是“角分平行四边形”，??是“角分线”．
【性质】（1）如图1，从定义上我们可以得到“角分平行四边形????”具有“平行四边形，??平分∠???，
?? = ??”的基本性质，除此之外，还有其它性质吗？请写出其中一条性质，并说明理由．
【判定】（2）如图2，在▱????中，?? = 2??．求证：四边形????是“角分平行四边形”．
【应用】（3）现计划在如图3所示的“角分平行四边形”????绿地上进行景观美化，其中小路??是它的“角分线”，另一条小路??与边??交于点?，且?? = 2??，在 △ ???和 △ ???区域种植同品种的花卉，若
△ ???区域的花卉种植费用为?元，求 △ ???区域的花卉种植费用（用含有?的式子表示）．
【答案】（1）∠??? = ∠???，见解析，（2）见解析，（3）3?元
【分析】本题考查了新定义，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
根据“角分平行四边形????”定义及角平分线定义，平行四边形的性质即可求解；
（2）作∠???的平分线??交??于点?，由▱????，得??∥??，?? = ??，最后通过“角分平行四边形”即可求证；
（3）延长??交??延长线于点?，连接??，由角分平行四边形????，??是角分线，得??∥??，?? = ??，
??
?? = ??，证明 △ ???≌ △ ???(AAS)，故有?? = ??，又∠??? = ∠???，证明 △ ??? ∽△ ???，则?? =
??
??
1
= 3，设?△??? = ?，则?△??? = 2?,?△??? = 3?△??? = 6?，然后代入求解即可．
【详解】解：（1）：由“角分平行四边形????”定义推导出来的性质，
例如：① ∠??? = ∠???；
∵ ▱????，
∴ ??∥??，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ??平分∠???，
∴ ∠??? = ∠??? = ∠???，
② ?? = ??；（或?? = ?? = ?? = ??）；
∵ ▱????，
∴ ??∥??，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ??平分∠???，
∴ ∠??? = ∠??? = ∠???，
∴ ?? = ??；
③ ?? = 2??（或?? =
1??），
2
∵ ▱????，
∴ ??∥??，?? = ??，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ??平分∠???，
∴ ∠??? = ∠??? = ∠???，
∴ ?? = ??，
∵ ?? = ??，
∴ ?? = 2??；
④连接 DE，则∠??? = 90°，
∵ ▱????，
∴ ??∥??，?? = ??，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ??平分∠???，
∴ ∠??? = ∠??? = ∠???，
∴ ?? = ??，
∵ ?? = ??，
∴ ?? = ??，
∴ ∠??? = ∠??? = ∠???，
∴ ∠??? + ∠??? =
1 × 180° = 90°，
2
∴ ∠??? = 90°；
作∠???的平分线??交??于点?，
则∠1 = ∠2，
∵ ▱????，
∴ ??∥??，?? = ??，
∴ ∠1 = ∠3 = ∠2，
∴ ?? = ??，
∵ ?? = 2??，
∴ ?? = 2??，即?? = ??，
∴ 四边形????是“角分平行四边形”；
延长??交??延长线于点?，连接??，
∵ 角分平行四边形????，??是角分线，
∴ ??∥??，?? = ??，?? = ??，
∴ ∠??? = ∠?,∠??? = ∠???，
∴△ ???≌ △ ???(AAS)，
∴ ?? = ??，
又∵ ∠??? = ∠???，
∴△ ??? ∽△ ???，
∵ ?? = 2??，
∴ ?? = ?? = 3??，
????1
∴ ?? = ?? = 3，
设?△??? = ?，则?△??? = 2?,?△??? = 3?△??? = 6?，
∵ ?? = ??，
∴ ?△??? = 2?△??? = 3?，即?△??? = 3?△???，
∵ △ ???区域的花卉种植费用为?元，
1
∴ △ ???区域的花卉种植费用3?元．
【变式 02】（2025·河南周口·二模）【定义阅读】
若两个等腰三角形有公共底边，且满足两个顶角和是 180°，则称这两个顶角的顶点关于这条底边互为“和谐点”．
【定义理解】
如图 1，点?与点?都在线段??的垂直平分线上，且均在直线??上侧，
①??与??的数量关系是；
②若∠??? = 130°，且点?与点?关于??互为“和谐点”，则∠??? = ；
【性质操作】
如图 2，矩形????中，点?为??边上一点，且?? = ??，??平分∠???，射线??交??于点?．点?与点?是否关于??互为“和谐点”？说明理由；
【思维拓展】
【答案】（1）①?? = ??；②40°；（2）点?与点?是关于??互为“和谐点”，理由见解析；（3）2 5或2 13
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
①利用线段垂直平分线的性质可得答案；
②根据题中定义可得∠??? = 50°，再根据线段垂直平分线和等腰三角形的性质求得∠??? = 65°，
∠??? = 25°，进而可求解；
证明 △ ???≌ △ ???(SAS)得到?? = ??,∠??? = ∠??? = 90°，进而可得∠??? + ∠??? = 180°，根据题中定义可得结论；
（3）在矩形????中，?? = 2，?? = 4，点?是直线??上的动点，点?是平面内一点，在点?运动过程中，当点?与点?关于??互为“和谐点”，且?，?，?三点共线时，请直接写出??的长．
分当点 F 在??的延长线上时，当点 F 在??的延长线上时，当点 F 在线段??上时三种情况，根据题中定义，结合勾股定理和矩形性质分别求解即可．
【详解】解：（1）①∵点?与点?都在线段??的垂直平分线上，且均在直线??上侧，
∴?? = ??；
② ∵ 点?与点?关于??互为“和谐点”，且∠??? = 130°，
∴ ∠??? = 180°−∠??? = 50°，
又∵ 点?与点?都在线段??的垂直平分线上，
∴ ?? = ??，?? = ??，
∴∠??? = 1(180°−∠???) = 65°，∠??? = 1(180°−∠???) = 25°，
22
∴∠??? = ∠???−∠??? = 40°；
（2）点?与点?是关于??互为“和谐点”，理由如下：
∵ ??平分∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
在△ ???和△ ???中，
?? = ??
∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴△ ???≌ △ ???(SAS)，
∴ ?? = ??,∠??? = ∠??? = 90°，
∴ ∠??? + ∠??? = 360°−90° × 2 = 180°，
又∵△ ???, △ ???均为等腰三角形，其中?? = ??,?? = ??，
∴ 点?与点?关于??互为“和谐点”；
（3）∵四边形????是矩形，?? = 2，?? = 4，
∴?? = ?? = 2，?? = ?? = 4，∠??? = ∠??? = 90°，
当点 F 在??的延长线上时，如图，
∵点?与点?关于??互为“和谐点”，∠? = 90°
∴∠??? = ∠??? = 90°，?? = ??，?? = ?? = 4，
∴?? = ??−?? = 2，
在Rt △ ???中，∠??? = 90°，
∴?? =??2 + ??2 =42 + 22 = 2 5；当点 F 在??的延长线上时，如图，
∵点?与点?关于??互为“和谐点”，∠??? = ∠??? = 90°
∴∠??? = ∠??? = 90°，?? = ??，?? = ?? = 4，
∴?? = ?? + ?? = 6，
在Rt △ ???中，∠??? = 90°，
∴?? =??2 + ??2 =42 + 62 = 2 13；
当点 F 在线段??上时，不存在?? = ??，故不存在点?与点?关于??互为“和谐点”，综上，满足条件的??的长为2 5或2 13．
【变式 03】（2025·广东深圳·模拟预测）定义：如果一个平行四边形的两条对角线的夹角等于它的一个内角，我们称这个平行四边形为“对等平行四边形”，这组相等的角称为一组“对等角”．如图 1，平行四边形????中，∠??? = ∠???，则平行四边形????为“对等平行四边形”，∠???和∠???称为一组“对等角”．
【初识定义】
下列四边形中，是“对等平行四边形”的有
A、矩形 B、菱形 C、正方形
【理解提升】
①小明发现，“对等平行四边形”的边与对角线之间有奇妙的关系，试探究图 1 中“对等平行四边形”的对角线??与??之间的数量关系，并加以证明．
②图 1 中，若∠??? = 90°,?? = 6，求??的长．
【拓展应用】
如图 2，线段??的长为 3，射线?? ⊥ ??于点?，且?? = 1，点?为射线??上一动点，点?为平面内一点，若以?、?、?、?为顶点的平行四边形是以??为边的“对等平行四边形”．
①请作出所有符合条件的图形（不限作图工具）并用小弧线（“”）标记出“对等角”；
②在你画的“对等平行四边形”中，连接??，将 △ ???沿着??翻折得到△ ?′′??，若直线?′′?与所画的“对等平行四边形”的另一边交于点?，直接写出??的长．
【答案】（1）C（2）①?? = 2??；②?? = 2 3（3）①图见解析②?? = 7或?? = 5 15或?? = 2 21
6
【分析】（1）根据矩形，菱形，正方形的性质，结合新定义，进行判断即可；
（2）①证明△ ??? ∽△ ???，得到?? = ?? = ??，平行四边形的性质，得到
115
1，1，
1 ??2
??
??
??
?? = ?? = 2??
?? = 2??
??
进而推出?? = 2??，2 =，即可得出结论；
2
②设?? = ?，则：?? = 2?，勾股定理得到?? =??2 + ??2 = 3? = 3 2，求出?的值，即可得出结果；
（3）①分∠??? = ∠???，∠??? = ∠???，∠??? = ∠???三种情况进行讨论，画出图形即可；②根据①
种的三种情况，结合平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，进行讨论求解即可．
【详解】解：（1）矩形的一个内角为 90 度，对角线相等，不垂直，夹角不等于 90 度，不符合题意；
菱形的对角线垂直，夹角为 90 度，菱形的内角不等于 90 度，不符合题意；
正方形的一个内角为 90 度，且对角线垂直，夹角也为 90 度，符合题意；
故选：C；
（2）①?? = 2??，理由如下：
∵∠??? = ∠???,∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ?? = ??，
??
??
??
∵平行四边形????，
∴?? = ?? =
1??，?? =
2
1??，
2
∴??2 = ?? ⋅ ?? = 2??2，
∴?? = 2??，
∴?? = ?? = 2?? = 2，
????2??2
1 ??2
2
∴2 =，
??
∴?? = 2??；
②由①可知?? = 2?? = 2 × 6 = 3 2，?? = 2??，
22
设?? = ?，则：?? = 2?，
在Rt △ ???中，?? =??2 + ??2 = 3? = 3 2，
∴? = 6，
∴?? = 2? = 2 3；
（3）第一种情况：∠??? = ∠???，如图：
第二种情况：∠??? = ∠???，如图：
第三种情况：∠??? = ∠???，如图：
②情况 1，如图：
在▱????中，∠??? = ∠???，
由（2）①可知：?? = 2?? = 3 2，
∵?? ∥ ??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ?? = ?? = 1，
??????3
∴?? =
1
4
?? =
4
3 2，?? = 4??，
4
在Rt △ ???中，?? =??2−??2 = 2，
∴?? = 4?? = 2，
∵折叠，
∴∠??? = ∠???，
∵?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴?? = ??，
在Rt △ ???中，设?? = ?，则：?? = ?? = 3−?，
6
由勾股定理，得： 2 2 + ?2 = (3−?)2，解得：? = 7，
7
∴?? = 6；
情况 2，如图：
在▱????中，∠??? = ∠???，?? = 3,?? = 1，
∴?? = 2，
同法可得：?? = 2?? = 3 2，
∴?? =??2−??2 = 14，
∴?? =??2 + ??2 = 15，
同理可得：∠??? = ∠??? = ∠???，
∴?? = ??，
∴在Rt △ ???中，设?? = ?，则：?? = ?? = 3 + ?，由勾股定理，得： 14 2 + ?2 = (3 + ?)2，
5
解得：? = 6；
∵?? ∥ ??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ?? = 5，
????6
∴?? =
5
?? =
5 15
；
11
11
情况 3：如图，
在▱????中，∠??? > ∠??? > ∠???，
∴只可能是∠??? = ∠???，
∴?? = 2?? = 3 2，
∴?? =??2−??2 = 17，
∴?? =??2 + ??2 = 21，同理：∠?′?? = ∠???，
∴∠??? = ∠??? = ∠???，
∴?? = ??，
在Rt △ ???中，设?? = ?，则：?? = ?? = 3 + ?，
5
11
7
6
综上：?? = 或?? = 5 15或?? = 2 21．
2 21
5
2
∴?? = 5?? =；
3
????
∴?? = ?? = 2，
∴ △ ??? ∽△ ???，
4
∴? = 3，
∵?? ∥ ??，
∴17+ ?2 = (3 + ?)2，
2
命题点 04 四边形中解答题压轴之阅读题型
【典例 08】（2026·山西临汾·模拟预测）阅读与思考
问题：已知：如图 1， △ ???中，?? = ??,?是底边??上的任一点（不与?、?重合），?? ⊥ ??于?，?? ⊥ ??于?，?? ⊥ ??于?．求证：?? = ?? + ??．
在解答这个问题时，小明与小颖的思路方法分别如下：小明的证明过程：如图 2，过点?作
?? ⊥ ??于?，
∵ ∠??? = ∠???
= ∠???，∴ 四
= 90°
边形????是矩形，
（依据一）?? ∥ ??，
小颖的思路方法是：连接??（如图 3），则?△??? =
?△??? + ?△???，再由三角形的面积公式便可证得
?? = ?? + ??．
阅读上面的材料，然后解答下面的问题：
①小明的证明过程中，依据一；依据二
②根据小颖的思路方法写出推理过程
如图 4，四边形????中，?? ∥ ??，∠??? = 60°，?? = ?? = ?? = 2，?是??上任意一点，?? ⊥ ??于
?，?? ⊥ ??于?，试利用上述结论求?? + ??的值．
【答案】(1)①三个角是直角的四边形是矩形；角角边；②见解析
(2)2
【分析】（1）①根据矩形的判定方法，全等三角形的判定即可解答；
②连接??，根据?Δ??? = 1?? ⋅ ??，?Δ??? = 1?? ⋅ ??，?Δ??? = 1?? ⋅ ??，即可解题；
2
2
2
（2）作?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，易求得??的长，易求∠??? = 30°，即可求得∠??? = 30°，可得?? = 2??，
同理可得?? = 2??，即可解题．
【详解】（1）①解：根据证明过程可得依据一为“三个角是直角的四边形是矩形”；依据二为“角角边”；
②证明：连接??，
∵ ?Δ??? = 2?? ⋅ ??，?Δ??? = 2?? ⋅ ??，?Δ??? = 2?? ⋅ ??，?Δ??? = ?Δ??? + ?Δ???，
1
1
1
∴ ?? = ??，∠? = ∠???
∵ ?? = ??， ∴ ∠? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ∠??? = ∠???
，
= 90°
?? = ??，
∴△ ???≌ △ ???（依据二）
∴ ?? = ??，则
?? = ?? + ?? = ??
+ ??
结论：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
111
∴ 2?? ⋅ ?? = 2?? ⋅ ?? + 2?? ⋅ ??，
∵ ?? = ??，
∴ ?? = ?? + ??；
（2）解：如图，作?? ⊥ ??于 F，?? ⊥ ??于 G，
∵ ∠??? = 60°，?? = ?? = ?? = 2，?? ∥ ??，
∴四边形????是等腰梯形，
∴∠??? = ∠??? = 60°，
∴ ∠??? = ∠??? = 30°，
∴ ?? = ?? = 1，
∵ ?? ∥ ??，
∴ ∠??? = 180°−∠??? = 90°，∠??? = ∠??? = 180°−∠??? = 120°，
∴ ∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°，
∴ 四边形????为矩形，
∴ ?? = ??，
∴ ?? = ?? + ?? + ?? = 4，
∵ ?? = ??，
∴ ∠??? = ∠??? = 30°，
∴ ∠??? = 30°，
1
∴ ?? = 2??，同理?? = 2??，
∴ ?? + ?? = 1(?? + ??)
2
= 2?? = 2．
【变式 01】（2024·山东青岛·二模）阅读下列材料并完成相应的任务．
阅读思考：四边形的中位线
我们学习过三角形的中位线，类似的，把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线．如图 1，在四边形 ABCD 中，设?? < ??，AB 与 CD 不平行，E，F 分别为 AD，BC
1
即2(??−??) < ?? < 2(?? + ??)．
∵?? < ??，∴?? < ??．
在△ ???中，??−?? < ?? < ?? + ??．
2
同理：?? ∥ ??，且?? = 1??．
1
2
∴?? ∥ ??，且?? = ??．
这个结论可以用下面的方法证明：
方法一：如图 2，连接 AC，取 AC 的中点 M，连接 ME，MF．
∵点 E，点 M 分别是 AD 和 AC 的中点，
图 2
图 1
2
1
2
的中点，则有结论： (??−??) < ?? < 1(?? + ??)
1
[自主探究]请将方法二的证明过程补充完整；
方法二：如图 3，连接 AF 并延长至点 G，使?? = ??，连接 CG，DG．
图 3图 4
[尝试应用]
【答案】见解析
【分析】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质，含 30 度角的直角三角形的性质和勾股定理，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
[自主探究]证明△ ???≌ △ ???(SAS)，推出?? = ??，在△ ???中，利用三角形中位线定理即可得解；
[尝试应用]连接??，作?? ⊥ ??，利用等腰三角形的性质结合直角三角形的性质求得?? = 6 3，再利用四边形的中位线性质即可求解．
如图 4，在五边形 ABCDE 中，??∥?? ，?? = ?? = 6 ，∠? = 120° ，?? = 4．若点 F，G 分别是边 BC， DE 的中点，则线段 FG 长的取值范围是．
【详解】自主探究（方法 2）
解：∵点 F 是??的中点，
∴?? = ??，
∵∠??? = ∠???，?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴?? = ??，
∵点 E 是??的中点，点 F 是??的中点，
∴ ?? ∥ ??，且?? =
1??，
2
∵?? < ??，
∴?? < ??，
在△ ???中，??−?? < ?? < ?? + ??，
11
∴??−?? < 2?? < ?? + ??(??−??) < ?? < (?? + ??)；
，即22
[尝试应用]连接??，作?? ⊥ ??，垂足为?，
∵?? = ?? = 6，∠? = 120°，
∴∠??? = ∠??? = 1(180°−120°) = 30°，
2
∴?? =
?? = 3，?? = ?? =62
1
2
−32
= 3 3，
∴?? = 6 3，
∵?,?分别是边??,??的中点，
由（1）得1(??−??) < ?? < 1(?? + ??)
1(6 3−4) < ?? < 1(6 3 + 4)，
22，即22
∴3 3−2 < ?? < 3 3 +2．
故答案为：3 3−2 < ?? < 3 3 +2．
【变式 02】（2026·山西·一模）综合与探究问题情境：
数学活动课上，老师带领同学们进行了如下讨论，请阅读并完成下列问题．
初步探究：
如图 1，在正方形????中，?为??边上一动点（不与点?，?重合），过点?作??的垂线，交??的延长线于点?，交??的延长线于点?．试猜想??与??的数量关系，并证明．
拓展探究：
“逐梦组”改变四边形????的形状继续探究．如图 2，在矩形????中，?为??边上一动点（不与点?，?
重合），过点?作??的垂线，交??的延长线于点?，交??的延长线于点?，连接??，过点?作??的垂线，
??
交??的延长线于点?．若?? = ?，?? = ?，求??的值．（用含?，?的代数式表示）
深入探究：
(3)在（2）的基础上，若?? = 2，?? = 4，?为射线??上一点，且?? = 2，请直接写出??的长．
【详解】（1）解：?? = ??，
理由： ∵ 四边形????是正方形，
5
求出?? = 10即可．
（3）分两种情况讨论：①当点?在边??上时；可求∠??? = 45°，证明△ ??? ∽△ ???，求出
?? = 2?? = 4，?? = 6．在Rt △ ???中，解直角三角形求出?? = 3 2，设?? = ?，则?? = 2?，在Rt △ ???
2
中，根据勾股定理得出?2 + (2?)2 = 3 2 ，解方程即可求解；
②当点?在??的延长线上时，过点?作?? ⊥ ??于点?，同理①可求∠??? = ∠??? = 45°，进而可得出
?? = ?? = 4，根据直角三角形斜边上中线的性质求出?? = 1根据勾股定理求出?? = 10，根据等面积法
?????
???
?
?
??
四边形????为矩形，得到= ．根据tan∠??? = ?? = ?? = 求解即可．
【分析】（1）根据ASA证明 △ ???≌ △ ???，然后根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）过点?分别作??，??的垂线，垂足分别为?，?，证明 △ ??? ∽△ ???．
55
(3)3 10或 10
?
(2)?
【答案】(1)?? = ??，理由见解析
∴ ?? = ??，∠??? = ∠??? = 90°，
∴ ∠??? + ∠??? = 90°，
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ∠??? + ∠??? = 90°，
又∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，即∠??? = ∠???，
∴△ ???≌ △ ???(ASA)，
?? = ??；
解：过点?分别作??，??的垂线，垂足分别为?，?，如解图 1．
∵ ?? ⊥ ??，∠??? + ∠? = 90°,
∵ ∠??? + ∠? = 90°，
∴ ∠??? = ∠???．
∵ ?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = ∠??? = 90°
∴△ ??? ∽△ ???．
?????
∴ ?? = ?? = ? ．
∵ ?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
故四边形????为矩形，
∴ ?? = ??
???
∴ ?? = ? ．
?????
∴ tan∠??? = ?? = ?? = ? ．
???
∴ ??的值为? ．
解：①当点?在边??上时，如解图 2，
∵ ?? = ?? = 2，
∴△ ???为等腰直角三角形，
∴ ∠??? = 45°．
由（2），知∠??? = ∠???，
又∠??? = ∠??? = 90°，
∴△ ??? ∽△ ???
????1
∴ ?? = ?? = 2，
∴ ?? = 2?? = 4，
∴ ?? = ?? + ?? = 6．
∵ ?? ⊥ ??，∠??? = 45°，
∴ ?? = 2?? = 3 2．
2
由（2
??
??1
），知?? = ?? = 2，
设?? = ?，则?? = 2?．
在Rt △ ???中，??2 +??2 = ??2，即?2 + (2?)2 = 3 2 2，
5
解得? = 3 10（负值已舍去）．
②当点?在??的延长线上时，过点?作?? ⊥ ??于点?，如解图 3，
同理①，易得∠GAF = ∠EAD = 45°，
∵ AF ⊥ CG，
∴ ∠G = 45°，
∴△ GDC为等腰直角三角形．
∴ DG = CD = 4．
∴ AG = DG−AD = 2．
∵ OF ⊥ AG，
∴ OF = OA = 1AG = 1．
2
∴ OD = 3．
∴ DF = OF2 + OD2 = 10．
∴ S= 1AH ⋅ DF = 1AD ⋅ OF，即 10AH = 2 × 1，
△ADF
2
2
解得AH = 10．
5
综上所述，AH的长为3 10或 10．
55
【变式 03】（2025 九年级下·浙江·期末）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图 1，在正方形????中，点?、?分别为??、??边上的点，∠??? = 45°，连接
??，求证：?? + ?? = ??．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将
△ ???绕点?顺时针旋转90°得到 △ ???（如图2），此时??即是?? + ??．
在图 2 中，∠???的度数是 （直接写答案）．
参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
如图 3，在直角梯形????中，??∥??（?? > ??），∠? = 90°，?? = ?? = 10，?是??上一点，若
∠??? = 45°，?? = 4，求??的长度．
【答案】（1）45°；
（2）?? = 7 ；
（3）当∠??? = 135°时，线段??有最大值，最大值为6 + 4 2．
58
如图 4， △ ???中，?? = 4，?? = 6，以??为边作正方形????，连接??．当∠??? = 时，线段??有最大值，并求出??的最大值．
【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理、三角形三边之间的关系、旋转的性质属于综合题．
(1)将△ ???绕点?顺时针旋转90°得到 △ ???，根据正方形的性质可知∠??? = ∠??? = 90°，因为
∠??? = 45°，可得：∠??? = 45°；
(2)过点?作?? ⊥ ??，交??延长线于?，将 △ ???绕点?顺时针旋转90°得到 △ ???，可证△ ???≌ △ ???，根据全等三角形的性质可得?? = ??，可以求出?? = 6，根据勾股定理可得：??2 = (14−??)2 + 62，即可
58
求出?? = 7 ；
(3)将??绕点?逆时针旋转90°得线段??，连接??、??，利用勾股定理可以求出?? = 4 2，利用SAS可证
△ ???≌ △ ???，根据全等三角形的性质可证?? = ??， ∴ 当?、?、?三点共线时，??有最大值，最大值为?? = ?? + ?? = 6 + 4 2．
【详解】(1)解： ∵ 将△ ???绕点?顺时针旋转90°得到 △ ???，
∴ ∠??? = 90°，∠??? = ∠???，
∵ 四边形????是正方形，
∴ ∠??? = ∠??? = 90°，
∵ ∠??? = 45°，
∴ ∠??? + ∠??? = 90°−45° = 45°，
∴ ∠??? + ∠??? = 45°，
∴ ∠??? = 45°；
故答案为：45°；
(2)解：如下图所示，过点?作?? ⊥ ??，交??延长线于?，将 △ ???绕点?顺时针旋转90°得到 △ ???，
∴ ∠??? = 90°，?? = ??，∠??? = ∠? = 90°，?? = ?? = 4，
∵ 直角梯形????中，??∥??（?? > ??），∠? = 90°，?? = ?? = 10，
∴ ∠??? = ∠? = ∠? = 90°，
∴ 四边形????是正方形，?? = ?? = ??，∠??? = 90°，
∴ 点?与?重合，?、?、?三点共线，
∵ ∠??? = 45°，
∴ 由(1)可知∠??? = ∠??? = 45°，
?? = ??
在△ ???和 △ ???中， ∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴△ ???≌ △ ???（SAS），
∴ ?? = ??，
∴ ?? = ??−?? = ??−4，
∴ ?? = ??−?? = 10−(??−4) = 14−??，
∵ ?? = ?? = 10，?? = 4，
∴ ?? = ??−?? = 6，
∵ 在Rt △ ???中，??2 = ??2 +??2，
∴ ??2 = (14−??)2 + 62，
58
解得：?? = 7 ；
(3)当∠??? = 135°时，线段??有最大值，
如下图所示，将??绕点?逆时针旋转90°得线段??，连接??、??，
∴△ ???是等腰直角三角形，∠??? = 45°，
∵ ?? = 4，
∴ ?? =??2 + ??2 =42 + 42 = 4 2，
∵ 四边形????是正方形，
∴ ∠??? = 90°，?? = ??，
∴ ∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠???，即∠??? = ∠???，
?? = ??
在△ ???和 △ ???中， ∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴△ ???≌ △ ???，
∴ ?? = ??，
∴ 当??有最大值时，??有最大值，
∵ ?? + ?? ≥ ??，?? = 6，
∴ 当?、?、?三点共线时，??有最大值，
最大值为?? = ?? + ?? = 6 + 4 2，
∵ ∠??? = 45°，
∴ 此时∠??? = 180°−45° = 135°，
∴ 当∠??? = 135°时，线段??有最大值，最大值为6 + 4 2．
命题点 05 四边形中解答题压轴之与函数综合
【典例 09】（2026·天津滨海新区·一模）在平面直角坐标系中，0 为原点，矩形????的顶点?(8,0)，?
3
(0,6)，菱形????的顶点?(0,3)，?−3,3−，?(−6,3)，连接??．
(1)填空：如图①，点 B 的坐标为，点 H 的坐标为；
(2)将菱形????沿水平方向向右平移，得到菱形?′?′?′?′，点 E，F，G，H 的对应点分别为?′，?′，?′，
?′．设??′ = ?，菱形?′?′?′?′与矩形????重叠部分的面积为 S．
①如图②，当边?′?′，?′?′分别与??相交于点 M，点 N，且菱形?′?′?′?′与矩形????重叠部分为五边形时，试用含有 t 的式子表示 S，并直接写出 t 的取值范围；
②当4 ≤ ? ≤ 9时，求 S 的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】(1)(8,6)， −3,3 + 3
(2)①? = 6 3−
3
3
(6−?)2(3 < ? < 6)；②
14
3
3 ≤ ? ≤ 6 3
【分析】（1）根据矩形及菱形的性质可进行求解；
（2）①由题意易得?′? = 6−?，由（1）证得△ ?′?′?′是等边三角形，利用正切的定义求得?? = 3(6−?)，
3
通过三角形面积公式求得△ ?′??的表达式，进而得到 S 与 t 的关系式，此时要使菱形?′?′?′?′与矩形????
重叠部分为五边形，则 t 的取值范围是3 < ? < 6；
②根据? = 6 3− (6−?) 得出? = 6时 S 有最大值，再将? = 4代入表达式进行计算，最后结合图象讨论? = 9
3
2
3
时的 S，通过计算并对? = 4时的 S 值进行比较，确定出 S 的最小值，从而得出 S 的取值范围．
【详解】（1）解：∵四边形????是矩形，且?(8,0)，?(0,6)，
∴?? = ?? = 8，?? = ?? = 6，
∴?(8,6)；
如图，连接??，交??于点 K，
∵四边形????是菱形，且?(0,3)，? −3,3− 3 ，?(−6,3)，
∴?? = ?? =(−3−0)2 + (3− 3−3)2 = 2 3，?? ⊥ ??，?? = |0−(−6)| = 6，
∴?? = ?? =
1?? = 3，
2
在Rt △ ???中，?? =??2−??2 = 3，
∴?? = 2?? = 2 3，
∴?? = −3，?? = ?? + ?? = 2 3 +3− 3 = 3 + 3，
∴? −3,3 + 3 ．
（2）解：①∵?′?′ = 6，??′ = ?，
∴?′? = 6−?，
由（1）知，?′?′ = ?′?′ = ?′?′，
∴ △ ?′?′?′是等边三角形，
∴∠?′?′?′ = 60°，
∵?′?′ ∥ ??，
∴∠?′?? = 60°，
′′?′?
在Rt △ ? ??中，tan∠? ?? = tan60° =
∴?? = 3(6−?)，
3
??
= 3，
1′1332
∴?△?′?? = 2?? ⋅ ? ? = 2 × 2 × 3 (6−?)(6−?) =
(6−?) ，
3
1 ′ ′′ ′ 1′132
∴? = ?菱形?′?′?′?′ −?△?′?? = 2? ?
⋅ ? ? − ?? ⋅ ? ? =
2
2 × 6 × 2 3− 3
(6−?)
∴?? = 3 ，
14
3
∴?? = 2?? =3，
2
3
∴? = ?
菱形?′?′?′?′
−?
△?′??
= 6 3−
1?′? ⋅ ?? = 6 3−
2
1217
× 1 ×3 =3，
2
3
3
∵14 3 < 17 3，
3
3
∴当? = 4时，S 有最小值，
∴S 的取值范围是 3 3 ≤ ? ≤ 6 3．
3
= 6 3−
3
3
(6−?)2(3 < ? < 6)；
②当? = 6时，?max = ?菱形?′?′?′?′ = 2 × 6 × 2 3 = 6 3，
1
由? = 6 3− (6−?) 可知，当? = 4时，? = 6 3−× (6−4)2 = 14 3，
3
2
3
?′?
3
3
当? = 9时，如图，设?′?′，?′?′分别交??于点 T，S，??′交??于点 R，
∵?? = ?? = ?? = 8，
∴?′? = ??′−?? = 1，
在
Rt △ ? ??中，
′
tan∠? ?? = tan60° = ?? = 3，
′
3
2
2
【变式 01】（2026·天津东丽·一模）在平面直角坐标系中，?为原点，▱????的顶点及? 3 ,1，?0,，
∠??? = 45°，点?在?轴负半轴上，点?在第一象限，边??交?轴于点?． △ ???是等腰直角三角形，
∠??? = 90°，点?(−2,0)，点?在第二象限．
填空：如图①，点?的坐标为，点?的坐标为；
将 △ ???沿水平方向向右平移，得到△ ?′?′?′，点?，?，?的对应点分别为?′，?′，?′．设??′ = ?．
①如图②，若边?′?′与边??交于点?，与边??交于点?， △ ?′?′?′与▱????重合部分为四边形????时，试用含?的式子表示线段?′?的长，并直接写出?的取值范围；
59
②设平移后重叠部分的面积为?，当4 ≤ ? ≤ 4时，求?的取值范围（请直接写出结果即可）．
【详解】（1）解：∵?(−2,0)，
∴?? = 2，
∵ △ ???是等腰直角三角形，∠??? = 90°，∠??? = 45°，
∴?? = ?? = 2，
∵点?在第二象限，
∴?(−2,2)；
如图，过点?作?? ⊥ ??于?，
9
33
5
②分4 ≤ ? < 2，2 ≤ ? < 2，2 ≤ ? ≤ 4三种情况，分别用?表示出重合部分的面积，利用二次函数及一次函数
的性质分别求解即可．
三角函数求出?′?的长即可，根据边?′?′与边??交于点?，与边??交于点?，求出点?与点?重合时?的值，
即可得出?的取值范围；
2
2
2
（2）①根据平行四边形的性质及点?坐标得出?(0,−1)，可得?? = ?? = 1，即可表示出?′? = ?−1，利用
3
2
∠??? = 45°可得△ ???是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，结合各点坐标即可得出?( ,3)；
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，结合点?所在象限可得?(−2,2)，过点?作?? ⊥ ??于?，根据
8
64
41 ≤ ? ≤ 11
②
2
< ? ≤ ）；
4 （2
2
3
21
2
′
(2)①? ? =?−
2
【答案】(1)(−2,2)，(3,3)
∵四边形????是平行四边形，
∴?? = ??，?? ∥ ??，∠??? = ∠??? = 45°，
33
∵?(0, )，?( ,1)，
22
，
3 3
∴?( , )
2 2
∵∠??? = 45°，
∴∠??? = ∠??? = 45°，
3
∴ △ ???是等腰直角三角形，?? = ?? = 2，
∵点?在第一象限，
∴?? = ?? + ?? = 3，
3
∴?( ,3)．
2
解：
3， 3，
①∵?(2,1)?(2,3)
∴?? = 3−1 = 2，
31
∵点?在?轴负半轴上，2−2 = −2，
1
∴?(0,− )，
2
1
∴?? = 2，
∵∠??? = ∠??? = 45°，
∴∠??? = ∠??? = 45°，
1
∴ △ ???是等腰直角三角形，?? = ?? = 2，
∵??′ = ?，
2
∴?′? = ??′−?? = ?−1， 又∵∠??? = ∠???′ = 45°，
∵ △ ???是等腰直角三角形，将△ ???沿水平方向向右平移，得到△ ?′?′?′，
∴∠??? = ∠?′?′?′ = 45°，
∴∠???′ = ∠?′?′?′，
∴ △ ??′?是等腰直角三角形，?? = ??′，
∴?′? = ?′? ⋅ sin45° = 212?− 2，
2 (?−2) = 24
当直线?′?′经过点?时，点?与点?重合，
2
∴?? = ??′ = ? = 3，
∵ △ ?′?′?′与▱????重合部分为四边形????，?′?′与边??交于点?，与??交于点?，
13
∴2 < ? ≤ 2；
53
②如图，当4 ≤ ? < 2时，点?在??上，点?在??上，
∵?阴影 = ?△???′ −?△???′ ，
−
∴? = 1?2 1
22
2 ?−
(
2
2
2 ) =
4
1(? +
4
1 )2
2
1
−8，
11
∵4 > 0，对称轴是：? = −2，
∴? > 0时，?随?的增大而增大，
5151 2 141
8
当? = 4时，? = 4 × ( 4 + 2 ) − = 64，
3131 2 17
当? = 2时，? = 4 × ( 2 + 2 )
∴41 ≤ ? < 7，
− = ，
8
8
648
3
?′?′
?′?′
如图，当2 ≤ ? < 2时，
与?轴交点?在点?上方，
与??交于点?，
∵∠??′? = 45°，∠??? = 45°，∠?′ = 45°，
∴∠???′ = ∠??? = ∠?′ = ∠??? = 45°，
∴ △ ???、 △ ???′都是等腰直角三角形，
∴?? = ??′ = ?，?? = ?−3，?? = ?? = 23 ，
2
∵?阴影 = ?△???′ −?△???−?△???′ ，
2 (?−2)
−
∴? = 1?2 1
22
2
−
2 (?− 3 )1
222
2 ?−
(
2
2 25
4 ) = ?−8，
∵1 > 0，
∴?随?的增大而增大，
3711
当? = 2时，? = 8，? = 2时，? = 8 ，
711
8
∴ ≤ ? 0，且 l 在?右侧、?左侧）．
4
(2) ② 当3 ≤ ? ≤ 2 时，过点 F 作?? ⊥ ? ，
∵直线??与直线??平行且经过原点，
∴直线??解析式为? = 3?，
由题意可得 ，?′(2?,0) ，?(?, 3?) ，
∴可得直线?′?的解析式为? = − 3? + 2 3?， 联立?′?和??的方程得交点?(? + 1, 3(?−1)) ，
∴?(?, 3(?−1)) ，
∴面积? = ?△??? + ?四边形????
11
= 2 (? + 1−?)3?− 3(?−1) + 2 (? + 1−? + 2−?)∙ 3(?−1)
= − 3 ?2 + 2 3?− 3
2
= − 3(?−2)2 + 3，
2
此时开口向下，对称轴是直线? = 2，此时 S 随着 t 的增大而增大，
故最大值在? = 2处，?
max
= 3；最小值在端点? = 4处，?
7 3
；
min = 9
3
当2 < ? < 3 时，重叠部分是四边形，过点 F 作?? ⊥ ? ，
同理可知?′(2?−2,2 3) ，?(?,2 3) ，?(? + 1, 3(?−1)) ，?(?, 3(?−1)) ，?(?, 3?−2 3) ，面积? = ?△??? + ?四边形???′?
11
= 2 (? + 1−?)3(?−1)−( 3?−2 3) + 2 (? + 1−?) + (2?−2−?) ∙ 2 3− 3(?−1)
= − 3 ?2 + 2 3?− 3
2
= − 3(?−2)2 + 3，
2
此时开口向下，对称轴是直线? = 2，此时 S 随着 t 的增大而减小，
；
2
? = 2时，? = 3； ? = 3时，? = 3
3
故此时， 2 < ? < 3；
当3 ≤ ? ≤
10
3 时，重叠部分是三角形，
同理可知?(?,2 3) ，?(4,2 3) ，?(?, 3?−2 3) ，
? = ?
= 3(?−4)2，最小值在? = 10
2 3；
△???2
3 时为 9
2 3
∴?的范围是 9 ≤ ? ≤ 3．
中考预测题
折纸起源于大约公元 1 世纪的中国，与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支．下面是小明同学在学习了“特殊的平行四边形”相关知识后进行的探究活动，请根据相关要求回答问题．
如图 1，矩形纸片????，对折此纸片使??与??重合，得到折痕??，把纸片展平，再在??上选一点?，沿??折叠，使点?落在??上时，记为点?，则∠???的度数为．
将矩形纸片换成边长为 8cm 的正方形纸片，继续探究，过程如下：如图 2，将正方形纸片??−??按照
中的方式操作，点?仍然在??上时，延长??，交??于点?，连接??．
①猜想∠???的度数，并说明理由．
②求此时??的长．
∵矩形????，
??1
1
∴?? = 2??，cs∠??? = ?? = 2，
∴∠??? = 60°，
1
2
∴?? = ??,?? = ??,∠??? = 90°，
出??的长，进而求出??的长，设设?? = ?cm，则?? = ?? = (4−?)cm，在Rt △ ???中，由勾股定理列
出方程进行求解即可；
（3）分两种情况：当点 Q 在点 F 的下方时，当点 Q 在点 F 的上方时，分别画出图形，利用勾股定理解方程即可．
【详解】（1）解：∵折叠，
2
（2）①证明Rt △ ???≌Rt △ ???(HL)，得到∠??? = ∠??? = 1∠??? = 15°即可；②在Rt △ ???中，求
的和差关系进行求解即可；
2
??
【分析】（1）根据折叠的性质，结合锐角三角函数求出cs∠??? = ?? = 1，得到∠??? = 60°，再根据角
4024
(3)??的长为11cm或13??
【答案】(1)30°
(2)①∠??? = 15°；理由见解析；②?? = (8 3−12)cm
在（2）的探究中，改变点?在??上的位置（点?不与点?，?重合），沿??折叠纸片，使点?落在正方形内部的点?处，连接??，??，并延长??，交??于点?，连接??．当?? = 1cm时，求??的长．
∴∠??? = 90°，
∴∠??? = 90°−∠??? = 30°；
（2）解：∠??? = 15°，理由如下：
同（1）可得：∠??? = 30°，
∵边长为8cm的正方形????，
∴∠? = ∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°,?? = ?? = ?? = ?? = 8cm，
∵折叠，
∴?? = ??,∠??? = ∠? = 90°，
∴∠??? = 90° = ∠?，?? = ??，
又∵?? = ??，
∴Rt △ ???≌Rt △ ???(HL)，
∴∠??? = ∠??? =
1∠??? = 15°；
2
②∵折叠，
∴?? = ?? = 4cm,?? = ?? = 4cm，?? ⊥ ??，
则四边形????为矩形，
∴?? = ?? = 8cm，
在Rt △ ???中，?? = ?? = 8cm,?? = 4cm，
∴?? =??2−??2 = 4 3，
∴?? = ??−?? = (8−4 3)cm，
由①知：Rt △ ???≌Rt △ ???(HL)，
∴?? = ??，
设?? = ?cm，则?? = ?? = (4−?)cm，
在Rt △ ???中，由勾股定理，得(4−?)2 = (8−4 3)2 + ?2，
解得? = 8 3−12；
故?? = (8 3−12)cm；
解：当点 Q 在点 F 的下方时，如图所示：
∵正方形????中，?? = ?? = 8cm，
1
(cm)
∴?? = ?? + ?? = 1 + 2?? = 1 + 4 = 5，
∴?? = ??−?? = 8−5 = 3(cm)，
由（2）知Rt △ ???≌Rt △ ???(HL)，
∴?? = ?? = 3cm，
设?? = ?cm，由折叠知?? = ?? = ?cm，
∴?? = ?? + ?? = (? + 3)cm，?? = ??−?? = (8−?)cm，在Rt △ ???中，??2 +??2 = ??2，
∴(8−?)2 + 52 = (? + 3)2，
40
解得? = 11，
cm
即?? = 40；
11
当点 Q 在点 F 的上方时，如图，
则?? = ??−?? =
1
2??−1 = 4−1 = 3
(cm)，
∴?? = ??−?? = 8−3 = 5(cm)，
∴?? = ?? = 5cm，
设?? = ?? = ?cm，
则?? = ??−?? = (8−?)cm，?? = ?? + ?? = (? + 5)cm，在Rt △ ???中，??2 +??2 = ??2，
∴(8−?)2 + 32 = (? + 5)2，
解得? =，即?? = 24
24
13
13
cm；
综上可知，??的长为11cm或13??．
4024
综合与实践
新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“哥俩三角形”．
如图 1， △ ???和 △ ???互为“哥俩三角形”，点?为重合的顶角顶点，则??与??之间的大小关系为
；
如图 2，在 △ ???中，?? = ?? = 3 2，∠??? = 90∘，?，?分别为??，??边上的点，且 △ ???和△ ???
互为“哥俩三角形”，∠??? = ∠??? = 90∘．
①若?? = 2，求△ ???的面积；（注意运用（1）的结论）
②如图 3，若?，?，?三点在一条直线上，则△ ???的面积为．
【答案】(1)?? = ??
(2)①3；②27−9 5
2
【分析】（1）由“哥俩三角形”的定义可得，?? = ??，?? = ??，∠??? = ∠???，可证明
△ ???≌ △ ???，可得?? = ??；
（2）①先可得△ ???≌ △ ???，可得?? = ??，∠??? = ∠???，再由∠??? = 90∘，?? = ?? = 2，可得
∠??? = 90°，?? = 2，即可求解；
②过点?作?? ⊥ ??于点?，过点?作?? ⊥ ??于点?，过点?作?? ⊥ ??交??的延长线于点?，连接??，设
?? = ?? = ?，则?? = 2?，?? = ?? = ??−?? = 3 2−2?，再证明 △ ??? ∽△ ???，即可求得?，再求
得?? = ?? = 3 10−3 2，即可求解．
2
【详解】（1）解：由“哥俩三角形”的定义可得，?? = ??，?? = ??，∠??? = ∠???，
∴∠???−∠??? = ∠???−∠???，即∠??? = ∠???，在△ ???和 △ ???中，
?? = ??
∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴?? = ??．
解：①∵ △ ???和△ ???互为“哥俩三角形”，同理（1）可得△ ???≌ △ ???(SAS)，
∴?? = ??，∠??? = ∠???，
由题意可得∠??? = 90°，?? = ?? = 2，
∴∠??? = ∠??? = 45°，?? =??2 + ??2 =22 + 22 = 2 2，
∴∠??? = ∠??? = 180°−∠??? = 135°，
∴∠??? = ∠???−∠??? = 135°−45° = 90°，
∵?? = 3 2，
∴?? = ?? = ??−?? = 3 2−2 2 = 2，
11
∴?△??? = 2?? ⋅ ?? = 2 × 3 2 × 2 = 3．
②如图，过点?作?? ⊥ ??于点?，过点?作?? ⊥ ??于点?，过点?作?? ⊥ ??交??的延长线于点?，连接??，
同理①可知，?? = ??，∠??? = 90°，
∵?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，∠??? = 90°，
∴四边形????是矩形，
∴∠??? = ∠??? = 90°，?? = ??，
由题意可知∠??? = 45°，
∴∠??? = 45°，
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°，
设?? = ?? = ?，则?? = 2?，
在Rt △ ???中，∠??? = 90°，∠??? = 45°，
∴?? = 2?? = 2?，
∴?? = ?? = ??−?? = 3 2−2?，
．
27−9 5
2
=
2
3 10−3 2
2
1
1
∴?△??? = 2?? ⋅ ?? = 2 ×
，
3 10−3 2
2
∴?? = ?? = 3 2−2? =
4
4
解得? = 9 2−3 10或? = 9 2+3 10（舍去），
3 23 2+3 2−2?
∴3 2−2? = 3 2，
，
??????+??
??
??
∴?? = ??，即?? =
∵?? ⊥ ??，∠??? = 90°，∠??? = 180°−∠??? = 90°，
∴四边形????是矩形，
∴?? = ?? = 3 2−2?，?? = ?? = 3 2，?? ∥ ??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
综合与实践：
如何将正方形纸片折叠出相等的三列
背景
书法社团课上，需要将正方形书法纸折叠成均等的三列（如图
①），这引起数学兴趣小组的关注．兴趣小组准备三张边长均为?的正方形纸片，为折叠出均等的三列提供三
组方案，请你论证．
方案 1
如图②
步骤 1：折均等的四列；
步骤 2：连接对角线??
分别交折痕于点?、点
?、点?，知
?? = ?? = ?? = ??；
问题论证：
在方案 1 中，求证：点?为??的三等分点；
在方案 2 中，求??与??的比值；
【答案】(1)证明见详解
(2)2
(3)存在，点?是线段??的三等分点，理由见详解
【分析】（1）由正方形性质，结合三角形相似的判定与性质求证即可；
在方案 3 中，图④已标注的点中是否存在线段??的三等分点？若存在，指出并证明；若不存在，说明理由．
步骤 3：连接??延长交线段??于点?．
方案 2
如图③
步骤 1：对折正方形，折痕为??；
步骤 2：沿??翻折
△ ???得到 △ ??′?；步骤 3：沿??翻折
△ ???，使得 D 与?′
重合，点?为折痕与??的交点．
方案 3
如图④
步骤 1：对折正方形，折痕为??；
步骤 2：沿??翻折，使得点?与点?重合，点?与点?′对应；
步骤 3：线段?′?与??
交点为?．
?3
（2）设正方形????的边长为2?，?? = ?，表示出??、??，再由折叠性质及勾股定理列式得到? = 2，表
示出??与??的比值求解即可；
令正方形????的边长为2?，由折叠性质及勾股定理求出Rt △ ???的直角边长度，再由相似三角形的
??
判定与性质求出??长度，最后得到??长度，得出?? = 3即可．
【详解】（1）证明：在正方形????中，?? ∥ ??，则?? ∥ ??，
∴△ ??? ∽△ ???，
????
∴ ?? = ??，
∵ ?? = ?? = ?? = ??，
????1
∴ ?? = ?? = 3，
即?? = 3??，
在正方形????中，?? = ??，则?? = 3??，
∴ 点?为??的三等分点；
解：如图所示：
设正方形????的边长为2?，?? = ?，
则?? = ?? =
1?? = ?，?? = ??−?? = 2?−?，
2
∵ 沿??翻折△ ???得到 △ ??′?，沿??翻折 △ ???，使得 D 与?′重合，
∴ ??′ = ?? = ?,??′ = ?? = ?，
在正方形????中，∠? = 90°，则由勾股定理可得??2 +??2 = ??2，
∴ (2?−?)2 + ?2 = (? + ?)2，
?3
则? = 2，
??
∴ ?? =
2?−?
?
= 2 ×
?
?−1 = 2 ×
3−1 = 3−1 = 2；
2
解：存在，理由如下：
如图所示：
∴ 点?是线段??的三等分点．
3
2 ?
??
??
则= 2? = 3，即?? = 3??，
2
33
4
∴ ?? = ??−?? = 2?− ? = ?，
3
解得?? = 4?，
?
???
?
则= 4 ，
??
????
∴ ?? = ?? = ??，
3
∵ ∠??? + ∠??? = 90° = ∠??? + ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ∠? = ∠? = 90°，
∴△ ??? ∽△ ???，
5
4
∴ ?? = 2?−? = ?，
?
4
解得? = 3 ，
沿??翻折，使得点?与点?重合，则?? = ??，∠??? = ∠? = 90°，
设?? = ?，则?? = ?? = ??−?? = 2?−?，
在Rt △ ???中，由勾股定理可得??2 +??2 = ??2，则?2 + ?2 = (2?−?)2，
2
不妨令正方形????的边长为2?，则?? = ?? = 1?? = ?，
考点三 圆中解答题压轴
《解题指南》
一、圆压轴通用解题步骤
1.标图：标出半径、等角、直角、已知边长；
第 1 小问：切线证明，严格按“连半径证垂直”书写；
第 2 小问：找等角→证相似→列比例/勾股方程；
第 3 小问：识别隐圆、动点轨迹、分类讨论求最值/存在性；
验解：舍去不符合图形位置、负数、超出范围的解。
常用辅助线作法
遇切线：连半径；
遇弦：作垂直于弦的半径(垂径);
遇直径：连直径端点，构造直角圆周角；
遇等角、弧：连半径、连弦转移等角；
遇隐圆：作外接圆、找圆心定半径。
命题点 01 圆中解答题压轴与相似综合
【典例 10】（2026·四川宜宾·二模）如图，四边形????内接于 ⊙ ?，连接??、??交于点?，?? = ??，过点?作?? ∥ ??交??的延长线于点?．
求证：??是 ⊙ ?的切线；
求证：??2 = ?? ⋅ ??；
若?? ⊥ ??，?? = 6，?? = 8，求??的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)18 5
11
【分析】（1）连接??并延长交??于点?，由?? = ??可知，点?为??的中点，根据垂径定理的推论可知?? ⊥ ??，
结合?? ∥ ??可得，?? ⊥ ??，因此命题得证；
（2）由?? ∥ ??可得∠??? = ∠???，由圆周角定理可得∠??? = ∠??? = ∠???，∠??? = ∠???，从而证
明△ ??? ∽△ ???，则?? = ??，结合?? = ??即可证明命题；
????
（3）容易证明 △ ??? ∽△ ???，则?? = ?? = ?? = 3．设?? = 4?，则?? = 3?，由勾股定理可得?? = ?? = 5?，
??????4
从而求出?? = 2?，
3 ，在Rt △ ???中，使用勾股定理构造方程，求出? = 4 5，进而得到?? = 8 5，
?? = 2?55
5
?? =
6 5，?? = 4 5，?? =
22 5．先利用（2）的结论计算出??，再使用勾股定理计算出??，最后作差求
5
出??．
【详解】（1）证明：如图，连接??并延长交??于点?，
∵?? = ??，
∴?? = ??，即点?为??的中点，
∴?? ⊥ ??，
∵?? ∥ ??，
∴?? ⊥ ??，
∴??是⊙ ?的切线；
（2）证明：∵?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠???，
∵?? = ??，
∴∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∵?? = ??，
∴∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??，即?? ⋅ ?? = ?? ⋅ ??，
??
??
∵?? = ??，
∴??2 = ?? ⋅ ??；
（3）解：∵?? = ??，
∴∠??? = ∠???，
6 5
5
36 5
1122 5
5
由（2）可知，??2 = ?? ⋅ ??，
2
2
∴?? = ?? = 4 5
??
22 5
5
40 5
=，
11
在Rt △ ???中，?? =??2 + ??2 =
2
2
+
8 5
5
= 2 5，
∴?? = ??−?? =
18 5
11 ．
3
42
在Rt △ ???中，??2 +??2 = ??2，
又∵∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ?? = ?? = 6 = 3，
??????8
4
∴?? = ??，?? = ??，
3
3
44
设?? = 4?，则?? = 3?，
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°，
在Rt △ ???中，?? =??2 + ??2 =(3?)2 + (4?)2 = 5?，
∵?? = ??，
∴?? = 5?，
∴?? = ??−?? = 2?，?? = ?? = ?，
3
8 5
∴(3?)2 +
3 ?
2
2
= 62，
解得? = 4 5，
5
∴?? = 2? = 5 ，?? = 2? = 5 ，?? = 5? = 4 5，?? = ?? + ?? = 2 ? =，
【变式 01】（2026·浙江·模拟预测）如图，在 △ ???中，?? = ??，以??为直径作半圆，交??于点 E，??
于点 F，分别过点 A，B 作?? ⊥ ??于点 G，?? ⊥ ??于点 H．
(1)已知∠? = 65°，求弧??的度数．
(2)求证：∠??? = 2∠???．
(3)已知?? = 3，?? = 2，求??的长．
【答案】(1)80°；
5
(2)见解析； (3)24
【分析】（1）利用等腰三角形和圆的性质，找到弧??所对的圆心角或圆周角，从而求出弧的度数；
（2）根据直径所对的圆周角是直角求出∠??? = 90°，∠??? = 90°，结合圆的性质，证出∠??? = ∠???，再结合等腰三角形的性质即可得证；
（3）先证出△ ??? ∽△ ???
????2
== ，再根据勾股定理即可求出．
，得到??
【详解】（1）解：连结??，
??3
∵?? = ??，∠? = 65°，
∴∠? = ∠??? = 65°，
∴∠??? = 50°，
⏜
∴?? = 100°，
⏜
∴?? = 80°．
证明：连接??、??，
∵??为 ⊙ ?的直径，
∴∠??? = 90°，∠??? = 90°，
∴∠??? + ∠??? = 90°，
又∵∠? = 90°，
∴∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???，
∵∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
又∵?? = ??，?? ⊥ ??，
∴∠??? = ∠??? =
1∠???，
2
∴∠??? = 2∠???．
解：过点 0 作?? ⊥ ??于点 M，则?? = ??，
∵?? ∥ ?? ∥ ??，?? = ??，
∴?? = ??，
??
??
∴?? = ??，
∴?? = ?? = 2，
∵∠2 = ∠3，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ?? = 2，
????3
设?? = 2?，?? = 3?，
∵ ∠1 = ∠2，
∴?? = ??，
在Rt △ ???中，??2 +??2 = ??2，
∴32 + (2 + 2?)2 = (3?)2，解得?1
= −1，?2
13
= 5 ，
∴Rt △ ???中，?? =
26 2
5
24
−4 = 5 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆的基本性质，相似和勾股定理，熟练掌握相关的知识是解决问题的关键．
【变式 02】（2026·浙江温州·一模）如图，在四边形????中,?? ∥ ?? ,过点 A,B,C 作⊙ ?交??边于点 E,连接??,且?? = ??．
(1)求证：四边形????是平行四边形．
(2)若?? = ??,?? = 3 17,?? = 6．
①求四边形????的面积．
2
②延长??至点G,连结??,使tan∠??? =
3,在线段??上取点F,过点F 作?? ⊥ ??交??于点H,求??的最大值．
【答案】(1)见解析
(2)①72；② 13．
【分析】（1）通过证明?? ∥ ??，结合?? ∥ ??即可证明；
（2）①连结??并延长交??于点 I，利用垂径定理结合勾股定理得到??，再根据平行四边形的面积公式求解；
②方法 1：分别过点 A,D,H 作??的垂线于点 I,M,N, 则四边形????为矩形，解三角形得到?? = 14，再证
△ ??? ∽△ ???，得到=，令?? = ?，进而得到?2 + (2?−14)? + 36? = 0，再利用根的判别式得到? ≤ 1
?? ??
????
2
即可求解；方法 2：同方法 1 得?? = ? + 36? +2? = 14，再利用配方法得? + 36? =
?
?
?− 6 ?
?
+12 ? ≥ 12
?，再解不等式即可；方法 3：同方法 1 得? = 2?+36 ，再换元令? + 18 = ?，结合配方法求最值即可．
【详解】（1）解：如图,
−?2+14?
∵?? = ??,
∴∠1 = ∠2．
∵?? ∥ ??,
∴∠1 = ∠???,
∴∠2 = ∠???．
∵∠2 + ∠??? = 180°,∠? + ∠??? = 180°,
∴∠2 = ∠?,
∴∠??? = ∠?,
∴?? ∥ ??,
∴四边形????是平行四边形．
（2）①如图,连结??并延长交??于点 I．
∵四边形????是平行四边形,?? = ?? = 6 ,
∴?? = ?? = 6．
∵?? = ??,
∴?? ⊥ ??,?? = ?? = 3．
∵?? = 3 17,
2
2
∴?? =3 17 −3 = 12,
∴四边形????的面积 = ?? × ?? = 6 × 12 = 72．
②方法 1：
如图,分别过点 A,D,H 作??的垂线于点 I,M,N,则四边形????为矩形,
∴?? = ?? = 6,?? = ?? = 12．
,
3
∴tan∠??? = 2
∴?? = 8,
∴?? = 14．
设?? = 3?,则?? = 2?,?? = 13?．
∵∠??? = ∠??? = 90°,∠??? = ∠???,
∴ △ ??? ∽△ ???,
∴ ?? = ?? ,
????
令?? = ?,则12 = ? ,
??3?
∴?? =
36?
,
?
∴?? = ? +
36?
?
+2? = 14,
∴?2 + (2?−14)? + 36? = 0．
∵Δ = (2?−14)2−4 × 36? ≥ 0,即?2−50? + 49 ≥ 0,
∴由二次函数? = ?2−50? + 49的图象得? ≤ 1（? ≥ 49舍去）,
∴当? = 1时,GH 的最大值为 13,此时? = 6符合题意．方法 2：
同上可得?? = ? + 36? +2? = 14,
?
要使??最大,只需??最大,只需? +
36?
? 最小．
∵? + 36? =?− 6 ?
2
+12 ? ≥ 12 ?,
??
2
∴当??取最大值时,12 ? +2? = 14,即( ?) +6 ?−7 = 0,
解得? = 1,
∴??的最大值为 13．方法 3：
12 ?
由比例式可得=,
14−?−2?3?
∴? =,
−?2+14? 2?+36
令? + 18 = ?,则? = − ? + 288
+25．
∵? +
2
288
? =
?288
−
2?
2?
2
+24 ≥ 24,
∴? ≤ −24 + 25 = 1,
∴当? = 1时, ??的最大值为 13．
【变式 03】（2026·福建泉州·三模）如图， △ ???内接于 ⊙ ?，过 A 作∠???的角平分线，交 ⊙ ?于点 D，
交??于点 E．
(1)求证：?? ⋅ ?? = ?? ⋅ ??；
(2)若?? = 3?? = 3?时，
??
①求??的值．
【答案】(1)见解析
(2)2；3 3?2
【分析】（1）连接??，根据??是∠???的角平分线，得到∠??? = ∠???，再根据同弧所对的圆周角相等得到∠??? = ∠???，证明 △ ??? ∽△ ???即可得到结论；
（2）①由题意得到?? = ?,?? = ?? + ?? = 4?，证明△ ??? ∽△ ???，求出?? = 2?，则?? = 2?，求出
?? = 1.5?,?? = 3?，即可得到答案；
②?为∠???平分线与??的交点，即?为 △ ???的内心，F 和 G 恰好关于??的中点对称，且?在圆上，△ ???
为等边三角形，求出?? = 2 3?，即可得到答案．
【详解】（1）证明：连接??，
∵ ??是∠???的角平分线，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ?? = ??，
∴ ∠??? = ∠???，
∴△ ??? ∽△ ???，
∴ ?? = ??，
∴ ?? ⋅ ?? = ?? ⋅ ??；
??
??
②作∠???的角平分线，交??于点 F，在圆上有一点 G，若 F 和 G 恰好关于??的中点对称，请用含 k 的代数式表示△ ???的面积，并说明理由．
解：①连接??，
∵ ?? = 3?? = 3?，
∴ ?? = ?,?? = ?? + ?? = 4?，
∵ ??是∠???的角平分线，
∴ ?? = ??，
∴ ?? = ??，
在△ ???和 △ ???中，
∠??? = ∠???
∠??? = ∠??? ，
∴△ ??? ∽△ ???，
????
∴ ?? = ??，
即??2 = ?? ⋅ ??，
∴ ??2 = 4? ⋅ ? = 4?2，
∴ ?? = 2?，则?? = 2?，
∵△ ??? ∽△ ???，
??
??
??
??
3?3
∴ ?? = ?? = ??，即2? = 4? = 4，
∴ ?? = 1.5?，
??3
∴ 4? = 4，
∴ ?? = 3?，
??
∴ ??
3?
= 1.5?
= 2；
②由题意得：?为∠???平分线与??的交点，即?为 △ ???的内心，
∵ F 和 G 恰好关于??的中点对称，且?在圆上，
∴△ ???为等边三角形，
∴ ?? = ??，
∵ ?? ⋅ ?? = ?? ⋅ ??，
∴ ??2 = 3? ⋅ 4? = 12?2，
∴ ?? = 2 3?，
∴ ?= 3??2 = 3 × 12?2 = 3 3?2．
△???
4
4
命题点 02 圆中解答题压轴之实践探究问题
【典例 11】（2026·广东东莞·一模）综合与探究
【问题背景】
如图①，在四边形????中，∠??? = ∠??? = 90°，?? = ??，探究线段??，??，??之间的数量关系．小吴同学探究此问题的思路是：将△ ???绕点?，逆时针旋转90°到 △ ???处，点?，?分别落在点?，?处
（如图②），易证点?，?，?在同一条直线上，并且△ ???是等腰直角三角形，所以?? = 2??，从而得出结论：?? + ?? = 2??．
【简单应用】
(1)在图①中，若?? = 2 2，?? = 3 2，则?? = ．
(2)如图③，有一个圆形公园 ⊙ ?，直径??是贯穿公园 ⊙ ?的一条小路，出口点?、?在公园⊙ ?上，且
?? = ??，线段??也是一条小路，若路?? = 1300米，?? = 1200米，现在要在出口?、?之间挖一条小河
??，小河??最短是多少米？
【拓展规律】
(3)如图④，∠??? = ∠??? = 90°，?? = ??，若?? = ?，?? = ?(? < ?)，求??的长（用含?，?的代数式表示）．
(4)如图⑤，∠??? = 90°，?? = ??，点?为??的中点，若点?满足4?? = ??，?? = ??，点?为??的中点，则线段??与??的数量关系是．（直接写出答案）
【答案】(1)5
(2)850 2米
(3)?? = 2(?−?)
2
(4) 2?? = 1+ 63??或 2?? = 63−1??
88
【分析】（1）仿照小吴同学方法，得出?? + ?? = 2??，把?? = 2 2，?? = 3 2代入计算即可；
（2）根据圆周角定理得出∠??? = ∠??? = 90°，根据?? = ??得出?? = ??，利用勾股定理求出?? = 500
米，利用（1）中距离求出??的长即可；
以??为直径作 ⊙ ?，连接??并延长，交 ⊙ ?于?，连接??、??、??，根据圆周角定理得出点?、?
在⊙ ?上，四边形????是正方形，?? = ??，?? = ??，利用（1）中结论及勾股定理得出?? = 2
2
(? + ?)，??2 = ?2 + ?2，再利用勾股定理即可求出?? = 2(?−?)；
2
分点?在直线??的左侧和右侧两种情况，利用等腰直角三角形的性质、勾股定理，结合（1）中结论，分别求解即可．
【详解】（1）解：如图，将△ ???绕点?，逆时针旋转90°到 △ ???处，点?，?分别落在点?，?处，
∴∠??? = ∠???，?? = ??，?? = ??，∠??? = 90°，
∵∠??? = ∠??? = 90°，
∴∠??? + ∠??? = 180°，
∴∠??? + ∠??? = 180°，
∴点?，?，?在同一条直线上，
∴?? = 2??，
∴?? + ?? = 2??，
∵?? = 2 2，?? = 3 2，
∴2 2 +3 2 = 2??，解得：?? = 5．
如图，连接??、??、??，
∵??是 ⊙ ?直径，
∴∠??? = ∠??? = 90°，
∵?? = ??，
∴?? = ??，
∵?? = 1300米，?? = 1200米，
∴?? =??2−??2 =13002−12002 = 500（米），
由（1）可知，?? + ?? = 2??，
∴?? = 2(?? + ??) = 2 × (1200 + 500) = 850 2（米）．
22
∴小河??最短是沿线段??修建，距离为850 2米．
解：如图，以??为直径作 ⊙ ?，连接??并延长，交 ⊙ ?于?，连接??、??、??，
∵??为 ⊙ ?的直径，∠??? = ∠??? = 90°，
∴点?、点?都在⊙ ?上，??为⊙ ?的直径，
∴∠??? = ∠??? = ∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°，
∵?? = ??，
∴四边形????是正方形，?? = ??，?? = ??，
由（1）可知，?? + ?? = 2??，
∵?? = ?，?? = ?(? < ?)，
∴?? = 2(? + ?)，
2
∵??2 = ??2 +??2 = ?2 + ?2，
∴??2 = ?2 + ?2，
∵??2 = ??2 +??2，
2
2
∴?2 + ?2 = ??2 + 2 (? + ?)2 ，
−=，
∴??2 = ?2 + ?2 1(? + ?)21(?−?)2
22
∴?? = 2(?−?)．
2
解：如图，当点?在直线??的左侧时，连接??、??，
∵?? = ??，∠??? = 90°，点?是??的中点，
∴?? = ?? =
1??，∠??? = 90°，
2
∵?? = ??，点?是??的中点，
∴∠??? = 90°，
设?? = ?，
∵4?? = ??，
∴?? =
1
4?? =
1?，
4
∴?? =
1
2?? =
1?，
8
∴?? =??2−??2 = 63?，
8
由勾股定理可求得：，
由（1）可知?? + ?? = 2??，
∴ 2?? =
1
8? +
63?，
8
∴ 2?? = 1+ 63??；
8
如图，当点?在直线??的右侧时，连接??、??，
8
8
综上所述，线段??与??的数量关系是 2?? = 1+ 63??或 2?? = 63−1??．
8
63−1??．
88
∴ 2?? = ??−?? = 63?−1? =
2
由（1）可知，?? = 2(??−??)，
8
∴?? =??2−??2 = 63?，
1
28
1
∴?? = ?? = ?，
4
4
设?? = ?，则?? = 1?? = 1?，
同理可知，∠??? = ∠??? = 90°，
【变式 01】（2026·陕西西安·模拟预测）求解下列各题：
问题提出：如图 1，Rt △ ???和Rt △ ???是两个等腰直角三角形，连接??，??，若?? = 10，
∠??? = 20°，则?? = ，∠??? = ．
问题探究：如图 2，已知△ ???为等边三角形，?? = 8，D 为??上一点，且?? = 2，若??上存在一点
E，使得??平分△ ???的面积，求??的长．
问题探究：智能机器人在生活中广泛应用，某智能分拣机器人的作业路径设计如下：如图 3，机器人沿
4
△ ???路径完成货物转运，已知 ⊙ ?为△ ???的外接圆，?? = 80，sin∠??? = 5．同时，机器人配套辅助
5
作业单元对应△ ???，机械臂为??，满足∠??? = 90°且sin∠??? = 5，E 为??的中点，F 为??上一点，当机器人的作业单元△ ???的面积最大时机械臂??会平分四边形????的面积，请求出此时四边形????的面积和??的长度．
【答案】(1)10；20°
(2)2 73
3
(3)?四边形???? = 10200，?? = 7 ．
【分析】（1）证明△ ???≌ △ ???(SAS)，即可求解；
80
作?? ⊥ ??于点?，?? ⊥ ??于点?，求得?△??? = 16 3，得到?△??? = 8 3，再利用解直角三角形即
可求解；
过点?作直径??，连接??，求得 ⊙ ?的半径，过点?作?? ⊥ ??，且?? = 2?? = 100，证明
△ ??? ∽△ ???，求得?? = 2?? = 100 = ??，推出点?在以点?为圆心，100为半径的圆?上，当?、?、?
共线时， △ ???的面积最大，据此计算即可求解．
【详解】（1）解：∵Rt △ ???和Rt △ ???是两个等腰直角三角形，
∴?? = ??，?? = ??，∠??? = ∠??? = 90°，
∴∠??? = 90° + ∠??? = ∠???，
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴?? = ?? = 10，∠??? = ∠??? = 20°；
解：作?? ⊥ ??于点?，?? ⊥ ??于点?，
∵ △ ???为等边三角形，?? = 8，
∴?? =
1?? = 4，?? =82
2
−42
= 4 3，
1
∴?△??? = 2 × 8 × 4 3 = 16 3，
∵??平分△ ???的面积，
∴?
△???
= 1? 2
△???
= 8 3，
∵?? = 2，
∴?? = 6，又∠? = 60°，
∴?? = ?? ⋅ sin60° = 6 × 3 = 3 3，1，
2?? = ?? ⋅ cs60° = 6 × 2 = 3
1
∴?△??? = 2 × ?? × 3 3 = 8 3，
16
∴?? = 3 ，
7
∴?? = ??−?? = 3，
∴?? =??2
+ ??2 =
7+ (3 3)2
2
3
2 73
；
= 3
解：过点?作直径??，连接??，
∴∠??? = 90°，
∵?? = ??，
∴∠??? = ∠???，
??4
∴sin∠??? = sin∠??? = ?? = 5，
∵?? = 80，
∴?? = 100，
∴?? = 50，
连接??，??，过点?作?? ⊥ ??，且?? = 2?? = 100，
在Rt △ ???中，sin∠??? = 5，即?? = 5，
5??5
设?? = 5?，?? = 5?，
∴?? =??2−??2 = 2 5?，
∵∠??? = ∠??? = 90°，
∴∠??? = 90°−∠??? = ∠???，
∵?? = 2 5? = 2，?? = 2，
??
5?
??
∴?? = ?? = 2，
????
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = 2?? = 100 = ??，
∴点?在以点?为圆心，100为半径的圆?上，
作?? ⊥ ??于点?，作?? ⊥ ??交??延长线于点?，作?? ⊥ ??交??延长线于点?，
∴∠??? = ∠???，
∵∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°，
∴∠??? = 90°−∠??? = ∠??? = ∠???，
4
∵sin∠??? = 5，
??4
∴sin∠??? = ?? = 5，
∴?? = 80，?? =??2−??2 = 60，
1
∵?△??? = 2?? × ?? = 40??，
∵?? ≤ ?? + ?? = 100 + 80 = 180，
∴?△??? ≤ 40 × 180 = 7200，当且仅当?、?、?共线时，取等，
连接??，作?? ⊥ ??交??延长线于点?，
∵∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°，
∴∠??? = 90°−∠??? = ∠???，
??????
∴ △ ??? ∽△ ???，?? = ?? = ?? = 2，
∴?? =
1?? = 30，?? =
2
1?? = 90，
2
∴?? =302 + 902 = 30 10，
∴?? = 2?? = 60 10，
∴?
四边形????
= ?
△???
11
，
+ ?△??? = 2 × 60 10 × 30 10 + 2 × 80 × 30 = 10200
∵??平分四边形????的面积，
1
∴?四边形???? = 2 × 10200 = 5100，
∵E 为??的中点，
∴?
△???
= 1?= 1 × 1 × 60 10 × 30 10 = 4500，
△???
222
∴?△??? = 5100−?△??? = 600，
连接??，作?? ⊥ ??于点?，并交??于点?，
∴??∥??∥??，
∴ △ ??? ∽△ ???， △ ??? ∽△ ???，
∴ ?? = ?? = ?? = 1，?? = ??，
??????
2????
∴?? = ?? = 90，?? = ?? = 15，
1
1
22
∴?? = 90 + 15 = 105，
∴?△??? = 2 × ?? × 105 = 600，
1
解得?? = 7 ．
80
【变式 02】（2026·广东东莞·一模）如图，C，D 两点在以??为直径的半圆上，点 0 是半圆圆心，半圆 0的半径为 r，∠??? = 90°，点 E 在??上运动（不与点 C，D 重合），连接??，??，分别交??，??于点 M，N．
【问题发现】
如题图 1，当∠??? = 45°，且 E 是??的中点时，试猜想?? + ??与 r 之间的数量关系，并说明理由．
【类比探究】
如题图 2，当∠??? = 45°，且 E 不是??的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
【拓展延伸】
如题图 3，若∠??? = 30°，? = 3，?? = 2，求??的长．
【答案】(1)?? + ?? = 2?，见解析
(2)?? + ?? = 2?，见解析
(3)6−2 3
【分析】（1）连接??，根据题意，得?? = ?，证明四边形????是正方形，求解即可．
取??的中点 F，连接??,??,分别交??,??于点 G，H，分点 E 在??上和点 E 在??上两种情况证明即可．
过点 A 作?? ⊥ ??于点 Q，并延长??交半圆于点 P，连接??，交??于点 T，通过证明
△ ??? ∽△ ???，求解即可．
【详解】（1）解：?? + ??与 r 之间的数量关系为?? + ?? = 2?．理由如下：连接??，根据题意，得?? = ?，
∵ E 是??的中点，
∴ ?? = ??，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠??? = 45°，
∵ ∠??? = 45°，
∴ ∠??? = ∠??? = ∠??? = ∠??? = 45°，
∴ ∠??? = ∠??? = 90°，
∴ ?? = ??，
∵ ?? = ?? = ??，
∴ ?? ⊥ ??,?? = ?? =
1??，?? ⊥ ??,?? = ?? =
2
1??，
2
∴ ?? = ?? = ?? = ??，
∴ 四边形????是菱形，
∵ ∠??? = 90°，
∴ 四边形????是正方形，
∴ ?? = ?? = ?? = ?? = ??sin45° = 2?，
2
∴ ?? + ?? = 2 × 2? = 2?．
2
解：结论仍然成立．理由如下：
取??的中点 F，连接??,??,分别交??,??于点 G，H，
根据（1）的证明，知四边形????是正方形，?? = ?? = ?? = ?? = 2?，
2
∴ ?? + ?? = 2?，
当点 E 在??上时，如图所示，
根据（1）的证明，知△ ???, △ ???都是等腰直角三角形，
∴ ∠??? = ∠??? = 90°，?? = ?? = ?? = ??，
∵ ∠??? = 90°，??为半圆的直径,
∴ ∠??? = ∠??? = 90°，
根据四边形内角和，得∠??? + ∠??? = 180°，
∵ ∠??? + ∠??? = 180°，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∠??? = ∠???
∵ ∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)，
∴?? = ??，
∴?? + ?? = ?? + ?? + ??−??
= ?? + ?? + ??−?? = ?? + ?? = 2?；
当点 E 在??上时，如图所示，同理可证△ ???≌ △ ???(AAS)，
∴?? = ??，
∴?? + ?? = ??−?? + ?? + ??
= ??−?? + ?? + ?? = ?? + ?? = 2?．
解：过点 A 作?? ⊥ ??于点 Q，并延长??交半圆于点 P，连接??，交??于点 T，
??
22
??
3
∴ 2 = 2，
3 3 −2
3 3??
2
解得?? = 9−2 3，
2
∴ ?? = ?? + ?? = −2 3 + = 6−2 3．
9
3
∴?? = ??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
3 3
3
∴ ?? = ?sin30° = 2,?? = ?cs30° = 2 ，
根据（2）的证明，可证明∠??? = ∠???，
∵ ∠??? = 90°，∠??? = 30°，
∴ ?? ∥ ??，∠??? = 60°，
∵ ??为半圆的直径,
∴ ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠??? = 90°，
2
∴ ?? = ??−?? = 3 3−2，
3 3
3
∴ ?? = ?sin30° = 2,?? = ?cs30° = 2 ，
∵ ?? = 2，
∵ ∠??? = 30°，?? = ? = 3，
【变式 03】（2026·吉林长春·一模）【问题呈现】在学习《圆》这一章时，小明遇到了这样一个问题：如图 1，已知⊙ ?半径是 2，点?是⊙ ?上的一个动点，点?是平面内一点，?? = 5，求证：线段??的最大值为 7．
【问题解决】经过分析，如图 2，小明将??延长交 ⊙ ?于点?，并猜想此时??最大，为了验证这个猜想，
证明过程缺失
小明想利用如下方法来解决，下面是部分证明过程，请补全缺失的部分．证明：如图 2，在 ⊙ ?上任意取一点?（点?不与点?重合），连接??、??；
则?? > ??，
则此时，??最大，最大值为5 + 2 = 7
【问题延伸】如图 3，在△ ???中，∠??? = 90°，?? = 3，?? = 4，点?是边??上的一个动点，连接
??，过点?作?? ⊥ ??于点?，连接??，则线段??的最小值是．
【拓展提升】如图 4，某景区有一片油菜花地，形状由△ ???和以??为直径的半圆两部分构成，已知
【答案】(1)见解析
(2) 73−3
2
(3) 30 21−30
【分析】（1）利用三角形三边的关系证明线段??的最大值；
通过构造圆，利用点与圆的位置关系求线段??的最小值；
构造圆，结合中位线定理和勾股定理求仿古长廊??最短长度．
【详解】（1）证明：如图 2，在⊙ ?上任意取一点 B（点 B 不与点 A 重合），连接??、??，
在△ ???中，?? + ?? > ??，
∵ ?? = ??，
∴ ?? + ?? > ??，则?? > ??，
则此时，??最大，最大值为5 + 2 = 7；
（2）解：如图 3，
?? = 120米，∠??? = 90°，∠??? = 60°，为了方便游客游览，该景区计划对油菜花地进行改造，根据设计要求，在半圆上确定一点?，沿??修建小路，并在??中点?处修建一个凉亭，沿??修建仿古长廊，由于仿古长廊造价很高，为了控制成本，景区要求仿古长廊??的长度尽可能短，若不考虑其他因素，则仿古长廊??最短为米．（结果保留根号）
∵ ?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°，
∴点 F 在以??为直径的圆上，以??为直径作 ⊙ ?，连接??交??于 F，
由点圆关系得此时??最小，
∵?? = 3，
∴?? =
3 = ??，
2
∵?? = 4，
∴?? =??2
+ ??2 =
2
3+ 42
2
73
，
= 2
∴ ?? = ??−?? =
73−3
，
2
2
即线段??的最小值是 73−3；
（3）解：如图 4，取??、??中点?、?，连接??，以??为直径作 ⊙ ?，连接??交 ⊙ ?于点?，作?? ⊥ ??
于?，连接??、??，
∵点 F 为??中点，
∴??、??分别为△ ???和△ ???的中位线，
∴?? ∥ ??,?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠???,∠??? = ∠???，
∵??为半圆直径，
∴∠??? = 90°，
∴∠??? = 90°，
∴F 在以??为直径的圆上，即在 ⊙ ?上，由点圆关系得，??为??的最小值，
∵?、?为??、??中点，
∴??为 △ ???中位线，
∴?? = ?? = 60米，?? ∥ ??，
1
2
∴?? = 30米，
∵∠??? = 90°，
∴∠??? = 90°，
∵?? ⊥ ??，
∴四边形????为矩形，
∴?? = ?? = 30米，
∴?? = 120−30 = 90（米），
∵∠??? = 60°，
∴?? = ?? ⋅ tan60° = 120 3米，
∴?? = 60 3米，
∴?? = ?? = 60 3米，
∴?? =??2 + ??2 =902 + (60 3) = 30 21（米），
2
∵?? = ?? = 30米，
∴?? = 30 21−30（米）， 即??最短为 30 21−30 米．
命题点 03 圆中解答题压轴之阅读材料问题
【典例 12】（2026·广东深圳·模拟预测）综合与探究
【定义】有一组对角为直角的四边形叫做“对直四边形”．
【示例】如图 1，在四边形????中，∠? = ∠? = 90°，则称四边形????叫做“对直四边形????”．
【性质探究】小明同学在研究对直四边形时，发现“对直四边形具有四个顶点均在同一个圆上”的性质，证明的思路如下：
如图 2，连接对角线??，取??中点?，连接??, ??．
∵∠??? = ∠??? = 90°，，
∴?? =
1??, ?? = ，
2
∴?? = ?? = ?? = ??，
∴四边形????的顶点?, ?, ?, ?均在以点?为圆心，??为直径的圆上．
请补全小明同学的证明过程．
【性质应用】如图 3，在矩形????中，点?是??边上一点，过?, ?, ?三点的圆交对角线??于点?．
①求证：四边形????是“对直四边形”；
②若?? = 8, ?? = 6，当△ ???为等腰三角形时，直接写出??的长．
【拓展提升】如图 4，在矩形????中，?? = ???（?为正实数）．点?是??延长线上一点，过?, ?, ?三
??
点的圆交对角线??于点?，延长??交??于点?．请求出??的值（用含?的式子表示）．
1
【答案】(1)??的中点为?；2??
①见解析；②??
159 59
的长为 4 或 5 或2．
??1
?
??的值为 2．
【分析】（1）根据“对直四边形”定义和直角三角形斜边中线的性质解答；
①连接??，设圆心为 0，证明??为 ⊙ ?的直径，可得四边形????是“对直四边形”；②求出?? =
??2 + ??2 = 10，证明△ ??? ∽△ ???，得?? = ?? = ??，根据 △ ???为等腰三角形，当?? = ??时，
??????
当?? = ?? = 6时，当?? = ?? = 6时，分三种情况解答．
设圆心为点 0，连接??，??，??，证明∠??? = 90°，可得△ ??? ∽△ ???，得?? = ???，证明 C，
??1
D，E，F 在以??为直径的圆上，得∠??? = ∠???，证明 △ ??? ∽△ ???，可得?? = ???，即得?? = ?2．
【详解】（1）解：如图 2，连接对角线??，取??中点?，连接??, ??．
1
∵∠??? = ∠??? = 90°，??的中点为?，
1
∴?? = 2??, ?? =
2??，
∴?? = ?? = ?? = ??，
∴四边形????的顶点?, ?, ?, ?均在以点?为圆心，??为直径的圆上．
解：①连接??，设圆心为 0，
∵在矩形????中，∠??? = 90°，
∴??为 ⊙ ?的直径，
∴∠??? = 90°，
∴四边形????是“对直四边形”；
②∵矩形????中，∠??? = 90°，?? = ??，?? = ??，且?? = 8, ?? = 6，
∴?? = 8，?? = 6，
∴?? =??2 + ??2 = 10，
∵∠??? = ∠???，∠??? = ∠??? = 90°，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ?? = ??，
??
??
??
∴?? = ?? = ??，
6810
∵ △ ???为等腰三角形，
∴当?? = ??时，∠??? = ∠???，
∵∠??? + ∠??? = 90°，∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???，
∴?? = ??，
∴?? = ?? = ?? =
1?? = 5，
2
∴?? =
315
4
?? =；
4
当?? = ?? = 6时，?? = ??−?? = 4，设⊙ ?与??交点为 F，连接??，??，
∵∠??? = 90°，
∴??是⊙ ?直径，
∴∠??? = 90°，
∴∠??? = 90°，
????3
∵tan∠??? = ?? = ?? = 4，
∴?? = 3，
∴?? =??2 + ??2 = 3 5，
∴?? = ?? = 3 5，
∴?? =
39 5
；
5
?? =
5
当?? = ?? = 6时，3
189
= ．
故??
?? = 4?? = 42
159 59
的长为 4 或 5 或2．
解：设圆心为点 0，连接??，??，??，
∵在矩形????中，?? = ??，?? = ??，∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°，且?? = ???（?为正实数）．
∴∠??? = 90°，
∴??是 ⊙ ?的直径，
∴∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠??? = 90°，
∵∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ???，
∴?? = ?2??，
2
?
??
1
??
故 的值为 ．
?2
??
∴?? = 1 ，
??
??
∴?? = ??，
∴?? = ???，
∵∠??? = ∠??? = 90°，
∴C，D，E，F 到线段??的中点的距离相等，
∴C，D，E，F 在以??为直径的圆上，
∴∠??? = ∠???，
∵∠??? = ∠??? = 90°，
∴ △ ??? ∽△ ???，
??，
??
??
??
∴=
【变式 01】（2026·陕西西安·模拟预测）小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．
【特例感知】
(1)如图①，??为半圆的直径，?为圆心，?,?为半圆上的两点，若?? = 5,?? = 6，则sin∠???的值为；
【类比迁移】
(2)如图②，在Rt △ ???中，∠? = 90°，?? = 4，?? = 5，点?在直线??的右侧，且满足tan∠??? = 2，试
探究线段??最小值．聪明的小赵同学想到了方法：在??上截取1
，以??为直径作 ⊙ ?，如图③
?? = 2?? = 2
所示，请聪明的你延续小赵同学的思路求出线段??最小值．
【问题解决】
(3)如图④，有一块矩形????型板材，?? = 4米，?? = 6米，由于工作需要，工人王师傅想在这块板材上
5
找一点?，裁出△ ???与 △ ???，并满足cs∠??? = 3，?△???∶?= 3∶2．请问王师傅的设想可以实现
△???
吗？如果可以，请帮他计算所裁得的△ ???的面积；如果不能，请说明你的理由．
【答案】(1)5；
(2) 5；
3
(3)存在，7
【分析】（1）利用半圆直径所对圆周角为直角，得到∠??? = 90∘，再依据同弧所对圆周角相等，将sin∠???
转化为sin∠???，结合三角函数定义求解．
（2）根据tan∠??? = 2的条件，构造以特定线段为直径的圆，利用圆的性质确定点?的轨迹，再通过相似三角形、勾股定理等知识求出??的最小值．
（3）先根据三角形面积比推出??平分∠???，再构造圆确定点?的位置，最后借助三角函数、三角形面积
公式等计算△ ???的面积，判断设想是否可实现．
【详解】（1）解：∵??是直径，
∴∠??? = 90°，
∵?? = 5，
∴?? = 10，
∵∠??? = ∠???，
??63
∴sin∠??? = sin∠??? = ?? = 10 = 5．
（2）解：在??上截取?? = 1?? = 2，以??为直径作 ⊙ ?，
2
∵∠? = 90°，
∴ ⊙ ?过点?，???∠??? = ?? = 2，
??
连接??交 ⊙ ?于?，连接??、??，则∠??? = ∠???，
∴???∠??? = ???∠??? = ?? = 2，此时??取最小值，
??
过点?作?? ⊥ ??于?，则?? ∥ ??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ?? = ?? = 1，即?? = ?? = 1，
??
??
??2
422
∴?? = 2，?? = 1，
∴?? = 1，
∴?? = ??−?? = 5−1 = 4，
∵?? = ??2 + ??2 = 22 + 42 = 2 5，
∵?? = ??2 + ??2 = 42 + 22 = 2 5，
∴?? = ?? = 1?? = 5，
2
∴?? = ??−?? = 2 5− 5 = 5，即线段??最小值为 5；
（3）解：存在．
理由：在??上取一点?，使得?? = 3，连接??，以??为直径作 ⊙ ?，作∠???的平分线交 ⊙ ?于点?，即可实现设想
??4
∵tan∠??? = ?? = 3，
3
∴当点?在⊙ ?上，且在直线??的右边时，满足条件cs∠??? = 5，
过点?作?? ⊥ ??于点?，?? ⊥ ??于点?，延长??交??于点?．
又∵S△ADP:S△ABP = 3:2，
∴PM = PN，
∴PA平分∠BAD，
∴∠PAB = 45°，
过点B作BH ⊥ AP于H
∵S△ADP
= 1AD ⋅ PM = 3PM， S
2
1
△ABP = 2 ⋅
AB ⋅ PN = 2PN，
∴AH = BH = 2 2
BH = 4
∴PH = 3 2
2
，PH3
2
∴AP = AH + PH = 2 2＋3 2 = 7 2，
2
2，
∴AN = PN = 7
∴S= 1AB ⋅ PN = 1 × 477．
△ABP2
2× 2 =
【点睛】本题主要考查圆的基本性质（直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等 ）、三角函数的定义 与应用、三角形面积计算、相似三角形判定与性质以及最值问题求解．解题关键在于准确“化隐圆为显圆”，即根据已知条件构造合适的圆，将分散的几何条件集中到圆上，利用圆的性质和相关几何知识解决问题， 同时要灵活运用三角函数、三角形面积公式等知识进行计算和推理．
关于“三角形的内切圆”的研究报告
【变式 01】（2025·山西运城·一模）阅读与思考阅读下列材料，完成下面的任务．
【研究内容】如图1，在△ ???中，三边?? = ?，?? = ?，?? = ?， ⊙ ?是它的内切圆，切点分别为?，?，?，如何求??、??、??的长呢？
【解法】 ∵⊙ ?是△ ???的内切圆，切点为?，?，?， ∴ ?? = ??，?? = ??，
? + ? = ?
?? = ??．设?? = ?? = ?，?? = ?? = ?，?? = ?? = ?，则有 ? + ? = ? ，
? + ? = ?
? = ?−?
∴ ? + ? + ? = ▲，如果设? = ▲，那么有 ? = ?−? ．
? = ?−?
任务：
直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：．
如图 2，这是一张三角形纸片???， ⊙ ?为它的内切圆，小悦沿着与⊙ ?相切的??剪下了一个三角形纸片???，已知?? = 4cm，?? = 6cm，?? = 5cm，求三角形纸片???的周长．
如图 3，△ ???的内切圆?与??，??，??分别相切于点?，?，?，∠? = 90°，?? = 3，?? = 2，求?△???．
?+?+??+?+?
【答案】(1) 2 ， 2
7cm
(3)?△??? = 6
? + ? = ?
【分析】（1）由题意得出 ? + ? = ? ，则可得出答案；
? + ? = ?
15
15
（2）由题意得? =
?，?，?，则?? = ?? =
7
，由三角形周长可得出答案；
2 ，如图，设切点分别为2 −4 = 2
（3）设?? = ?? = ?，依题意得?? = ?? = 3，?? = ?? = 2，根据勾股定理可得(? + 3)2 + (? + 2)2 = 52，解方程得出? = 1，则可得出答案．
【详解】（1）解： ∵⊙ ?是△ ???的内切圆，切点为?，?，?，
∴ ?? = ??，?? = ??，?? = ??，
? + ? = ?
设?? = ?? = ?，?? = ?? = ?，?? = ?? = ?，则有 ? + ? = ? ，
? + ? = ?
三式相加可得2? + 2? + 2? = ? + ? + ?，
∴ ? + ? + ? =
?+?+?
2 ，
? = ?−?
如果设? = ?+?+?，那么有 ? = ?−? ．
2? = ?−?
?+?+??+?+?
故答案为： 2 ， 2 ；
（2）解： ∵△ ???的周长为4 + 5 + 6 = 15，
15
∴ 由题意得? = 2 ，
如图，设切点分别为?，?，?，则?? = ?? = 157，
2 −4 = 2
∵ ?? = ??，?? = ??，
∴ ?? = ?? + ??，
∴ 三角形纸片???的周长 = ?? + ?? + ?? = ?? + ?? + ?? + ??，
7
= ?? + ?? = 2 × 2
= 7cm；
（3）解：设?? = ?? = ?，依题意得?? = ?? = 3，?? = ?? = 2，
∴ ?? = ? + 3，?? = ? + 2，
∵ ?? = ?? + ?? = 5，
根据勾股定理可得(? + 3)2 + (? + 2)2 = 52，整理得?2 +5?−6 = 0，解得? = 1或? = −6(不合题意，合去)，
∴ ?? = ?? = 1，
∴ ?? = 4，?? = 3，
∴ ?△??? = 2?? ⋅ ?? = 2 × 4 × 3 = 6．
【点睛】本题考查的知识点是三角形内切圆、切线长定理、勾股定理解直角三角形、解一元二次方程，解
1
1
题关键是熟练掌握三角形内切圆的性质、切线长定理．
【变式 02】（2025·江苏苏州·二模）阅读与思考
下面是项目学习小组学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
实验室使用量筒量取液体时，读数要平视，如图，量筒内的液面近似地看成??，
?? = ??，读数时，视线??垂直于量筒壁（?? ⊥ ??），与??相切于点 D，点 0 为??所在圆的圆心．小东同学读数时，从点 E 处俯视点 D（点 E 在⊙ ?上），记录量筒上点 E处的高度??为18??．小华同学记录量筒上点 A 处的高度??为9??．
完成下列任务：
(1)连接??，求证：∠??? = 2∠???．
1
(2)若tan∠??? = 3，求??的长．
连接??并延长交??于点 H，若?? = 12mm，则??长多少？
【答案】(1)见解析
(2)9mm
8
(3)6mm
【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形的相关计算，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
（1）连接??并延长，交 ⊙ ?于点 M，连接??，根据切线的性质得出?? ⊥ ??，证明∠??? = ∠?，根据圆
周角定理得出∠??? = 2∠?，从而说明∠??? = 2∠???，证明??∥??，得出∠??? = ∠???，即可得出答案；
（2）设?? = 3?，根据?? = ??，得出∠? = ∠???，从而证明∠??? = ∠???，得出tan∠??? = 3，即?? =
1??
13?19
3，得出?+9 = 3，求出? = 8，即可得出答案．
（3）由题意可证四边形????是矩形，进而得?? = ??，则 △ ???≌ △ ???，可得1，
?? = ?? = 2?? = 6
????
再证△ ??? ∽△ ???， △ ???≌ △ ???，有?? = ??即可解答．
【详解】（1）证明：连接??并延长，交 ⊙ ?于点 M，连接??，如图所示：
∵ ??为 ⊙ ?的切线，
∴ ?? ⊥ ??，
∴ ∠??? + ∠??? = 90°，
∵ ??为 ⊙ ?的直径，
∴ ∠??? = 90°，
∴ ∠? + ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠?，
又∵ ∠??? = 2∠?，
∴ ∠??? = 2∠???，
∵ ?? ⊥ ??,?? ⊥ ??，
∴ ??∥??，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = 2∠???．
（2）设?? = ?，
1
∵ tan∠??? = 3，
∴ ?? = 3?，
∵ ?? = 18−9 = 9(mm)，
∴ ?? = ? + 9，
∵?? = ??，
∴∠? = ∠???，
由（1），得∠? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
1??1
∴ tan∠??? = 3，即?? = 3，
3?1
∴ ?+9 = 3，
9
解得：? = 8，
9
经检验，? = 8是分式方程的解，且符合题意．
9
∴ ??的长为8mm．
（3）
由题意，可知??∥??，且?? = ??,∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°，
?? = ??−?? = 18−9 = 9，
∴四边形????是矩形，
∴??∥??，
∴∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°，
∴?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???，
∴?? = ?? =
1?? = 6，
2
∵∠??? = ∠???,∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???， △ ???≌ △ ???，
∴?? = ???? = ??，
????，
∴?? =6
6
??+9
，?? = ?? = 1??，
2
即??2 +9??−36 = 0，
解得?? = 3或−12（不符合题意，舍去），
∴?? = 2?? = 6mm．
【变式 03】（2026·山西·一模）阅读与思考
下面是小欣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
垂等四边形【概念理解】
对角线互相垂直且相等的四边形叫作垂等四边形．
例如，图1 中的四边形????
的对角线??与??满足关系：?? ⊥ ??，且?? = ??，则四边形????是垂等四边形．
【问题解决】
问题 1：如图 2，在垂等四边形????中．对角线??与??交于点?．若?? ⊥ ??，
?? = 6cm，cs∠??? = 5，则对角线??的长为 ▲ cm．
问题 2：如图 3，在四边形????中，?? ∥ ??，?? ⊥ ??，且∠??? = 45°．求证：四边
3
形????是垂等四边形．
证明：如图 3，过点?作??的垂线，交??的延长线于点?．
∵ ?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
∴ ?? ∥ ??．又∵ ?? ∥ ??，
……
任务：
请直接写出问题 1 中“▲”处空缺的内容为．
请补全问题的证明过程．
智慧小组进行了探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动．如图 4，在⊙ ?中，已知??是弦，??，??是半径．求作： ⊙ ?的内接垂等四边形????．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【答案】(1)10
见解析
见解析
【分析】（1）根据cs∠??? = ?? = 6
3
= ，求得??，等量代换求解即可．
根据定义证明即可．
??
??5
根据圆的性质，定义作图即可；
【详解】（1）解：在垂等四边形????中．对角线??与??交于点?．
∴ ?? ⊥ ??，且?? = ??，
3
∵ ?? ⊥ ??，?? = 6cm，cs∠??? = 5，
??63
∴ cs∠??? = ?? = ?? = 5，
解得?? = 10 cm
故对角线??的长为 10cm．
（2）证明：如图，过点?作??的垂线，交??的延长线于点?．
∵ ?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
∴ ?? ∥ ??．
又∵ ?? ∥ ??，
∴ 四边形????是平行四边形，
∴ ?? = ??．
∵ ∠??? = 45°，
∴ ∠??? = 45°，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ?? = ??，
∴ ?? = ??
∵ ?? ⊥ ??，
故四边形????是垂等四边形．
（3）解：作??的垂直平分线，交??于点 G，并在此垂直平分线上，截取?? = ??，则∠??? = ∠??? = 45°，根据?? = ??，得到∠??? = ∠??? = 45°，
∴ ?? ⊥ ??，
延长??，??分别交圆于点 C，D，连接??,??,??，
则∠??? = ∠???，故∠??? = ∠???，故?? = ??，
故四边形????是垂等四边形．
则四边形????即为所求．
中考预测题
在平面直角坐标系???中，对于⊙ ?和⊙ ?外一点 A 给出如下定义：若点 P 在⊙ ?上，且对圆上任意一点 Q，都有∠??? ≥ ∠???，则称线段??是点 A 关于⊙ ?的关联线段，称∠???的大小是点 A 关于⊙ ?的关联角度．
如图， ⊙ ?的半径为 1．
15
2
2
①已知点? 1 ,
，则点 A 关于⊙ ?的关联线段的长为，点 A 关于⊙ ?的关联角度为°；
2
②已知⊙ ?上一点? 2 ,−
，点 D 在直线? = −?−3 2上，线段??是点 D 关于⊙ ?的关联线段，则点 D
2
2
的坐标为；
已知点?(?,0)， ⊙ ?的半径为 2，直线? = − 3? + 6上的所有点都有关于⊙ ?的关联线段，记这些点关于
⊙ ?的关联角度的最大值为?，若45° ≤ ? < 90°，直接写出 t 的取值范围．
【答案】(1)① 3，30；② − 2,−2 2
(2)2 3−4 6 ≤ ? < 2 3或10 3 < ? ≤ 2 3 + 4 6
3
33
3
【分析】（1）①过点?作⊙ ?的切线??，点?为切点，则线段??即为点 A 关于⊙ ?的关联线段，利用勾股
定理解得?? = 2，由切线的性质可得?? ⊥ ??，进而解得??的长度，并利用三角函数解得∠???的值，即可获得答案；
②如下图，设线段??与?轴交于点?，根据关联线段的定义可得?? ⊥ ??，过点?作?? ⊥ ?轴于点?，证明
△ ???为等腰直角三角形，进而确定点?坐标；利用待定系数法解得直线??的解析式，联立直线??的解析式与直线? = −?−3 2解析式，求解即可获得答案；
（2）设直线? = − 3? + 6上一点?，根据关联角的定义，点?关于 ⊙ ?的关联角度?满足sin? = ? = 2 ，要
??
??
使?最大，则sin?最大，此时??最小，当??垂直于直线? = − 3? + 6时，??最小，最小值为点?到直线的距
离?，结合45° ≤ ? < 90°易得2 < ? ≤ 2 2，再分点?在点?右侧和点?在点?左侧两种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：①如下图，过点?作⊙ ?的切线??，点?为切点，则线段??即为点 A 关于⊙ ?的关联线段，
∵? 1 , 15 ，
22
∴?? =
2
1 −0+
2
15 −0
2
2
= 2，
∵??为 ⊙ ?的切线，且?? = 1，
∴?? ⊥ ??，
∴?? =??2−??2 =22−12 = 3，即点 A 关于⊙ ?的关联线段的长为 3，又∵sin∠??? = ?? = 1，
??2
∴∠??? = 30°，
∴点 A 关于⊙ ?的关联角度为30°；
②如下图，设线段??与?轴交于点?，
∵线段??是点 D 关于⊙ ?的关联线段，
∴直线??是 ⊙ ?切线，即?? ⊥ ??，
过点?作?? ⊥ ?轴于点?，
∵? 2 ,− 2 ，
22
∴?? = 2,?? = 2，
22
2
2
∴tan∠??? = 2 = 1，
2
∴∠??? = 45°，
∴∠??? = 90°−∠??? = 45° = ∠???，
∴?? = ??，
∵?? ⊥ ?轴，
，
2
∴?? = ?? = ?? = 2
∴?? = ?? + ?? = 2，
∴? 0,− 2 ，
设直线??的解析式为? = ?? + ?(? ≠ 0)，
将点? 2 ,− 2
，? 0,− 2 代入，
22
− 2 = 2 ? + ?
? = 1
可得22
，解得 ? = − 2 ，
− 2 = ?
∴直线??的解析式为? = ?− 2，
联立直线??的解析式与直线? = −?−3 2解析式，
? = ?− 2? = − 2
可得 ? = −?−3 2 ，解得 ? = −2 2 ，
∴点 D 的坐标为 − 2,−2 2 ；
（2）设直线? = − 3? + 6上任一点?，
根据关联角的定义，点?关于⊙ ?的关联角度?满足sin? = ?
??
2
= ??，
要使?最大，则sin?最大，此时??最小，
当??垂直于直线? = − 3? + 6时，??最小，最小值为点?到直线的距离?，
2
∴sin?的最大值为?，
∵45° ≤ ? < 90°，
22
∴sin45° ≤ sin? < sin90°，即 2 ≤ ? < 1，
解得2 < ? ≤ 2 2，
设直线? = − 3? + 6分别交?,?轴于点?,?，如下图，
对于直线? = − 3? + 6，当? = 0时，? = 6，
当? = 0时，可得0 = − 3? + 6，解得? = 2 3，
∴?(0,6)，? 2 3,0 ，
∴?? = 6,?? = 2 3，
∵?? ⊥ ??，
∴tan∠??? =
??
??
= 6 = 3，
2 3
∴∠??? = 60°，
当点?在点?右侧时，如图，
此时∠??? = ∠??? = 60°，?? = ?−2 3，
则?? = ?? × sin∠??? = (?−2 3) × sin60° = (?−2 3) × 3 = 3?−6，
22
即? = 3?−6，可得2 < 3?−6 ≤ 2 2，
22
解得10 3 < ? ≤ 2 3 + 4 6；
33
当点?在点?左侧时，如下图，
此时∠??? = ∠??? = 60°，?? = 2 3−?，
则?? = ?? × sin∠??? = (2 3−?) × sin60° = (2 3−?) × 3 = 6− 3?，
22
3
33
3
综上所述，?的取值范围为2 3−4 6 ≤ ? < 2 3或10 3 < ? ≤ 2 3 + 4 6．
3
3
解得2 3−4 6 ≤ ? < 2 3．
2
2
即? = 6− 3?，可得2 < 6− 3? ≤ 2 2，
已知??是 ⊙ ?的直径，??，??是 ⊙ ?的弦．
如图①，若 E 为??的中点，∠??? = 70°，求∠???和∠???的大小；
如图②，若??是 ⊙ ?的直径，过点 D 作⊙ ?的切线交??延长线于点 C，连接??．?? = ??，?? = 2
3，求??的长．
【答案】(1)∠??? = 20°，∠??? = 115°
(2)2 21
【分析】（1）根据直径所对圆周角为直角和圆周角定理得到∠??? = ∠?，再根据 E 为??的中点，得到
∠??? = ∠??? = ∠??? = 45°，即可求解；
1
2
（2）根据切线的性质结合圆周角定理推出∠??? + ∠??? = 3∠??? = 90°，求出∠??? = 30°，利用含 30
度角直角三角形的特征得到?? = 2 3，?? = 4 3，利用勾股定理求出?? =??2−??2 = 6，再利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接??，
∵??是 ⊙ ?的直径，
∴∠??? = 90°，
在Rt △ ???中，∠??? = 70°，
∴∠? = 90°−70° = 20°，
∵∠???与∠?都是??所对的圆周角，
∴∠??? = ∠? = 20°，
∵E 为??的中点，
∴?? = ??，
∴∠??? = ∠???，
∵??是 ⊙ ?的直径，
∴∠??? = 90°，
∴∠??? =
180°−90°
2
= 45°，
∴∠??? = ∠??? + ∠??? = 70° + 45° = 115°．
解：∵??是 ⊙ ?的切线，??是直径，
∴?? ⊥ ??，即∠??? = 90°，
∵?? = ??，
∴∠??? = ∠?，
∵?? = ??，
∴∠??? = 2∠?，
∴∠??? = 2∠???，
∴∠??? + ∠??? = 3∠??? = 90°，
∴∠??? = 30°，
在Rt △ ???中，∠??? = 30°，
∴?? =
??，
1
2
∵?? = ??，
∴?? =
1??，
2
∴?? = ?? = 2 3，
∴?? = 2 3，?? = 4 3，
在Rt △ ???中，?? =??2−??2 = 6，
∵?? = 2?? = 4 3，∠??? = 90°，
在Rt △ ???中，?? =??2 + ??2 = 2 21．
已知： △ ???内接于 ⊙ ?，∠? = 90°，点 D 在圆上，弧?? = 弧??，连接??，
(1)如图①，求证：?? = 2??
如图②，点 E 在??上，点 G 在??延长线上，连接??，??，作?? ⊥ ??，∠??? = 3∠???，
∠??? = ∠???，求证：∠??? = ∠???；
169
如图③，在②的条件下，作?? ⊥ ??交??延长线于点 F，连接??，四边形????的面积为 4 ，?? = 3
5，求??的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)?? = 39
5
【分析】（1）连接??，根据题意得?? = ??，∠? = 90°，再利用勾股定理求解即可求证结论；
（2）设∠??? = ?，根据题意证?? = ??，再结合?? ⊥ ??即可求证结论；
（3）作?? ⊥ ??交??延长线于点 M，作?? ⊥ ??于点 N，证△ ???≌ △ ???(AAS)，得?? = ??，四边形
????为矩形，根据 ∵ ?四边形???? = ?△??? + ?△???，求出?? = 13，设??交 ⊙ ?于点K，在??上截取?? = ??，根据角的关系求得?? = ??，设?? = ?? = ?，根据??2 = ??2−??2 = ??2−??2列方程求解得?? = 4，
?? = 3，?? = 5，
sin∠??? = ?? = 5，求出??可解答．
【详解】（1）证明：连接??
??
3
∵ ∠? = 90°
∴??为 ⊙ ?的直径
∴ ∠? = 90°，
∵ 弧?? = 弧??
∴ ?? = ??
在Rt △ ???中?? =??2 + ??2 =2??2 = 2??
（2）证明：设∠??? = ?
∵ ∠??? = 3∠???，
∴ ∠??? = 3?，
∵ ∠??? = ∠??? + ∠???，
∴ ∠??? = 2?，
∵ ∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = 2?，
∴ ∠??? = ∠???−∠??? = ?，
∵ ∠??? = ∠??? + ∠???，
∴ ∠??? = ?，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ?? = ??，
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = ∠???；
解：作?? ⊥ ??交??延长线于点 M，作?? ⊥ ??于点 N，
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ∠1 = 90°，?? = ?? =
1??，
2
∴ ∠2 + ∠3 = 90°，
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = 90°，
∴ ∠4 + ∠3 = 90°，
∴ ∠2 = ∠4，
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ∠? = 90°，
∴ ∠? = ∠1，tan∠??? =
??
??
= 1，
∴ ∠??? = ∠??? = 45° ，
∴ ?? = ??，
又∵∠1 = ∠?，
∴△ ???≌ △ ???(AAS)
∴ ?? = ??
∴ ?? =
1??，
2
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ∠6 = 90°
∵ ∠5 = ∠6 = ∠? = 90°，
∴ 四边形????为矩形
∴ ?? = ??，
∴ ?? = ?? = ?? + ?? = ?? + ??
∵ ?
四边形????
= ?
△???
+ ?△???，?四边形???? = 169
4
∴ ?△??? + ?△??? =
169
4 ，
1
∴ ?? ⋅ ?? +
2
1
2?? ⋅ ?? =
169
4 ，
∴ 1??(?? + ??) = 169，
24
1169
2
?? ⋅ ?? =
4
1
169
2
?? ⋅ ?? =
4 ，
1
1
169
2
?? ⋅ ?? =
4
∴
∴
∴2
12
∴ 4 ?? =
，
169
4
∴ ?? = 13，
∵ ?? = 3 5，
??
∴ cs∠??? = ??
∴ cs45° = 3 5 = 2，
??2
∴ ?? = 3 10
如图设??交⊙ ?于点 K，在??上截取?? = ??
∵ ??为 ⊙ ?的直径，
∴ ∠??? = 90°，
∴ ?? ⊥ ??，
∴ ?? = ?? ，
∴ ∠7 = ∠??? = 2?，
∴ ∠8 = ∠7−∠??? = ?，
∴ ?? = ??，
设?? = ?? = ?，
∴ ?? = 13−2? = ??，?? = 13−?，??2 = ??2−??2 = ??2−??2
∴ (3 10) −(13−?)2 = (13−2?)2−?2，
2
∴ ? = 4，
∴ ?? = ?? = 4 ，?? = ?? = 13−2? = 5 ，?? =52−42 = 3 ，
∴ sin∠??? = ?? = 5，
??
3
∴sin∠??? = ?? = 5，
??
3
∴ 13 = 5，
??
3
考点四 折叠旋转中解答题压轴
《解题指南》
折叠解答题压轴核心性质
①折叠本质：轴对称、图形全等
②对应边相等、对应角相等；折痕垂直平分对应点连线
③折叠前后角度大小不变、线段长度不变常考题型
角度计算：利用折叠等角+内角和、外角、互余倒角
线段长度计算：设未知边为 x,用折叠等量代换，在直角三角形中勾股定理列方程
图形判定：折叠后判定等腰三角形、直角三角形、平行四边形、菱形
折叠+相似：折叠产生等角，构造 AA 相似，列比例求线段解题通用步骤
标等角、等边，用相同记号标注折叠前后对应边角；
有直角立即锁定 Rt△,设元 x;
用折叠性质把周边线段全部用含 x 式子表示；
勾股定理列方程求解；
检验落点：在边上、顶点、延长线，分类防漏解。
2.旋转解答题压轴核心性质
①旋转本质：旋转全等，图形形状大小不变；②对应边相等、对应角相等；旋转角处处相等；③旋转中心固定，旋转前后对应点到中心距离相等
常考模型
手拉手旋转：共顶点等腰/等边三角形旋转，出全等
90°旋转：正方形、直角三角形旋转，构造垂直与相等线段
60°旋转：等边三角形旋转，构造等边三角形
旋转+相似：旋转等角+公共角，直接证相似常考题型
证明线段相等、线段垂直；
求角度、求线段比值；
旋转后三点共线、位置关系判定；
旋转背景下周长、面积、最值问题。
命题点 01 折叠中解答题压轴
【典例 13】（2026·山东枣庄·一模）综合与实践课上，王老师带领学生们分小组进行折叠矩形纸片的探究活动．
【折叠实践】
第一步：如图（1），将矩形纸片????对折，使边??，??重合，再展开，折痕与??交于点?．
第二步：如图（2），在??上取一点?，沿??折叠矩形????，点?的对应点为?，延长??交??于点?，将纸片沿过点?的直线折叠，使点?的对应点落在??上，折痕与??交于点?．
【初步发现】探究图（2）中??和??的位置关系．
【深入探究】勤学小组的同学们选用了如图（3）所示的矩形纸片，选取的点 E 与点 D 重合，按步骤折
??
叠后发现，点 F，G，M 共线．请你帮他们求出??的值．
(3)【拓展延伸】奋进小组的同学们选用了?? = 4dm，?? = 8dm的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点 E），且第二步折叠中，折痕与??交于点 M，把纸片展开后，连接??（图（4）是奋进小组
的一次折叠样例）．请你解决：当△ ???为直角三角形时，求??的长．
【答案】(1)?? ∥ ??，理由见解析
??
(2)?? = 2
2dm
【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质得出∠??? = ∠???，再根据平行线的判定方法即可得到结论；
（2）连接??，设?? = 2?，?? = 2?，先证明△ ???≌ △ ???，得到
1，再证明
?? = ?? = 2?? = ?
△ ??? ∽△ ???，得到?? = ?? =
1?，根据勾股定理得出? = 2?，即可得到答案；
2
（3）分两种情况：当∠??? = 90°时，得出四边形????是正方形，得出?? = 2dm；当∠??? = 90°时，过点?作?? ⊥ ??于点?，则?? = 4dm，再证明 △ ???≌ △ ???，得到?? = 4dm，?? = 4 2dm，证明
△ ??? ∽△ ???，得到?? = 2dm．
【详解】（1）解：?? ∥ ??，理由如下，
∵ 矩形????，
∴ ?? ∥ ??，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ∠??? =
1∠???，∠??? =
2
1∠???，
2
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ?? ∥ ??；
（2）解：设?? = 2?，?? = 2?，
如图（3），连接??，
∵ ?? = ??,?? = ??，
∴ ?? = ??，
在Rt △ ???和Rt △ ???中，
∠??? = ∠??? = 90°，
?? = ??，
?? = ??，
∴ Rt △ ???≌Rt △ ???(HL)，
∴ ?? = ??，
∵ ?? = ??，
∴ ?? = ?? =
1?? = ?，
2
由（1）知?? ∥ ??，
∴△ ??? ∽△ ???，
????
∴ ?? = ??，
?
∴ ?? =
2?
?
= 2，
∴ ?? = ?? =
1?，
2
1
?? = ??−?? = 2?−2? =
3?，
2
∵ ??2 +??2 = ??2，?? = ?? = 2?，
∴ (2?)2 +
2
1 ?=
2
2
，
3 ?
2
∴ ? = 2?，
??
∴ ??
= 2；
（3）解：当∠??? = 90°时，如备用图（1），
∴ ∠??? = 90°，
∵ ∠? = ∠??? = 90°，?? = ??，
∴ 四边形????是正方形，
∴ ?? = ?? = 2 dm
当∠??? = 90°时，
如图（4），过点?作?? ⊥ ??于点?，
则?? = ?? = 4 dm，
∵ ∠??? = ∠??? = 90°，∠??? = ∠???，?? = ??，
∴△ ???≌ △ ???(AAS)，
∴ ?? = ?? = 4 dm，
∵ ?? = ?? = 2 dm；
∴ ?? = ?? + ?? = 6 dm，
∴?? =??2−??2 =62−22 = 4 2dm
∵ ∠? = ∠??? = 90°，
∠??? = ∠???，
∴△ ??? ∽△ ???，
∴ ?? = ??，
??
??
∴= 2 ，
4
??
4 2
∴ ?? = ?? = 2 dm．
【变式 01】（2025·江苏盐城·三模）综合与实践
综合与实践
背景
打印纸中的数学：我们生活中常见的 A4 纸是由国际标准化组织的ISO216定义的，规格21cm × 29.7cm，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准，
我们通过计算发现A4纸的长、宽之比约为1.414∶1，猜想A4纸的长、宽之比为 2：
1，我们取一张A4纸，记为矩形????，并通过以下几种折纸操作证明这一结论．
操
折叠一：如图 1，?是A4纸??边上一点，将矩形????沿??折叠，使点?的对应点
?′恰好落在??边上，另一张A4纸????的长边恰好与??重合．
【答案】任务 1： 2；任务 2：2 2−2；任务 3： 2
2
作一
操作二
折 叠 二 ：如图 2，?，?分别是A4纸??，??边上一点，先将矩形????沿??折
叠，使点?的对应点?′恰好落在??边上，再继续沿??折叠，使点?的对应点?′ '落在??边上，点?的对应点为点?′，发现此时点?′与点?重合．
操作三
折叠三：如图 3，?，?是A4纸??边上的点，将矩形????沿??折叠，使点?的对
应点?′落在??边上，然后将矩形????展开，再将矩形????沿??折叠，使点?的对应点?′恰好落在??边上，然后将矩形????展开，折痕??与??交于点?．如图 4，将如图 3 的纸片沿??,??折叠，发现??与??重合，??与??重合 ……．
问题解决
任务
1
??
根据折叠一中的图 1，求图 1 中??的值为；
任务
2
根据折叠二中的图 2，若矩形????边长?? = 2，则??长度为 ；
任务
3
??
根据折叠三中的图 4，连接??并延长交??于 F，求??
【分析】本题主要考查矩形的折叠问题、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理等，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质是解题的关键．
任务1：结合矩形的性质、折叠的性质，可知 △ ???是等腰直角三角形，即可得出?? = 2??；设?? = ?? = ?，则?? = 2?，设?? = ?′? = ?，则??′ = ??−?′? = ?−?，利用勾股定理解Rt △ ??′?′，用含 a 的式子表示出 x，即可求解；
任务 2：由折叠的性质得出△ ???是等腰直角三角形，进而可得?? = 2?? = 2??；
任务 3：证明 △ ???是等腰直角三角形，同理可得 △ ???是等腰直角三角形，则 △ ???, △ ???是等腰直角
三角形，设?? = ?，则?? = ?? = 2?，?? = ?? = ?，?? = ?? = ?，分别求得??,??的长，证明
1
?? = 2?? =
1
??，等面积法求得?? =
2
2??⋅??
?? ，进而求比值，即可．
【详解】解：任务 1： ∵ 四边形????是矩形，
∴ ?? = ??，∠? = ∠??? = 90°，
由折叠知
?′1，
∠??? = ∠?? = 2∠??? = 45°
∴ ∠??? = 90°−45° = 45° = ∠???，
∴ ?? = ??，即△ ???是等腰直角三角形，
∴ ?? = 2??，
；
??
∴ ?? = 2
故答案为： 2．
任务 2：同方法一可得?? = 2??，
∵?? = ?? = 2，则?? = 2 2，?? = 2，
由折叠知?? = ?? = 2 2，
∴ ?? = ?? = 2 2，
∴ ?? = ??−?? = 2 2−2，
∴ ?′?′ = ?? = 2 2−2，
设?? = ?′? = ?，则??′ = ??−?′? = 2−?，由折叠知∠?′ = ∠? = 90°，
在Rt △ ??′?′中，?′?2 + ?′?′2 = ??′2，
∴ ?2 + 2 2−2 2 = (2−?)2，
解得? = 2 2−2，
∴ ?? = 2 2−2
故答案为：2 2−2．
任务 3：解： ∵ 纸片沿??,??折叠，发现??与??重合，??与??重合，
∴ ?? = ??，?? = ??，∠??? = ∠? = 90°，
又∵ 矩形????中，?? = ??，
∴ ?? = ??，∠??? = 90°，
∴ △ ???是等腰直角三角形，
∴ ?? =??2 + ??2 = 2?? = 2??，
．
??
∴ ?? = 2
同理可得△ ???是等腰直角三角形，则△ ???, △ ???是等腰直角三角形，
∴?? = ??，
∴?? = ??
又∵?? = ??,∠??? = ∠???
∴ △ ???≌ △ ???
∴?? = ??，
设?? = ?，则?? = ?? = 2?，?? = ?? = ?，?? = ?? = ?
∴?? = 2?，
∴?? = ??−?? = 2?−?
∴?? = 2?? = 2?− 2?，
∴?? = ??−?? = ?− 2?− 2? = 2?−?
在Rt △ ???中，??2 = ??2 +??2 =2?−? 2 + ?2 = 4?2−2 2?2
∵ △ ???是等腰直角三角形，
∴∠??? = ∠??? = 90−45 = 45°
∵折叠，
∴∠??? = ∠??? = 22.5°,∠??? = ∠??? = 22.5°
2
4× 2?−? ?
=
=
= 2 =
??2??⋅??4??⋅??
??24?2−2 2?22
??2
??
∴
2??⋅??
∴?? =??
1
1
1
∵?四边形???? = 2?? ⋅ ?? = 2 × 2?? × ??
1
22
∵?? = ??,?? = ??
∴?? ⊥ ??
1
∴?? = ?? = ??，
又∵∠??? = ∠??? = 22.5°，∠??? = 22.5°
∴∠??? = ∠???
∴?? = ??
∵∠??? = 90°−∠??? = 67.5°,∠??? = 90°−∠??? = 67.5°
∴∠??? = ∠???，
∴?? = ??
1
∴∠??? = ∠??? = 2(180°−45°) = 67.5°
∴∠??? = ∠??? = 90°−∠??? = 22.5°
∵?? = ??，?? = ??，
【变式 02】（2026·江苏南京·模拟预测）折叠正方形纸片．
通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，??是将正方形纸片????折叠后得到的一条折痕，其中点 P，Q分别在边??，??上．
折叠正方形纸片????，使得??，??依次落在直线??上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕??，??（不写作法，保留作图痕迹），其中点 E，F 分别在边??，??上．设??，??的交点为 0，则∠??? = °；
在（1）的条件下，折叠正方形纸片????，使得??落在直线??上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②
中作出折痕??（不写作法，保留作图痕迹），其中点 M，N 分别在边??，??上．设??，??的交点为 G，则点 G 落在正方形纸片????的哪一条对称轴上？请说明理由；
【答案】(1)作图见解析；45
作图见解析；点 G 在边??、??的垂直平分线上；理由见解析；
改变； △ ???的周长的最小值为12cm；?? = 4 5cm
【分析】（1）作∠???，∠???的角平分线即可．根据三角形外角的性质得到∠??? + ∠??? = 270°，再根据角平分线的定义得到∠??? + ∠??? = 135°，即可得到∠??? = 45°；
延长??，??交于 T，作∠???的角平分线即可．证明 △ ???≌ △ ???(AAS)得到点 G 是??的中点即可；
作∠???的角平分线交??于 E，连接??，先根据折叠的性质求出?△???
= ?? + ?? + ?? = ?? + ?? + ??，可知?△???的最小值为24cm，将??向上平移使得 M 与 A 重合，证明△ ??′?≌ △ ?′??′(ASA)，得到?? = ?′?′，即可得到?? = ?? = 4 5．
【详解】（1）解：如图，作∠???，∠???的角平分线即可，
∵∠??? = ∠? + ∠???，∠??? = ∠? + ∠???，
∴∠??? + ∠??? = ∠? + ∠??? + ∠? + ∠??? = ∠? + 180° = 270°，
∵??，??分别是∠???，∠???的角平分线，
∴∠??? + ∠??? = (∠??? + ∠???) = 135°，
1
2
∴∠??? = 180°−∠???−∠??? = 180°−135° = 45°；
（2）解：如图，延长??，??交于 T，作∠???的角平分线即可．
如图③，已知正方形纸片????的边长为8cm．在（2）的条件下，当点 P 为边??的中点时，则随着点 Q位置的改变， △ ???的周长是否会发生改变？如果不变，求出 △ ???的周长；如果改变，求出 △ ???的周长的最小值，并求出此时折痕??的长．
∵?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠???，
∵??平分∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∵??平分∠???，
∴∠??? = ∠???，
∵?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)，
∴ ?? = ??，
∴点 G 是??的中点，
∴点 G 在边??、??的垂直平分线上；
（3）解：如图，作∠???的角平分线交??于 E，连接??，
∵??是折痕，
∴?? = ??且??垂直平分??，
∴?△??? = ?? + ?? + ?? = ?? + ?? + ??，
1
∵??为定值即2?? = 4cm，
∴当 A、M、E 三点共线时，?? + ??最小，最小值即为??的长，
故?△???的最小值为12cm，
此时 E 和 B 重合，将??向上平移使得 M 与 A 重合，如下图：
∵∠??′?′ +∠??′?′ = 90°，∠?′?? + ∠??′?′ = 90°，
∴∠??′?′ = ∠?′??
∵?′? = ?′?，∠??′? = ∠?′??′ = 90°，
∴ △ ??′?≌ △ ?′??′(ASA)，
∴?? = ?′?′，即?? = ??，
∵?? =??2 + ??2 =82 + 42 = 80 = 4 5，
∴?? = 4 5cm．
【变式 03】（2026·广东佛山·一模）【问题情境】
折纸是一种许多人熟悉的活动，在数学活动课上，老师让同学们以“图形的翻折”为主题开展数学活动．
活动一：矩形可折叠
矩形纸片????中，在??边上取一点?沿??翻折，使点?落在矩形内部?′处；再次翻折矩形，使??与??′所在直线重合，点?落在直线??′上的点?′处，折痕为??．翻折后的纸片如图 1 所示．
活动二：折叠可得矩形
如图 2，将△ ??? 纸片沿中位线??折叠，使点?的对称点?落在??边上，再将纸片分别沿等腰 △ ???和等腰△ ??? 的底边上的高线??，??折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形．类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为“叠合矩形”，如图 3 和图 4．
【提出问题】
如图 1，∠???的度数为 ；
如图 1，若?? = 32cm，?? = 24cm，求??的最大值；
▱????纸片还可以按图 4 的方式折叠成一个叠合矩形????，若?? = 9，?? = 12，直接写出??的
长；
【解决问题】
如图 5，一张矩形纸片通过活动一中的翻折方式得到四边形????，其中∠???的一边与矩形纸片的一边重合，∠? = ∠? = 90°，?? = 45cm，?? = 35cm，?? = 30cm，求该矩形纸片较长边的长度．
32
【答案】（1）90°；（2）??的最大值为 3 ；（3）15；（4）矩形纸片较长边的长度为36cm或45cm
【分析】（1）由折叠的性质得出∠??? = ∠?′??，∠??? = ?′??，根据∠??? + ∠?′?? + ∠??? + ∠?′
?? = 180°，即得∠??? = 90°；
??
??
24?
（2）设?? = ?，?? = ?，则?? = ??−?? = 32−?，证明， △ ??? ∽△ ???，得?? = ??，得32−? = ?，得
2
1 1 32
? =?(32−?) = − (?−16) +
32
??
2424
3 ，根据二次函数的性质，即得
的最大值为 3 ；
设点 B 的对应点为 M，点 D 的对应点为 N，如图 4，由矩形性质和勾股定理，得 ?? =??2 + ??2 =
92 + 122 = 15,证明△ ???≌ △ ???(AAS)，得?? = ??，由?? = ??， ?? = ??，即得?? = ?? = 15；
分??和∠?为矩形的边和角，??和∠?为矩形的边和角，两种情况计算矩形的边，比较得出矩形的较长边．
【详解】解：（1）如图 1，
由题意得：∠??? = ∠?′??，∠??? = ?′??，
∵ ∠??? + ∠?′?? + ∠??? + ∠?′?? = 180°，
∴ 2(∠?′?? + ∠?′??) = 180°，
∴ ∠?′?? + ∠?′?? = 90°，
∴ ∠??? = 90°；
如图 1，
设?? = ?，?? = ?，则?? = ??−?? = 32−?，
由（1）知∠??? = 90°，
∴ ∠??? + ∠??? = 90°，
∵ 四边形????为矩形，
∴ ∠? = ∠? = 90°，
∴ ∠??? + ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ∠? = ∠? = 90°，
∴△ ??? ∽△ ???，
????
∴ ?? = ??，
24?
∴ 32−? = ?，
2
1 1 32
∴ ? =?(32−?) = − (?−16) +
24243 ，
1
∵ −24
< 0，
32
∴ 当? = 16时，?有最大值为 3 ，
32
∴ ??的最大值为 3 ；
解：设点 B 的对应点为 M，点 D 的对应点为 N，如图 4，
∵矩形????中，?? = 9，?? = 12，∠??? = 90°，
∴?? =??2 + ??2 =92 + 122 = 15,
∵?? = ??，?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠???，
由折叠的性质得：∠? = ∠???，∠? = ∠???，
∵▱????中，∠? = ∠?，
∴∠??? = ∠???，
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)，
∴?? = ??，
∵?? = ??，
∴?? = ??，
∵?? = ??，?? + ?? = ??，?? + ?? = ??，
∴?? = ?? = 15；
作出原矩形????，连接??，如图 5①，
∵ ?? = 35cm，?? = 30cm，∠??? = 90°，
∴ ?? =??2 + ??2 = 1225 + 900 = 2125cm，
∴ ?? =??2−??2 = 2125−2025 = 10cm，
∵ 四边形????为矩形，
∴ ?? = ??，?? = ?? = 45cm．
设?? = ?? = ?cm，则?? = (?−10)cm，设?? = ?cm，则?? = (45−?)cm．
∵ ∠??? = 90°，
∴ ∠??? + ∠??? = 90°．
∵ ∠? = 90°，
∴ ∠??? + ∠??? = 90°．
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ∠? = ∠? = 90°，
∴△ ??? ∽△ ???．
??????
∴ ?? = ?? = ??，
??35
∴ 45−? = ?−10 = 30，
? = 28
∴? = 21 ，
∴ ?? = 28cm，
∵ ?? < ??，
矩形纸片较长边的长度为45cm；
当??为矩形的一边时，作出原矩形，如图 5②，
设?? = ?cm，则?? = (30 + ?)cm，设?? = ?cm，
∵ 四边形????为矩形，
∴ ?? = ?? = 35cm，?? = ?? = (30 + ?)cm，?? = (35−?)cm，
∵ ∠??? = 90°，
∴ ∠??? + ∠??? = 90°．
∵ ∠? = 90°，
∴ ∠??? + ∠??? = 90°．
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ∠? = ∠? = 90°，
∴△ ??? ∽△ ???．
??????
∴ ?? = ?? = ??，
30+?35−?45
∴?=?= 10，
? = 6
∴? = 8 ，
∴ ?? = 30 + 6 = 36cm．
∵ ?? > ??，
∴ 矩形纸片较长边的长度为36cm；
综上所述，矩形纸片较长边的长度为36cm或45cm．
【点睛】本题考查折叠的性质，平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理；本题属于四边形综合题目，主要考查了折叠的性质、正方形的性质、矩形的性质、平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、梯形面积的计算、解方程等知识的综合运用；折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
命题点 02 旋转中解答题压轴
【典例 14】（2026·湖南株洲·一模）在平面内，先将一个多边形以点 0 为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为 k，并且原多边形上的任一点 P，它的对应点?′在线段??或其延长线上；接
着将所得多边形以点 0 为旋转中心，逆时针旋转一个角度?，记为?(?,?)，如果是顺时针旋转一个角度?，则?记为负值，这种经过位似和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，其中点 0 叫做旋转相似中心，k 叫做相似比，?叫做旋转角．
填空：
①如图 1，将△ ???以点 A 为旋转相似中心，放大为原来的 2 倍，再逆时针旋转60°，得到△ ???，这个旋转相似变换记为 A（，）；
②如图 2， △ ???是边长为2cm的等边三角形，∠??? = 60°，将它作旋转相似变换?2,90°，得到
△ ???，则线段??的长为cm．
如图 3， △ ???经过?(?1,?)得到 △ ???，又将 △ ???经过?(?2,−?)得到 △ ???，连接??,??，求证：
?? = ??．
【答案】(1)①2，60°；②2 3
(2)见解析
【分析】（1）①直接根据定义作答即可；②根据旋转相似变换?2,90° ，得到∠??? = 90°，再通过勾股
定理解答即可；
????
（2）根据 △ ???经过?(?1,?)得到 △ ???，得到 △ ??? ∽△ ???，得到∠??? = ∠???，?? = ??；根据 △ ???
??
??
??
??
经过?(?2,−?)得到△ ???，得到△ ??? ∽△ ???，得到?? = ??从而得到?? = ??；由∠??? = ∠???得
??
??
??
??
∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠???即∠??? = ∠???结合?? = ??得到△ ??? ∽△ ???得到?? = ??，继而得到
????
?? = ??得到?? = ??．
【详解】（1）解：①根据新定义的意义，得答案为?(2,60°)；
②根据旋转相似变换?2,90° ，得到∠??? = 90°，?? = 2??，
∵△ ???是边长为2cm的等边三角形，
∴ ?? = 2，?? = 2?? = 2 2，
∴ ?? =??2 + ??2 = 2 3(cm)．
证明：∵ △ ???经过?(?1,?)得到 △ ???，
∴ △ ??? ∽△ ???．
????
∴∠??? = ∠???，?? = ??；
∵ △ ???经过?(?2,−?)得到 △ ???，
∴ △ ??? ∽△ ???．
∴?? = ??
????
∴?? = ??
??
??；
∵∠??? = ∠???，
∴∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠???即∠??? = ∠???，
∵?? = ??，
??
??
∴ △ ??? ∽△ ???．
∴?? = ??．
??
??
∴?? = ??
??
??．
∴?? = ??．
【变式 01】（2026·山西晋中·一模）综合与探究：
【问题情境】如图，四边形????是菱形，对角线??、??相交于点?．将 △ ???绕点?按逆时针方向旋转得
到△ ??′?′，?，?两点旋转后的对应点分别为?′，?′，旋转角为?(0 < ? < 180°)．
【操作验证】如图 1，当点?′落在对角线??上时，连接??′，求证： △ ???′是等边三角形．
【猜想探究】如图 2，在旋转过程中，?′?′ ∥ ??时，?′?′交??于点?，试判断四边形????′的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)四边形????′为菱形，见解析
(3) 209
3
【分析】（1）结合菱形的性质，得?? ⊥ ??,?? = ??，运用旋转的性质得??′ = ?′? = ??，故 △ ???′是
等边三角形；
（2）根据四边形????是菱形，得∠??? = ∠???，由旋转的性质得?? = ??′,∠?′ = ∠???，再证明四边形
????′为平行四边形，又因为?? = ??′，故四边形????′为菱形，
（3）运用菱形的性质以及旋转的性质得??垂直平分线段??′，然后结合勾股定理列式得9−?2 = 22−(3−?)2，解得?，即可求得??，然后在Rt △ ???′中，运用勾股定理 列式计算，得??′．
【详解】（1）解：∵四边形????是菱形，
∴?? ⊥ ??,?? = ??，
∴??′ = ?′?，
∵旋转，
∴??′ = ??，
∴??′ = ?′? = ??，
∴ △ ???′是等边三角形；
（2）解：四边形????′为菱形，理由如下：
∵四边形????是菱形，
【拓展延伸】如图 3，在旋转过程中，当??′与??重合时，连接??′．若?? = 3，?? = 2，请你直接写出线段??′的长．
∴?? = ??,?? ⊥ ??，
∴∠??? = ∠???，
由旋转的性质得?? = ??′,∠?′ = ∠???，
∴∠?′ = ∠???，
∵?′?′ ∥ ??，
∴∠?′ +∠???′ = 180°，
∴∠??? + ∠???′ = 180°，
∴??′ ∥ ??
∵?′?′ ∥ ??
∴四边形????′为平行四边形，
∵?? = ??′
∴四边形????′为菱形；
解：连接?′?交??于点?，
由题意知?? = ??′，?? = ??′，
∴??垂直平分线段??′，
∴?? = ?′?，∠??? = 90°，
∴∠??? + ∠??? = 90°,
由菱形知，?? ∥ ??,?? = ?? = 3，
∴∠??? = ∠???，
∴∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠???′ = 90°，
设?? = ?，则?? = 3−?，
在Rt △ ???中，??2 = ??2−??2 = 32−?2 = 9−?2，在Rt △ ???中，??2 = ??2−??2 = 22−(3−?)2，
即9−?2 = 22−(3−?)2，
3
209
=．
2
8 2
3
在Rt △ ???′中，??′ =32 +
3
∴?′? = 2?? = 8 2，
4 2
∴?? = 3 ，
3
32
2
∴??2 = 9− 7=，
9
7
∴?? = 3，
7
解得? = 3，
【变式 02】（2025·河北·模拟预测）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定 一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片???和???中，
?? = ?? = 3，?? = ?? = 4，∠??? = ∠??? = 90°．
【初步感知】
??
如图 1，连接??，??，在纸片???绕点 A 旋转过程中，试探究??的值．
【深入探究】
如图 2，
①尺规作图：作△ ???的中线??，交??于点 M（保留作图痕迹，不写作图过程）；
②在纸片???绕点 A 旋转过程中，当点 D 恰好落在△ ???的中线??的延长线上时，延长??交??于点 F，求??的长．
【拓展延伸】
【答案】（1）5；（2）①见解析；②39；（3）能，直角三角形???的面积为 4 或 16 或 12 或13．
【分析】（1）证明△ ??? ∽△ ???即可求解；
3
70
48
（2）①按照作线段垂直平分线的方法作图即可；
在纸片???绕点 A 旋转过程中，试探究 C，D，E 三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形???的面积，若不能，请说明理由．
②连接??，过点 A 作?? ⊥ ??于点 N，过点 E 作?? ⊥ ??于点 G；由△ ??? ∽△ ???可求得??的长，再由
（1）可求得?? = 6，由等腰三角形的性质得?? = 3，由勾股定理求得?? = 4，利用面积相等求得??；利
??5
用面积相等求得?? = 8，设?? = 5?，则?? = 8?，在 △ ???中利用勾股定理建立方程可求得 x 的值，从而
求得??的长；
（3）分四种情况考虑，利用相似三角形的判定与性质等知识即可求解．
【详解】解：（1）由勾股定理得：?? = ?? =??2 + ??2 = 9 + 16 = 5，
由旋转知：∠??? = ∠???，
∵?? = ?? = 5，
????3
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ?? = 3；
????5
①中线??作图如下：
②如图，连接??，过点 A 作?? ⊥ ??于点 N，过点 E 作?? ⊥ ??于点 G；
∵??为直角三角形斜边上的中线，
15
∴?? = ?? = 2?? = 2，
∴∠??? = ∠???，
由旋转知?? = ??，
∴∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??，
??
??
∴?? = ??2 = 18
??5 ，
??3
由（1）知，?? = 5，
∴?? =
5?? = 6，
3
由旋转知?? = ??，
∵?? ⊥ ??，
∴?? =
1?? = 3，
2
由勾股定理得?? =??2−??2 = 4，
11
∵?△??? = 2?? ⋅ ?? = 2?? ⋅ ??
∴?? =
??⋅??
?? =
6×424
5 = 5 ；
11
∵?△??? = 2?? ⋅ ?? = 2?? ⋅ ??，
∴?? = ?? = 5，
????8
设?? = 5?，则?? = 8?，
∴?? = ??−?? = 8?−4，
在△ ???中，由勾股定理得：??2−??2 = ??2，即(5?)2−(8?−4)2 = 32，
解得：?1 = 25
? = 1，
25
当? =
39，
2
125
12570
39时，?? = 39 ，则?? = ??−?? = 5− 39 = 39；
当? = 1时，?? = 5，则?? = ??−?? = 0，不合题意；
70
∴??的长为39；
解：C，D，E 三点能构成直角三角形；
如图，当??、??重合时，此时?? ⊥ ??，则△ ???是直角三角形，
∵?? = ??−?? = 5−3 = 2，
11
∴?△??? = 2?? ⋅ ?? = 2 × 2 × 4 = 4；
如图，当??在??的延长线上时，此时?? ⊥ ??，则△ ???是直角三角形，
∵?? = ?? + ?? = 5 + 3 = 8，
11
∴?△??? = 2?? ⋅ ?? = 2 × 8 × 4 = 16；
如图，当?? ⊥ ??，则△ ???是直角三角形，
过点 A 作?? ⊥ ??于点 Q，
∵?? = ?? = 5，
∴?? = ?? =
1??，
2
∵?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
∴四边形????是矩形，
∴?? = ?? = 3，
∴?? = 2?? = 6，
11
∴?△??? = 2?? ⋅ ?? = 2 × 6 × 4 = 12；
如图，当?? ⊥ ??时，则△ ???是直角三角形，
过点 A 作?? ⊥ ??于点 Q，交??于点 N，
设?? = 2?，
1
∴?? = ?? = 2?? = ?，??∥??，
∴?? = ?? = 1，
????
∴?? = ?? =
1?? = 2，?? =
2
1??，
2
∵∠??? = ∠???，∠??? = ∠??? = 90°，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ?? = 2，
????3
∴?? =
2
3?? =
2?，
3
∴?? = 2?? =
4?，
3
在Rt △ ???中，由勾股定理得：??2 = ??2 +??2，
即42 =
4 ?
3
2
+ (2?)2，
13，
解得：?2 = 36
1
∴?
144?2
43648
△??? = 2?? ⋅ ?? = 2 × 2? × 3? = 3= 3 × 13 = 13；
48
综上，直角三角形???的面积为 4 或 16 或 12 或13．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理的判定和应用，三角形全 等的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线定理是解题的关键．
【变式 03】（2025·湖南娄底·三模）综合与实践问题情境：
在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动，如图①，在四边形????中．?? = ?? = 3,?? = ?? = 4．
∠? = ∠? = 90°，如图②，保持△ ???不动，将 △ ???沿着??方向向下平移，使得点?与??边的中点?′重
合，得到△ ?′??′．操作发现：
连接??，试猜想??和??′的数量关系，并说明理由；
如图③，在图②的基础上，再将△ ?′??′以点?′为旋转中心，按顺时针方向旋转一定角度，使点?′,?,
?′在同一条直线上（?在?′,?′中间），连接??．试判断四边形??′??的形状，并证明你的结论；实践探究：
如图④，在图②的基础上，按（2）中的旋转方式继续旋转△ ?′??′．当?′?第一次恰好与??垂直时
停止旋转，设?′?与??交于点?，?′?′与??交于点?，延长??交?′?于点?，连接?′?交??于点?，求线段
?′?的长．
证明如下：
5
′
∴ ?? = 2，
∴ ?为?′?′的中点，
又∵△ ?′??′为直角三角形，
∴ ?? = ??′．
（2）证明：四边形??′??为平行四边形，
由平移的性质，得??′ = ??′，
2
∴ ??′ = ?′? = 5，
∵ ?′是??的中点，根据勾股定理，得?? =??2 + ??2 = 5，
【详解】解：（1）?? = ??′理由如下：如解图，
4
?′?
（3）证明?′?是△ ???的中位线，tan∠??′? = ?? = 3，后利用正切函数，勾股定理解答即可．
【分析】（1）根据平移的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可；
（2）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可．
2
【答案】（1）?? = ??′，见解析；（2）四边形??′??为平行四边形，见解析；（3）3 5
由旋转的性质，得?′? = ??，
在Rt △ ???中，
∵ ?′是??的中点，
∴ ??′ = ?′?，
∴ ∠? = ∠???′．
由题图①得△ ???≌ △ ???(SSS)，
∴ ∠??? = ∠???，
根据旋转的性质，可得∠??? = ∠??′?，
∴ ∠???′ = ∠??′?，
∴ ?? ∥ ?′?，
∵ ?′? = ??，
∴ 四边形??′??是平行四边形；
（3）解： ∵ ?′? ⊥ ??，
∴ ∠??′? = 90°，
∴ ∠?′?? + ∠? = 90°．
∵ ∠?′?? = ∠???,∠??′? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠?．
∵ ∠? = ∠?′，
∴ ?′?′ ∥ ??，
′′??′??
∴ ∠??? = ∠??? = 90°,∠?? ? = ∠?,=，
?′???
∵ ?′为??的中点，
∴ ?′?是△ ???的中位线，
∴ ?′
? =
1
?? = 2,?? =
2
13
2?? = 2，
∴ tan∠??′? = ?? = 3，
?′?4
∵ ∠? = ∠??′? = 90°，
∴ ?′? ∥ ?′?．
∴ ∠??? = ∠?，
′?′?3
∴ tan∠??? = tan? = tan∠?? ? = ?′? = 4．
由（1）知，?′? = 5，
2
则?
′
? = ? ? ⋅ tan? = × = 8 ，
′
5
3
15
24
∴ ?? = ?′?−?′? = 3−15 = 9，
8
8
∵ tan∠??? = ??，
9
??
∴ ?? =
??
tan∠???
= 8 = ，
3
32
4
在Rt △ ?′??中，由勾股定理得，?′? =?′?2 + ??2 = 3 5．
2
【点睛】本题考查了平移的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形，三角函数的应用，
勾股定理，熟练掌握性质和三角函数，和勾股定理是解题的关键．
中考预测题
数学活动课上，老师为同学们提供了若干大小不同的矩形纸片、其中边??长均为4dm．同学们以折叠矩形纸片展开数学探究活动．
【动手操作】步骤如下：
第一步：如图①，将矩形纸片????对折、使边??,??重合，展开后折痕与??交于点 F．
第二步：如图②，在??上取一点 E，沿??折叠矩形????，点 A 的对应点为 G．延长??交??于点 H，将纸片沿过点 H 的直线折叠．使点 C 的对应点落在??所在直线上，折痕与??交于点 M．
(1)求证：?? = ??．
【初步感知】
A 小组的同学们选用了如图③所示的矩形纸片．在按上述步骤折叠的过程中发现，当点 E 与点 D 重合时，此时点 F、G、M 三点在一条直线上．
(2)求??的长．
【应用创新】
(3)如图④，B 小组的同学们选用了?? = 2dm的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点 E），
且第二步折叠中，过点 H 的折痕与??交于点 M，把纸片展开后，连接??．当 △ ???为直角三角形时，则
??的长为．
【答案】(1)见解析
(2)4 2
(3)2 2dm或 6dm
【分析】（1）连接??，根据折叠的性质得到?? = ?? = ??，再证明Rt △ ???≌Rt △ ???(HL)即可；
（2）证明△ ???≌ △ ???，则?? = ?? = ?? = 2，再对Rt △ ???运用勾股定理求解即可；
（3）当∠??? = 90°时，可得四边形????是矩形，则?? = ?? = 2dm，然后可得 △ ???为等腰直角三角形，则?? =??2 + ??2 = 2 2dm；当∠??? = 90°时，连接??，过点?作?? ⊥ ??于点?，先得到?,?,?
三点共线，求出?? = ?? + ?? = 1 + 2 = 3，则?? =??2−??2 = 2 2 = ??，再证明
△ ??? ∽△ ???，设?? = ?，则?? = 2 2−?，根据相似三角形的性质求解? = 2，最后由勾股定理求解得到?? =??2 + ??2 = 6．
【详解】（1）证明：连接??，如图②：
由第一次折叠可得，?? = ??，
∵四边形????是矩形，
∴∠? = ∠? = 90°
由第二次折叠可得，?? = ??,∠? = ∠??? = 90°
∴∠??? = 180°−∠??? = 90° = ∠?，?? = ??
∵?? = ??，
∴Rt △ ???≌Rt △ ???(HL)，
∴?? = ??；
（2）解：连接??，如图③：
由②得，∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠??? = 90°
∵矩形????，
∴∠? = 90°，?? = ?? = 4，?? = ??
∴∠??? = ∠? = 90°
由折叠可得，∠??? = ∠???
∵?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)
∴?? = ??，
由（1）得，Rt △ ???≌Rt △ ???
∴?? = ??
1
∴?? = ?? = 2?? = 2
∴?? = 2，
由折叠可得，?? = ?? = 4
∴?? = ?? + ?? = 6，
∴?? =??2−??2 = 4 2，
∴?? = 4 2；
（3）解：当∠??? = 90°时，
∴∠??? = 180°−∠??? = 90°
∵矩形????，
∴∠? = ∠? = 90°
∴∠? = ∠? = ∠??? = 90°
∴四边形????是矩形，
∴?? = ?? = 2dm，∠??? = 90°
∴∠??? = 90°，
由折叠可得，??平分∠???
∴∠??? = 45°，
∴ △ ???为等腰直角三角形，
∴?? =??2 + ??2 = 2 2dm；
当∠??? = 90°时，连接??，过点?作?? ⊥ ??于点?，
则∠??? = ∠??? = 90°，
∵折叠，
∴∠??? = ∠???，∠? = ∠??? = 90°
∴∠??? + ∠??? = 180°，
∴?,?,?三点共线，
∵?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)，
∴?? = ??，
同上可证明四边形????为矩形，
∴?? = ?? = 2，?? = ??
∴?? = 2，
由折叠可得，?? = ??，
由（1）得，Rt △ ???≌Rt △ ???
∴?? = ??，
1
∴?? = ?? = ?? = 2?? = 1
∴?? = ?? + ?? = 1 + 2 = 3
∴?? =??2−??2 = 2 2 = ??，
∵Rt △ ???≌Rt △ ???
∴∠??? = ∠???，
∵∠??? = ∠???，
又∵∠??? + ∠??? + ∠??? + ∠??? = 180°
∴∠??? = 2(∠??? + ∠???) = 90°
∵∠? = ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠??? = 90°−∠???
∴ △ ??? ∽△ ???
∴?? = ??，
??
??
设?? = ?，则?? = 2 2−?
∴1 = 2 2−?，
?
2
解得? = 2
∴?? =??2 + ??2 = 6，
综上：当△ ???为直角三角形时，则??的长为2 2dm或 6dm．
【情境】
在纸片折叠的过程中，我们可以发现很多有趣的结论，而这些结论均可借助相应的数学知识予以解释．在数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题展开探究性数学实践活动．每位同学选取相同的矩形纸片????，其中?? = 15，?? = 8．
【操作】
如图 1，对折矩形纸片????，使点?与点?重合，展开纸片，产生折痕??；再过点?所在直线折叠纸片，使点?落在折痕??上的点?处，连接??,??．
①??的长为；
②求∠???的度数；
如图 2，沿过点?的直线折叠矩形纸片????，使点?落在??边上的点?处，折痕交??边于点?，请在图 2
中利用尺规作图作出折痕??（保留作图痕迹，不写作法）；
【应用】
沿过点?的直线折叠矩形纸片????，折痕为??，交??边于点?．若点?落在?′处，当??′的长度最小时，求??的长；
【拓展】
如图 3，若点?在??边上，且?? = 6．将矩形纸片????沿??折叠，使??恰好落在直线??上，点 A，D
的对应点分别为点?′，?′，嘉琪认为??′所在的直线恰好经过点?，请通过计算判断嘉琪的说法是否正确．
【答案】(1)①8；②60°
见解析
4
15
嘉琪的说法不正确．
【分析】（1）①由折叠的性质解答即可；②由折叠的性质得：??垂直平分??，可证明△ ???为等边三角形，即可解答；
先以点 B 为圆心，??长为半径画弧交??于点 F，再作∠???的平分线，即可求解；
（3）根据勾股定理可得?? = 17，由折叠的性质得：?′? = ?? = 15，∠?′?? = ∠???，可得点?′在以 B 为圆心，??长为半径的圆上，连接??′，??′，点 D， ?′，B 三点共线时，??′最小，此时??′ = ??−?′
? = 2，在Rt △ ???′中，根据勾股定理解答即可；
4?′?4
′′′ ′′
（4）求出sin∠??? = 5，可得?? = 5，连接??，由折叠的性质得：?? = ? ?,?? = ? ?,? ?
= ?? = 8，∠?
= ∠? = 90°,∠??′?′ = ∠??? = 90°，再求出?′? = ?? = 4，?? = 5，再由勾股定理可得?′? = 3，从而得
到?′? = 5，再由sin∠?′?? = sin∠??? = ?? = 3，可得?? = 25
?′? = ?? = 20
′?′?
从而得到
tan∠? ?? =
??5
3 ，3 ，
?′?
4
= 3，tan∠??? = ?? =
??
24
?′
25，可得∠??? ≠ ∠??，即可解答．
【详解】（1）解：①∵四边形????是矩形，?? = 8，
∴?? = ?? = 8，
由折叠的性质得：?? = ?? = 8；
②由折叠的性质得：??垂直平分??，
∴?? = ??，
∵?? = ??，
∴?? = ?? = ??，
∴ △ ???为等边三角形，
∴∠??? = 60°；
解：如图，??即为所求；
解：∵四边形????是矩形，
∴∠??? = 90°，
∴?? =??2 + ??2 = 17，
由折叠的性质得：?′? = ?? = 15，∠?′?? = ∠???，
∴点?′在以 B 为圆心，??长为半径的圆上，如图，连接??′，??′，
∴点 D， ?′，B 三点共线时，??′最小，此时??′ = ??−?′? = 2，在Rt △ ???′中，??′2 +??′2 = ??2，
∴??2 + 22 = (8−??)2，
15
解得：?? = 4 ；
解：∵四边形????是矩形，
∴∠? = ∠??? = ∠??? = ∠? = 90°，?? = ?? = 15,?? = ?? = 8，
∵?? = 6，
∴?? = 9，?? =??2 + ??2 = 10，
??4
∴sin∠??? = ?? = 5，
∵∠???′ = ∠???，
′4?′?4
∴sin∠???
= sin∠??? = 5，即?? = 5，
如图，连接??，
由折叠的性质得：?? = ?′?,?? = ?′?,?′?′ = ?? = 8，∠?′ = ∠? = 90°,∠??′?′ = ∠??? = 90°，
∴∠??′? = 90°
??4
= ，
，??5
∴?′? = ?? = 4，?? = 5，
∴?′? =??2−?′? = 3
∴??′ = 13，
∴?′? = 13−8 = 5，
∵∠?′?? + ∠?′?? = 90°,∠?′?? + ∠?′?? = 90°，
∴∠?′?? = ∠???，
∴sin∠?′?? = sin∠??? = ?? = 3，
??5
?′?53
∴ ?? = ?? = 5，
25
∴?? = 3 ，
3 ，
∴?′? = ?? = 20
′?′?3
∴tan∠? ?? = ?′? = 4，
，
在Rt △ ???中，tan∠??? = ?? = 8 = 24
??
2525
3
∴tan∠??? ≠ tan∠?′??，即∠??? ≠ ∠?′??，
∴??′所在的直线不经过点?，即嘉琪的说法不正确．
综合与实践．问题情境：
在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动．如图，在△ ???中，
∠??? = 90°,?′为斜边??的中点， △ ?′?′?′≌ △ ???,?′?′与??所在的直线重合，将△ ?′?′?′绕点?′旋转得到△ ?′??．
操作发现：
如图 1，顺时针旋转一定角度，记?′?和?′?分别与??交于点?,?，当?′? ⊥ ??时，猜想??和?′?的数量关系为，并证明你的猜想；
如图 2，继续旋转一定角度，当线段?′?经过点?时，连接??，若∠? = 60°时，试判断四边形??′??的形
状，并证明你的结论；
实践探究：
在整个旋转过程中，当边??在??下方，?? = 6,?? = 8时，设线段?′?与直线??交于点?，直线??交射线??
于点?，连接?′?．
①如图 3，若△ ?′??的直角边?′?恰好与??垂直，请求出?′?的长；
②若△ ?′??的直角边??恰好与??垂直，请直接写出?′?的长．
【答案】(1)?? = ?′?，证明见详解
四边形??′??是菱形，理由见详解
①?′? = 3 5；②?′? = 3 65
4
【分析】（1）根据旋转的性质可知∠?′?? = ∠??′?，再根据“等角对等边”得出答案；
（2）结合已知可得?? = ?′?，再根据旋转的性质及全等三角形的对应角相等可得??∥?′?，可得结论；
①当?′? ⊥ ??时，根据勾股定理，得?? = 10，再根据中点定义得?′
1
? = 2?? = 5
，结合tan∠??? = ??
??
3?′?3
?′
= 4，得tan∠??? = ?′? = 4，即可求出 ?，进而求出??，然后证明??∥??，可知tan∠??? = tan∠??? =
?? = 3，可求??，最后根据?′? =?′?2 + ??2得出答案；
??4
②当?? ⊥ ??时，设?′?交??于点?，可得??∥?′?，再说明△ ?′?? ∽△ ???，结合中点的定义求出??，然
后证明△ ??? ∽△ ?′??
????
=，即可求出??，最后根据勾股定理得出答案．
，可得?′?
【详解】（1）解：?? = ?′?；证明：∵?′? ⊥ ??，
∴ ∠?′?? + ∠?′?? = 90°，
??
∵△ ???≌ △ ?′?′?′，
∴ ∠? = ∠?′ = 90°，∠?′ = ∠?′??，
根据旋转的性质，得∠?′ = ∠? = 90°,∠? = ∠?′，
∴∠? = ∠?′ = ∠?′??，
∴ ∠? + ∠??′? = 90°，
∴ ∠?′?? = ∠??′?，
∴ ?? = ?′?．
解：四边形??′??是菱形．
证明：在Rt △ ???中，∵?′是边??的中点，∠? = 60°，
∴ ??′ = ?′?，
∴ ∠? = ∠???′ = 60°，
∴ △ ???′是等边三角形，
∴?? = ??′，
∵△ ???≌ △ ?′?′?′，
∴ ∠? = ∠?′?′?′，?? = ?′?′，
根据旋转的性质，得∠?′?′?′ = ∠??′?，?′?′ = ?′?，
∴ ∠?′?? = ∠??′?，?? = ?′?，
∴ ??∥?′?，
∴四边形??′??是平行四边形，
∵?? = ??′，
∴平行四边形??′??是菱形；
解：①当?′? ⊥ ??时，
∵ ?? = 6,?? = 8，
根据勾股定理，得?? =62 + 82 = 10．
∵?′是??的中点，
1
∴ ?′? = ?? = 5，
2
在Rt △ ???中，tan∠??? = ?? = 3，
??4
?′?3
∴ tan∠??? = ?′? = 4，
4 ，
∴ ?′? = 15
由旋转的性质得?′? = ?′?′ = ?? = 6，
4
∴ ?? = ?′?−?′? = 9，
∵ ∠??′? = ∠? = 90°，
∴ ?′?∥??，
∴ ∠??? = ∠???，
??3
∴ tan∠??? = tan∠??? = ?? = 4，
9
3
∴ ?? = 4 = 3，
4
∴ ?′? =?′?2 + ??2 =62 + 32 = 3 5．
②当?? ⊥ ??时，如图，设?′?交??于点 I，点 G 与点 C 重合，
∵ ∠? = ∠??′?，
∴ ??∥?′?，
∴△ ?′?? ∽△ ???，
?′??′???
∴ ?? = ?? = ??，
1
∵?′为??的中点，则?′? = ?? = 5，
2
∴ ?′1
1?′
?′1，
? = 2?? = 3,?? = ?? = 2?? = 4,
∴ ?? = ?′?−?′? = 1，
∵ ??∥?′?，
∴ ∠? = ∠?′?? = 90°，
? =
? = 2?? = 5
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = ∠?′?? = 90°，
∵ ∠??? = ∠?′??，
4
4
3 65
3 2
2
6 +=．
2
′ 2
′
∴ ? ? =? ? + ?? =
44
3
1×3
== ，
??⋅? ?
??
即?? =
′
?′???
??
??
∴=，
∴△ ??? ∽△ ?′??，
好题速递
1．（2026·江苏徐州·一模）按要求完成下列问题．
如图①，在 △ ???中，∠??? = 90°，?? ⊥ ??，垂足为?．求证：??2 = ?? ⋅ ??．
已知点?在线段??上．在图②中，用直尺和圆规作出一个 △ ???，使得∠??? = ∠???且∠???是锐角．（保留作图痕迹，简述作图步骤）
如图③，在Rt △ ???中，∠??? = 90°，点?在边??上，?? = 2??，连接??．若线段??上存在点?（包
??
含端点），使得∠??? = ∠???，则??的取值范围是．
【答案】(1)证明见解析
(2)图见解析
(3)?? ≥
2
??2
【分析】（1）利用两角对应相等证明两个直角三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例进行推导证明；
以??为直径作 ⊙ ?，若∠??? = ∠???，则 △ ??? ∽△ ???，可得??2 = ?? ⋅ ??，则点?的运动轨迹为以?为圆心，??长为半径的圆，由∠???为锐角，可知点?在 ⊙ ?外部，据此作图即可；
先通过两角对应相等证明三角形相似，推导出点?的轨迹，再根据点?的运动轨迹和?在线段??上的条
件，找到临界位置计算出??的最小值，从而确定其取值范围．
【详解】（1）证明： ∵ ?? ⊥ ??，
??
∴ ∠??? = ∠??? = 90°，
∵ ∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴ ?? = ??，即??2 = ?? ⋅ ??．
????
解：如图为△ ???．
作??的垂直平分线，交??于点?，以??长为半径作 ⊙ ?；
过点?作??的垂线，交 ⊙ ?于点?；
以点?为圆心，??长为半径作弧，在⊙ ?外部的弧上取一点为?，连接??，??， △ ???即为所求．
解：如图，作△ ???的外接圆，以点?为圆心，??长为半径作圆，两圆交点为?，连接??，??，
∵ ∠??? = ∠???，∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
????
∴ ?? = ??，
∴ ??2 = ?? ⋅ ??，
∵ ??，??为定值，则??也为定值，
∴ 点?的运动轨迹是以点?为圆心，??长为半径的圆，
∵ ∠??? = 90°，且点?在??上，
??2
??
故??的取值范围为?? ≥ 2 ．
2
= 2 ，
6?
3?
?? =
??
∴
设?? = ?，?? = 2?，则?? = 3?，
∵ ??2 = ?? ⋅ ?? = 3?2，
∴ ??2 = 3?2，?? = 3?，
∴ 在Rt △ ???中，??2 = ??2−??2 = 9?2−3?2 = 6?2，
∴ ?? = 6?，
??
当点?与点?重合时，??取得最小值，此时?? = ??，
∵ ?? = 2??，
∴ 点?的运动轨迹为??，
2．（2026·广西贵港·二模）新定义：如图 1，对于平面内的一个四边形????，Y 是??上一点，连接??，
??，存在点 Y，使得?? = ??且?? ⊥ ??，我们称四边形????是“直角等距四边形”，点 Y 是四边形????的
“等垂点”．
【初步探索】
如图 2，矩形????是“直角等距四边形”，P 是它的“等垂点”，则??和??的数量关系是；
【类比探究】
如图 3，四边形????是“直角等距四边形”，Q 是它的“等垂点”，分别过点 J，K 作??的垂线，垂足分别为 M
和 N．
①求证：?? = ??；
②若?? = ?? = ?? = 5，?? = 2，求??的长；
【拓展应用】
【答案】(1)?? = 2??
(2)①见解析；②4
(3)?? = 2 65或 7
50
如图 4，在Rt △ ???中，?? = 16，?? = 20，∠??? = 90°，点 U，V 为Rt △ ???中不在同一边上的两点，且点 U 为所在边的中点，若以 R，U，V，T 为顶点的四边形是“直角等距四边形”，求??的长．
【分析】（1）过点?作?? ⊥ ??，证明△ ???是等腰直角三角形，得到
1，即可得到结论；
?? = 2??
（2）①根据题意证明∠??? = ∠???，即可证明 △ ???≌ △ ???，即可得到结论；
②根据题意证明△ ???、 △ ???为等腰三角形，得到点?为??的中点，求出?? = ?? = 1，根据勾股定理求出?? = 2，再证明故点?为??中点，求出?? = ?? = 2，即可得到答案；
（3）分点?是??中点和点?是??中点两种情况进行讨论即可．
【详解】（1）解：?? = 2??，证明如下：
过点?作?? ⊥ ??，则四边形????是矩形，
∴?? = ??，
∵ 矩形????是“直角等距四边形”，P 是它的“等垂点”，
∴ ?? = ??，?? ⊥ ??，
∴△ ???是等腰直角三角形，
∴ ?? =
1??，
2
∵ 矩形????，
∴ ?? = ??,?? = ??，
∴ ?? = 2??；
解：①证明： ∵ ?? = ??,?? ⊥ ??，
∴ ∠??? + ∠??? = 90°，
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ∠??? + ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠???，
在△ ???和 △ ???中，
∠??? = ∠???
∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴△ ???≌ △ ???，
∴ ?? = ??；
②?? = ?? = ?? = 5，?? = 2，四边形????是“直角等距四边形”，
∴ ?? = ?? = 5，
∴△ ???、 △ ???为等腰三角形，?? ⊥ ??，
∴ 点?为??的中点，
∴ ?? = ?? = 1，
在Rt △ ???中，?? =??2−??2 =( 5)2−12 = 2，
由①知?? = ??，
∴ ?? = ?? = 2，
∵△ ???是等腰三角形，?? ⊥ ??，
故点?为??中点，
∴ ?? = ?? = 2，
∴ ?? = ?? + ?? = 4；
解： ∵ 在Rt △ ???中，?? = 16，?? = 20，
∴ ?? =202−162 = 12，
当点?是??中点，?? = ?? = 6，四边形????是“直角等距四边形”，设点?是四边形????的“等垂点”．
过?作?? ⊥ ??于?，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ?? = ??，
??
??
??
∴?? = ?? = ??，
162012
设?? = 4?,?? = 5?,?? = 3?，
由“等垂点”可得?? = ??，∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠??? = 90°−∠???，、
∵∠? = ∠??? = 90°，
∴△ ???≌ △ ???，
∴ ?? = ?? = 6，?? = ?? = 3?，
50
综上所述，?? = 2 65或 7 ．
解得?? = 8,?? = 6，
由“等垂点”可得?? = ??，∠??? = 90°，同理可得∴△ ???≌ △ ???，
∴ ?? = ??，?? = ?? = 6，
∵?? = ?? + ?? + ??，
∴16 = 6 + ?? + 8，
∴?? = ?? = 2，
∴?? =??2 + ??2 =22 + 162 = 2 65；
12 ，
1620
10??
??
∴==
?? ，
????
????
??
∴==
过?作?? ⊥ ??于?，
∴ △ ??? ∽△ ???，
50
∴?? = 5? = 7 ；
当点?是??中点，?? = ?? = 10，四边形????是“直角等距四边形”，设点?是四边形????的“等垂点”．
10
∴16 = 3? + 6 + 4?，解得? = 7 ，
∵?? = ?? + ?? + ??，
中考闯关
1．（2026·山东济南·一模）【先导问题】
????
如图 1， △ ???中，∠?=60°，∠??? = ∠???，若?? = ??，则∠? = 度；
(2【) 提炼模型】如图 2，在Rt △ ???中，∠? = 90°，∠??? = ∠???，且满足?? ⋅ ?? = ?? ⋅ ??，求证：∠? = 90°；
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴∠? = ∠? = 90°；
??
??
∴?? = ??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴∠? = ∠? = 60°；
（2）解：∵∠??? = ∠???，
∴∠???−∠??? = ∠???−∠???，
∴∠??? = ∠???，
∵?? ⋅ ?? = ?? ⋅ ??，
??
??
∵?? = ??，
【答案】(1)60
见解析
??的最小值为2 5−2
【分析】（1）先证明△ ??? ∽△ ???，进而即可得到答案；
先证明△ ??? ∽△ ???，进而即可得到答案；
分点 C 在 B 的右侧、左侧以及和 B 重合讨论，过点?作?? ⊥ ??，使得?? = 2 2，连接??，通过证明
△ ??? ∽△ ???，可得点?的轨迹为以点?为圆心，以??为半径的圆，从而得 △ ???为等腰直角三角形，进而即可得到答案．
【详解】（1）解：∵∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
(3)【识别模型、应用模型】如图 3，直线??上有一定点?，∠??? = 45°，?? = 2 2，点?为直线??上一点，连接??，∠??? = 90°，且满足?? ⋅ ?? = 8，求??的最小值．
（3）解：当点 C 在店 B 的右侧时，如图，过点?作?? ⊥ ??，使得?? = 2 2，连接??，
∴∠??? = 90° = ∠???，
∵?? ⋅ ?? = 8，?? = 2 2，?? = 2 2，
∴?? ⋅ ?? = ?? ⋅ ??，
∴?? = ??，
??
??
∵∠??? = ∠???，
∴∠???−∠??? = ∠???−∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴∠??? = ∠??? = 45°，
∵?? = 2 2，∠??? = 45°，
∴点?的轨迹为以点?为圆心，以??为半径的圆的一部分，即优弧??，
如图，连接??、??，
∵?? = ??．
∴∠??? = 2∠??? = 90°，
∵?? = ??，
∴ △ ???为等腰直角三角形，
∴∠??? = ∠??? = 45°，?? =
∴?? = ?? = ?? = 2，
??
2
= 2，
∵?? = ?? = 2 2，∠??? = 90°，
∴?? = 4，∠??? = 45°，
∴∠??? = ∠??? + ∠??? = 90°，
∴在Rt △ ???中，?? =??2 + ??2 = 2 5，
∴4 < ?? ≤ 2 5 +2；
当 C 和 B 重合时，D 和 G 重合，此时?? = 4，
当 C 在 B 的左侧时，如图，过点?作?? ⊥ ??，使得?? = 2 2，连接??，
同理可证△ ??? ∽△ ???，
∴∠??? = ∠??? = 180°−∠??? = 135°，
∵?? = 2 2，∠??? = 135°，
∴点?的轨迹为以点?为圆心，以??为半径的圆的一部分，即劣弧??，如图，连接??、??，连接??交 ⊙ ?于点?，
同理可求?? = 2 5，
∴??的最小值为??−?? = 2 5−2，综上，??的最小值为2 5−2．
2．（2026·河北石家庄·一模）如图 1，在Rt △ ???中，∠??? = 90°，∠??? = 60°，?? = 4cm，以??为直径向左侧作半圆 0，交斜边??于点 D．
(1)?? = cm，?? = cm，求图 1 中阴影部分的面积；
如图 2，将半圆 0（包含直径??）沿着射线??方向平移得到半圆?1，直径记作?1?1，当半圆?1和直线??
相切时，求半圆 0 平移的距离；
如图 3，在（2）的条件下将半圆?1绕着点?1逆时针旋转得到半圆?2，直径记作?1?2，设旋转角度为?
（0° ≤ ? ≤ 90°）．
①当点?2到直线 AC 的距离最大时，求?的值；
②如图 4，记半圆?2和直径?1?2构成的封闭图形为 W，斜边??的中点为 M，当点 M 落在封闭图形 W 内（不
包括边界），直接写出?的取值范围．（参考数据：tan41° ≈ 3，cs39° ≈ 21）
26
【答案】(1)4 3，8，4?−3 3(cm2)
2cm
①0°或60° ②10° < ? < 49°
【分析】（1）先求出∠??? = 30°，由含30°角的直角三角形及勾股定理可得出??，??的长；连接??，作?? ⊥ ??
于 E，由?阴影部分 = ?扇形???−?△???即可求图 1 中阴影部分的面积；
作??1 ⊥ ?1?1交?1?1于 F， 由（1）和平移可知?1?1 = ?? = 2 3cm，∠??? = ∠??1?1 = 90°，∠??1
?1 = 30°．则??1 = 2cm，由四边形??1?1?是矩形，可得??1 = ??1 = 2．即半圆 0 平移的距离为2cm．
①在旋转过程中，点?2到直线??的距离先越来越小，再越来越大(当??2 ⊥ ??时，点?2到??的距离最大)，再越来越小．当? = 0°时，过点 C 作?1? ⊥ ??于点 G，连接?1?．可得?? = 1cm，??1 = 3cm．当
??
⊥ ??时，设垂足为 H，则??
== 6cm，∠??? = 60°．可得
1 ?
= 3cm，?1? = 3?? = 3 3
21?? = 2? 1
cm，则?2? = 3cm，此时∠??1?2 = 30°．可得? = 60°．当点?2到直线 AC 的距离最大时，?的值为0°或60°．
②当半圆?2经过点 M 时，过点 M 作?? ⊥ ??于点 N．得出?? = 2cm，?? = 2 3cm．由勾股定理可得?1
? = 2 7cm． 可得tan∠?? ? = ?? = 3，则∠?? ? ≈ 41°．由圆周角定理得∠? ?? = 90°．可得cs∠?
1?1?2112
? ?
21
=，则∠?? ?
≈ 39°．所以? = 90°−41°−39° = 10°．当直径?1?2过点 M 时，
1 261 2
? = 90°−41° = 49°，可得?的取值范围．
【详解】（1）解： ∵ ∠??? = 90°，∠??? = 60°，
∴ ∠??? = 90°−∠??? = 30°．
∵ ?? = 4cm，
∴ ?? = 2?? = 8cm．
∴ ?? =??2−??2 = 4 3cm．
连接??，作?? ⊥ ??于点 E
∵ ??为直径，0 为圆心，
∴ ?? = ?? =
1?? = 2 3cm．
2
∴ ∠??? = ∠??? = 30°．
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = 90°，?? =
1?? = 3cm．
2
∴ ?? = 2?? = 2 ??2−??2 = 6cm．
∵ ∠??? + ∠??? + ∠??? = 180°，
∴ ∠??? = 180°−∠???−∠??? = 120°．
?阴影部分 = ?扇形???−?△???
12021
= 360 ⋅ ? ⋅ (2 3) − 2 × 6 × 3
= 4?−3 3(cm2)．
解：作??1 ⊥ ?1?1交?1?1于点 F，
∴ ∠?1?1? = ∠??1?1 = 90°．
由（1）知?? = 2 3cm，∠??? = 30°．
∵ 半圆 0（包含直径??）沿着射线??方向平移得到半圆?1．
∴ ?1?1 = ?? = 2 3cm，∠??? = ∠??1?1 = 90°，∠??1?1 = 30°．
∵ tan∠?1?1?1
= ??1 = 3，
3
?1?1
1
∴ ?? = 3 × 2 3 = 2(cm)．
3
∵ ∠??? = ∠??1?1 = ∠??1?1 = 90°
∴ 四边形??1?1?是矩形．
∴ ??1 = ??1 = 2cm．
即半圆 0 平移的距离为2cm．
解： 在旋转过程中，点?2到直线??的距离先越来越小，再越来越大(当??2 ⊥ ??时，点?2到??的距离最大)，再越来越小．
当? = 0°时，过点 C 作?1? ⊥ ??于点 G，连接?1?．
由（2）知，四边形??1?1?是矩形．
∴ ?? = 1cm ?1? = 2cm，??1 = ??1 = 2cm，??1 ∥ ??1．
∴ ∠???1 = ∠??? = 60°．
∴ ?? = 1cm，??1 = 3cm．当??2 ⊥ ??时，设垂足为 H
??1 = ?? + ??1 = 4 + 2 = 6(cm)，∠??? = 60°．
?
1
∴ ?? = 2?
1 = 3cm， ?1? = 3?? = 3 3cm
∴ ?2? = ?1?2−?1? = 4 3−3 3 = 3(cm)
此时∠??1?2 = 30°
∴ ? = 90°−30° = 60°
∵ ??1 = ??，
∴ 当点?2到直线 AC 的距离最大时，?的值为0°或60°．
②10° < ? < 49°．
当半圆?2经过点 M 时，过点 M 作?? ⊥ ??于点 N．
在Rt △ ???中，?? = 4cm，∠??? = 60°．
∴ ?? = 2cm，?? = 2 3cm．
在Rt △ ?1??中，?1? = 6−2 = 4(cm)．
∴ ?1? =42 + (2 3)2 = 2 7(cm)．
tan∠?? ? =
??2 3
1
? ?4
=
1
3
= 2
∴ ∠??1? ≈ 41°．
∵ ?1?2为直径，
∴ ∠?1??2 = 90°．
2 7
∴ cs∠??1?2 =
4 3
∴ ∠??1?2 ≈ 39°．
=
21
6
∴ ? = 90°−41°−39° = 10°．
当直径?1?2过点 M 时
? = 90°−41° = 49°
∴ 10° < ? < 49°．
【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形两锐角互余、求扇形的面积、圆的性质、矩形的判定和性质．