中考数学二轮复习专题《几何问题探究》练习(含答案)

中考数学二轮复习专题

《几何问题探究》练习

1.在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是线段BC上一动点(与点B，C不重合)，连结AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M.

(1)若∠PAC＝α，求∠AMQ的大小(用含α的式子表示)；

(2)用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．

2.探究:如图，用钉子把木棒AB、BC和CD分别在端点B、C处连接起来，用橡皮筋把AD连接起来，设橡皮筋AD的长是x，

(1)若AB=5，CD=3，BC=11，试求x的最大值和最小值；

(2)在(1)的条件下要围成一个四边形，你能求出x的取值范围吗?

3.(1)问题发现：如图①，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连结BE.

填空：①∠AEB的度数为        ；②线段AD，BE之间的数量关系为        ；

(2)拓展探究：如图②，△ACB和△DCE均为等

腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连结BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由.

4.【探究】

如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P.

（1）若∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠A=　 　度，∠P=　 　度

（2）∠A与∠P的数量关系为　    　，并说明理由.

【应用】

如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P.∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q.直接写出∠A与∠Q的数量关系为　      　.

5.在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边，当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）．

（1）当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为    三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为    三角形．

（2）猜想，当a2+b2   c2时，△ABC为锐角三角形；

           当a2+b2     c2时，△ABC为钝角三角形．

（3）判断当a=2，b=4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．

6.如图，点C是线段AB上一点，△ACM与△BCN都是等边三角形．

（1）如图①，AN与BM是否相等？证明你的结论；

（2）如图②，AN与CM交于点E，BM与CN交于点F，试探究△ECF的形状，并证明你的结论．

（3）如图①，设AN、BM交点为D,连接CE,求证:DC平分∠ADB.

7.(1)如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，AE⊥BF于点G，求证：AE＝BF；

(2)如图2，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E，F分别在边CD，AD上，AE⊥BF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论；

(3)在(2)的基础上，若AB＝m，BC＝n，其他条件不变，请直接写出AE与BF的数量关系；　   　.

8.操作与研究：

如图，△ABC被平行光线照射，CD⊥AB于D，AB在投影面上.

(1)指出图中AC的投影是什么，CD与BC的投影呢?

(2)探究：当△ABC为直角三角形(∠ACB＝90°)时，易得AC2＝AD·AB，此时有如下结论：直角三角形一直角边的平方等于它在斜边射影与斜边的乘积，这一结论我们称为射影定理.

通过上述结论的推理，请证明以下两个结论：

①BC2＝BD·AB；②CD2＝AD·BD.

9.【问题情境】

如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM.

【探究展示】

（1）证明：AM=AD＋MC；

（2）AM=DE＋BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

【拓展延伸】

 （3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明.

10.定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．

理解：

(1)如图1，点A，B，C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD，CD．

求证：四边形ABCD是等补四边形；

探究：

(2)如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，连接AC，AC是否平分∠BCD？请说明理由．

运用：

(3)如图3，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，CD＝10，AF＝5，求DF的长．

参考答案

1.解：(1) ∠AMQ＝45°＋α.理由如下：

∵∠PAC＝α，△ACB是等腰直角三角形，

∴∠BAC＝∠B＝45°，∠PAB＝45°－α，

又∵QH⊥AP，∠AHM＝90°，

∴∠AMQ＝180°－∠AHM－∠PAB＝45°＋α

(2)线段MB与PQ之间的数量关系：PQ＝MB.理由如下：

连结AQ，过点M做ME⊥QB，

∵AC⊥QP，CQ＝CP,

∴∠QAC＝∠PAC＝α，

∴∠QAM＝α＋45°＝∠AMQ,

∴AP＝AQ＝QM，

在Rt△APC和Rt△QME中，

∴Rt△APC≌Rt△QME(AAS),

∴PC＝ME,

∴△MEB是等腰直角三角形，

∴PQ＝MB，

∴PQ＝MB.

2.解：（1）最大是5+3+11=19；最小是11-3-5=3；

（2）由（1）得橡皮筋长x的取值范围为：3<x<19．

3.解：(1)∵∠ACB＝∠DCE，∠DCB＝∠DCB，

∴∠ACD＝∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE(SAS)，

∴AD＝BE，∠CEB＝∠ADC＝180°－∠CDE＝120°，

∴∠AEB＝∠CEB－∠CED＝60°；

(2)∠AEB＝90°，AE＝BE＋2CM，

理由如下：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，

∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，

∵∠ACD＋∠DCB＝90°＝∠DCB＋∠BCE，

∴∠ACD＝∠BCE，

∴△ACD≌△BCE(SAS)，

∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC.

∵△DCE为等腰直角三角形，

∴∠CDE＝∠CED＝45°，

∵点A，D，E在同一直线上，

∴∠ADC＝135°.

∴∠BEC＝135°，

∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝90°.

∵CD＝CE，CM⊥DE，

∴DM＝ME.

∵∠DCE＝90°，

∴DM＝ME＝CM，

∴AE＝AD＋DE＝BE＋2CM.

4.解：（1）∵∠ABC=50°，∠ACB=80°，

∴∠A=50°，

∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P，

∴∠CBP=∠ABC，∠BCP=∠ACB，

∴∠BCP+∠CBP=（∠ABC+∠ACB）=×130°=65°，

∴∠P=180°﹣65°=115°，故答案为：50，115；

（2）.

证明：∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，

∴，，

∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°∠P+∠PBC+∠PCB=180°，

∴，

∴，∴；

（3）.

理由：∵∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q，

∴∠CBQ=（180°﹣∠ABC）=90°﹣∠ABC，

∠BCQ=（180°﹣∠ACB）=90°﹣∠ACB，

∴△BCQ中，

∠Q=180°﹣（∠CBQ+∠BCQ）=180°﹣（90°﹣∠ABC+90°﹣∠ACB）

=（∠ABC+∠ACB），

又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，

∴∠Q=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A.

5.【解答】解：（1）两直角边分别为6、8时，斜边==10，

∴△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为锐角三角形；

当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为钝角三角形；故答案为：锐角；钝角；

（2）当a2+b2＞c2时，△ABC为锐角三角形；

当a2+b2＜c2时，△ABC为钝角三角形；故答案为：＞；＜；

（3）∵c为最长边，2+4=6，∴4≤c＜6，a2+b2=22+42=20，

①a2+b2＞c2，即c2＜20，0＜c＜2，∴当4≤c＜2时，这个三角形是锐角三角形；

②a2+b2=c2，即c2=20，c=2，∴当c=2时，这个三角形是直角三角形；

③a2+b2＜c2，即c2＞20，c＞2，∴当2＜c＜6时，这个三角形是钝角三角形．

6.（1）∵△ACM与△CBN都是等边三角形，

∴AC=MC，CN=CB，∠ACM=∠BCN=60°．

∴∠MCN=60°，∠ACN=∠MCB，

在△ACN和△MCB中：AC＝MC，∠ACN＝∠MCB，NC＝BC

∴△ACN≌△MCB（SAS）．∴AN=BM．

（2）∵△ACN≌△MCB，∴∠CAE=∠CMB．

在△ACE和△MCF中：∠CAE＝∠CMF，AC＝MC，∠ACE＝∠FCM

∴△ACE≌△MCF（ASA）．∴CE=CF．

∴△CEF的形状是等边三角形．

7.解：(1)证明：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝∠C，AB＝BC.

∵AE⊥BF，

∴∠AMB＝∠BAM＋∠ABM＝90°，

∵∠ABM＋∠CBF＝90°，

∴∠BAM＝∠CBF.

在△ABE和△BCF中，

，

∴△ABE≌△BCF(ASA)，

∴AE＝BF；

(2)解：如图2中，结论：AE＝BF，

理由：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝∠C，

∵AE⊥BF，

∴∠AMB＝∠BAM＋∠ABM＝90°，

∵∠ABM＋∠CBF＝90°，

∴∠BAM＝∠CBF，

∴△ABE∽△BCF，

∴＝＝，

∴AE＝BF.

(3)结论：AE＝BF.

理由：：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝∠C，

∵AE⊥BF，

∴∠AMB＝∠BAM＋∠ABM＝90°，

∵∠ABM＋∠CBF＝90°，

∴∠BAM＝∠CBF，

∴△ABE∽△BCF，

∴＝＝，

∴AE＝BF.

8.解：(1)AC的投影是AD，CD的投影是点D，BC的投影是BD.

(2)证明：易证得△BCD∽△BAC，可得BC2＝BD·AB；

易证得△ACD∽△CBD，

可得CD2＝AD·BD.

9.

四              、综合题

10.解：(1)证明：∵四边形ABCD为圆内接四边形，

∴∠A＋∠C＝180°，∠ABC＋∠ADC＝180°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD，

∴，

∴AD＝CD，

∴四边形ABCD是等补四边形；

(2)AD平分∠BCD，理由如下：

如图2，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF垂直CD的延长线于点F，

则∠AEB＝∠AFD＝90°，

∵四边形ABCD是等补四边形，

∴∠B＋∠ADC＝180°，

又∠ADC＋∠ADF＝180°，

∴∠B＝∠ADF，

∵AB＝AD，

∴△ABE≌△ADF(AAS)，

∴AE＝AF，

∴AC是∠BCF的平分线，即AC平分∠BCD；

(3)如图3，连接AC，

∵四边形ABCD是等补四边形，

∴∠BAD＋∠BCD＝180°，

又∠BAD＋∠EAD＝180°，

∴∠EAD＝∠BCD，

∵AF平分∠EAD，

∴∠FAD＝∠EAD，

由(2)知，AC平分∠BCD，

∴∠FCA＝∠BCD，

∴∠FCA＝∠FAD，

又∠AFC＝∠DFA，

∴△ACF∽△DAF，

∴，即，

∴DF＝5﹣5．