2026年中考数学二轮复习 高频考点08 几何中基础证明24大题型专练

这是一份2026年中考数学二轮复习 高频考点08 几何中基础证明24大题型专练，共7页。试卷主要包含了全等三角形相关证明，相似三角形相关证明，圆中相关证明，特殊四边形的相关证明等内容，欢迎下载使用。
命题探源·考向解密（分析近 3 年中考考向与命题特征）
根基夯实·知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等）
高频考点·妙法指津（4 大命题点+12 道中考预测题，中考必考·（3-12）分）
每个考点中考预测题3 道
好题速递·分层闯关（精选 7 道最新名校模拟试题+5 道中考闯关题）
考点一 全等三角形相关证明
考点二
特殊四边形相关证明
命题 1 全等三角形中基础证明
命题 1 证明四边是平行四边形
命题 2 全等三角形与尺规作图综合
命题 2 证明四边形是矩形
命题 3 利用全等三角形的证明进行求解
命题 3 证明四边形是菱形
命题 4 证明四边形是正方形
命题 5 特殊四边形中综合证明
考点三 相似三角形相关证明
考点四 圆中相关证明
命题 1 利用两角证明两个三角形相似
命题 1 圆中切线的证明
命题 2 利用三边对应成比例证明相似
命题 2 圆中证明线段相等
命题 3 利用两边对应成比例及其夹角相等证明
命题 3 圆中切线的证明
命题 4 相似三角形综合判定
命题 4 圆中证明线段相等
考点
考向
命题特征
全等三角形证明
已知条件，利用 SSS、SAS、ASA、 AAS、HL 证明两个三角形全等；
结合平行线、角平分线、等腰三角形等性质，推导证明全等所需的边、角条件；
全等三角形的判定与性质综合应 用，证明线段相等、角相等、线段平行或垂直；
含公共边、公共角、对顶角的全等三角形模型识别与证明；5. 实际情境中，构造全等三角形解决测量、证明问
题。
中考基础/中档必考点，选择、填空、解答题均有涉及，分值 3~8 分，属必拿分基础题；
侧重考查全等判定定理的灵活应用，渗透转化与建模思想；
常与平行线、等腰三角形、特殊四边形等知识综合考查；
命题难度梯度明显，基础题直接套用判定定理，中档题需通过倒角、作辅助线构造全等关系。
特殊平行四边形证
明
利用定义或判定定理，证明四边形为平行四边形、矩形、菱形、正方形；
结合平行四边形的性质，证明其为
中考中档高频考点，以解答题为主，分值 6~10 分，是几何证明的核心题型；
侧重考查“边、角、对角线”三个维度的判定条
特殊平行四边形（如对角线相等的平行四边形是矩形）；
特殊平行四边形的判定与性质综 合，证明线段相等、垂直、平分，或角相等、互补；
结合三角形中位线、直角三角形斜边中线等性质，推导特殊平行四边形；
含折叠、平移、旋转背景的特殊平
行四边形证明。
件，渗透分类讨论与逻辑推理思想；
常与全等三角形、相似三角形、圆等知识结合，形成综合证明题；
命题形式多样，既有直接判定型，也有动态背景下的存在性证明。
相似三角形证明
利用 AA、SAS、SSS 判定定理，证明两个三角形相似；
结合平行线、射影定理、公共角/对顶角，推导相似三角形的对应边成比例、对应角相等；
相似三角形的判定与性质综合，证明线段成比例、线段乘积式、角相等；
含A 型、X 型、母子型等相似模型的识别与证明；
实际情境中，利用相似三角形解决
测量高度、距离的证明与计算问题。
中考中档 / 偏难核心考点，选择、填空、解答题均有涉及，分值 4~12 分，是几何综合题的基础；
侧重考查相似模型的识别与判定，渗透数形结合、转化与方程思想；
常与平行线、特殊平行四边形、圆、三角函数等知识综合考查；
命题难度跨度大，基础题直接套用判定定理，难题需通过构造相似三角形解决。
圆切线证明
利用切线的判定定理（经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线）证明直线与圆相切；
利用切线的性质定理（切线垂直于过切点的半径），结合其他几何条件证明垂直关系；
结合等腰三角形、直角三角形、相似三角形等性质，推导切线证明所需的垂直条件；4. 证明切线后，利用切线长定理、弦切角定理等解决后续证明或计算问题；
5. 含直径、圆周角、弧中点等背景的
切线证明。
中考中档高频考点，以解答题为主，分值 6~10 分，是圆模块的核心题型；
侧重考查“连半径，证垂直”或“作垂直，证半径” 两种核心证明思路，渗透几何建模与逻辑推理思想；
常与全等三角形、相似三角形、三角函数等知识结合，形成圆综合题；
命题形式固定，难度适中，重点考查辅助线的作法与垂直关系的推导。
考点一 全等三角形相关证明
《解题指南》
一、核心知识点梳理
全等三角形定义
能够完全重合的两个三角形，对应边相等、对应角相等。
五大判定定理(中考必考)
SSS(边边边)：三边对应相等→全等
SAS(边角边)：两边及其夹角对应相等→全等
ASA(角边角)：两角及其夹边对应相等→全等
AAS(角角边)：两角及其中一角对边对应相等→全等
HL(斜边直角边)：仅用于直角三角形，斜边+一条直角边相等→全等易错禁忌：
注意：SSA(边边角)、AAA(角角角)不能判定全等
3.全等三角形性质(证明结论常用)
①对应边相等、对应角相等；②对应中线、高线、角平分线相等；③周长相等、面积相等二、隐含条件秒杀(做题第一步：找隐藏相等)
中考大部分题目不会直接给全条件，优先找这 4 类隐藏条件
公共边：两个三角形共用一条边→边相等
公共角：两个三角形共用一个角→角相等
对顶角：相交直线形成对顶角→角相等
等角/等边推导
①同角的余角相等、同角的补角相等
②线段中点→平分线段→两条线段相等
③角平分线→平分角→两个小角相等
④平行线→内错角相等、同位角相等
命题点 01 全等三角形中基础证明
【典例 1】（2026·浙江绍兴·一模）对于题目“如图 1，已知??,??相交于?，?? = ??，?? = ??，证明：
△ ???≌ △ ???．”小明的解答过程如图 2．请指出小明证明过程中错误步骤的序号，并写出正确证明过程．
【答案】②，证明见解析
【分析】利用“边边边”证明△ ???≌ △ ???，即可．
【详解】解：错误步骤的序号为②．正确证明如下：
由正确步骤①知△ ???≌ △ ???，所以?? = ??，
因为?? = ??，?? = ??．所以?? = ??，
在△ ???和 △ ???中，
?? = ??
因为 ?? = ?? ，
?? = ??
所以△ ???≌ △ ???(SSS)．
【变式 01】（2026·湖南永州·一模）如图，在平行四边形????中，?? ⊥ ??，点 O 是??的中点，过点 O 的直线??分别交??，??的延长线于点 E，F．
(1)求证： △ ???≌ △ ???；
(2)若?? = ?? = 3，?? = 5，求??的长．
【答案】(1)见解析
(2)2 10
【分析】（1）由平行四边形的性质得??∥??，则∠??? = ∠???，由中点的定义得?? = ??，由对顶角相等得∠??? = ∠???，即可由ASA证明 △ ???≌ △ ???；
由勾股定理求出??，由中点的定义得
1，再由勾股定理求出??，由（1）中△ ???≌ △ ???，
?? = 2??
得?? = ??，即可得解．
【详解】（1）证明：∵四边形????是平行四边形，
∴??∥??，
∴∠??? = ∠???，
∵点 O 是??的中点，
∴?? = ??，
在△ ???和 △ ???中，
∠??? = ∠???
?? = ??，
∠??? = ∠???
∴ △ ???≌ △ ???(ASA)；
（2）解：∵?? ⊥ ??，?? = ?? = 3，?? = 5，
∴在Rt △ ???中，?? =??2−??2 =52−32 = 4，
∵点 O 是??的中点，
∴?? =
1?? = 2，
2
在Rt △ ???中，?? = ?? + ?? = 6，?? = 2，
∴?? =??2 + ??2 =22 + 62 = 2 10，
由（1）知△ ???≌ △ ???，
∴?? = ?? = 2 10．
【变式 02】（2026·江苏无锡·二模）如图，在平行四边形????中，延长??到点 E，使得?? = ??，连接??．
(1)求证： △ ???≌ △ ???；
(2)若?? = 8，求??的长．
【答案】(1)见详解
(2)4
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出?? = ??，?? ∥ ??， 即可得∠??? = ∠?， 结合?? = ??，根据“SAS”即可证明；
（2）根据平行四边形的性质得?? = 1??， 根据全等得?? = ?? = 8， 即可解答
2
【详解】（1）证明：∵四边形????是平行四边形，
∴?? = ??，?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠???，
在△ ???和 △ ???中：
?? = ??
∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)；
（2）解：∵??、??交于?， 四边形????是平行四边形，
∴?? = ??，
1
2
由（1）中全等三角形对应边相等，得?? = ??，
∵?? = 8，
∴?? = 8，
∴?? = × 8 = 4．
1
2
【变式 03】（2026·陕西西安·一模）如图，在 △ ???中，?? ⊥ ??于点 D，E 为??边上一点，连接??交??于点 F，且?? = ??，?? = ??．求证：?? = ??．
【答案】见解析
【分析】证明Rt △ ???≌Rt △ ???(HL)，即可证明?? = ??．
【详解】证明：∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = ∠??? = 90°，
在Rt △ ???和Rt △ ???中，
?? = ??
?? = ?? ，
∴Rt △ ???≌Rt △ ???(HL)，
∴?? = ??．
命题点 02 全等三角形与尺规作图综合
【典例 2】（2026·湖北荆州·模拟预测）在Rt △ ???中，∠? = 90∘，作∠???的平分线??交??于点?，再作
??的垂直平分线??，垂足为点?．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线和线段的垂直平分线的作法作图即可；
（2）由??是??的垂直平分线得到?? = ??,∠??? = 90°证明△ ???≌ △ ???，得出?? = ??，得到?? = ??．
【详解】（1）解：如图，即为所求，
（2）证明： ∵ ??垂直平分??，
∴ ?? = ??，∠??? = 90∘，
， ∵ ??平分∠???，∠? = 90∘，
∴ ?? = ??，
?? = ??
在Rt △ ???和Rt △ ???中， ?? = ?? ，
(1)请用尺规作图方法，将图形补充完整；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若点?在??的垂直平分线上，求证：?? = ??．
∴ Rt △ ???≌Rt △ ???(HL)，
∴ ?? = ??，
∴ ?? = ??．
【变式 01】（2026·广东·一模）在正方形网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的三角形称为格点三角形．请按下列要求画出格点三角形．
在图 1 中画一个格点三角形，使该三角形与格点三角形???全等；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据题意，作△ ???关于大正方形对称轴的轴对称图形，即可求解；
（2）先计算△ ???的面积，根据题意，取格点?，连接??,??，即可求解．
【详解】（1）解：答案不唯一，如图所示， △ ???即为所求
（2）解：如图所示△ ???即为所求
在图 2 中画一个格点三角形，使该三角形的一条边与格点三角形???的一条边重合，且面积与 △ ???相等．
∵?? =12 + 22 = 5，?? =22 + 42 = 2 5，?? =32 + 42 = 5
∴??2 +??2 = ??2，
∴ △ ???是直角三角形，
∴?△??? = 2 × 5 × 2 5 = 5
1
∵?? = ?? =12 + 32 = 10
∴??2 +??2 = ??2，
∴ △ ???是直角三角形，
∴?△??? =
1
2
??2 = 5
∴ △ ???的面积与△ ???的面积相等， △ ???即为所求
【变式 02】（2026·广西钦州·一模）如图，在正方形????中，点 E 在边??上，连接??．
(1)尺规作图：作∠??? = ∠???，??交线段??于点 F（要求保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
(2)求证： △ ???≌ △ ???．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可；
（2）首先由正方形的性质得到∠? = ∠? = 90°，?? = ??，然后根据ASA证明 △ ???≌ △ ???即可．
【详解】（1）解：如图，∠???即为所求．
（2）证明：∵四边形????是正方形，
∴∠? = ∠? = 90°，?? = ??．在△ ???和 △ ???中，
∠??? = ∠???
?? = ??
∠? = ∠?
∴ △ ???≌ △ ???(ASA)．
【变式 03】（2026·江西赣州·一模）如图是由小正方形组成的7 × 7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，
△ ???中，?，?两点为格点，?为格线上任意点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
在图 1 中，作出△ ???的重心?；
在图 2 中，取??的中点?，连接??，作 △ ???≌ △ ???．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）取格点?,?，连接??交??于点?，易知四边形????为矩形，根据“矩形的对角线相互平分”可
得?? = ??；取格点?,?，使得?? = ?? = 1，过点?的格线交??于?，易得??∥??，则有 = ?? = 1，
??
??
??
即?? = ??；连接??,??，则点?即为 △ ???的重心；
（2）取格点?,?，使得?? = ??，过点?的格线交??于?，易得??∥??，则= ?? = 1，所以?? = ??，
??
??
??
即点?为??的中点；连接??并延长，交格线??于点?，在 △ ???中，易知??∥??，且?? = ??，则?? =
??
??
??
= 1，即?? = ??，结合∠??? = ∠???，可得 △ ???≌ △ ???．
【详解】（1）解：如图，点?即为所求；
（2）解：如图， △ ???即为所求；
命题点 03 利用全等三角形的证明进行求解
【典例 03】（2025·浙江杭州·三模）如图，在 △ ???中，?? = ??，?? ⊥ ??于点 E，?? ⊥ ??于点 D，??，
??相交于点 P．
(1)证明： △ ???≌ △ ???．
(2)若∠??? = 35°，求∠???的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)20°
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的性质，确定全等条件是解题的关键．
（1）先证明∠??? = ∠??? = 90°，再证△ ???≌ △ ???即可；
（2）根据直角三角形的两个锐角互余求得∠???，再根据等边对等角求得∠??? = ∠??? = 55°，即可根据
∠??? = ∠???−∠???即可求解．
【详解】（1）证明： ∵ ?? ⊥ ??于点 E，?? ⊥ ??于点 D，
∴ ∠??? = ∠??? = 90°，在△ ???和 △ ???中，
∠??? = ∠???
∠? = ∠?
?? = ??
，
∴△ ???≌ △ ???(AAS)．
（2）解： ∵ ∠??? = 90°,∠??? = 35°，
∴ ∠??? = 90°−∠??? = 55°，
∵ ?? = ??，
∴ ∠??? = ∠??? = 55°，
∴ ∠??? = ∠???−∠??? = 55°−35° = 20°，
∴ ∠???的度数是20°．
【变式 01】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，点 B 在线段??上，∠? = ∠?，?? = ??，?? = ??．
(1)求证： △ ???≌ △ ???；
(2)若∠? = 20°，∠? = 115°，求∠???的度数．
【答案】(1)见解析
(2)45°
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）利用SAS即可证明 △ ???≌ △ ???；
（2）由全等三角形的性质可得∠???，∠???的度数，再由平角的定义可得答案．
?? = ??
【详解】（1）证明：在△ ???和 △ ???中， ∠? = ∠? ，
?? = ??
∴△ ???≌ △ ???(SAS)；
（2）解： ∵△ ???≌ △ ???,∠? = 20°,∠? = 115°，
∴ ∠??? = ∠? = 20°,∠??? = ∠? = 115°．
∵点 B 在线段??上，
∴ ∠??? = 180°−∠???−∠??? = 180°−20°−115° = 45°．
【变式 02】（2026·浙江杭州·一模）在四边形????中，∠? = ∠? = 90∘，点?在??上，?? = ??,?? = ??．
(1)求证：?? = ??．
(2)已知?? = 2,?? = 3，求△ ???的面积．
【答案】(1)见解析
(2)13
2
【分析】（1）证明△ ???≌ △ ???(SAS)即可得证；
（2）根据△ ???≌ △ ???得到?? = ?? = 2，∠??? = ∠???，根据勾股定理求出?? = ?? =??2 + ??2
= 13，证明∠??? = 90°，根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）证明：在△ ???和 △ ???中，
?? = ??
∠? = ∠? ，
?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴?? = ??．
（2）解：∵ △ ???≌ △ ???，
∴?? = ?? = 2，∠??? = ∠???，
∵∠? = 90°，?? = 3，
∴在Rt △ ???中，?? =??2 + ??2 =22 + 32 = 13，
∴?? = ?? = 13．
∵∠??? + ∠??? = 180°−∠? = 90°，
∴∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = 180°−(∠??? + ∠???) = 90°，
∴?△??? = 2?? ⋅ ?? = 2 × 13 × 13 = 2 ．
1
1
13
【变式 03】（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，等腰直角三角形???中，?? = ?? = 2，∠??? = 90°，点 D
在线段??上，将线段??绕点 A 逆时针旋转 90 度得线段??′，连接??′．
(1)求证：∠???′ = 90°
(2)若∠??? = 15°，求??的长．
【答案】(1)见解析
(2) 2−
6
3
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠??? = ∠??? = 45°，线段??绕点 A 逆时针旋转90°得到??′，
根据旋转的性质得到?? = ??′，∠??? = ∠???′，得到 △ ???≌ △ ???′，∠???′ = ∠?，得到∠???′
= ∠??? + ∠???′ = 90°；
（2）由勾股定理求出?? = 2 2，过点?作?? ⊥ ??于点?，则?? = ?? = 1?? = 2，求出?? =
2
6
3 ，根据
?? = ??−??可求解．
【详解】（1）证明：∵在等腰直角三角形???中，?? = ?? = 2，∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠??? = 45°，
由题意得：??绕点 A 逆时针旋转 90 度得线段??′，则：?? = ??′，∠???′ = 90°，
∴∠??? = ∠???′ = 90°，
∴∠???−∠??? = ∠???′−∠???，
∴∠??? = ∠???′，
在 △ ???和 △ ???′中，
?? = ??
∠??? = ∠???′ ，
?? = ??′
∴ △ ???≌ △ ???′(SAS)，
∴∠???′ = ∠??? = 45°，
∴∠???′ = ∠??? + ∠???′ = 45° + 45° = 90°；
6
∴?? = ??−?? = 2− 3 ．
3
3
∴?? = 2 = 6，
??
∴ 2 = tan60°，
??
∴?? = tan∠???，
又∠??? = ∠? + ∠??? = 45° + 15° = 60°，
2
过点?作?? ⊥ ??于点?，则?? = ?? = 1?? = 2，
（2）解：∵∠??? = 15°，∠??? = 90°，
∴∠??? = 90°−15° = 75°，
在等腰直角三角形???中，?? =??2 + ??2 =22 + 22 = 2 2，
中考预测题
如图，在△ ???中，?? = ??，?，?分别为??，??的中点，连接??，?为??的中点，过点?作
?? ⊥ ??，垂足为点?，交??的延长线于点?，连接??，??．
(1)若?? = 8，求??的长；
(2)证明：?? = ??；
(3)当?? ⊥ ??
?△???
时，求?的值．
△???
【答案】(1)?? = 2
(2)见解析
(3)?△??? = 1
?△???
4
【分析】（1）根据题意可得??是△ ???的中位线，推出?? = 1?? = 1??，结合?? = ?? = 8，即可求解；
2
4
（2）连接??，根据题意可得??是 △ ???的中位线，
1，推出1，进而得到?? = ??，结合
?? = 2???? = 2??
?? ⊥ ??推出?? = ??，由??是 △ ???的中位线，推出∠??? = ∠???，证明 △ ???≌ △ ???，根据全等三角形的性质即可得证；
（3）根据?为??的中点，得到?△??? = 1?△???，再根据?为??的中点，得到?△??? = 1?△???，即可求解．
22
【详解】（1）解： ∵ ?为??的中点，?为??的中点，?为??的中点，
∴ ??是△ ???的中位线，?? =
1??，
2
∴ ?? =
1
2?? =
1??，
4
∵ ?? = ?? = 8，
∴ ?? =
1?? = 2；
4
（2）证明：连接??，
∵ ?为??的中点，?为??的中点，
∴ ??是 △ ???的中位线，?? =
1??，
2
∴ ?? =
1??，
2
∵ ?? = ??，
∴ ?? = ??，
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ?? = ??，
∵ ??是△ ???的中位线，
∴ ?? ∥ ??，
∴ ∠??? = ∠???，
在△ ???和 △ ???中，
∠??? = ∠???
∠??? = ∠??? = 90° ，
?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)，
∴ ?? = ??；
= 4．
△???
?
1
?△???
∴
4
1
= ?△???，
2 △???
2
11
= × ?
2 △???
△???
∴ ?= 1?
∵ ?为??的中点，
2
1
= ?△???，
∴ ?△???
（3）解： ∵ ?为??的中点，
如图，在△ ???中，D 是??边上的一点，?是??的中点，过 A 点作??的平行线交??的延长线于点?，且?? = ??，连接??；
(1)求证：?? = ??；
(2)
1 ?．
请写出四个图中的三角形，并且每个三角形的面积都等于2
△???
【答案】(1)见解析
(2) △ ???, △ ???, △ ???, △ ???
【分析】（1）先证明△ ???≌ △ ???，可得?? = ??，再利用等量代换即可；
（2）利用三角形中线的性质和平行线间的距离处处相等，结合平行四边形的性质即可得到答案
【详解】（1）证明： ∵ ?? ∥ ??，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ?? = ??,∠??? = ∠???，
∴△ ???≌ △ ???(AAS)，
∴ ?? = ??，
∵ ?? = ??，
∴ ?? = ??．
（2）解： △ ???, △ ???, △ ???, △ ???．理由如下：
∵?? = ??，
∴?△??? = ?△??? = 2?△???，
∵ ?? ∥ ??，?? = ??，
1
∴四边形????是平行四边形，
∴?△??? = ?△??? = 2?△???，
∵?? ∥ ??
1
∴?△??? = ?△??? = 2?△???
1
如图，在菱形????中，点 E、F 分别在边??、??上，且?? = ??．连接??、??，延长??交??的延长线于点 G．
(1)求证： △ ???≌ △ ???；
(2)若?? = 4,?? = 3，求??的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
3
【分析】（1）根据菱形的性质，结合SAS证明即可；
（2）先证明△ ??? ∽△ ???，进而即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形????是菱形，
∴?? = ??，∠? = ∠?
∵?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)；
（2）解：∵四边形????是菱形，
∴?? ∥ ??，?? = ?? = ?? = 4，
∵?? = ?? = 3，
∴?? = ??−?? = 1
∵?? ∥ ??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??
????
∴?? = 1
43
∴?? = 3．
4
考点二 特殊四边形的相关证明
《解题指南》
一.中考通用证明思路(万能步骤)
思路 1：逐级升级(最稳妥，不易扣分)
先证：是平行四边形
再加条件：
①有直角/对角线相等→证矩形
②邻边相等/对角线垂直→证菱形
③矩形+邻边相等或菱形+直角→证正方形思路 2：直接判定(条件充足时快速用)
无平行四边形条件，直接用「四边相等、三角为直角」等直接判定
二、高频隐藏条件&等量推导
平行线→内错角相等、同旁内角互补
角平分线+平行→等腰三角形(边相等)
中点、中线→线段相等、对角线平分
垂直、高→直角，用来证矩形
全等三角形→转移边、转移角(四边形大题必考结合全等)
命题点 01 证明四边是平行四边形
【典例 05】（2026·北京通州·一模）如图，在?? △ ???中，∠??? = 90°，点?，点?分别是??，??的中点，
延长??到点?，使
1，连接??，??，??，??，??与??交于点?．
?? = 2??
(1)求证：四边形????是平行四边形；
(2)若?? = 6，?? = 10，求??的长．
∴在Rt △ ???中，?? =??2 + ??2 = 13，
1
2
∴?? = ?? = 2，
∵四边形????是平行四边形，
1
2
∴?? = ?? = 4 ，
1
2
∵点?是??的中点，?? = ?? = 3，
（2）解：∵∠??? = 90°，?? = 6，?? = 10，
∴在Rt △ ???中，?? =??2−??2 = 8，
∴?? ∥ ??，?? = ??，
∴四边形????是平行四边形．
1
2
∵?? = ??，
1
2
∴?? ∥ ??，?? = ??，
边形????是平行四边形；
（2）先利用勾股定理求出??，再由平行四边形的性质求出??的长，进而利用勾股定理求出??的长即可．
【详解】（1）证明：∵点?，点?分别是??，??的中点，
2
【分析】（1）根据三角形中位线定理可得?? ∥ ??，?? = 1??，进而证明?? ∥ ??，?? = ??，则可证明四
【答案】(1)见解析
(2)?? = 2 13
∴?? = 2?? = 2 13．
【变式 01】（2026·贵州遵义·一模）如图，在 △ ???中，点?在边??上，过点?作?? ∥ ??交边??于点?，
∠? = ∠???．
(1)求证：四边形????是平行四边形；
(2)当四边形????是菱形时，?? = 10，?? = 8，求菱形的边长．
【答案】(1)见解析
(2)40
9
【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行，由∠? = ∠???得出?? ∥ ??，再结合已知条件?? ∥ ??，利用
“两组对边分别平行的四边形是平行四边形” 证明四边形????是平行四边形；
（2）根据菱形的四条边相等的性质，设菱形的边长为?，表示出??的长度，再由?? ∥ ??证明△ ??? ∽△ ???，利用相似三角形对应边成比例列方程求解，得到菱形的边长．
【详解】（1）证明： ∵ ∠? = ∠???，
∴ ?? ∥ ??，又∵ ?? ∥ ??，
∴四边形????是平行四边形；
（2）解：当四边形????是菱形时，
设?? = ?? = ?，由?? = 10得：?? = 10−?，
∵ ?? ∥ ??，
∴△ ??? ∽△ ???，
∴ ?? = ??，
??
??
∴= 8，
10−?
?
10
解得：? = 9 ，
40
即：菱形的边长为 9 ．
40
【变式 02】（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，在四边形????中，∠??? = ∠??? = 90°，点 E 在??上，
?? ∥ ??，?? ⊥ ??，垂足为 F．
(1)求证：四边形????是平行四边形；
4
(2)若??平分∠???,?? = 5，cs? = 5，求??和??的长．
【答案】(1)见解析
(2)4，3
【分析】（1）由题意易得?? ∥ ??，然后问题可求证；
（2）由（1）及题意易得?? = ?? = ??，然后由?? = 5,cs? = 5可进行求解问题．
【详解】（1）证明：∵∠??? = ∠??? = 90°，
4
∴?? ∥ ??，
∵?? ∥ ??，
∴四边形????是平行四边形；
（2）解：由（1）可得四边形????是平行四边形，
∴?? = ??，
∵?? ⊥ ??，??平分∠???，∠??? = 90°，
∴?? = ??，
∴?? = ?? = ??，
∵?? = 5,cs? = 5，
4
∴?? = ?? ⋅ cs? = 5 × = 4，
4
5
∴?? =??2−??2 = 3，
∴?? = ?? = 3．
【变式 03】（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在中心为?的正六边形??????中，点 G，H 分别在边??，
??上，且不同于正六边形的顶点，?? = ??．
证明：四边形????为平行四边形；
【答案】(1)证明过程见解析
(2)16π−8 3
3
【分析】本题考查正多边形的概念，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，扇形面积的计算，根
据正六边形的概念确定相等的角和线段，以及角的大小是解题关键．
根据正六边形的概念，得到正六边形的每个内角相等，每条边相等，从而证明三角形全等，再利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明即可；
根据正六边形的概念，确定∠???的度数，进而确定∠???的度数和??的长，再通过作差法计算阴影部分的面积即可．
【详解】（1）证明：∵六边形??????是正六边形，
∴?? = ?? = ?? = ?? = ?? = ??，∠? = ∠? = ∠??? = ∠??? = ∠??? = ∠???，又?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴?? = ??，
∵?? = ??，?? = ??，
∴??−?? = ??−??，即?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴?? = ??，
若正六边形的边长为 4，以点?为圆心，??为半径的扇形???与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部分的面积．
∴?
3
3
16π16π
−?=−4 3−4 3 =−8 3．
△???△???
∴阴影部分的面积为?扇形???−?
3
=，
120×4 ×π
360
=
扇形???
16π
∴四边形????是平行四边形；
（2）解：如图，连接??，??，??，
2
4
∴∠??? = ∠??? + ∠??? = 120°，?△??? = ?△??? = 3??2 = 4 3，
∴ △ ???和 △ ???都是等边三角形，
∴?? = ?? = ?? = ?? = ?? = 4，∠??? = ∠??? = 60°，
1
2
∴∠??? = ∠??? = ∠??? = 60°，
∴ △ ???≌ △ ???(SSS)，
= 120°，
(5−1)×180°
6
∴?? = ?? = ??，∠??? =
∵?是正六边形??????的中心，
命题点 02 证明四边形是矩形
【典例 06】（2026·江苏扬州·一模）如图，菱形????的对角线??，??相交于点?，?是边??的中点，连接
??，过点?，?作??的垂线，垂足分别为?，?．
(1)求证：四边形????是矩形；
(2)若已知∠??? = 120°，?? = 12，求四边形????的面积．
【答案】(1)见解析
(2)18 3
【分析】（1）由菱形的性质可得?? = ??，进而可得??是 △ ???的中位线，推出??∥??，依次证明四边形????是平行四边形、矩形即可；
（2）根据菱形的性质及直角三角形的斜边中线的性质求出?? = ?? = 6，再在Rt △ ???中，解直角三角形求得?? = 3 3，最后根据矩形面积公式即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形????是菱形，
∴?? = ??，
∵E 是??的中点，
∴?? = ??，
∴??∥??，
∵?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
∴∠??? = ∠??? = 90°，
∴??∥??，
∴四边形????是平行四边形，
∵∠??? = 90°，
∴▱????是矩形；
（2）解：∵四边形????是菱形，?? = 12，
∴?? = ?? = 12，?? ⊥ ??，??∥??，
∴∠??? = 90°，∠??? + ∠??? = 180°，
∵∠??? = 120°，
∴∠??? = 60°，
∵E 是??的中点，
∴?? = ?? =
1?? = 6，
2
∵∠??? = 90°，
在Rt △ ???中，?? = ?? × sin60° = 3 3，
∴????? = ?? × ?? = 3 3 × 6 = 18 3．
【变式 01】（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，在 △ ???中，?? = ??，?，?分别为??，??中点，连接??
并延长至点?，使?? = ??，连接??,??．
(1)求证：四边形????为矩形；
3
(2)过点?作?? ⊥ ??交??于点?，若?? = 10,tan∠??? = 4，求??的长．
∵ ?? = ??，点?为??的中点，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ 四边形????为矩形，
∴?? ∥ ??,?? = ??，
【详解】（1）证明： ∵ 在Rt △ ???中，点?为??的中点，
∴ ?? = ?? = ??，
∵ ?? = ??，
∴ 四边形????为平行四边形，
∵ 在△ ???中，?? = ??，点?为??的中点，
∴ ?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = 90°，
∴ 平行四边形????为矩形．
（2）解：如图，过点?作?? ⊥ ??于?，
9
= ，即可求解．
??5?+4?
5
5?
??
==
??
??
由勾股定理得?? =??2 + ??2 = 10? = 10，证明△ ??? ∽△ ???得
3
（2）过点?作?? ⊥ ??于?，由tan∠??? = 4，设?? = 3?，则?? = 4?,?? = ?? = ?? = 5?，则?? = ?，再
【分析】（1）先根据直角三角形的性质推出?? = ?? = ??，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四
边形推出????为平行四边形，再根据等腰三角形三线合一的性质推出∠??? = 90°，即可得出结论；
3
(2)5
【答案】(1)见解析
5
5
∴ ?? = 3 × 9 = 3．
5
????5?
∴ ?? = ?? = 5?+4? = 9，
∴ ?? =??2 + ??2 = 10? = 10，
∴ ? = 1，
∴ ?? = 3? = 3，
∵ ?? ⊥ ??,?? ⊥ ??，
∴ ??∥??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
3
??
∴ tan∠??? = tan∠??? = ?? = 4，
设?? = 3?，则?? = 4?,?? = ?? = ?? = 5?，则?? = ?，
∴ ∠??? = ∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠??? + ∠??? = 2∠??? = ∠???．
【变式 02】（2026·江苏无锡·一模）如图，在▱????中，对角线??,??相交于点 O，?? ⊥ ??于点 E，?? ⊥ ??
于点 F，且?? = ??．
(1)求证：?? = ??；
(2)求证：四边形????是矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）证明△ ???≌ △ ???(AAS)即可证明结论；
（2）根据平行四边形的性质结合（1）中结论即可证明．
【详解】（1）证明：∵?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = ∠??? = 90°，
∵ ∠??? = ∠???，?? = ??，
∴△ ???≌ △ ???(AAS)，
∴ ?? = ??；
（2）证明：由（1）知?? = ??，
∵ 四边形????是平行四边形，
∴ ?? = ??，?? = ??，
∴ ?? = ?? = ?? = ??，
∴ ?? = ??，
∴四边形????是矩形．
【变式 03】（2026·云南玉溪·一模）如图，在▱????中，∠???的平分线??和∠???的平分线??交于点?，点?在??边上，以??，??为邻边作▱????．
(1)求证：四边形????是矩形；
(2)若?? = 6，∠? = 120°，求四边形????的面积．
【答案】(1)见解析
(2)9 3
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得∠??? = 90°，即可得证；
（2）根据平行四边形的性质可得?? = ?? = 6，∠??? = 30°，根据含 30 度角的直角三角形的性质可得
?? = 3，再根据勾股定理可得?? = 3 3，根据矩形的面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形????是平行四边形，
∴ ?? ∥ ??，
∴ ∠??? + ∠??? = 180°，
∵??和??分别是∠???和∠???的平分线，
∴ ∠??? = ∠???,∠??? = ∠???，
1
1
22
∴ ∠??? = 180°−(∠??? + ∠???) = 180°− (∠??? + ∠???) = 90°，
1
2
∵四边形????是平行四边形，
∴四边形????是矩形．
（2）解：∵四边形????是平行四边形，
∴ ?? ∥ ??,?? = ?? = 6，
∴ ∠??? = 180∘−∠? = 60°，
∴ ∠??? = ∠??? = 30°，
1
2
∵ ∠??? = 90°，
∴ ?? = ?? = × 6 = 3，
1
1
22
∴ ?? =??2−??2 = 3 3，
∴ ?矩形???? = ?? ⋅ ?? = 3 3 × 3 = 9 3．
命题点 03 证明四边形是菱形
【典例 07】（2026·上海崇明·二模）如图，已知四边形????是平行四边形，点?是对角线??上一点，
?? > ??，?? = ??．
(1)求证：四边形????是菱形；
(2)点?是边??上一点，??与??相交于点?，若?? ⋅ ?? = ?? ⋅ ??，求证：??2 = ?? ⋅ ??．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接??交??于点?，利用等腰三角形的性质证明?? ⊥ ??，即可得到结论；
（2）根据题意得到?? = ??，证明△ ??? ∽△ ???，推出?? = ?? = ??，即可得到结论．
【详解】（1）证明：如图，连接??交??于点?，
????
??????
∵ 四边形????是平行四边形，
∴ ?? = ??,?? = ??，
∵ ?? = ??，
∴ ?? ⊥ ??，
∴ 四边形????是菱形；
（2）证明： ∵ ?? ⋅ ?? = ?? ⋅ ??，
∴ ?? = ??，
由（1）知，四边形????是菱形；
??
??
?? ∥ ??，?? = ??，
∴△ ??? ∽△ ???，
∴ ?? = ??，
??
??
∴ ?? = ?? = ??，
∴ ??2 = ?? ⋅ ??．
????
??
【变式 01】（2026·云南文山·一模）如图，在四边形????中，对角线??的垂直平分线分别交??,??于点
?,?，垂足为?，?? = ??．连接??,??．
(1)求证：四边形????是菱形；
(2)已知?? = 4，延长??到点?，使?? = ??，连接??，∠? = 15°，若点?是??的中点，求△ ???的面积．
【答案】(1)见解析
(2)2 3 +3
【分析】（1）利用??是??的垂直平分线，得到?? ∥ ??且?? = ??，结合?? = ??先证四边形????是平行四边形，再由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，完成证明；
（2）先根据菱形性质和中位线定理求出??的长度，再通过角度推导得到相关角的度数，作?? ⊥ ??后用含
30°的直角三角形性质与勾股定理求出各线段长，最后结合??的长度，用三角形面积公式算出?△???．
【详解】（1）证明：∵??是??的垂直平分线，
∴?? ⊥ ??,?? = ??，
∵?? = ??，
∴四边形????是平行四边形，
∵?? ⊥ ??，
∴四边形????是菱形；
（2）解：在菱形????中，?是??的中点，∠??? = 90°，
∵点?是??的中点，
∴??是△ ???的中位线，
则?? = 1?? = 2，
2
∵?? = ??,∠? = 15°，
∴∠??? = 15°，则∠??? = 30°，
∴∠??? = 60°，
如图，过点O作OH ⊥ BC于H，
∴∠EOH = 30°，
则HE = 1OE = 1，
2
∴OH = OE2−HE2 = 22−12 = 3，
同理，在Rt △ OEC中，CE = 4，OC = 2 3，则CG = 2 3，
∴EG = CE + CG = 4 + 2 3，
∴S= 1 × (4 + 2 3) × 3 = 2 3 +3．
ΔEOG
2
【变式 02】（2026·云南大理·一模）如图，平行四边形????中，点?在对角线??的延长线上，?? ⊥ ??于点?，过点?作?? ∥ ??交??的延长线于点?，且?? = ??，连接??．
(1)求证：四边形????是菱形；
(2)若∠??? = 45°，∠??? = 60°，?? = 4 2，求线段??的长．
【答案】(1)见解析
(2)?? = 4 3−4
【分析】（1）先证明四边形????是平行四边形，再证明四边形????是菱形即可；
（2）根据sin∠??? = sin45∘ = ?? = ?? = 2，求出?? = 4，根据tan∠??? = tan60° = ?? = ?? = 3，求出
?? = 4 3，即可得出答案．
??4 22
??4
【详解】（1）证明：∵四边形????是平行四边形，
∴ ?? ∥ ??，
∵?? ∥ ??，
∴?? ∥ ??，
∵?? = ??，
∴ 四边形????是平行四边形．
∵?? ⊥ ??
∴ 平行四边形????是菱形．
（2）解：∵?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = 90°，
在Rt △ ???中，sin∠??? = sin45∘ =
??
??
∴ ?? = 4，
??
4 2
∴ ?? = ?? = 4，
∵四边形????是菱形，
∴ ?? = ?? = 4，
又∵∠??? = 60°，
∵?? = 4 2，∠??? = 45°，
2
== 2 ，
在Rt △ ???中，tan∠??? = tan60° = ?? = ?? = 3，
??4
∴ ?? = 4 3，
∴ ?? = ??−?? = 4 3−4．
【变式 03】（2026·江苏扬州·一模）如图，在矩形????中，过对角线??的中点 O 作?? ⊥ ??，分别交??、
??于点 E、F．
(1)求证：四边形????是菱形；
(2)若?? = 2?? = 8，求??的长．
【答案】(1)见解析
(2)?? = 5．
【分析】（1）先证四边形????为平行四边形，然后根据平行四边形对角线垂直证得菱形；
（2）设?? = ?，则?? = ??−?? = 8−?，?? = ?，在Rt △ ???中，利用勾股定理列式计算即可求解．
【详解】（1）证明：如图，
∵四边形????是矩形，
∴??∥??，
∴∠1 = ∠2，
∵O 为??的中点，
∴?? = ??，
∵∠??? = ∠???，
∴ △ ???≌ △ ???(ASA)，
∴?? = ??，
∴四边形????是平行四边形，
又∵?? ⊥ ??，
∴四边形????是菱形．
（2）解：设?? = ?，
∵四边形????是菱形，?? = 2?? = 8，∠? = 90°，
∴?? = ??−?? = 8−?，?? = ?，
在Rt △ ???中，
由勾股定理得，??2 = ??2 +??2，
∴?2 = 42 + (8−?)2，解得? = 5，
∴?? = 5．
命题点 04 证明四边形是正方形
【典例 08】（2026·江苏盐城·一模）如图，在▱????中，?? = ??，点?是边??的延长线上的一点．连接
??，过点?作?? ⊥ ??于点?，交??于点 G，且∠? = ∠???．
(1)求证：四边形????是正方形；
(2)当点 F 是??的中点，且?? = 4 2时，求四边形????的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)16
【分析】（1）根据四边形????是平行四边形，?? = ??得平行四边形????为菱形，再根据?? ⊥ ??，
∠? = ∠???，可以证明∠??? + ∠??? = 90°，从而得出∠??? = 90°，由此即可得出结论；
（2）连接??、??，根据?? ⊥ ??于点?，点?为??的中点得??为线段??的垂直平分线，则?? = ?? = 8 2，再根据正方形对角线相等和菱形面积等于对角线乘积的一半求解即可．
【详解】（1）证明： ∵ 四边形????是平行四边形，?? = ??，
∴ 平行四边形????为菱形，
∵?? ⊥ ??，
∴∠? + ∠??? = 90°，又∵∠? = ∠???，
∴∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = 180−(∠??? + ∠???) = 90°，
∴ 菱形????为正方形．
（2）解：连接??、??，如图所示：
∵ ?? ⊥ ??于点?，点?为??的中点，
∴ ??为线段??的垂直平分线，
∴ ?? = ?? = 4 2，
∵ 四边形????为正方形，
∴?? = ?? = 4 2，
∴ 正方形????的面积 = ??·?? = × 4 2 × 4 2 = 16．
1
1
22
【变式 01】（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在等腰直角三角形???中， ∠??? = 90°，?? = ??，D 是??的中点，过点 D 作?? ⊥ ??于点 E，?? ⊥ ??于点 F，连接??．
(1)求证：四边形????为正方形．
(2)若?? = 6，求??的长度．
【答案】(1)见解析
(2)3 2
【分析】（1）根据矩形的判定定理判断四边形????是矩形；再结合等腰直角三角形???中?是??中点，利用等腰直角三角形的性质推导?? = ??，进而根据正方形的判定定理证明该四边形为正方形．
（2）因为四边形????是正方形，所以??与正方形的边长有关；先根据?? = 6和等腰直角三角形的性质、中点的性质求出正方形的边长，再利用正方形的对角线公式计算??的长度．
【详解】（1）证明：∵ ∠??? = 90°，?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
∴ ∠? = ∠??? = ∠??? = 90°，
∴四边形????是矩形．连接??，如图，
∵等腰直角三角形???，
∴?? = ?? = ??，
又∵?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
∴点?是??的中点，点?是??的中点，
∴?? = ??，?? = ??，
1
1
22
∴?? = ??，
∴四边形????为正方形．
（2）解：∵ ?? = 6，∴ ?? = ?? = 6，由（1）可知?是??中点、?是??中点，
∴ ?? = ?? = 3，?? = ?? = 3．
1
1
22
在Rt △ ???中，∠? = 90°，由勾股定理得?? =??2 + ??2 =32 + 32 = 3 2．
【变式 02】（2026·陕西咸阳·一模）如图，在▱????中，连接??并延长至点 E，连接??，∠??? = 135°，点 F 在线段??上，连接??，??平分∠???，∠??? = ∠?．
(1)求证：四边形????是正方形；
(2)若?? = 4，
1，求??的长．
?? = 4??
【答案】(1)见详解
(2)8 2
5
【分析】本题主要考查特殊四边形，涉及平行四边形的性质、正方形的判定和性质、勾股定理的应用和相
似三角形的判定和性质等知识点，
（1）由平行四边形的性质得出∠??? = ∠???，由角平分线的定义得出∠??? = ∠???，等量代换可得出
∠??? = ∠???，则?? = ??，再求出∠??? = 2 × ∠???，即可证明．
（2）根据正方形得?? = ?? = ?? = 4和?? =??2 + ??2，进一步求得??和?? = ?? + ??，证明
△ ??? ∽△ ???，即有?? = ??，求得??即可．
【详解】（1）证明：∵????是平行四边形，
????
∴?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠???，
∵??平分∠???，
∴∠??? = ∠???
∴∠??? = ∠???，
∴?? = ??，
又∠??? = 135°，
则∠??? = 180°−135° = 45°，
∴∠??? = 2 × ∠??? = 90°
∴四边形????是正方形．
（2）解：∵四边形????是正方形，
∴?? = ?? = ?? = 4，
∴?? =??2 + ??2 = 4 2，
∴?? = ?? = 2，?? = ?? + ?? = 5 2，
1
4
∵∠??? = ∠?，∠??? = ∠??? = 45°，
∴ △ ??? ∽△ ???，
则?? = ??，即= 4 ，
????
4??
5 2
∴?? = 5 ．
8 2
【变式 03】（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，正方形????的边长为8cm，E，F，G，H 分别是??，??，
??，??上的动点，且?? = ?? = ?? = ??．
(1)求证：四边形????是正方形；
(2)填空：四边形????面积的最小值为．
【答案】(1)见解析
(2)32
【分析】本题考查了正方形性质和判定，根据已知条件可证 4 个三角形全等，由全等三角形性质得到四边形????是正方形；本题还考查了用二次函数来解决面积的最值问题．
（1） 由正方形的性质得出∠? = ∠? = ∠? = ∠? = 90°，?? = ?? = ?? = ??，证出?? = ?? = ?? = ??，
证明△ ???≌ △ ???≌ △ ???≌ △ ???(SAS)，得出?? = ?? = ?? = ??，∠??? = ∠???，
∠??? = ∠???，证出四边形????是菱形，再证出∠??? = 90°，即可得出结论；
（2）设四边形????面积为 S，?? = ?? = ?? = ?? = ?，则 ?? = ?? = ?? = ?? = 8−?，由勾股定理得出?四边形???? = ??2 = ??2 +??2 = ?2 + (8−?)2 = 2(?−4)2 +32 ，S 是 x 的二次函数，即可得出四边形
????面积的最小值．
【详解】（1）证明：∵四边形????是正方形，
∴∠? = ∠? = ∠? = ∠? = 90°，?? = ?? = ?? = ??，
∵?? = ?? = ?? = ??，
∴?? = ?? = ?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???≌ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴?? = ?? = ?? = ??，∠??? = ∠???，∠??? = ∠???，
∴四边形????是菱形，
∵∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = 90°，
∴四边形????是正方形．
（2）设?? = ?? = ?? = ?? = ?，则?? = ?? = ?? = ?? = 8−?，
?四边形???? = ??2 = ??2 +??2 = ?2 + (8−?)2 = ?2 + ?2−16? + 64 = 2(?−4)2 +32，
∴当? = 4时，四边形????面积取最小值，最小值为32cm2．
命题点 05 特殊四边形中综合证明
【典例 09】（2025·新疆乌鲁木齐·二模）如图①，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
概念理解：如图②，在四边形????中，如果?? = ??,?? = ??，那么四边形????是垂美四边形吗？请说明理由．
性质探究：如图①，垂美四边形????两组对边??，??与??，??之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明．
问题解决：如图②，已知△ ???，??＝1，??＝2，∠???＝150°，求垂美四边形????的面积．
【答案】概念理解：是，见解析；性质探究：??2 +??2 = ??2 +??2，见解析；问题解决：1
【分析】（1）先利用???证明 △ ???≌ △ ???，再根据全等性质的得出∠??? = ∠???，然后证明?? ⊥ ??，再根据垂美四边形的定义得出结论；
（2）先证明∠??? = ∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°，再利用勾股定理列出式子：??2 = ??2 +??2，??2＝
??2 +??2，??2＝??2 +??2，??2＝??2 +??2，然后分别求出 ∵ ??2 +??2，??2 +??2，证明??2 +??2
＝??2 +??2；
先利用邻补角的意义求出∠???，再利用三角形面积公式分别求得?△???， ?△???，再求出四边形的面积．
【详解】解：概念理解：四边形????是垂美四边形；理由如下：
如图，连接??、??交于点?，
在△ ???和 △ ???中，
?? = ??
?? = ?? ，
?? = ??
∴△ ???≌ △ ???(???)，
∴ ∠???＝∠???，
∵ ??＝??，
∴ ?? ⊥ ??，
即?? ⊥ ??，
∴四边形????是垂美四边形；
性质探究：??2 +??2＝??2 +??2；
证明如下：
记??和??交于点?，
由题可知?? ⊥ ??，
∴ ∠???＝∠???＝∠???＝∠???＝90°，在Rt △ ???中，??2＝??2 +??2，
在Rt △ ???中，??2＝??2 +??2，
在Rt △ ???中，??2＝??2 +??2，在Rt △ ???中，??2＝??2 +??2，
∵ ??2 +??2＝??2 +??2 +??2 +??2，??2 +??2＝??2 +??2 +??2 +??2，
∴ ??2 +??2＝??2 +??2；
问题解决：
如图，连接??，过?作?? ⊥ ??于点?，
∵ ∠???＝150°，
∴ ∠???＝180°−∠???＝30°，
在Rt △ ???中，11，
?? = 2?? = 2
11
∴?△??? = 2??•?? = 2，
∵△ ???≌ △ ???，
1
∴ ?△???＝?△??? = 2，
∴ ?四边形????＝?△??? + ?△???＝1．
【点睛】本题考查了四边形的新定义问题，利用???证明三角形全等，全等三角形的性质，勾股定理，求三角形的面积，求四边形的面积等知识，解题的关键理解新定义，再根据新定义推理论证．
【变式 01】（2026·青海西宁·一模）在Rt △ ???中，∠??? = 90°，?是??的中点，?是??的中点，过点?
作?? ∥ ??交??的延长线于点?．
(1)求证：?? = ??；
(2)判断四边形????的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)四边形????是菱形，理由见解析
【分析】（1）由平行线的性质可得∠??? = ∠???，再证明 △ ???≌ △ ???(AAS)，即可得证；
（2）由（1）可得?? = ??，由直角三角形的性质可得?? = ?? = ??，最后再由菱形的判定定理证明即可．
【详解】（1）证明：∵?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠???，
∵?是??的中点，
∴?? = ??，
在△ ???和△ ???中，
∠??? = ∠???
∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)，
∴?? = ??；
（2）解：四边形????是菱形，理由如下：
由（1）可得?? = ??，
∵∠??? = 90°，?是??的中点，
∴?? = ?? = ??，
∴?? = ??，
∵?? ∥ ??，即?? ∥ ??，
∴四边形????为平行四边形，
∵?? = ??，
∴四边形????是菱形．
【变式 02】（2026·上海虹口·二模）如图， △ ???和 △ ???都是等腰直角三角形，∠??? = ∠??? = 90°，
?? = ??，?? = ??，连接??、??，∠??? = 90°，延长??交??于点?，交??于点?．
(1)求证：四边形????为正方形；
(2)如果∠??? = ∠???，求证：2??2 = ?? ⋅ ??．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先利用已知的两个直角∠???、∠???，通过减去公共角∠???，推导出∠??? = ∠???；再结合?? = ??、?? = ??，用SAS证明 △ ???≌ △ ???，得到∠??? = ∠??? = 90°；接着结合∠??? = 90°，判定四边形????是矩形，最后根据邻边?? = ??，得出四边形????为正方形；
（2）连接??，先由（1）中正方形????的性质，结合勾股定理得到??2 = 2??2；再利用等腰直角 △ ???
的角度关系和外角定理，推导出∠??? = ∠???；随后通过两角对应相等证明 △ ??? ∽△ ???，得到比例式
??
??
=，交叉相乘后结合??2 = 2??2，证得2??2 = ??·??．
??
??
【详解】（1）证明：∵∠??? = ∠??? = 90°，
∴∠???−∠??? = ∠???−∠???，即∠??? = ∠???，
∵在△ ???和 △ ???中，
?? = ??
∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)
∴∠??? = ∠??? = 90°，
∵∠??? = 90°,∠??? = 180°−∠??? = 90°，
∴四边形????是矩形，
∵?? = ??，
∴四边形????为正方形．
（2）证明：连接??，
∵四边形????是正方形，??是正方形的对角线，
∴?? = ??，∠??? = 90°，∠??? = 45°，
由勾股定理得： ??2 = ??2 +??2 = ??2 +??2 = 2??2，
∵?? = ??,∠??? = 90° ，
∴∠??? = 45°， 即∠??? + ∠??? = 45°，
∵∠??? = ∠???，
∴∠??? + ∠??? = 45°，
∵由（1）知 ?? ⊥ ??，即∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠??? = 90°，
∵∠???是 △ ???的外角，
∴∠??? = ∠??? + ∠??? = 90° + ∠???，
在△ ???中，由内角和定理： ∠??? = 180°−∠???−∠??? = 180°−45°−∠??? = 135°−∠???，
∴90° + ∠??? = 135°−∠???，
整理得∠??? + ∠??? = 45°，
∵∠??? + ∠??? = 45°，
∴∠??? = ∠???，
∵在△ ???和△ ???中
∠??? = ∠???，∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??，即??2 = ??·??，代入??2 = 2??2，
??
??
得：2??2 = ??·??．
【变式 03】（2026·浙江衢州·一模）如图 1，在▱????中，?? = 5，对角线?? = 7，∠??? = 45°．作
?? ⊥ ??，垂足为点 E，且?? < ??．
(1)求??的长．
(2)如图 2，连结??，求△ ???的中线??的长．
【答案】(1)3
2
(2) 58
【分析】（1）证明 △ ???是等腰直角三角形，得?? = ??，设?? = ?，则?? = ?，?? = ??−?? = 7−?，在Rt △ ???中根据勾股定理得(7−?)2 + ?2 = 52，求出?的适当的值即可；
（2）延长??到点?，使?? = ??，连接??，证明 △ ???≌ △ ???(SAS)得?? = ?? = 4，?? = ??，过点
?作?? ⊥ ??交??的延长线于点?，求得?? = ?? =
??
2
= 3，?? = ?? + ?? = 4 + 3 = 7，运用勾股定理
得?? = 58，可求出??．
【详解】（1）解：∵四边形????是平行四边形，?? = 5，∠??? = 45°，
∴?? = ?? = 5，?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠??? = 45°，
∵?? ⊥ ??，
∴ △ ???, △ ???都是直角三角形，
又∠??? = 45°，
∴ △ ???是等腰直角三角形，
∴?? = ??，
设?? = ?，则?? = ?，
∵?? = 7，
∴?? = ??−?? = 7−?，
在Rt △ ???中，??2 +??2 = ??2，
∴(7−?)2 + ?2 = 52，解得? = 3或? = 4，
∵?? < ??，
∴? < 7−?，
解得? < 3.5，
∴? = 3，
∴?? = 3；
（2）解：延长??到点?，使?? = ??，连接??，
∵?? = 7，?? = ?? = 3，
∴?? = ??−?? = 7−3 = 4，
∵?是??的中点，
∴?? = ??，
又∠??? = ∠???，?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴?? = ?? = 4，∠??? = ∠???，
∴?? ∥ ??，
∴∠??? + ∠??? = 180°,
又∠??? = 45°，
∴∠??? = 180°−∠??? = 135°，
∵∠??? = 90°,?? = ?? = 3,??2 +??2 = ??2，
∴?? = 2?? = 3 2，
∵四边形????是平行四边形，
∴?? = ?? = 3 2，
过点?作?? ⊥ ??交??的延长线于点?，则∠??? = 180°−135° = 45°，
∴ △ ???是等腰直角三角形，?? = ??,??2 +??2 = ??2，
∴?? = ?? =
??
2
= 3，
∴?? = ?? + ?? = 4 + 3 = 7，
在Rt △ ???中，?? =??2 + ??2 =32 + 72 = 58，
∴?? = 2?? = 2 ．
1
58
中考预测题
1．如图，在平行四边形????中，?，?，?，?分别是各边的中点，四边形????是菱形．
求证：平行四边形????为矩形；
若平行四边形????的周长是12，面积是8，求菱形????的边长．
【答案】(1)见解析
(2) 5
【分析】（1）根据菱形的性质得出?? = ??，根据中位线的性质可得?? = 1??，?? = 1??得出?? = ??，
2
2
即可得证；
（2）依题意得出?? + ?? = 6,?? ⋅ ?? = 8，根据勾股定理结合完全平方公式变形，求得?? = 2 5，根据中位线的性质即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接??,??
∵四边形????是菱形
∴?? = ??
∵在平行四边形????中，?，?，?，?分别是各边的中点，
∴?? = ??，?? = ??
1
1
22
∴?? = ??
∴平行四边形????是矩形；
（2）解：∵矩形????的周长是12，面积是8，
∴?? + ?? = 6,?? ⋅ ?? = 8
∴??2 = ??2 +??2 = (?? + ??)2−2?? ⋅ ?? = 62−2 × 8 = 20
∴?? = 2 5
∴?? = ?? = 5，即菱形????的边长为 5
1
2
2．如图，在四边形????中，∠??? = ∠??? = 90°，对角线??平分∠???，过点 B 作?? ⊥ ??交??的延长线于点 E，过点 B 作?? ∥ ??，交??于点 G，交??于点 F．
求证：四边形????是矩形；
若点 F 是??的中点，?? = 9，求??的长．
【答案】(1)见解析
(2)?? = 6 3
【分析】（1）根据三个角都是直角的四边形是矩形证明即可；
（2）证明△ ???≌ △ ???(AAS)，得到?? = ?? = 2??，进而利用特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】（1）证明： ∵ ?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = 90°，
∵ ?? ∥ ??，
∴ ∠??? + ∠??? = 180°，
∵ ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = 90° = ∠??? = ∠???，
∴四边形????是矩形．
（2）解：∵点 F 是??的中点，
∴ ?? = 2??，
∵??平分∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ∠??? = ∠??? = 90°，?? = ??，
∴△ ???≌ △ ???(AAS)，
∴ ?? = ?? = 2??，
∴ 在Rt △ ???中，sin∠??? == ，
??
1
??2
∴ ∠??? = 30°，
∵在矩形????中，?? = 9，
∴ ?? = ?? = 9，
∵ cs∠??? = ??，
??
∴ cs30° = ?? = 2 ，
∴ ?? = 6 3．
9
3
3．如图， △ ???是直角三角形，且∠??? = 90°，点?、?分别是??、??的中点，连接??并延长至点?，使得?? = ??，连接??、??、??．
求证：四边形????是菱形；
若 △ ???的周长为 30，且?? + ?? = 17，求四边形????的面积．
【答案】(1)见解析
(2)30
【分析】（1）先证明四边形????是平行四边形．再结合直角三角形的性质可得?? = ??，即可得证；
（2）设?? = ?，?? = ?．则? + ? = 17，?? = 13，由勾股定理可得?2 + ?2 = 169，求出?? = 60，即可得出结果．
【详解】（1）证明： ∵ 点?是??的中点，
∴ ?? = ??．
∵ ?? = ??，
∴四边形????是平行四边形．
∵△ ???是直角三角形，点?是??的中点，
∴ ?? = ??．
∴ 四边形????是菱形．
（2）解：设?? = ?，?? = ?．
∵△ ???的周长为30，?? + ?? = 17．
∴ ? + ? = 17，?? = 13．
在Rt △ ???中，由勾股定理得??2 +??2 = ??2．
∵
?2 + ?2 = 169
? + ? = 17
，
∴?? = 60．
∵点?、?分别是??、??的中点，
∴?? = 2??，
∵?? = 2??，
∴?? = ?? = ?．
∴?四边形???? = 2?? ⋅ ?? = 2?? = 2 × 60 = 30．
答：四边形????的面积为 30．
1
1
1
考点三 相似三角形的相关证明
《解题指南》
相似证明「条件快速寻找清单」
找等角（优先 AA，性价比最高）
①公共角、对顶角；②平行线：同位角、内错角相等；③同角的余角/补角相等；④等角+公共角组合；特殊角：直角、等边三角形内角。
找成比例线段（SAS/SS 用）中点、等分线段；
已知线段比值；
四边形边长、矩形菱形边长关系；由全等、平行推导线段相等/比例。
命题点 01 利用两角证明两个三角形相似
【变典例 10】（2026·浙江湖州·模拟预测）某科学小组进行了小孔成像相关实验探究，装置如图所示，物体?? ⊥ ??，幕布?? ⊥ ??，光线经小孔 O 成像，物体成像后的顶端与 E 重合，底端落在点 D 处．
(1)求证： △ ???∽ △ ???．
(2)已知?? = 1.6m，?? = 1m，?? = 2??，求物体??的高度（即线段??的长）．
【答案】(1)见解析
(2)?? = 1.2m
【分析】（1）根据题意得到?? ∥ ??，再根据相似三角形的判定即可求解；
（2）根据相似三角形的性质得到?? = 2??，结合图形得到?? = 0.6m，代入计算即可求解．
【详解】（1）证明：∵?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
∴?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠???，∠??? = ∠???，
∴ △ ???∽ △ ???．
（2）解：∵ △ ???∽ △ ???，
∴?? = ??，
??
??
?? = 2??，
∴?? = 2??，
?? = 1.6m，?? = 1m，
∴?? = 0.6m，
∴?? = 1.2m．
【变式 01】（2026·四川成都·一模）如图，在菱形????中，对角线??与??相交于点?，过?作?? ⊥ ??于点?，交??于点?．
(1)求证： △ ??? ∽△ ???；
7
(2)若?? = 3，?? = 4，求??及??的长．
【答案】(1)证明见解析；
28
(2)??的长为3，??的长为15．
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，解一元二次方程，勾股定理，同角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）由四边形????是菱形，得?? ⊥ ??，∠??? = ∠???，又?? ⊥ ??，所以∠??? = ∠??? = 90°，则
∠??? + ∠??? = 90°，∠??? + ∠??? = 90°，得出∠??? = ∠???，然后通过相似三角形的判定方法即可求证；
??
??
??4
（2）由四边形????是菱形，得?? = ?? = 4，又△ ??? ∽△ ???，所以?? = ??，即 4 = ??+7， 解得
3
?? = 3，在Rt △ ???中，?? =??2 + ??2 =32 + 42 = 5，再证明△ ??? ∽△ ???，所以?? = ??，再
????
代入即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形????是菱形，
∴?? ⊥ ??，∠??? = ∠???，
∴∠??? = 90°，
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = ∠??? = 90°，
∴∠??? + ∠??? = 90°，∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∵∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???；
（2）解：∵四边形????是菱形，
∴?? = ?? = 4，
∵ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??，
??
??
∴?? =4 ，
4??+7
3
∴?? = 3，
在Rt △ ???中，?? =??2 + ??2 =32 + 42 = 5，
∵∠??? = ∠???，∠??? = ∠??? = 90°，
28
∴??的长为3，??的长为15．
28
∴?? = 15（负值舍），
，
4
5
??
7
∴ 3 =
??
??
∴?? = ??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
【变式 02】（2026·上海普陀·一模）如图，点?是Rt △ ???斜边??上的中点，点?位于??边上，且
∠??? = ∠?−∠?．
(1)求证： △ ??? ∽△ ???
(2)若?? = 2 6，?? = 2，求??的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)6
【分析】（1）由直角三角形的性质得?? = ?? = ??，即得∠? = ∠???，又由∠??? = ∠???−∠?，
∠??? = ∠?−∠?得∠? = ∠???，进而即可求证；
（2）由直角三角形的性质得?? = ?? = ?? = 2 6，即得?? = 4 6，再根据相似三角形的性质解答即可求解；
本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明： ∵ 点?是Rt △ ???斜边上的中点，
∴ ?? = ?? = ??，
∴ ∠? = ∠???，
∵ ∠??? = ∠? + ∠???，
∴ ∠??? = ∠???−∠?，又∵ ∠??? = ∠?−∠?，
∴ ∠? = ∠???，
∴△ ??? ∽△ ???；
（2）解：点?是Rt △ ???斜边上的中点，?? = 2 6，
∴ ?? = ?? = ?? = 2 6，
∴ ?? = 2 6 × 2 = 4 6，
∵ △ ??? ∽△ ???，
∴ ?? = ??，
??
??
即4 6 = ??+2
??
，
2 6
解得?? = 6或?? = −8（不合题意，舍去），
∴ ??的长为6．
命题点 02 利用三边对应成比例证明相似
【典例 11】（2025·广东·二模）如图，已知在Rt △ ???中∠??? = 90°．
(1)实践与操作：用尺规作图法在边??上找一点?，连接??，使得 △ ??? ∽△ ???；（保留作图痕迹，不写作法，不用证明）
(2)应用与求解：若??为??边上的中线，且?? = 6，?? = 7， △ ???的周长为16，求 △ ???的周长．
【答案】(1)见解析
(2)17
【分析】本题主要考查相似三角形的判定、尺规作角、三角形中线的定义以及三角形周长的计算．解题的关键在于理解相似三角形判定中角的关系用于尺规作图；利用三角形中线定义得到线段相等关系，进而通过已知三角形周长求出相关线段和，从而得出所求三角形的周长．
（1）本题要求用尺规作图找出使△ ??? ∽△ ???的点?．根据相似三角形的判定定理，两角分别相等的两个三角形相似．在Rt △ ???中∠??? = 90∘，已有∠?是△ ???和△ ???的公共角，所以只需作出∠??? = ∠
? ，就能满足相似条件，点?即为所求，且尺规作图方法不唯一．
（2）已知??是??边上的中线，根据三角形中线的定义，可得?? = ??．已知 △ ???的周长为16，
?? = 6，可先求出?? + ??的值，再利用?? = ??，将?? + ??的值求出，最后加上??的长度，就能得出
△ ???的周长．
【详解】（1）解：如图，作∠??? = ∠?，则点?即为所求．（作法不唯一）
（2）解： ∵ ??为??边上的中线，
∴ ?? = ??．
∵△ ???的周长为 16，?? = 6，
∴ ?? + ?? = 10，
∴?? + ?? = 10，
∴ ?? + ?? + ?? = 10 + 7 = 17，即△ ???的周长为 17．
【变式 01】（25-26 九年级上·广西桂林·期中）如图，某地四个乡镇 A，B，C，D 之间建有公路，已知
?? = 14km，?? = 28km，?? = 21km，?? = 42km，?? = 31.5km，
如图 △ ???与 △ ???相似吗？若相似，请写出证明过程．
公路??与??平行吗？说出你的理由．
【答案】(1) △ ??? ∽△ ???，理由见解析
(2)?? ∥ ??，理由见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．
分别计算两三角形最长边、最短边、中长边的比，利用三边对应成比例的两个三角形相似判断即可；
由相似三角形的性质得到内错角相等，再根据内错角相等判定两直线平行．
??2
【详解】（1）证明：= 14 = ，
??213
??282
??
= 42 = 3，
??
212
??31.53
∵?? = ?? = ?? = 2，
??????3
∴ △ ??? ∽△ ???；
（2）解：?? ∥ ??，理由如下：
∵ △ ??? ∽△ ???，
∴∠??? = ∠???，
∴?? ∥ ??．
【变式 02】（25-26 九年级上·江西抚州·期中）在4 × 10的方格中，小正方形的边长为 1， △ ???， △ ???
和△ ???都是格点三角形．
判断 △ ???与 △ ???相似吗？若相似，求出∠???的度数，并说出理由；
判断 △ ???与 △ ???相似吗？若相似，求 △ ???与 △ ???的周长比．
5，
????
??
∵ ?? = ?? = ?? =
∴ △ ???与 △ ???相似，
∴∠??? = ∠??? = 135°；
（2）解： △ ???与 △ ???相似，周长比为 5．
在△ ???中，?? = 10，?? =22 + 62 = 2 10，?? =22 + 42 = 2 5，
在△ ???中，?? = 2，?? =22 + 22 = 2 2，?? =22 + 42 = 2 5，
10，
??????
∵?? = ?? = ?? =
【答案】(1)相似，∠??? = 135°，理由见解析
(2)相似，周长比为 5
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的周长比，以及勾股定理解三角形，解决本题的关键是熟练使用勾股定理将三边解出．
根据三边成比例即可判定相似，再由∠???的度数可得∠???的度数；
根据三边成比例即可判定相似，再由周长比为边长比求解即可．
【详解】（1）解： △ ???与 △ ???相似，∠??? = 135°，理由如下，
在△ ???中，?? = 10，?? =22 + 62 = 2 10，?? =22 + 42 = 2 5，在△ ???中，?? = 2，?? =12 + 12 = 2，?? =12 + 32 = 10，
∴ △ ???与 △ ???相似，
∴ △ ???与 △ ???的周长比为??的长度与??的长度，
即周长比为?? = 5．
??
【变式 03】（2025·上海·模拟预测）四边形????与四边形????均为平行四边形．连接??,??,??和??交于点 G．
求证： △ ???≌ △ ???；
若点?在??延长线上，且?? ⋅ ?? = ?? ⋅ ??，求证：∠??? = ∠???．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定，三角形相似的判定与性质：
（1）证明四边形????是平行四边形，得到?? = ??，利用SSS易证全等；
（2）由?? ⋅ ?? = ?? ⋅ ??可得?? = ??，由?? ∥ ??可得?? = ??，从而可得?? = ??，据此可证
△ ??? ∽△ ???，从而得到∠??? = ∠???，再由四边形????是平行四边形和?? ∥ ??即可得到角的关系，
????
????
????
从而得证．
【详解】（1）证明：∵四边形????是平行四边形
∴?? ∥ ??,?? = ??,?? = ??
同理，?? ∥ ??,?? = ??,?? = ??
∴?? ∥ ??，?? = ??
∴四边形????是平行四边形
∴?? = ??
?? = ??
在△ ???和 △ ???中 ?? = ??
?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(SSS)；
（2）证明：∵?? ⋅ ?? = ?? ⋅ ??
∴△ ??? ∽△ ???
∴ ∠??? = ∠???
∵四边形????是平行四边形
∴ ∠??? = ∠???
∴ ∠??? = ∠???
∵ ?? ∥ ??
∴ ∠??? = ∠???
∴ ∠??? = ∠???．
??,∠?是公共角
??
∵?? = ??
????
∴ ?? = ??
在△ ???和△ ???中，
????
∴ ?? = ??
????
∴ ?? = ??
又∵ ?? = ??
????
∴ ?? = ??
∵ ?? ∥ ??
又∵?? = ??
??
??
∴?? = ??
命题点 03 利用两边对应成比例及其夹角相等证明相似
【典例 11】（25-26 九年级上·安徽合肥·期末）如图所示，点?在直角三角形???的斜边??上，连接??，作
????
?? ⊥ ??，使得?? = ??，连接??交??于点?，若?? = 6，?? = 8．
求证：
(1) △ ??? ∽△ ???．
(2)若?? = 4，求tan∠???的值．
【答案】(1)见解析；
(2)2．
【分析】本题考查了利用三边对应成比例判定相似，利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似，相似三
1
角形的判定与性质综合，解直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求
解．
利用三边对应成比例判定相似求解；
先由△ ??? ∽△ ???，可得∠? = ∠???，再证明∠??? = 90°，接着利用勾股定理求得?? = 10，从而可求得??，再利用相似三角形的性质列出比例式求得??，然后正切的定义求解．
【详解】（1）解：∵∠??? = ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???．
又∵?? = ??，
??
??
∴ △ ??? ∽△ ???．
（2）解：∵ △ ??? ∽△ ???，
∴∠? = ∠???．
∵∠? + ∠??? = 90°，
∴∠??? + ∠??? = 90°
∴∠??? = 90°．
∵在?? △ ???中，?? = 6，?? = 8，
∴?? =??2 + ??2 =62 + 82 = 10．
∵?? = 4，
∴?? = ??−?? = 10−4 = 6．
∵ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??，
??
??
∴8 = 4 ，
6
??
∴?? = 3．
∴在?? △ ???中，tan∠??? === ．
??
31
??62
∴tan∠??? = 2．
1
【变式 01】（25-26 九年级下·广东广州·月考）如图，已知点?，?分别在△ ???的边??，??上，?? = 2，
?? = 3，?? = 4，?? = 6．求证： △ ??? ∽△ ???．
【答案】见解析．
【分析】先得?? = ??，然后结合∠??? = ∠???即可求证．
【详解】证明：∵?? = 2，?? = 3，?? = 4，?? = 6，
????
∴==
??
21??31
??4
2，??
== ，
6
2
∴?? = ??，
??
??
∵∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???．
【变式 02】（24-25 九年级上·安徽合肥·期末）如图，在△ ???中，点?、?分别在边??、??上，
?? = 2??，?? = 2??．
(1)求证： △ ??? ∽△ ???；
?
(2)若?? = 6，?? = 4，连接??，求?△???的值．
△???
【答案】(1)见解析
又∵∠? = ∠?，
∴ △ ??? ∽△ ???．
（2）解：∵?? = 4，?? = 6，?? = 2??，?? = 2??，
∴?? = 8，?? = 12，
∴?? = ??−?? = 2，?? = ??−?? = 8，
6
1
= ．
△???
?△???2?△???
?
3
∴ ?△??? =
1
∴?△??? = 3?△???，?△??? = 2?△???
1
△?????△?????
??1?△?????
?△???
根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：?== 2，?== 3，
(2)1
??
??
∴?? = ??，
??
??
∴?? = 2，?? = 2，
【详解】（1）证明：∵?? = 2??，?? = 2??
3
可得出：?△??? = 1?△???，?△??? = 2?△???，进一步即可得出答案．
????
（1）首先得到?? = ??，然后结合∠? = ∠?即可证明；
（2）由已知条件可得出?? = ??−?? = 2，?? = ??−?? = 8，根据等高三角形面积比等于三角形的底比
【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，比的应用．熟练掌握相似三角形的判定是解此题的关键．
6
??
【变式 03】（25-26 九年级上·江苏扬州·期末）如图，在△ ???中，点 D、E 分别在边??、??上，且?? =
??
??，连接??、??．
(1)求证： △ ??? ∽△ ???；
(2)若点 E 为??的中点，??:?? = 4∶3，若?? = 12，求??的长度．
【答案】(1)见解析
(2)1
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题关键．
∴?? = ?? = 6，
1
2
∵??:?? = 4∶3，
∴?? = 8，
∵ △ ??? ∽△ ???，
∴==
??
????
????
??，
∴ 8 = ?? = 6 ，
12??
??
∴?? = 9，
∴?? = ??−?? = 9−8 = 1．
????
∴ △ ??? ∽△ ???；
（2）解：∵点 E 为??的中点，
??
??
【详解】（1）证明：∵=，∠??? = ∠???，
即可解答．
，求出?? = 9，
??
??
????
==
??
??
（2）由??:?? = 4∶3，得出?? = 8，再利用相似三角形的对应边成比例得出
（1）根据两组对应边成比例及夹角相等即可得证；
命题点 04 相似三角形综合判定
【典例 12】（25-26 九年级上·江苏泰州·期末）如图，在正方形????中，?? = 4，?是??的中点，点?在??
上，且?? = 3??．
求证： △ ???∽ △ ???；
试判断 △ ???是否为直角三角形，并说明理由．
【答案】(1)证明见详解；
(2) △ ???是直角三角形，理由见详解．
【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定定理、勾股定理及其逆定理的综合应用．
又∵∠? = ∠? = 90°，
∴ △ ??? ∽△ ???；
（2）解： △ ???是直角三角形，理由如下：
在Rt △ ???中，由勾股定理得：??2 = ??2 +??2 = 42 + 22 = 16 + 4 = 20，在Rt △ ???中，由勾股定理得：??2 = ??2 +??2 = 22 + 12 = 4 + 1 = 5，
在Rt △ ???中，?? = 4，?? = 3，由勾股定理得：??2 = ??2 +??2 = 42 + 32 = 16 + 9 = 25，
∵??2 +??2 = 20 + 5 = 25 = ??2，
∴ △ ???是直角三角形，且∠??? = 90°．
??
??
∴?? = ??，
??1
??2
∴?? = 4 = 2，?? = 2 = 2，
∵?? = 3??，且?? + ?? = ?? = 4，
∴4?? = 4，即?? = 1，
1
2
∴?? = ?? = ?? = 2，
（1）先利用正方形性质得到∠? = ∠? = 90°，再结合已知条件求出相关线段的长度，计算对应边的比例，
最后根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”完成证明；
（2）通过勾股定理分别求出三条边的平方，再验证是否满足勾股定理的逆定理，若满足则该三角形为直角三角形．
【详解】（1）解：∵四边形????是正方形，?? = 4，
∴?? = ?? = ?? = 4，∠? = ∠? = 90°，
∵?是??的中点，
【变式 01】（2026·江苏宿迁·一模）在 △ ???中，?? = ???（0 < ? < 1）．
??
如图 1，点 D 在??边上，若∠??? = ∠?，则?? = ．（用含 k 的代数式表示）
如图 2，用无刻度直尺和圆规，在边??上找一点 E，使得?? = ???，（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】(1)1
?
(2)见解析
?
??
∴?? = 1，即?? = ???．
1
= ?−1 = ? ，
??
1−?
????????−
∴?? = ?? = ??−?? = ?? ??
∵??∥??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
（2）解：如图：点 E 即为所求．
?
?????
∴?? = ?? = 1．
∵?? = ???，
??
??
∴?? = ??，
【分析】（1）先证明△ ??? ∽△ ???，再利用相似三角形的性质以及已知条件即可解答；
（2）如图：过 C 作??∥??，分别在??、??上取点 M、F，使得?? = ?? = ??，连接??与??的交点 E 即为所求．
【详解】（1）解∶∵∠??? = ∠?，∠? = ∠?，
∴ △ ??? ∽△ ???，
【变式 02】（2026·上海宝山·二模）如图，已知梯形????中，?? ∥ ??，?? = ??，对角线??与??交于点
E，将△ ???沿着直线??翻折得到 △ ???（点 D 对应点 F）．
求证：四边形????是平行四边形；
????
(2)如果四边形????是矩形，且?? = ??，求证：?? = 2??．
【答案】(1)见解析
见解析
【分析】（1）先得到梯形????是等腰梯形，然后根据等腰梯形的性质以及折叠的性质，通过两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）先根据比例线段证明?? = ??，然后结合翻折，矩形的性质证明∠3 = 30°，即可求证．
【详解】（1）证明：由翻折可得，?? = ??,?? = ??，
∵梯形????中，?? ∥ ??，?? = ??，
∴梯形????是等腰梯形，?? = ??，
∴?? = ??，
∴?? = ??，
∴四边形????是平行四边形；
（2）证明：如图，
∵四边形????是矩形，
∴∠? = ∠??? = 90°，?? ∥ ??，
∴∠3 = ∠4，设∠3 = ∠4 = ?，
∵?? ∥ ??
∴ △ ??? ∽△ ???，∠2 = ∠3 = ?，
∴?? = ??，
??
??
∵?? = ??
??
??，
∴?? = ??，
??
??
∴?? = ??，
∴∠1 = ∠2 = ?，
∵翻折，
∴∠5 = ∠??? = ∠1 + ∠3 = 2?，
∵∠? = 90°，
∴∠4 + ∠5 = 3? = 90°，
∴? = 30°，
∴∠3 = 30°，
∵∠??? = 90°，
∴?? = 2??，
∵?? = ??,?? = ??，
∴?? = 2??．
【变式 03】（2026·上海闵行·二模）如图，在Rt △ ???中，∠??? = 90°，?? = ??．点?在边??上，点?在
??的延长线上，连结??、??，过点?作??的垂线，分别交??、??、??于点?、?和?，且?? = ??．
(1)求证：?? = ??；
??
(2)求证： ?? =
2??
?? ．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点．
根据Rt △ ???为等腰直角三角形， △ ???为等腰三角形，得到对应底角相等，根据三角形外角定理以及角的和差关系得到∠??? = ∠???，根据等角的余角相等得到∠??? = ∠???，继而根据等腰三角形三线合一的性质得证结论．
通过证明△ ??? ∽△ ???， △ ??? ∽△ ???，得到对应线段成比例，继而通过线段的等量代换得证结论．
【详解】（1）证明；∵?? = ??，
∴Rt △ ???为等腰直角三角形，
∴∠??? = ∠??? = 45°，∠??? = ∠??? = 90°，
∵?? = ??，
∴ △ ???为等腰三角形，
??2??
∴代入上式得?? = ?? ．
2
又∵?? = ?? = 1??，
??
??
=，
????
??，即??
??
??
∴=
??????
??
∴?? = ??，?? = ??，
∴∠??? = ∠???，
∵∠??? = ∠??? + ∠???，∠??? = ∠??? + ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠??? + ∠??? = 90°，
∵∠??? + ∠??? = ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???，
∴?? = ??，
∴ △ ???是等腰三角形，
∵∠??? = ∠??? = 90°，
∴?? = ??；
（2）证明：由（1）知，∠??? = ∠???，?? = ??， △ ???是等腰三角形，
∴∠??? = ∠??? = ∠???，
又∵∠??? = ∠??? = 90°，∠??? = ∠??? = 90°，∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???， △ ??? ∽△ ???，
【变式 04】（2026·北京平谷·一模）如图，平行四边形????，?是??延长线上一点，?? = ??，且
∠??? = 2∠???．
求证：四边形????是菱形；
(2)连接??交??于?，若∠??? = 30°，?? = 4，求??和??的长．
【答案】(1)见解析
(2)?? = 12，?? = 7
【分析】（1）根据平行四边形的性质和等边对等角的性质，推出∠??? = ∠??? = ∠???，则?? = ??，即可得证；
（2）过点?作?? ⊥ ??于点?，根据菱形的性质，得出△ ???是等边三角形，?? = ?? = 4 3，再得出
∠??? = 90°，利用勾股定理求出?? = 8，即可得出??的长．根据三线合一的性质和勾股定理，求出
?? = 4 7，证明△ ??? ∽△ ???，利用对应边成比例得出?? = 3??，即可求出??的长．
【详解】（1）证明： ∵ 平行四边形????，
∴ ??∥??，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ?? = ??，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ∠??? = 2∠???，
∴ ∠??? = 2∠???，
∴ ∠??? = ∠??? = ∠???，
∴ ?? = ??，
∴ 四边形????是菱形；
（2）解：如图，过点?作?? ⊥ ??于点?，
∵ ∠??? = 30°，
∴ ∠??? = 2∠??? = 60°，
由（1）可知，四边形????是菱形，
∴ ?? = ?? = ?? = ?? = 4，??∥??，??∥??，?? ⊥ ??，?? = ?? =
1??，?? = ?? =
2
1??，
2
∴△ ???是等边三角形，
∴ ?? = ?? = 4，
∴ ?? = ?? = 2，
∴ 在Rt △ ???中，?? =??2−??2 = 2 3，
∴ ?? = 2?? = 4 3，
∴ ?? = ?? = 4 3，
∵ ??∥??，∠??? = 60°，
∴ ∠??? = ∠??? = 60°，
∴ ∠??? = 180°−∠???−∠??? = 90°，
∴ ?? =??2 + ??2 = 8，
∴ ?? = ?? + ?? = 12，
∵△ ???是等边三角形，?? ⊥ ??
∴ ?? = ?? = ?? = 2，
1
2
∴ ?? =??2−??2 = 2 3，?? = ??−?? = 10，
∴ 在Rt △ ???中，?? =??2 + ??2 = 4 7，
∵ ??∥??，
∴∠??? = ∠???,∠??? = ∠???，
∴△ ??? ∽△ ???，
∴ ?? = ?? = 12 = 3，
∴ ?? = 3??，
????4
1
∴ ?? = ?? = 7．
1
4
【变式 05】（2026·四川绵阳·二模）如图，正方形????中，?、?分别是边??、??上的点，?? ⊥ ??，垂足为?，??与??相交于?，??与??交于?，??与??交于?．
(1)求证：?? = ??；
若正方形边长为 6，?? = 2 2，求??的长度．
【答案】(1)见解析
(2)?? = 2 5
【分析】（1）证明∠??? = ∠???，根据ASA证明 △ ???≌ △ ???即可得出结论；
??1
（2）根据勾股定理求出?? = 6 2，得出?? = 4 2，可得?? = 2，证明△ ??? ∽△ ???，求出?? = 3，由
勾股定理求出?? = 3 5，根据相似三角形的性质可求出?? = 2 5．
【详解】（1）证明：∵四边形????是正方形，
∴?? = ??,∠??? = ∠??? = 90°，即∠??? + ∠??? = 90°，
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°，∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???
在△ ???和 △ ???中，
∠??? = ∠???
?? = ??，
∠??? = ∠???
∴ △ ???≌ △ ???(ASA)
∴?? = ??；
解：∵正方形的边长为 6，
∴?? =62 + 62 = 6 2，
∵?? = 2 2，
∴?? = ??−?? = 6 2−2 2 = 4 2，
∴?? = 2 2 = 1，
??
4 22
∵?? ∥ ??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ?? = 1，
????2
∵?? = 6，
∴?? =
1 × 6 = 3，
2
在Rt △ ???中，?? = 6，?? = 3，
∴?? =??2 + ??2 =62 + 32 = 45 = 3 5，
1
∵ △ ??? ∽△ ???，且相似比为2，
∴?? = 1，
??2
22
∴?? = 3?? = 3 × 3 5 = 2 5
中考预测题
如图，在四边形????中，?为??中点，??延长线交??于点?，?为??中点，连接??，
∠??? = ∠??? + ∠???, ?? = ?? + ??．
(1)求证： △ ??? ∽△ ???；
(2)若?? = 1，求??的长；
如图 2，当∠? = 90°，求tan∠???．
∴ △ ??? ∽△ ???．
2?
【详解】（1）证明：∵∠??? = ∠??? + ∠???, ∠??? = ∠??? + ∠???，
∴∠??? = ∠???．
又∵?, ?分别为??, ??中点，
∴??是△ ???的中位线，
∴?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠?，
2
5−1，再根据正切的定义可得tan∠??? = ? 进而完成解答．
?
（3）设?? = ?, ?? = ?，则?? = ? + ?．由（1）可知△ ??? ∽△ ???，利用相似三角形的性质可得 ? =
【分析】（1）由三角形外角的性质以及等量代换可得∠??? = ∠???，再说明??是 △ ???的中位线，即
?? ∥ ??可得∠??? = ∠?，再根据两种对应角相等的三角形相似即可证明结论；
（2）先说明??是△ ???的中位线，即?? = 2?? = 2．设?? = ?，则?? = 2 + ?，由（1）可知
△ ??? ∽△ ???，利用相似三角形的性质可得? = 1 + 5，即?? = 3 + 5，最后根据?? = ??−??求解即可；
4
(3)tan∠??? = 5−1
【答案】(1)见解析
(2)2 + 5
?
4
?5−1
??????+?
?
?
?
2
∴tan∠??? == ×
?1
5−15−1
2?22
=．
? 2
??
??
??
∴=，即 =，整理得：+ −1 = 0，解得： =（已舍去负值），
∴?? = ? + 2 = 1 + 5 +2 = 3 + 5，
∴?? = ??−?? = 3 + 5−1 = 2 + 5．
（3）解：设?? = ?, ?? = ?，则?? = ? + ?．由（1）可知， △ ??? ∽△ ???，
?+2
?
=，解得∶? = 1 + 5（负值舍去），
??，即?
??
??2
??
∴=
（2）解：∵?, ?分别为??, ??中点，?? = 1，
∴??是△ ???的中位线，即?? = 2?? = 2．设?? = ?，则?? = 2 + ?，
由（1）可知， △ ??? ∽△ ???，
如图 1，等腰直角三角形???中，?为斜边??中点，?为??上任一点，??交??于点 F，?? ⊥ ??交??于点?，连接??．
求证： △ ??? ∽△ ???；
如图 2，当?为??中点时，求证：??∥??；
当点?在??上移动时，猜想??和??的数量关系并证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)?? = 2??，证明见解析
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质，结合?为斜边??中点可得∠??? = ∠??? = 45°，?? ⊥ ??，
?? = ??，从而可证明 △ ???≌ △ ???(SAS)，则∠??? = ∠???．由等角的余角相等可得∠??? = ∠???，结合∠??? = ∠???可得∠??? = ∠???，因此命题得证；
（2）结合（1）的结论容易证明△ ???≌ △ ???(AAS)，则?? = ??，从而得到?? = ??，由等腰三角形的
性质和三角形内角和定理可得∠??? = ∠??? = 45°，命题得证；
????
过点?作??的平行线，交??的延长线于点?，由（1）可知， △ ??? ∽△ ???，则?? = ??，由平行可判
??
??
??
??
??
??
定△ ??? ∽△ ???，则?? = ??，因此?? = ??，同理可得△ ??? ∽△ ???，则?? = ??，结合?? = 2??，可得
?? = 2??．
【详解】（1）证明：如图，设??与??的交点为?，
∵在等腰直角三角形???中，??为斜边，
∴?? = ??，∠??? = ∠??? = 45°，
∵?为??中点，
∴?? ⊥ ??，?? = ??，
∴∠??? = ∠??? = 90°，
∴∠??? = 180°−∠???−∠??? = 45° = ∠???，
在△ ???和 △ ???中，
?? = ??
∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴∠??? = ∠???，
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°，
∴∠??? + ∠??? = 90°，
∵∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???，
∵∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
又∵∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???；
（2）证明：∵?为??中点，
∴?? = ??，
由（1）可知，∠??? = ∠???，∠??? = ∠??? = 45°，
在△ ???和△ ???中，
∠??? = ∠???
∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)，
∴?? = ??，
∵∠??? = ∠??? = 45°，
∴?? = ??，
∴??−?? = ??−??，即?? = ??，
∵∠??? = 90°，
∴∠??? =
180°−∠???
2
= 45°，
∴∠??? = ∠???，
∴??∥??；
（3）解：?? = 2??，证明如下：
如图，过点?作??的平行线，交??的延长线于点?，
由（1）可知， △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??，
??
??
∵?? ∥ ??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??，
??
??
∴?? = ??，即?? = ??⋅??
??
??
?? ，
∵?? ∥ ??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??，即?? = ??⋅??，
??
??
??
??
??
∴2?? = ??，即?? = 2??．
∵?? = 2??，
??
??
∴?? = ??，
??
??
∴??⋅?? = ??⋅??，
如图， △ ???中，分别以??，??向外作Rt △ ???和Rt △ ???，其中∠??? = ∠??? = 90°，
∠??? = ∠??? = ?，?，?，?分别是边??，??，??的中点，连接??，??，??，??．
(1)求证： △ ??? ∽△ ???；
(2)求证：?? = ??；
(3)∠???的度数为（用含?的代数式表示）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)2?
【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余易得∠??? = ∠???，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，结合等边对等角和三角形外角的定义可求得∠??? = ∠???，即可证得结论；
（2）连接??、??，根据三角形中位线的性质可证得?? = ??，?? = ??，∠??? = ∠???，即可根据SAS
证得△ ???≌ △ ???，最后由全等三角形的对应边相等的性质可得结论；
（3）根据全等三角形的性质和平行线的性质可得∠??? = ∠???，∠??? = ∠???，结合三角形外角的定义、三角形内角和定理以及平角的定义，通过角度的和差运算即可求得结果．
【详解】（1）证明：∵∠??? = ∠??? = 90°，∠??? = ∠??? = ?，
∴∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? = 90°，即∠??? = ∠???，
又∵?，?分别是边??，??的中点，
∴?? = ?? = ?? =
1??，?? = ?? = ?? =
2
1??，
2
∴∠??? = ∠???，∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠??? + ∠??? = 2∠???，∠??? = ∠??? + ∠??? = 2∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???；
（2）证明：如图，连接??、??，
∵?，?，?分别是边??，??，??的中点，
∴?? =
??，??∥??，?? =
1
2
1??，??∥??，
2
∴∠??? + ∠??? = 180°,∠??? + ∠??? = 180°，
∴∠??? = ∠???
由（1）可知，?? = 1??，?? = 1??，∠??? = ∠???，且
22
∠??? = ∠??? + ∠???,∠??? = ∠??? + ∠???
∴?? = ??，?? = ??，∠??? = ∠???，
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴?? = ??；
（3）解：由（2）可知， △ ???≌ △ ???，??∥??，
∴∠??? = ∠???，∠??? = ∠???，
∴∠??? + ∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? + ∠??? + ∠??? = 180°，
∠??? = ∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠???，
∴∠??? = 180°−∠???−∠???−∠???，
由（1）可知∠??? = 2∠??? = 2?，
∴∠??? = 180°−(∠??? + ∠???)−∠???−∠???
= 180°−∠???−∠???−∠???
= ∠???
= 2?．
考点四 圆中相关证明
《解题指南》
三大核心证明题型(中考必考)
题型 1：证明切线(最高频)两种方法，二选一
有交点，连半径，证垂直
已知直线与圆有公共点，连接圆心和交点，证明夹角=90˚ 。
无交点，作垂直，证半径
不确定交点，过圆心作直线垂线，证明垂线段长度=半径。切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径。
题型 2：证明线段相等/弧相等解题依据：
等角对等弧、等弧对等弦；
垂径定理推弦相等；
圆周角相等→弧相等→弦相等；
结合全等、等腰三角形证边长相等。
题型 3：证明角度相等、垂直关系常用倒角工具：
①同弧圆周角相等；②切线+半径互余倒角；③直径出直角；④圆内接四边形外角性质；⑤互余、对顶角、
公共角转化。
命题点 01 圆中切线的证明
【典例 13】（2026·浙江丽水·一模）如图，已知??是半圆?的直径，点?，?在半圆上，且??平分∠???，?? ⊥ ??
交??的延长线于点?．
(1)求证：??是 ⊙ ?的切线；
(2)若?? = 4，?? = 10，求cs∠???的值．
【答案】(1)见详解
(2)3
5
【分析】（1）连接??，结合已知条件?? ⊥ ??，证明?? ∥ ??即可得证；
（2）要求cs∠???，尝试把∠???放到直角三角形中，连接??，显然∠??? = 90°，进而可知?? ⊥ ??，由垂径定理及?? = 4可得??的长，问题得解．
【详解】（1）证明：如图，连接??．
∵ ?? = ??，
∴ ∠1 = ∠???．
∵ ??平分∠???，
∴ ∠1 = ∠2，
∴ ∠2 = ∠???．
∴ ?? ∥ ??．
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ?? ⊥ ??
∴ ∠??? = 90°，
又∵ ??是 ⊙ ?的半径，
∴ ??是⊙ ?的切线；
（2）解：连接??交??于 F，
∵ ??是 ⊙ ?的直径，
∴ ∠??? = 90°，
∵ ?? ∥ ??，
∴ ∠??? = 90°，
∴ ?? = 2??，四边形????为矩形，
∴ ?? = ?? = 4，
∴ ?? = 8．
在Rt △ ???中，?? = 10，由勾股定理，得
?? =??2−??2 =102−82 = 6．
63
∴ cs∠??? = 10 = 5．
【点睛】本题考查了圆的切线，垂径定理以及三角函数，掌握证明切线的常见方法“连半径证垂直”、求三角函数值时要尝试构造直角三角形等方法是解题的关键．
【变式 01】（2026·江苏宿迁·一模）如图，以 △ ???的??边上的一点 O 为圆心的圆，经过 A，B 两点，且与??边交于点 E，D 为??所对的下半圆中点，连接??交??于 F，?? = ??．
求证：??是 ⊙ ?的切线；
已知 ⊙ ?的半径为 10，?? = 12，求??的长．
【答案】(1)见解析
(2)26
【分析】（1）连接??，??，由题意可得?? ⊥ ??，即∠??? = 90°，从而可得∠??? + ∠??? = 90°，由等边对等角并结合对顶角相等得出∠??? + ∠??? = 90°，即∠??? = 90°，即可得证；
（2）由题意可得?? = ?? = 10，则?? = 2，设?? = ?? = ?，则?? = ? + 2，再由勾股定理计算即可得出结果．
【详解】（1）证明：如图：连接??，??，
∵D 为??所对的下半圆中点，
∴?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°，
∴∠??? + ∠??? = 90°，
∵?? = ??，
∴∠??? = ∠???，
∴∠??? + ∠??? = 90°，
∵?? = ??，∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠??? = ∠???，
∴∠??? + ∠??? = 90°，即∠??? = 90°，
∵??为 ⊙ ?的半径，
∴??是⊙ ?的切线；
（2）解：∵ ⊙ ?的半径为 10，
∴?? = ?? = 10，
∴?? = ??−?? = 2，
设?? = ?? = ?，则?? = ?? + ?? = ? + 2，由勾股定理可得??2 +??2 = ??2，
∴?2 + 102 = (? + 2)2，
解得：? = 24，
∴?? = ? + 2 = 26．
【变式 02】（2026·湖南张家界·一模）如图，??是 ⊙ ?的直径，??，??是⊙ ?的弦，过圆心 O 作??的平行线??与过点 C 的切线交于点 D，与??交于点 E．
(1)求证：??是 ⊙ ?的切线；
(2)如果∠? = 2∠???，?? = 3，求??的长；
在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)3 3
2
(3)9 3−3?
8
【分析】（1）连接??，可证得△ ???≌ △ ???，从而∠??? = ∠???，进一步得出结果；
（2）可推出∠??? = 1∠2，结合∠??? + ∠2 = 90°得出∠??? = 30°，进而得出结果；
2
（3）可结合（1）（2）得出∠3 = ∠2 = 2∠??? = 60°，
13，?? = ?? = 3 3，从而求得△ ???
?? = ?? = 2?? = 22
和扇形???的面积，进而得出结果．
【详解】（1）证明：如图，连接??
∵ ?? = ??，
∴ ∠? = ∠1，
∵ ?? ∥ ??，
∴ ∠? = ∠3，∠1 = ∠2，
∴ ∠2 = ∠3，
∵ ?? = ??，?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ??是 ⊙ ?的切线，
∴ ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = 90°，
∴ ?? ⊥ ??，
∵ 点?在⊙ ?上，
∴ ??是 ⊙ ?的切线；
解：如图1，
由（1）知：∠? = ∠1 = ∠2，
∵ ∠? = 2∠???，
∴ ∠??? =
1∠2，
2
∵ ∠??? + ∠2 = 90°
∴ ∠??? = 30°，
∵ ∠??? = 90°，
∴ ?? = ?? ⋅ cs∠??? = 3 ⋅ cs30° = 323；
．
8
9 3−3?
∴ ?阴影 = ?△???−?扇形??? =
3
8
= ?，
3 2
2
60°⋅?×
360°
，?扇形??? =
8
222
33 39 3
1
?? ⋅ ?? = × ×=
1
2
∴ ?△??? =
2
2
2
由（1）（2）知，∠3 = ∠2 = 2∠??? = 60°，?? = ?? = 1?? = 3，?? = ?? = 3 3，
（3）解：如图1，设??交 ⊙ ?于?，
【变式 03】（2026·浙江宁波·一模）如图，在Rt △ ???中，∠??? = 90°，??平分∠???交??于点?，点?在边??上，以??为直径的⊙ ?恰好过点?．
(1)求证：??与 ⊙ ?相切．
(2)当?? = ?? = 2时，求??的长．
【答案】(1)见解析
(2)2 3
【分析】（1）连接??，证明?? ∥ ??即可；
（2）利用解直角三角形求解即可；
【详解】（1）解：如图，连接??，
∵ ??平分∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ?? = ??，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ?? ∥ ??，
∵ ∠??? = ∠??? = 90°，
∴ ?? ⊥ ??，
∴ ??与 ⊙ ?相切．
（2）解： ∵ ?? = ?? = ?? = 2，
∴ ?? = 2?? = 4，
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ?? = 2 3，∠? = 30°，∠??? = 60°．
∵ ∠??? = ∠??? + ∠??? = 2∠???，
∴ ∠? = ∠??? = 30°，
∴ ?? = ?? = 2 3．
【变式 04】（2026·北京通州·一模）如图，已知??为半圆 O 的直径，C 为半圆 O 上一点，连接??，??，过点 O 作?? ⊥ ??于点 D，过点 A 作半圆 O 的切线交??的延长线于点 E，连接??．
(1)求证：??为圆 O 的切线；
3
(2)连接??并延长交??于 F，若半圆 O 的直径为 10，tan∠??? = 4，求??的长．
【答案】(1)见解析
(2)?? = 60
17
【分析】（1）如图 1，连接??，垂径定理得出?? = ??，垂直平分线的性质得?? = ??，则
∠??? = ∠???，根据?? = ??，得∠??? = ∠???，根据??是半圆 O 的切线，得出∠??? = 90°，则
∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? = 90°，即?? ⊥ ??，即可证明??为圆 O 的切线；
（2）作?? ⊥ ??于 M，如图 2，根据垂径定理和tan∠??? = 4，求出?? = 6，?? = 8，根据?? ⊥ ??，得出
3
?? = ?? = 2?? = 4，则?? = 2?? = 3，则sin∠??? = ?? = 5，求出??，??，证明 △ ??? ∽△ ???，根
据相似三角形的性质即可求解；
1
1
??3
【详解】（1）证明：如图 1，连接??，
∵?? ⊥ ??，
∴?? = ??，
∴??垂直平分??，
∴?? = ??，
∴∠??? = ∠???，
∵?? = ??，
∴∠??? = ∠???，
∵??是半圆 O 的切线，
∴∠??? = 90°，
∴∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? = 90°，
∴?? ⊥ ??，
∵??为半径，
∴??为圆 O 的切线．
（2）解：作?? ⊥ ??于 M，如图 2，
3
∵半圆 O 的直径为 10，??为半圆 O 的直径，tan∠??? = 4，
∴∠??? = 90°,?? = 10，
??3
∵tan∠??? = ?? = 4，
∴设?? = 3?,?? = 4?，
2
60
2
4 −
2
12 2
5
= 5 ，
16
∴?? = ??−?? = 5 ，
∵??∥??，
34
∴ △ ??? ∽△ ???，
1234
∴?? = ??，即 5 = 5 ，
??
????10
∴?? = 17．
∴?? =?? −?? =
12
3
∴?? = 5?? = 5 ，
??
∵sin∠??? = sin∠??? = ?? ，
3
??
∴sin∠??? = ?? = 5，
1
2
∴?? = ?? = 3，
∵?? = ??，
1
2
∴?? = ?? = ?? = 4，
∴102 = (3?)2 + (4?)2，
解得：? = 2，
∴?? = 6，?? = 8，
∵?? ⊥ ??，
命题点 02 圆中证明线段相等
【典例 14】（2026·山西晋中·一模）如图， ⊙ ?与??相切于点?,??,??分别交 ⊙ ?于点?,?, ?? = ??．
(1)求证：?? = ??；
(2)已知?? = 4 3,?? = 4，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)2 3−
2
π
3
【分析】（1）连接??，由切线的性质可知∠??? = ∠??? = 90°，由于?? = ??，所以∠??? = ∠???，证明△ ???≌ △ ???(ASA)，根据全等三角形对应边相等，即可得出结论；
（2）根据全等三角形的性质得?? = ?? = 1?? = 2 3，?? = ?? = 4，然后解直角三角形得∠??? = 60°，
2
从可求出扇形???的面积以及△ ???的面积，根据?阴影 = ?△???−?扇形???即可得解．
【详解】（1）证明：如图，连接??．
∵⊙ ?与??相切于点 C，
∴ ?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = ∠??? = 90°，
∵ ?? = ??，
∴ ∠??? = ∠???，
在△ ???和 △ ???中，
∠??? = ∠???
?? = ??，
∠??? = ∠???
∴△ ???≌ △ ???(ASA)，
∴ ?? = ??；
（2）解：∵ △ ???≌ △ ???，?? = 4 3,?? = 4，
∴?? = ?? =
1?? = 2 3，?? = ?? = 4，
2
∴在Rt △ ???中，?? =??2−??2 = 2,sin∠??? = ?? = 3，
??2
∴ ∠??? = 60°，
11
∵ ?
△??? = 2?? ⋅ ?? = 2 × 2 3 × 2 = 2 3，
?= 60×π×222
扇形???
= π，
2
3603
∴ ?阴影
= ?
△???
−?
扇形??? = 2 3− π．
3
【变式 01】（2026·安徽阜阳·二模）如图，等腰 △ ???中，?? = ??，以??为直径作⊙ ?，分别交??，??
于点?，?，??是 ⊙ ?的切线，?? ⊥ ??于点?．
(1)求证：?? = ??；
(2)若?? = 3，?? = 13，求⊙ ?的半径．
【答案】(1)见解析
(2)13
3
【分析】（1）连接??，根据切线的性质得到?? ⊥ ??，进而得到?? ∥ ??，根据平行线和等腰三角形的性
质得到∠??? = ∠???，根据圆周角定理得到∠??? = 90°，证明△ ???≌ △ ???(AAS)，从而得出结论；
（2）连接??，根据圆周角定理得到∠??? = 90°，根据等腰三角形的性质得到?? = ??，证明
△ ??? ∽△ ???，进而得到?? = ??，从而求出??长，利用?? = 2??求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接??，
????
1
∵ ??是 ⊙ ?的切线，
∴ ?? ⊥ ??，
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ?? ∥ ??、∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ?? = ??，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ??是⊙ ?的直径，
∴ ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = 180°−∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠??? = 90°，
在△ ???和 △ ???中，
∠??? = ∠???
∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴△ ???≌ △ ???(AAS)，
∴ ?? = ??；
（2）解：如图，连接??，
∵ ??为⊙ ?的直径，
∴ ∠??? = ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = 90°，
∵ ?? = ??，
∴ ?? = ?? = 13，
∴ ?? = 2 13，
∵ ∠??? = ∠???，∠??? = ∠???，
∴△ ??? ∽△ ???，
??
??
2 133
13
∴ ?? = ??，即 ?? = ，
26
解得?? = 3 ，
26
∴ ?? = 3 ，
112613
∴ ?? = 2?? = 2 × 3 = 3 ，
13
即⊙ ?的半径为 3 ．
【变式 02】（2026·浙江·一模）如图，??切圆?于点?，过直径??上一点?作?? ⊥ ??，??交??于点?，??
交??的延长线于点?．
(1)求证：?? = ??；
(2)若?为??中点，?? = 7 2，tan? = 1，求弧??的长度．
【答案】(1)证明见解析
2
(2)2 2−1π
【分析】（1）连接??，由切线的性质可得∠??? + ∠??? = 90°，由?? ⊥ ??得∠??? + ∠??? = 90°，由等腰三角形的性质可得∠??? = ∠???，则∠??? = ∠???，结合对顶角相等可得∠??? = ∠??? = ∠???，因此?? = ??；
（2）设圆?的半径为?，由tan? = 1可得∠? = 45°，则∠??? = 45°，利用三角函数计算出?? = 7，?? = 2
?．根据题意可得?? = 2? +
1? = 7，解得? = 4 2−2，最后利用扇形的弧长公式进行计算即可．
2
【详解】（1）证明：如图，连接??，
∵??与圆?相切于点?，
∴?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°，
∴∠??? + ∠??? = 90°，
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°，
∴∠??? + ∠??? = 180°−∠??? = 90°，
∵?? = ??，
∴∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
2
180
= 45π× 4 2−2 = 2 2−1π．
180
?π?
∴弧??的长度为
1
2
∴ 2? + ? = 7，解得? = 4 2−2，
1
22
∵?? = ?? + ?? = 7，
1
∴?? = ?? = ?，
∵?为??中点，
= 2?，
sin?sin45°
?
在Rt △ ???中，?? = ?? =
∵tan? = 1，
∴∠? = 45°，
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°，
在Rt △ ???中，?? = ?? ⋅ cs? = 7 2 × cs45° = 7，
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°，
∴∠??? = 180°−∠???−∠? = 45°，
∵∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴?? = ??；
（2）解：如图，设圆?的半径为?，
【变式 03】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，??是 ⊙ ?的直径，点 C 在⊙ ?上，连接??，??，过点 A
作⊙ ?的切线??，点 D 在??上，连接??交 ⊙ ?于点 E，连接??，??，若∠??? = ∠???．
(1)求证：?? = ??；
3
(2)若?? = 10，tan∠??? = 4，求??的长．
∵?? = 10，
3
??
∴tan∠??? = ?? = 4，
∴设?? = 3?，?? = 4?，
3
∵tan∠??? = 4，
5
【详解】（1）证明：∵??是 ⊙ ?的切线，
∴∠??? + ∠??? = ∠??? = 90°，
∵??是 ⊙ ?的直径，
∴∠??? = 90°，
∴∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???，
∵∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴?? = ??；
（2）解：∵?? = ??，
∴∠??? = ∠???，
6 10
?? =，证明△ ??? ∽△ ???，据此计算即可求解．
6
24
18
（2）先求得?? = ?? = 6，作?? ⊥ ??于点?，求得?? = 5 ，?? = 5 ，?? = 5，利用勾股定理求得
【分析】（1）利用切线的性质和圆周角定理结合等角的余角相等求得∠??? = ∠???，可得到
∠??? = ∠???，即可证得?? = ??；
5
(2)?? = 9 10．
【答案】(1)见解析
∴(3?)2 + (4?)2 = 102，解得? = 2，
∴?? = 6，?? = 8，
∵四边形????是圆内接四边形，
∴∠??? = 180°−∠???，
∵∠??? = 180°−∠???，
∵∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴?? = ?? = 6，
作?? ⊥ ??于点?，
??3
∴tan∠??? = ?? = 4，
同理，?? =
1824
5 ，?? = 5 ，
6
∴?? = ??−?? = 5，
∴?? =??2
+ ??2 =
18 2
+
5
6 26 10
，
5= 5
∵∠??? = 90°−∠??? = ∠??? = ∠???，
∵∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??，
??
??
∴?? = ??2 = 62 = 3 10，
??
6 10
5
∴?? = ??−?? = 3 10−6 10 = 9 10．
55
命题点 03 圆中证明角平分线
【典例 15】（2026·广东东莞·一模）如图，在 ⊙ ?中，点?、?、?、?为圆周的四等分点，??为切线，连接
??，并延长交 ⊙ ?于点?，连接??交??于点?．
求证：??平分∠???；
求证： △ ???≌ △ ???．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由点?、?、?、?为圆周的四等分点，得出∠??? = 45°，根据切线的性质，得∠??? = 90°，即可证出??平分∠???；
（2）由点?、?、?、?为圆周的四等分点，得出∠??? = ∠??? = 45°，?? = ??，根据圆内接四边形得
∠??? = ∠???，即可通过ASA证明 △ ???≌ △ ???．
【详解】（1）解：∵点?、?、?、?为圆周的四等分点，
∴∠???所对的弧长为圆周长的4，
∴∠??? = 45°，
1
∵??为⊙ ?的切线，
∴∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???，
1
2
∴??平分∠???；
（2）解：∵??平分∠???；
∴∠??? = ∠??? = 45°，
∵点?、?、?、?为圆周的四等分点，
∴?? = ??，∠??? = ∠??? = 45°，
∴∠??? = ∠??? = 45°，
∵四边形????为圆内接四边形，
∴∠??? + ∠??? = 180°，
又∵∠??? + ∠??? = 180°，
∴∠??? = ∠???，
又∵?? = ??，∠??? = ∠???，
∴ △ ???≌ △ ???(ASA)．
【变式 01】（2026·山东德州·一模）如图，??为 ⊙ ?的直径，射线??交⊙ ?于点?，过⊙ ?上点?作直线
?? ⊥ ??于点?，交??的延长线于点?．直线??是 ⊙ ?切线，连接??并延长交??于点?．
(1)求证：??平分∠???；
(2)若∠? = 30°，请判断??和??的数量关系．并证明结论；
在（2）的条件下，若 ⊙ ?半径为 1，求图中阴影部分面积．
【答案】(1)见解析
(2)?? = 2??，证明见解析
(3) 3
2 −6
π
【分析】（1）连接??，由切线的性质得出?? ⊥ ??，证出∠??? = ∠???，则可得出结论；
（2）证明△ ???是等边三角形，得出∠??? = 60°，由直角三角形的性质可得出结论；
（3）由（2）得∠? = 30°，∠??? = 60°，由勾股定理求出??的长，由三角形的面积及扇形的面积可得出答案．
【详解】（1）证明：如图，连接??，
∵ 直线??是⊙ ?的切线，
∴ ?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = 90°，
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = 90°
∴ ?? ∥ ??，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ?? = ??，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ??平分∠???；
（2）解：?? = 2??，
证明： ∵ 直线??是⊙ ?的切线，
∴ ∠??? = 90°，
∵ ∠? = 30°，
∴ ∠??? = 90°−∠? = 90°−30° = 60°，
∵ ?? = ??，
∴ △ ???是等边三角形，
∴ ∠??? = 60°，
∴ ∠??? = ∠???−∠??? = 90°−60° = 30°，
∴ ∠??? = ∠??? = 30°
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = 90°，
∴ ?? = 2??；
（3）解：由（2）得∠? = 30°，∠??? = 60°，
∵⊙ ?半径为 1，
∴ ?? = 2，
∴ ?? =??2−??2 = 3，
∴ 图中阴影部分面积 = ?
1
−?
60?×12 = 3 ?
△???
扇形??? = 2 × 1 × 3−
360
2 −6．
【变式 02】（2026·贵州遵义·一模）如图，??是 ⊙ ?的直径，直线??与 ⊙ ?相切于点 C，?? ⊥ ??于点
D，延长??交??于点 P，连接??，??．
(1)求证：??平分∠???；
(2)若∠? = 1∠???，求∠???的度数； 2
(3)若tan∠??? = 2，求cs?的值．
【答案】(1)见解析
(2)54°
(3)2 2
3
【分析】（1）连接 ??，利用切线性质得 ?? ⊥ ??，结合 ?? ⊥ ??证 ?? ∥ ??，再通过等腰三角形
导角证 ?? 平分 ∠???；
（2）设 ∠? = ?°，利用 ??平分 ∠???得 ∠??? = ∠???，在 Rt △ ??? 和 Rt △ ??? 中分别用三角函数表示边，再由 ?? + ?? = ??列方程求 ?；
（3）在 Rt △ ???中由 tan ∠??? 设 ?? = ?，?? = 2?，求 ??，再在 Rt △ ???中求 ??，结合 △
???求 cs ∠???．
【详解】（1）证明：连接 ??，
∵ ∵ 直线 ?? 与圆 ?相切于点 ?，
∴ ?? ⊥ ??，
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ?? ∥ ??，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ?? = ??，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，即 ??平分 ∠???；
（2）解：设 ∠? = ?°，
∵ ∠? =
1∠???，
2
∴ ∠??? = 2?°，
由（1）知 ??平分 ∠???，
∴ ∠??? = ∠??? = 2?°，
∴ ∠??? = ∠??? + ∠??? = 4?°，
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = 90°，
在 Rt △ ??? 中，∠??? + ∠? = 90°，
即 4?° + ?° = 90°，解得 ?° = 18°，
∴ ∠??? = 36°，
在 Rt △ ??? 中，∠??? = 90°−36° = 54°；
解：如图，过点 ? 作 ?? ⊥ ?? 于点 ?，
∵ ?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
∴ ?? ∥ ??，
∴ ∠??? = ∠???，
又 ∵ ∠? + ∠??? = 90°，∠??? + ∠??? = 90°，且 ∠??? = ∠??? = ∠???，
∴ ∠? = ∠???，
在 Rt △ ??? 中，tan ∠??? = ?? = 2，
??
设 ?? = ?，则 ?? = 2?，
∴ ?? =??2 + ??2 = 3?，∠??? = 90°，
∴ ?? = ?? =
1
2?? =
3?，
2
在 Rt △ ??? 中，∠??? = 90°，设 ?? = ?，
2 2
∴ cs ? = cs ∠??? = 3 ，
3 ?3
2
??
?2 2
3

??
在 Rt △ ??? 中，cs ∠??? ===，
6
3
∴ ?? = 6?，
3
3
∴ ? = 3?，即 ?? = 3?，
??
∴ ?? = 2?，
由 ??2 +??2 = ??2 得 2?2 + ?2 = ?2，
??
∵ tan ∠??? == 2，
【变式 03】（2026·安徽芜湖·一模）如图，在正方形????中，点 E、F 分别在边??、??上，??、??分别交??于点 M、N，连接??、??，且?? = ??．
(1)求证：?? = ??，?? ⊥ ??；
(2)求证：??平分∠???；
(3)求证：?? = 2??．
【答案】(1)见解析
见解析
见解析
【分析】（1）利用正方形对称性，由?? = ??、∠??? = ∠??? = 45°、?? = ??，证 △ ???≌ △ ???，得?? = ??；结合?? = ??得?? = ??，再由四边形内角和得∠??? = 90°，故?? ⊥ ??；
（2）由∠??? = ∠??? = 90°，得?、?、?、?四点共圆，故∠??? = ∠???；结合??∥??得
∠??? = ∠???，进而即可得到∠??? = ∠???，则可证明；
（3）由∠??? = ∠??? = 45°、∠??? = ∠???，证 △ ???∽ △ ???；结合?? = ??、∠??? = 90°得
?? = 2??，故?? = ?? = 2 ，进而即可得证．
【详解】（1）证明： ∵ 四边形????是正方形，
??
??2
∴ ?? = ??，∠??? = ∠??? = 45°，∠??? = ∠??? = 90°，??∥??，
又∵?? = ??，
∴△ ???≌ △ ???(SAS)．
∴ ?? = ??，∠??? = ∠???．
又∵ ?? = ??，
∴ ?? = ??，∠??? = ∠??? = ∠???，
∵∠??? + ∠??? = 180°，
∴∠??? + ∠??? = 180°，
∴ ∠??? + ∠??? = 180°．
∴ ∠??? = 90°．
∴?? ⊥ ??；
（2）证明：由（1）得，∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠??? = 90°，
∴ ?、N、E、C 四点共圆，
∴ ∠??? = ∠??? = ∠???，
∵ 四边形????是正方形，
∴??∥??，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，即??平分∠???；
（3）证明：∵?? = ??，且∠??? = 90°，
∴ △ ???为等腰直角三角形，
，
??2
∴∠??? = ∠??? = 45°，?? = 2
又∵∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠???．
由（2）得，∠??? = ∠??? = ∠???．
∵ ∠??? = ∠???，
∴△ ???∽ △ ???．
????2
∴ ?? = ?? =
2 ，即?? = 2??．
【点睛】本题以正方形为载体，综合全等三角形、四点共圆、相似三角形等核心知识，通过角度转化与相似比例证明线段与角的关系，体现了转化化归与几何建模的数学思想．
命题点 04 圆中证明角度相等
【典例 16】（2026·辽宁沈阳·一模）如图，过点 P 作⊙ ?的两条切线，切点分别为 A，B，连接??,??,??，取??的中点 C，连接??并延长，交⊙ ?于点 D，连接??．
(1)求证：∠??? = ∠???；
1
(2)若?? = 5，tan∠??? = 2，求??的长．
【答案】(1)见解析
(2)8 5
【分析】（1）利用切线长定理得??平分∠???，利用圆周角定理得∠??? = 1∠???，等量代换即可证明；
2
（2）延长??交 ⊙ ?于点 F，连接??，先解Rt △ ???，然后证明 △ ??? ∽△ ???，即可求解．
【详解】（1）证明： ∵ ??，??分别切 ⊙ ?于点 A，点 B，
∴ ??平分∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
1
2
⏜
⏜
又∵ ?? = ??，
∴ ∠??? = ∠???，
1
2
∴ ∠??? = ∠???．
（2）解：延长??交 ⊙ ?于点 F，连接??，由??是直径得∠??? = 90°，
∵ ??，??分别切 ⊙ ?于点 A，点 B，
∴ ?? ⊥ ??，
= 8 5．
20×10
5 5
∴ ?? =
??
??
∴ ?? = ??，
5
22
∵ ?? = ??，
∴ ∠??? = ∠???，
又∵ ∠??? = ∠??? = 90°，
∴ △ ??? ∽△ ???
1
∴?? = ?? = ?? =5，?? = 2?? = 20，
∴?? =??2 + ??2 =102 + 52 = 5 5，
= 10，
??
tan∠???
∴ ?? =
1
又∵ ?? = 5，tan∠??? = 2，
1
2
∴ ?? = ?? = ??，
∵ C 为??的中点，
∴ ?? = ??，
【变式 01】（2026·浙江衢州·一模）如图 1，已知△ ???内接于 ⊙ ?，?? = ??．弦?? ⊥ ??于点 E，连结
??，交??于点 F．
(1)求证：∠??? = ∠???．
3??
(2)如图 2，连结??．若sin∠??? = 5，求??的值．
(3)当?? = 11，?? = 2 5时，求⊙ ?的半径．
【答案】(1)见解析
(2) 10
2
(3)5 5
2
【分析】（1）延长??交 ⊙ ?于点?，连结??，可得∠??? = ∠??? = 90°，∠??? = ∠???，再根据
?? = ??，得到∠??? = ∠???，推出∠??? = ∠???，即可证明结论；
（2）设?? = 3?,?? = 5?，求出?? = 4?，?? = 5?，?? = ?，?? = 10?，易证∠??? = ∠???，可得sin
??3
?35
∠??? = ?? = 5，即?? = 5，求出?? = 3?，由（1）知∠??? = ∠???，由cs∠??? = cs∠???，即求出
?? = 10?，即可求解；
3
（3）延长??交 ⊙ ?于点?，连结??，过点?作?? ⊥ ??于点?，先证明?? = ??，设?? = ?,?? = ?，求出
?? = 11−?，证明△ ??? ∽△ ???，推出??2 = ??·?? = ??，?? = 11−? + ?，在Rt △ ???,Rt △ ???中，
?2 + ?? = 2 5 2①
??2 = ??2 +??2,??2 = ??2 +??2，得到则
(11−?)2
+ ?? = (11−? + ?)2②
，求出? = 2，? = 8，进
而得到?? = 2,?? = 8，?? = 3，?? = 5，?? = 4，再证明△ ??? ∽△ ???，推出?? = 6，则?? = 10，根
据垂径定理得到?? = 1?? = 5，再证明△ ??? ∽△ ???，推出??即可．
2
【详解】（1）证明：延长??交 ⊙ ?于点?，连结??，
则∠??? = 90°，
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠??? = 90°，
⏜⏜
∵??? = ???，
∴∠??? = ∠???，
∵?? = ??，
∴∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∵∠??? = 180°−∠???−∠???,∠??? = 180°−∠???−∠???，
∴∠??? = ∠???；
3
（2）解：∵sin∠??? = 5，∠??? = 90°，
??3
∴sin∠??? = ?? = 5，
设?? = 3?,?? = 5?，
∴?? =??2−??2 = 4?，
∵?? = ??，
∴?? = 5?，
∴?? = ??−?? = ?，
∴?? =??2 + ??2 = 10?，
⏜⏜
∵?? = ??，
∴∠??? = ∠???，
∵∠??? = 90°，
??3
?3
∴sin∠??? = ?? = 5，即?? = 5，
∴?? =
5?，
3
由（1）知∠??? = ∠???，
????
∴cs∠??? = cs∠???，即?? = ??，
∴ 3?
10?
?
= ??，
∴?? = 10?，
3
∴??
??
5 ?10
；
= 3 =
10 ?2
3
（3）解：延长??交 ⊙ ?于点?，连结??，过点?作?? ⊥ ??于点?，
⏜⏜
由（1）知∠??? = ∠???，则?? = ??，
⏜⏜⏜⏜⏜⏜
∴?? + ?? = ?? + ??，即??? = ???，
∴∠??? = ∠???，
∵∠??? = ∠???，
∴180°−∠???−∠??? = 180°−∠???−∠???，即∠??? = ∠???，
∵?? = ??，即∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴?? = ??，
设?? = ?,?? = ?，
∵?? = 11，
∴?? = 11−?，
∵∠??? = ∠???，∠??? = ∠??? = 90°，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??，即??2 = ??·?? = ??，
??
??
∵?? = ??，
∴?? = 11−? + ?，
在Rt △ ???,Rt △ ???中，??2 = ??2 +??2,??2 = ??2 +??2，
?2 + ?? = 2 5 2①
则 (11−?)2 + ?? = (11−? + ?)2② ，
①−②得?2−(11−?)2 = 20−(11−? + ?)2，整理得?2 = 10−11? + ??，由①得?? = 20−?2，
∴?2 = 10−11? + 20−?2，即2?2 +11?−30 = 0，
15
解得? = 2或? = − 2 （舍去），
∴22 +2? = 20，解得? = 8，
∴?? = 2,?? = 8，?? = 3，?? = 5，
∴?? =??2−??2 = 4，
∵∠??? = ∠??? = 90°，∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??，即?? = 8，
??
??34
∴?? = 6，则?? = ?? + ?? = 10，
∵?? ⊥ ??，
∴?? =
1?? = 5，
2
∵?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
∴??∥??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴=
??
??
??，即5
??4
=，
2 5
??
∴?? = 2 ，即⊙ ?的半径为 2 ．
5 5
5 5
【变式 02】（2026·安徽蚌埠·二模）如图，??是 ⊙ ?的直径，?? ⊥ ??交 ⊙ ?于点?，点?为??上方 ⊙ ?
上一点，连接??,??,??与??交于点?，过点?作 ⊙ ?的切线??交??的延长线于点?．
(1)求证：∠??? = ∠???；
(2)若?? = 8,?? = 4，求⊙ ?的半径．
【答案】(1)见解析
(2) ⊙ ?的半径是 6
【分析】（1）连接??，根据等腰三角形的性质，切线的性质，等角的余角相等，得到∠??? = ∠???．
（2）根据勾股定理，在直角三角形???中，建立关于??的方程，解方程后得到??的长度，继而得到⊙ ?
的半径．
【详解】（1）证明：如图，连接??，则?? = ??，
∴ ∠??? = ∠?，
∵ ??是⊙ ?的切线，
∴ ?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = 90°，
∴ ∠??? + ∠??? = 90°．
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = 90°，
∴ ∠??? + ∠? = 90°，
∴ ∠??? = ∠???．
（2）解：在Rt △ ???中，∠??? = 90°，?? = 8，设?? = ?? = ?，则?? = ?? + ?? = ? + 4，
由勾股定理，得??2 +??2 = ??2，
∴ ?2 + 82 = (? + 4)2，
解得? = 6，即⊙ ?的半径是 6．
【变式 03】（2026·辽宁·模拟预测）如图，在 △ ???中，∠??? = 90°，O 为??边上一点，以点 O 为圆心，
??长为半径作⊙ ?，与??相切于点 D，与??交于点 E，连接??．
(1)求证：∠??? = 2∠???；
(2)若?? = 16， ⊙ ?的半径为 6，求??的长．
【答案】(1)见解析
(2)12
【分析】（1）连接??，根据切线的性质得到?? ⊥ ??，则∠? + ∠??? = 90°，由∠??? = 90°得到
∠? + ∠??? = 90°，得出∠??? = ∠???，再根据圆周角定理得到∠??? = 2∠???，即可证明；
（2）利用勾股定理求出??的长，再证明 △ ??? ∽△ ???，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接??，
∵ ⊙ ?与??相切于点 D，
∴?? ⊥ ??,
∴∠??? = 90°,
∴∠? + ∠??? = 90°,
∵∠??? = 90°，
∴∠? + ∠??? = 90°,
∴∠??? = ∠???,
∵?? = ??，
∴∠??? = 2∠???，
∴∠??? = 2∠???；
（2）解：∵ ⊙ ?的半径为 6，
∴?? = ?? = 6，
∴?? = ??−?? = 16−6 = 10，
∵∠??? = 90°，
∴?? =??2−??2 =102−62 = 8，
∵∠??? = ∠??? = 90°，∠? = ∠?，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??，即 6 = 8 ，
??
????16
∴?? = 12．
命题点 05 圆中综合证明
【典例 16】（2026·江苏无锡·二模）如图，??是 ⊙ ?的直径，C 为圆弧上一点，D 为劣弧??的中点，过点
D 作⊙ ?的切线交射线??于点 E，连接??、??．
求证：?? ⊥ ??；
(2)若?? = 6.4，?? = 10，求??的长．
【答案】(1)见详解
(2)2.8
【分析】（1）连接??， 根据??是⊙ ?的切线，得出?? ⊥ ??，根据?是劣弧??的中点，得出∠??? = ∠
???，证明?? ∥ ??， 结合?? ⊥ ??，即可证?? ⊥ ??；
（2）连接??，交??于点?， 证明四边形????是矩形，得出?? = ??，证明△ ??? ∽△ ???， 求出
?? = 8，在Rt △ ???中，勾股定理求出 ?? = 4.8，则?? = ?? = 4.8，根据垂径定理，得出
?? = 2?? = 9.6，最后在Rt △ ???中，根据勾股定理求解即可 ；
【详解】（1）证明：连接??，
∵ ??是⊙ ?的切线，
∴ ?? ⊥ ??，
∵ ?是劣弧??的中点，
⏜⏜
∴ ?? = ??，
∴∠??? = ∠???，
又∵ ?? = ??，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ?? ∥ ??，
∵?? ⊥ ??，
∴?? ⊥ ??；
（2）解：连接??，交??于点?，
∵ ??是 ⊙ ?的直径，
∴ ∠??? = ∠??? = 90°，即?? ⊥ ??，
又?? ⊥ ??，?? ∥ ??，
∴四边形????是矩形，
∴?? = ??，
∵∠??? = ∠???，∠? = ∠??? = 90°，
∴ △ ??? ∽ △ ???，
∴ ?? = ??，
即??2 = ?? ⋅ ?? = 6.4 × 10 = 64，
??
??
∴?? = 8，
在Rt △ ???中： ?? =??2−??2 =82−6.42 = 4.8，
∴?? = ?? = 4.8，
∵?? ∥ ??，?? ⊥ ??，
∴?? ⊥ ??，
∴根据垂径定理，?是??中点，
∴ ?? = 2?? = 9.6，
在Rt △ ???中： ?? =??2−??2 =102−9.62 = 2.8．
【变式 01】（2026·辽宁铁岭·二模）如图，??为 ⊙ ?的直径，C，D 是⊙ ?上的点，连接??，??，∠??? = 135°．
(1)求证：?? = ??；
若??是 ⊙ ?的切线，交??的延长线于点 E．若?? = 5，?? = 13，求??的长．
【答案】(1)见解析
(2)780
119
【分析】（1）证明∠??? = ∠???即可；
（2）连接??,??，过点 C 作?? ⊥ ??于点 G，利用勾股定理，三角形面积，正切函数求解即可．
【详解】（1）证明：连接??,??， 则四边形????是 ⊙ ?的内接四边形，
∴ ∠??? + ∠??? = 180°，
∵ ∠??? = 135°，
∴ ∠??? = 45°，
∵ ??为 ⊙ ?的直径，
∴ ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = 45°，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ?? = ??;
（2）解：连接??,??，过点 C 作?? ⊥ ??于点 G，
∵ ??为 ⊙ ?的直径，
∴ ∠??? = 90°，
∵ ?? = 5，?? = 13，
∴ ?? =??2−??2 = 12，
11
∴ ?
△??? = 2?? ⋅ ?? = 2?? ⋅ ??，
故?? = ??⋅?? = 60
??13，
113
∵ ?? = 2?? = 2 ，
26
∴ ?? =??2−??2 = 119，
??120
∴ tan∠??? = ?? = 119，
∵ ??是⊙ ?的切线，
∴ ∠??? = 90°，
????120
∴ tan∠??? = ?? = 13 = 119，
2
780
解得?? = 119．
【变式 02】（2026·内蒙古包头·一模）如图，??是 ⊙ ?的切线，?为切点，以?为顶点作∠???，交 ⊙ ?于
点?，交??于点?，连接??，交??于点?．
∠???与∠???有什么数量关系，请说明理由；
若 ⊙ ?的半径为2，∠??? = 90°，cs? = 255，求??的长．
22 5
2 5
??
∴ ∠??? + ∠??? = 90°，?? = 5 ，即?? = 5 ，
∴ ?? = 5，
5
（2）解： ∵ ∠??? = 90°，cs? = 2 5，
∠??? = ∠???得到?? = ??，设?? = ?? = ?，则?? = 1 + ?，根据勾股定理列方程求出?，即可求解．
【详解】（1）解：∠??? + ∠??? = 90°，理由如下：如图，连接??，
∵ ?? = ??，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ??是 ⊙ ?的切线，?为切点，
∴ ∠??? = 90°，即∠??? + ∠??? = 90°，
∴ ∠??? + ∠??? = 90°；
??5
??
（2）由题意可推出，∠??? + ∠??? = 90°，= 2 5，得到?? = 5，根据勾股定理求出?? = 1，证明
【分析】（1）连接??，由?? = ??得到∠??? = ∠???，根据切线的性质得到∠??? + ∠??? = 90°，即可
求解；
2
(2)?? = 5
【答案】(1)∠??? + ∠??? = 90°，理由见解析
【答案】(1)见解析
(2)3 10
10
(3)?? = 1
3
【分析】（1）过点 O 作?? ⊥ ??于点 H，?? ⊥ ??于点 K，求出?? = ?? = 0.5，证明四边形????是矩形，
可得?? = ?? = 0.5，再求出?? = ?? = 1即可；
（2）连接??，得到∠??? = ∠???，求出?? = 10，得?? = 10，求出cs∠??? = 3 10，故可求出cs∠??? =
2
10
3 10；
10
∴ ?? =??2−??2 =
2
5 −22 = 1，
∵ ∠??? + ∠??? = 90°，∠??? = ∠???，∠??? + ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ?? = ??，
设?? = ?? = ?，则?? = ?? + ?? = 1 + ?，
由勾股定理得??2 +??2 = ??2，即22 + ?2 = (? + 1)2，
解得? = 2，
3
∴ ?? = 1 + ? = 1 + 2 = 2．
3
5
【变式 03】（2026·四川绵阳·二模）如图，??，??是 ⊙ ?的弦，?? ⊥ ??，垂足为?，??为 ⊙ ?的直径，
?? = ?? = 3?? = 3，??与??、??分别交于?、?．
(1)证明：?? = ??； (2)求cs∠???的值； (3)求??的长度．
（3）由勾股定理求出?? = 1，再证明△ ??? ∽△ ???，根据相似三角形的性质可得结论．
【详解】（1）证明：过点 O 作?? ⊥ ??于点 H，?? ⊥ ??于点 K，如图，
∵?? = ?? = 3，
∴?? =
1
?? = 1.5,?? =
2
1?? = 1.5，
2
∵?? = 3?? = 3，
∴?? = 1，
∴?? = ??−?? = 1.5−1 = 0.5，
∵?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
∴四边形????是矩形，
∴?? = ?? = 0.5,
∵?? = ??，
∴?? = ?? = 0.5，
∴?? = ?? = 0.5，
∴?? = ??−?? = 1.5−0.5 = 1，
∴?? = ??；
（2）解：连接??，如图，
∵??为⊙ ?的直径，
∴∠??? = 90°，
∵∠???和∠???都是??所对的圆周角，
∵∠??? = ∠??? = 90°，∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
1
∴=
??
??
??
??，
又?? = ?? = 1，
∴ = 1 ，
1
??
3
∴?? = 3．
2
（3）解：在Rt △ ???中，?? =??2−??2 =( 10) −32 = 1，
10 ；
3 10
∴cs∠??? =
10
10
33 10
=,
??
在Rt △ ???中，cs∠??? = ?? =
∴?? = 2?? = 10，
2
∴?? =??2 + ??2 =1.52 + 0.52 = 2.5 = 10，
∴∠??? = ∠???，
在Rt △ ???中，?? = 1.5，?? = 0.5，
【变式 04】（2026·湖南·模拟预测）在矩形????中，?? = 4,?? = 3，点?是对角线??上一动点，连接??，作?? ⊥ ??交??于点?，以??，??为边作矩形????，连接线段??，线段??与对角线??交于点?．
求证?? ⊥ ??；
求tan∠???；
(3)当?? = ??时，求??的长度．
【答案】(1)见解析
(2)3
4
(3)2.5
【分析】（1）证明点?在矩形????的外接圆⊙ ?上，利用圆周角定理即可证明?? ⊥ ??；
（2）利用等角的余角相等求得∠??? = ∠???，再利用正切函数的定义求解即可；
（3）证明点?为??的中点，利用勾股定理求解即可．
2
2
11
∴?? = ?? =32 + 42 = 2.5．
∴ △ ???≌ △ ???，
∴?? = ??，
∴∠??? = ∠???，
∵??∥??，
∴∠??? = ∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴?? = ??，
∴点?为??的中点，
3
??
∴tan∠??? = tan∠??? = ?? = 4；
（3）解：∵?? = ??，∠??? = ∠???，∠??? = ∠??? = 90°，
∵四边形????和四边形????都是矩形，
∴?? = ?? = ?? = ??，∠??? = 90°，
∴点?在矩形????的外接圆⊙ ?上，且??是直径，
∴∠??? = 90°，即?? ⊥ ??；
（2）解：∵∠??? = ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???，
【详解】（1）证明：连接??和??，交点为?，
中考预测题
如图，在四边形????中,?? ∥ ?? ,过点 A,B,C 作⊙ ?交??边于点 E,连接??,且?? = ??．
(1)求证：四边形????是平行四边形．
(2)若?? = ??,?? = 3 17,?? = 6．
①求四边形????的面积．
2
②延长??至点G,连结??,使tan∠??? =
3,在线段??上取点F,过点F 作?? ⊥ ??交??于点H,求??的最大值．
【答案】(1)见解析
(2)①72；② 13．
【分析】（1）通过证明?? ∥ ??，结合?? ∥ ??即可证明；
（2）①连结??并延长交??于点 I，利用垂径定理结合勾股定理得到??，再根据平行四边形的面积公式求解；
②方法 1：分别过点 A,D,H 作??的垂线于点 I,M,N, 则四边形????为矩形，解三角形得到?? = 14，再证
△ ??? ∽△ ???，得到=，令?? = ?，进而得到?2 + (2?−14)? + 36? = 0，再利用根的判别式得到? ≤ 1
?? ??
????
2
即可求解；方法 2：同方法 1 得?? = ? + 36? +2? = 14，再利用配方法得? + 36? =
?
?
?− 6 ?
?
+12 ? ≥ 12
?，再解不等式即可；方法 3：同方法 1 得? = 2?+36 ，再换元令? + 18 = ?，结合配方法求最值即可．
【详解】（1）解：如图,
−?2+14?
∵?? = ??,
∴∠1 = ∠2．
∵?? ∥ ??,
∴∠1 = ∠???,
∴∠2 = ∠???．
∵∠2 + ∠??? = 180°,∠? + ∠??? = 180°,
∴∠2 = ∠?,
∴∠??? = ∠?,
∴?? ∥ ??,
∴四边形????是平行四边形．
（2）①如图,连结??并延长交??于点 I．
∵四边形????是平行四边形,?? = ?? = 6 ,
∴?? = ?? = 6．
∵?? = ??,
∴?? ⊥ ??,?? = ?? = 3．
∵?? = 3 17,
2
2
∴?? =3 17 −3 = 12,
∴四边形????的面积 = ?? × ?? = 6 × 12 = 72．
②方法 1：
如图,分别过点 A,D,H 作??的垂线于点 I,M,N,则四边形????为矩形,
∴?? = ?? = 6,?? = ?? = 12．
,
3
∴tan∠??? = 2
∴?? = 8,
∴?? = 14．
设?? = 3?,则?? = 2?,?? = 13?．
∵∠??? = ∠??? = 90°,∠??? = ∠???,
∴ △ ??? ∽△ ???,
∴ ?? = ?? ,
????
令?? = ?,则12 = ? ,
??3?
∴?? =
36?
,
?
∴?? = ? +
36?
?
+2? = 14,
∴?2 + (2?−14)? + 36? = 0．
∵Δ = (2?−14)2−4 × 36? ≥ 0,即?2−50? + 49 ≥ 0,
∴由二次函数? = ?2−50? + 49的图象得? ≤ 1（? ≥ 49舍去）,
∴当? = 1时,GH 的最大值为 13,此时? = 6符合题意．方法 2：
同上可得?? = ? + 36? +2? = 14,
?
要使??最大,只需??最大,只需? +
36?
? 最小．
∵? + 36? =?− 6 ?
2
+12 ? ≥ 12 ?,
??
2
∴当??取最大值时,12 ? +2? = 14,即( ?) +6 ?−7 = 0,
解得? = 1,
∴??的最大值为 13．方法 3：
12 ?
由比例式可得=,
14−?−2?3?
∴? =,
−?2+14? 2?+36
令? + 18 = ?,则? = − ? + 288
+25．
∵? +
2
288
? =
?288
−
2?
2?
2
+24 ≥ 24,
∴? ≤ −24 + 25 = 1,
∴当? = 1时, ??的最大值为 13．
如图，??是 ⊙ ?的直径，过点?作 ⊙ ?的切线??，连接??，??，??交 ⊙ ?于点?，点?是??的中点，连接??并延长交??于点?，∠? = ∠???．
(1)求证：?? ∥ ??；
2
(2)若tan∠??? = 3，?? = 6，求??的长．
【答案】(1)见解析；
(2)8
3
【分析】（1）根据垂径定理可得?? ⊥ ??，由直径所对圆周角等于90°可得?? ⊥ ??，由此即可得出结论；
（2）由已知可得∠? = ∠???，由??是 ⊙ ?的切线??得出∠??? = ∠??? = 90°，结合等角的余角相等和平行线性质证明∠??? = ∠? = ∠???，最后结合正切求边长即可.
【详解】（1）证明：连接??，交??于?，
∵，点?是??的中点，
∴?? ⊥ ??，
又∵??是直径，
∴∠??? = 90°，即?? ⊥ ??，
∴?? ∥ ??
（2）解：∵?? = ??，
∴∠??? = ∠???，又∵∠? = ∠???，
∴∠? = ∠???，
∵??是 ⊙ ?的切线??，??是直径，
∴∠??? = ∠??? = 90°，
∴∠? + ∠??? = 90°，∠? + ∠??? = 90°
∴∠? = ∠???，
由（1）得：?? ∥ ??，
∴∠? = ∠???，
∴∠??? = ∠? = ∠???，
∴tan∠??? = tan? = tan∠??? = 3，
2
∴?? = ?? ⋅ tan? = 6 × = 4，
2
3
∴?? = ?? ⋅ tan∠??? = 4 × = .
2
8
33
如图， △ ???内接于 ⊙ ?，过 A 作∠???的角平分线，交 ⊙ ?于点 D，交??于点 E．
(1)求证：?? ⋅ ?? = ?? ⋅ ??；
(2)若?? = 3?? = 3?时，
??
①求??的值．
【答案】(1)见解析
(2)2；3 3?2
【分析】（1）连接??，根据??是∠???的角平分线，得到∠??? = ∠???，再根据同弧所对的圆周角相等得到∠??? = ∠???，证明 △ ??? ∽△ ???即可得到结论；
（2）①由题意得到?? = ?,?? = ?? + ?? = 4?，证明△ ??? ∽△ ???，求出?? = 2?，则?? = 2?，求出
?? = 1.5?,?? = 3?，即可得到答案；
②?为∠???平分线与??的交点，即?为 △ ???的内心，F 和 G 恰好关于??的中点对称，且?在圆上，△ ???
为等边三角形，求出?? = 2 3?，即可得到答案．
【详解】（1）证明：连接??，
∵ ??是∠???的角平分线，
②作∠???的角平分线，交??于点 F，在圆上有一点 G，若 F 和 G 恰好关于??的中点对称，请用含 k 的代数式表示△ ???的面积，并说明理由．
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ?? = ??，
∴ ∠??? = ∠???，
∴△ ??? ∽△ ???，
????
∴ ?? = ??，
∴ ?? ⋅ ?? = ?? ⋅ ??；
（2）解：①连接??，
∵ ?? = 3?? = 3?，
∴ ?? = ?,?? = ?? + ?? = 4?，
∵ ??是∠???的角平分线，
∴ ?? = ??，
∴ ?? = ??，
在△ ???和 △ ???中，
∠??? = ∠???
∠??? = ∠??? ，
∴△ ??? ∽△ ???，
????
∴ ?? = ??，
即??2 = ?? ⋅ ??，
∴ ??2 = 4? ⋅ ? = 4?2，
∴ ?? = 2?，则?? = 2?，
∵△ ??? ∽△ ???，
4
4
△???
∴ ?= 3??2 = 3 × 12?2 = 3 3?2．
②由题意得：?为∠???平分线与??的交点，即?为 △ ???的内心，
∵ F 和 G 恰好关于??的中点对称，且?在圆上，
∴△ ???为等边三角形，
∴ ?? = ??，
∵ ?? ⋅ ?? = ?? ⋅ ??，
∴ ??2 = 3? ⋅ 4? = 12?2，
∴ ?? = 2 3?，
3?
??1.5?
??
∴== 2；
3
??
∴ 4? = 4，
∴ ?? = 3?，
????3?3
????
∴ ?? = ?? = ??，即2? = 4? = 4，
∴ ?? = 1.5?，
好题速递
1．（2026·陕西商洛·一模）如图，点?为正方形????内一点，连接??、??、??，若?? = ??，求证：
∠??? = ∠???．
【答案】见解析
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
根据正方形的性质得?? = ??，证△ ???≌ △ ???(SSS)，得到∠??? = ∠???，再根据等角的余角相等，即可求证．
【详解】证明： ∵ 四边形????为正方形，
∴ ?? = ??，∠??? = ∠??? = 90°，又∵ ?? = ??，?? = ??，
∴△ ???≌ △ ???(SSS)，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ∠???−∠??? = ∠???−∠???，
∴ ∠??? = ∠???．
【答案】75°
【分析】可证明△ ???≌ △ ???得到∠??? = ∠???，根据等边对等角和三角形内角和定理求出∠???的度数，进而求出∠???的度数，然后即可得到答案．
【详解】解：∵∠??? = 90°，
∴∠??? = 180°−∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???，
又∵?? = ??，?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴∠??? = ∠???；
∵在△ ???中，?? = ??，∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠??? = 45°，
∵∠??? = 30°，
∴∠??? = ∠???−∠??? = 15°，
∴∠??? = 15°，
2．（2026·广东中山·一模）在 △ ???中，?? = ??，∠??? = 90°，D 为??延长线上一点，点 E 在??边上且?? = ??， 连接??、??、??．已知∠??? = 30°，求∠???的度数．
∴∠??? = 90°−∠??? = 75°．
3．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，将一张矩形纸片????沿着对角线??向上折叠，顶点?落到点?处，??交
??于点?，作?? ⊥ ??，延长??交线段??于点?．
(1)判断四边形????的形状，并说明理由；
(2)若?? = 6，?? = 8，求四边形????的面积．
【答案】(1)四边形????为菱形，证明见解析
(2)四边形????的面积为 2
75
【分析】（1）由平行线的性质和翻折的性质，得出?? = ??，结合?? ⊥ ??，可得?? = ??，同理可证
?? = ??，易得??和??互相垂直平分，即可证出四边形????为菱形；
（2）令?? = ?，则?? = ?? = 8−?，由??2 = ??2 + ??2，得(8−?)2 = 62 + ?2，解出?的值后，通过
?四边形???? = ?菱形????−2?△???即可得出结果．
【详解】（1）解：由折叠的性质，得∠??? = ∠???，
∵?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴?? = ??，又∵?? ⊥ ??，
∴?? = ??，∠??? = ∠???，又∵?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴?? = ??，
∵?? ⊥ ??，
∴?? = ??，
∴??和??互相垂直平分，
∴四边形????为菱形．
（2）解：令?? = ?，则?? = ??−? = 8−?，
∴?? = ?? = 8−?，
由??2 = ??2 + ??2，得(8−?)2 = 62 + ?2，
解得? = 4，
7
∴?四边形???? = ?菱形????−2?△??? = 6 × 8−2 × 2 × 4 × 6 = 2 ．
17
75
4．（2026·山东淄博·一模）如图，点 O，I 分别是△ ???（??