2026年中考数学二轮复习 高频考点02 (不等式(组) 方程(组))应用题专练

这是一份2026年中考数学二轮复习 高频考点02 (不等式(组) 方程(组))应用题专练，共7页。试卷主要包含了二元一次方程组的实际应用，一元二次方程的实际应用，分式方程应用，一元一次方程的实际应用等内容，欢迎下载使用。
命题探源·考向解密（分析近 3 年中考考向与命题特征）
根基夯实·知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等）
高频考点·妙法指津（5 大命题点+15 道中考预测题，中考必考·（8-12）分）
每个考点中考预测题3 道
好题速递·分层闯关（精选 7 道最新名校模拟试题+6 道中考闯关题）
考点一元一次方程的实际应用
考点二 二元一次方程组的实际应用
考点三 一元二次方程的实际应用
命题 1 配套问题
命题 2 工程问题
命题 3 盈亏问题
命题 4 比赛积分问题
命题 5 方案选择问题
命题 6 数字问题
命题 7 几何问题
命题 8 行程问题
命题 9 古代问题
命题 1 列二元一次方程组
命题 2 方案选择问题
命题 3 行程问题
命题 4 工程问题
命题 5 数字问题
命题 6 销售利润问题
命题 1 传播问题
命题 2 增长率问题
命题 3 与图形有关的问题
命题 4 营销问题
命题 5 握手或循环赛问题
考点四 分式方程应用
考点五 一元一次不等式（组）的实
际应用
命题 1 行程问题
命题 2 工程问题
命题 3 经济问题
命题 1 行程问题
命题 2 工程问题
命题 3 经济问题
考点
考向
命题特征
一元一次
1. 行程问题（相遇、追及、顺逆
1.以选择题、填空题、解答题形式考查，解答题多为基
方程应用
水）；2. 工程问题（工作效率、合作
础送分题，分值 6~12 分；
完工）；3. 销售利润问题（打折、利
2.常结合生活实际（如购物、出行、生产）设置情境，
润率、盈亏）；
贴近学生生活；
4. 配套问题、分配问题、方案选择问
3.重点考查审题建模能力、等量关系梳理与方程求解的
题；
规范性；
5. 分段计费、和差倍分等实际问题。
4.偶与方案优化结合，考查分类讨论思想与实际问题的
解的取舍。
二元一次方程组应用
1. 行程、工程、销售问题的双未知数模型；2. 鸡兔同笼、配套、分配、年龄问题；3. 图表信息题（表格、条形图）中的数量关系；4. 方案设计、最优决策类实际问题。
以解答题为主，分值 8~12 分，属中档基础题；
常结合社会热点（如环保、扶贫、校园采购）设置真
实情境；
重点考查从实际问题中提取两个等量关系、列方程组
求解的能力；
多与方案选择结合，考查分类讨论与实际意义下的解的验证。实数运算、不等式（组）结合，考查综合运算能力；
一元二次方程应用
1. 增长率问题（连续增长 / 下降、复利）；2. 销售利润问题（涨价 /降价、销量变化、最大利润）；3. 几何图形问题（面积、动点、围栏、折叠）；4. 传播问题、握手问题、数字问题；5. 动点问题中的路程、面积关系。
以解答题为主，分值 8~12 分，属中档题，是中考高
频考点；
常结合经济、科技、几何实际场景，情境化、综合化
趋势明显；
重点考查等量关系建模、一元二次方程求解与根的实
际意义取舍；
偶与二次函数结合，考查最值问题，渗透函数与方程
思想。
分式方程应用
行程问题（速度变化、时间差）；
工程问题（效率变化、合作完工）；
销售问题（单价变化、数量关系）；
浓度问题、分配问题、方案选择问
题。
以解答题为主，分值 8~12 分，属中档基础题；
常结合工程、交通、商业等实际场景，考查分式方程
的建模；
重点考查等量关系梳理、分式方程求解与验根的规范
性（易错点）；
偶与方案优化结合，考查实际问题中解的合理性分
析。
一元一次不等式
（组）的实际应用
方案选择与最优决策问题（购物优
惠、生产安排、资源分配）；
最值问题（最大利润、最小成本、
最优方案）；
不等关系类实际问题（限高、限重、
限额、范围限制）；
与一次函数结合的方案优化问题；
分段计费、阶梯收费中的范围分析。
以选择题、填空题、解答题形式考查，解答题多为中
档基础题，分值 6~12 分；
常结合生活实际（如购物、生产、出行）设置情境，
贴近学生生活；
重点考查审题建模能力、不等关系梳理与不等式（组）
求解的规范性；
多与方案选择结合，考查分类讨论思想与实际问题中
整数解的取舍；
偶与一次函数结合，考查最优方案决策，渗透数形结
合思想。
考点一 一元一次方程的实际应用
《解题指南》
1. 常见等量关系公式（必考）
① 行程问题：路程 = 速度×时间；相遇问题：总路程=甲路程+乙路程；
追及问题：追及路程=快的路程-慢的路程；
②工程问题：工作总量=工作效率×工作时间（通常设工作总量为 1）；合作效率=各队效率之和；
③销售利润问题：利润=售价-进价；利润率=利润进价；售价=标价×折扣；
④和差倍分问题：较大量=较小量+相差量；总量=部分量之和；几倍量=已知量×倍数。
2. 高频易错点避坑
①单位不统一：审题时注意时间（小时/分）、长度（米/千米）、速度等单位，必须先统一再列式计算；
②关键词误解：混淆“增加了”与“增加到”、“除”与“除以”、“相差”与“是… 倍”的数学表达差异；
③设元不当：部分题目间接设元（如设中间变量）能简化计算，若直接设元列方程复杂，需及时调整设元方式；
④解的取舍：方程的解不一定符合实际，必须验证是否为正整数、非负数等实际条件，不符合的要舍去。
命题点 01 一元一次方程的实际应用之配套问题
【答案】应分配25名工人生产电压表．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应分配?名工人生产电压表，则分配(60−?)名工人生产电流表，依题意得2 × 14? = 20(60−?)，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
【详解】解：设应分配?名工人生产电压表，则分配(60−?)名工人生产电流表，依题意得2 × 14? = 20(60−?)，
解得? = 25，
答：应分配25名工人生产电压表．
【典例】（2025·陕西汉中·一模）某生产线共有60名工人，每名工人每天可生产14个电压表或20个电流表， 1套物理电学实验器材包中要配有1个电压表和2个电流表，要使该生产线每天生产的电压表和电流表恰好能 配套装入物理电学实验器材包，应分配多少名工人生产电压表？
【答案】该服装加工厂应该安排 5 台机器人生产上衣，3 台机器人生产裤子
【分析】本题考查了利用一元一次方程解决配套问题，解题关键是找准等量关系．
先设应该安排 x 台机器人生产上衣，根据“为使每天生产的上衣和裤子刚好配套（每套含 1 件上衣和 1 条裤
【变式 1】（2025·陕西西安·三模）某服装加工厂要用工业机器人生产一批上衣和裤子，已知该加工厂共有 8 台机器人，每台机器人每天可完成240件上衣或400条裤子，为使每天生产的上衣和裤子刚好配套（每套含 1 件上衣和 1 条裤子），请问该服装加工厂应该安排多少台机器人生产上衣？多少台机器人生产裤子？
子）”列出方程求解．
【详解】解：设应该安排 x 台机器人生产上衣，根据题意得，240? = 400(8−?)，
解得? = 5， 8−5 = 3（台），
∴该服装加工厂应该安排 5 台机器人生产上衣，3 台机器人生产裤子．
【答案】2 × 12? = 18(28−?)
【分析】本题考查了利用一元一次方程解决实际配套问题．已知共有28张硬纸板，设?张做盒身，则(28−?) 张做盒底．因为1个盒身与2个盒底配成一套，所以要根据盒身数量与盒底数量的配套关系来列方程．本题 考查一元一次方程在配套问题中的应用．解题关键在于理解配套比例关系，即盒底数量是盒身数量的2倍，通过设未知数分别表示出盒身和盒底的数量，进而根据配套关系列出方程．
【详解】解：∵每张硬纸板可制作盒身12个，设用?张硬纸板做盒身，
∴盒身的数量就是12?个．
又∵每张硬纸板可制作盒底18个，用(28−?)张硬纸板做盒底
∴盒底的数量是18(28−?)个．
∴可列方程2 × 12? = 18(28−?)．故答案为：2 × 12? = 18(28−?)
【变式 2】（2025·吉林长春·二模）用一种硬纸板制作某种长方体包装盒，每张硬纸板可制作盒身 12 个或制作盒底 18 个，1 个盒身与 2 个盒底配成一套．现有 28 张这种硬纸板，全部用来制作这种包装盒，要使盒身和盒底刚好配套，设需要 x 张做盒身，根据题意可列方程为．
命题点 02 一元一次方程的实际应用之工程问题
【答案】? = 20
【分析】把工作总量看作单位“1”，根据工作效率等于工作总量除以工作时间求出引进智能设备前的工作效率，以及引进智能设备后的工作效率，再根据前 5 天完成的工作量与后 15 天完成的工作量之和等于增加后的总工作量建立方程求解即可．
【典例】（2026·安徽·二模）某车间计划用 20 天加工一批零件，在加工了 5 天后，引进了智能设备，使工作效率提高了?％，同时，上级部门要求给该车间的任务总量增加15％，若该车间仍能按计划完成任务．求 m 的值．
【详解】解：由题意得 × 5 + 1 ⋅ 1 + ?％ ⋅ (20−5) = 1 + 15%，
1
20
20
解得? = 20．
【答案】?公司的工作时间为 4 天
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
设?公司的工作时间为?天，则?公司的工作时间为(2? + 4)天，利用工作总量 = 工作效率× 工作时间，可列出关于?的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设?公司的工作时间为?天，则?公司的工作时间为(2? + 4)天，根据题意得：0.5? + 1 × (2? + 4) = 14，
解得：? = 4．
答：?公司的工作时间为 4 天．
【变式 1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）中国基础建设快速发展，各地修建了许多高速公路，带动了当地的经济发展，提高了人们的生活水平．某市招标建设一段长为 14 千米的无桥梁高速公路路基，现有 A，B 两家公司竞标了这项工程，已知 A 公司每天能修建路基 0.5 千米，B 公司每天能修建路基 1 千米，若由 A，B两家公司合作完成任务，且 B 公司的工作时间比 A 公司工作时间的 2 倍多 4 天，则 A 公司的工作时间为多少天？
【答案】原计划每月改造的楼层数为 3 层
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设原计划每月改造的楼层数为 x 层，根据平均每月实际改造的楼层数比原计划的 2 倍少 2 层，结果比原计划提前 2 个月完成任务，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设原计划每月改造的楼层数为 x 层，根据题意可得：8? = (8−2)(2?−2)，
解得：? = 3，
答：原计划每月改造的楼层数为 3 层．
【变式 2】（2025·陕西咸阳·二模）某工程队对一老旧小区进行改造，计划 8 个月完成任务，为了尽量减少施工对居民生活的影响，工程队加快施工进度，平均每月实际改造的楼层数比原计划的 2 倍少 2 层，结果比原计划提前 2 个月完成任务，求原计划每月改造的楼层数．
【变式 3】（2025·湖南永州·三模）为了确保第三届永州旅游发展大会在祁阳唐家山景区顺利进行，现景区有一处地方需要整改，有两个工程队共同参与．甲单独做正好按期完成，乙单独做则要超期 30 天才能完成．现甲、乙合做 20 天，余下的由乙单独做正好完成．
求甲单独做需要多少天完成全部工作？
【答案】(1)甲单独做需要 60 天完成全部工作
(2)施工费用不够，见解析，需要追加0.4万元
【分析】本题考查了分式方程与一元一次方程的应用，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
设甲单独做需要 x 天完成全部工作，则乙单独做需要(? + 30)天完成工期，根据题意列出分式方程求
解即可；
设甲乙两队合作完成这项工程需要 y 天，根据题意列出一元一次方程，求解即可．
【详解】（1）解：设甲单独做需要 x 天完成全部工作，则乙单独做需要(? + 30)天完成工期，
由题意可得：20 +
1 + 1
??+30
+(?−20) ×= 1，
1
?+30
解得：? = 60
经检验，? = 60时，?(? + 30) ≠ 0，则? = 60是原分式方程的解，
答：甲单独做需要 60 天完成全部工作．
（2）解：设甲乙两队合作完成这项工程需要 y 天，
由题意可得：?
6090
1 + 1
= 1，
解得：? = 36，
需要施工费用：36 × (0.84 + 0.56) = 50.4 > 50，需追加：50.4−50 = 0.4（万元）答：施工费用不够，需要追加0.4万元．
已知甲队每天施工费用为 0.84 万元，乙队每天施工费用为 0.56 万元，工程预算施工费用为 50 万元，为 缩短工期在旅游发展大会前完工，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由．
命题点 03 一元一次方程的实际应用之盈亏问题
【典例】（2025·辽宁·中考真题）小张计划购进?,?两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知?种文创产品比?种文创产品每件进价多 3 元，购进 2 件?种文创产品和 3 件?种文创产品共需花费 26 元．
求?种文创产品每件的进价；
小张决定购进 A，B 两种文创产品共 100 件，且总费用不超过 550 元，那么小张最多可以购进多少件?种文创产品？
【答案】(1)?种文创产品每件的进价为4元
(2)小张最多可以购进 50 件?种文创产品
【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键：
设?种文创产品每件的进价为?元，根据?种文创产品比?种文创产品每件进价多 3 元，购进 2 件?种文创产品和 3 件?种文创产品共需花费 26 元，列出一元一次方程进行求解即可；
设小张购进?件?种文创产品，根据总费用不超过 550 元，列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：设?种文创产品每件的进价为?元，则：?种文创产品每件的进价为(? + 3)元，由题意，得：2(? + 3) +3? = 26，
解得：? = 4，
答：?种文创产品每件的进价为4元；
（2）设小张购进?件?种文创产品，由（1）可知，?种文创产品每件的进价为4 + 3 = 7元，由题意，得：7? + 4(100−?) ≤ 550，
解得：? ≤ 50；
答：小张最多可以购进 50 件?种文创产品．
【变式 1】（2024·海南·中考真题）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商店售卖某品牌瘦肉粽和五花肉粽．请依据以下对话，求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价．
【答案】促销活动前每个瘦肉粽的售价为 15 元，则促销活动前每个五花肉粽的售价 10 元．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设促销活动前每个瘦肉粽的售价为?元，则促销活动前每个五花肉粽的售价(?−5)元，根据题意列方程求解即可．
【详解】解：设促销活动前每个瘦肉粽的售价为?元，则促销活动前每个五花肉粽的售价(?−5)元，依题意得0.8 × 10? + 5(?−5) = 160，
解得? = 15，
?−5 = 10，
答：促销活动前每个瘦肉粽的售价为 15 元，则促销活动前每个五花肉粽的售价 10 元．
【变式 2】（2025·山东烟台·中考真题）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损 10 元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利 95 元．这款风扇每台的标价为（ ）
A．350 元B．320 元C．270 元D．220 元
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设这款风扇每台的标价为?元，根据按标价的六折出售，则每台风扇亏损 10 元可得风扇的进价为(0.6? + 10)元，根据按标价的九折出售，则每台风扇盈利 95 元可 得风扇的进价为(0.9?−95)元，据此建立方程求解即可．
【详解】解：设这款风扇每台的标价为?元，由题意得，0.6? + 10 = 0.9?−95，
解得? = 350，
∴这款风扇每台的标价为 350 元，故选：A．
【变式 3】（2025·四川内江·中考真题）学校准备添置一批课桌椅，原订购 60 套，每套 100 元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了 72 套，每套减价 3 元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成 本．设每套课桌椅的成本为 x 元，则可列方程为（ ）
A．72(100−?) = 60(100 + 3−?)B．60(100−?) = 72(100−3−?)
C．60(100 + ?) = 72(100−3 + ?)D．100−? = 100−3−?
6072
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据利润相等建立方程．原计划利润为60(100−?)，实际利润为
72(100−3−?)，两者相等即可求解．
【详解】解：设每套成本为?元．原计划利润为60(100−?)元；实际购买时利润为72(100−3−?)元．根据题意得：60(100−?) = 72(100−3−?)，
故选 B．
命题点 04 一元一次方程的实际应用之比赛积分问题
参赛
答对题
答错题
得
【典例】（2025·湖南长沙·三模）近期“国家喊你减肥了”话题冲上热搜，为了让大家有一个健康的身体和良好的生活习惯，某学校组织全体中学生参加健康生活方式知识竞赛，共设25道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了 5 个参赛者的得分情况．
填空：每答对一道题得分，每答错一道题扣分；
参赛者?得70分，他答对了几道题？
参赛者?说他得87分，你认为可能吗？请通过计算说明．
【答案】(1)4，1
?答对了19道题
参赛者?不可能得87分，见解析
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题关键．
（1）根据参赛者 E 的得分情况可求出每答对一道题所得分值，据此即可求解；
（2）设参赛者?答对了?道题，由题意得：4?−(25−?) = 70,据此即可求解；
（3）假设他得了87分，设他答对?道题，根据题意得：4?−(25−?) = 87，解得? = 5 ，据此即可判断；
【详解】（1）解：根据参赛者 E 的得分情况可知：每答对一道题得100 ÷ 25 = 4分；
112
根据参赛者 A 的得分情况可知：每答错一道题得95−24 × 4 = 1分；
故答案为：4，1
解：设参赛者?答对了?道题，由题意得：
4?−(25−?) = 70,
解得：? = 19，
答：参赛者?答对了19道题
解：参赛者?不可能得87分，
理由：假设他得了87分，设他答对?道题，根据题意得：4?−(25−?) = 87，
解得? = 5 ，不是正整数，所以假设不成立，
112
者
数
数
分
A
24
1
95
B
21
4
80
C
18
7
65
D
14
11
45
E
25
0
100
【答案】23
【分析】设他答对了?道题，则不答或答错的题数为(25−?)道，根据“小明同学最终得分为 88 分”建立一元一次方程求解．
【详解】解：设他答对了?道题，则不答或答错的题数为(25−?)道，根据题意，得4?−2(25−?) = 88
去括号，得4?−50 + 2? = 88
合并同类项，得6? = 138
系数化为 1，得? = 23
故参赛者?不可能得87分．
【变式 1】（2025·河北邯郸·一模）某代表队参加知识竞赛，竞赛依次分必答和抢答两个环节，规定：必答环节每队均需答 10 道题．答对一题得 20 分，答错或不答扣 10 分；抢答环节各队共抢答 10 道题，抢答且答对得 30 分，抢答但答错扣 10 分，没有抢答得 0 分．初始分数为 100 分．
必答环节该队答对 7 道题，求该队必答环节后的总分数；
若抢答环节该队共抢答 6 次，本环节得 140 分，请通过列方程求该队抢答环节答对题目数．
【答案】(1)该队必答环节后的总分数为 210 分
(2)该队抢答对 5 道题
【分析】本题考查有理数的混合运算，解一元一次方程的应用，充分理解赛事规则，抓住等量关系是解题关键
根据必答环节赛事规则：必答环节每队均需答 10 道题．答对一题得 20 分，答错或不答扣 10 分，列算式求解；
设抢答答对?道题，根据抢答环节赛事规则：抢答环节各队共抢答 10 道题，抢答且答对得 30 分，抢答但答错扣 10 分，没有抢答得 0 分，列方程求解．
【详解】（1）解：100 + 7 × 20 + 3 × (−10) = 210（分）．答：该队必答环节后的总分数为 210 分．
（2）解：设抢答答对?道题．
30?−10(6−?) = 140，解得? = 5．答：该队抢答对 5 道题．
【变式 2】（2026·陕西西安·一模）陕西是中华民族重要发祥地之一，为增强文化自信，厚植家国情怀，某中学举行“知我陕西，传承文明”主题知识竞赛．赛题共 25 道，答对一题得 4 分，不答或答错一题扣 2 分．若小明同学最终得分为 88 分，则他答对了道题．
∴他答对了 23 道题．
【答案】21
【分析】设聪聪答对了?道题，则聪聪不答或答错的题数为(25−?)道，根据竞赛得分和评分规则建立一元一次方程求解即可．
【详解】解：设聪聪答对了?道题，则聪聪不答或答错的题数为(25−?)道，由题意得：6?−2(25−?) = 118，
解得? = 21，
所以聪聪答对了 21 道题．
【变式 3】（2026·陕西咸阳·模拟预测）为全面提升学生的安全防范意识与应急处置能力，筑牢校园安全防线，某校组织安全意识知识竞赛，试题共 25 题，评分规则是答对一题得 6 分，不答或答错一题扣 2 分，已知该校的聪聪在此次竞赛中得了 118 分，则他答对了道题．
命题点 05 一元一次方程的实际应用之方案选择问题
【典例】（2026·广东佛山·一模）【项目主题】研学活动前期策划
【项目背景】为深化实践育人，某班计划利用小长假开展为期 5 天的研学活动．研学主题为“探工业智造，品非遗匠心”，具体研学活动内容包括如下：
①参观工业设计城；②游览智能制造科技园；③参加机器人操作体验活动；
①观看民俗表演；②参观非遗文化展览馆；③研学后参加非遗宣讲活动．
旅行社
优惠方案
甲旅行社
人均享 9 折优惠．
乙旅行社
缴纳 1000 元团游会员费后，人均可享 8 折优惠．
丙旅行社
为弘扬非遗文化，参加研学后非遗宣讲活动的人数若能超过半数（含半数），人均可享 7 折优惠；否则，人均享 95 折优惠．
现有甲、乙、丙三家旅行社，收费标准均为 500 元/人．为更大程度地帮助同学降低研学费用，项目小组与三个旅行社沟通后，得到的优惠方案如下：
【项目任务】项目小组通过初步计算发现：若全班同学都报名参加此次 5 天研学活动，选择乙旅行社的总
费用比甲旅行社少 1500 元．
(1)该班有几名同学？
(2)为选择一家最优惠的旅行社进行报名，项目小组前期需要收集哪些信息？又该如何根据这些信息做出选择？
【答案】(1)50 名
(2)需要收集该班参加非遗宣讲活动的人数，设参加非遗宣讲活动的人数为 m，当? ≥ 25时，选择丙旅行社最优惠；当? < 25时，选择乙旅行社最优惠
【分析】（1）设该班有 x 名同学.，由题意得，甲旅行社的总费用为：500 × 0.9? = 450?（元） 乙旅行社的总费用为：1000 + 500 × 0.8? = 1000 + 400?（元），根据“选择乙旅行社的总费用比甲旅行社少 1500元”建立一元一次方程求解；
（2）根据丙旅行社的优惠规则，需要先收集参加非遗宣讲的人数，再分情况计算丙的总费用，和甲乙的总费用比较后即可得到最优惠的选择方案．
【详解】（1）解：设该班有 x 名同学.，由题意得，甲旅行社的总费用为：500 × 0.9? = 450?（元） 乙旅行社的总费用为：1000 + 500 × 0.8? = 1000 + 400?（元）
由题意得：450?−(1000 + 400?) = 1500
整理得：50? = 2500
解得：? = 50
答：该班有 50 名同学．
（2）解：当? = 50时， 甲旅行社总费用：450 × 50 = 22500（元）；
乙旅行社总费用：1000 + 400 × 50 = 21000（元）
丙旅行社的优惠规则和该班参加非遗宣讲活动的人数有关，
因此首先需要收集该班参加非遗宣讲活动的人数．
设参加非遗宣讲活动的人数为 m，该班总人数为 50，全班人数的半数为 25，
当? ≥ 25时，丙旅行社总费用为：500 × 0.7 × 50 = 17500（元）
因为17500 < 21000 < 22500，此时丙旅行社总费用最低，选择丙旅行社；
当? < 25时，丙旅行社总费用为：500 × 0.95 × 50 = 23750（元）
因为21000 < 22500 < 23750，此时乙旅行社总费用最低，选择乙旅行社．
答：需要收集该班参加非遗宣讲活动的人数，设参加非遗宣讲活动的人数为 m，当? ≥ 25时，选择丙旅行社最优惠；当? < 25时，选择乙旅行社最优惠．
【变式 1】（2025·云南红河·模拟预测）根据材料，完成任务：
【答案】任务1：300个；任务2：先用方案一购买20副羽毛球拍，再用方案二购买340个羽毛球．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
任务 1：设学校购进了?个羽毛球，根据方案一和方案二费用一致，可列出关于?的一元一次方程，解之即可得出结论；
任务2：利用“总价 = 单价× 数量”，求出选择方案一及方案二所需费用，再求出“先用方案一购买20副羽毛球拍，再用方案二购买340个羽毛球”所需费用，比较后即可得出结论．
【详解】解：任务 1：设学校购进了?个羽毛球（? ≥ 60），
则方案一的费用：20 × 150 + 10 × (?−3 × 20) = 3000 + 10 × (?−60) = 3000 + 10?−600 = 2400 + 10?，
方案二的费用：150 × 0.9 × 20 + 10 × 0.9 × ? = 2700 + 9?，由题意，2400 + 10? = 2700 + 9?，
解得：? = 300，
答：学校购进了300个羽毛球；任务2：需要购进400个羽毛球，
单独使用方案一费用：2400 + 10 × 400 = 6400（元）；
单独使用方案二费用：2700 + 9 × 400 = 6300（元）；
问题情境
为了举行羽毛球比赛，学校需要提前购买20副羽毛球拍和若干个羽毛球（不少于60个）．
素材1
羽毛球拍：150元/副
羽毛球：10元/个
素材2
方案一：每买一副羽毛球拍赠送3个羽毛球．方案二：羽毛球拍和羽毛球都按标价的九折销售．
任务1
若方案一和方案二费用一致，你知道学校购进了多少个羽毛球吗？
任务2
现已知方案一和方案二既可以单独使用，也可以同时使用．若学校需要购进400个羽毛球，请为学校设计最省钱的购买方式．
混合使用：先用方案一购买20副羽毛球拍，获赠60个羽毛球，费用为3000元，再用方案二购买剩余340个羽毛球，费用为340 × 10 × 0.9 = 3060（元），总费用为3000 + 3060 = 6060（元）；
∵6400 > 6300 > 6060，
∴最省钱的购买方式是先用方案一购买20副羽毛球拍，再用方案二购买340个羽毛球．
你好！请问你那里的安全头盔批发价是多少？
我有三种型号的安全头盔，批发价分别是?型100元/个；?型120元/个；?型150元/个．如果你买的多的话还有下面的优惠方案：
①一次性累计购买50个及以上九五折优惠
②一次性累计购买100个及以上九折优惠
【变式 2】（2025·北京·模拟预测）在“一盔一带”为主题的交通安全宣传和教育下，人们骑电动车、摩托车佩戴头盔的安全意识不断提高．某安全用品商店计划购进一批安全头盔进行销售．于是商店老板联系了批发商，他们之间的对话如下：
若该商店计划一次性购进?型安全头盔30个和?型安全头盔20个，共需多少钱？
【答案】(1)共需要5130元
(2)该商店的进货方案有2种，方案1：购进50个?型安全头盔，50个?型安全头盔；方案2：购进80个?型安全头盔，20个?型安全头盔．
【分析】本题考查了有理数混合运算的运用，一元一次方程的应用；能找出等量关系式，列出方程求解是解题的关键．
根据题意列出算式得(100 × 30 + 120 × 20) × 95%，即可求解；
购进?，?两种不同型号的安全头盔，购进?，?两种不同型号的安全头盔，购进?，?两种不同型号的安全头盔，分别用一元一次方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得：(100 × 30 + 120 × 20) × 95%
若该商店计划用9900元一次性购进两种不同型号的安全头盔100个，请你研究一下该商店的进货方案有哪几种？
= (3000 + 2400) × 95%
= 5400 × 95%
= 5130(元)．
答：共需要5130元；
（2）解：当购进?，?两种不同型号的安全头盔时，设购进?个?型安全头盔，则购进(100−?)个?型安全头盔，
根据题意得： 100? + 120(100−?) × 90% = 9900，解得：? = 50，
∴ 100−? = 100−50 = 50(个)；
当购进?，?两种不同型号的安全头盔时，设购进?个?型安全头盔，则购进(100−?)个?型安全头盔，根据题意得： 100? + 150(100−?) × 90% = 9900，
解得：? = 80，
∴ 100−? = 100−80 = 20(个)；
当购进?，?两种不同型号的安全头盔时，设购进?个?型安全头盔，则购进(100−?)个?型安全头盔，
根据题意得： 120? + 150(100−?) × 90% = 9900，
解得：? = 400(不符合题意，舍去)．
3
∴ 该商店的进货方案有2种，
方案1：购进50个?型安全头盔，50个?型安全头盔；方案2：购进80个?型安全头盔，20个?型安全头盔．
命题点 06 一元一次方程的实际应用之数字问题
【典例】（2026·河北石家庄·一模）如图，每个台阶上都标着一个数，按照从下到上的顺序，每一个台阶上的数比前一个台阶上的数大3，已知第1个台阶上的数是−10．
求第2个台阶上的数；
求第几个台阶上的数是20．
【答案】(1)−7
(2)11
【分析】（1）根据每一个台阶上的数比前一个台阶上的数大3，列式计算即可；
（2）先得出第?个台阶上的数是−10 + (?−1) × 3，根据台阶上的数是20，列方程求出?的值即可．
【详解】（1）解：∵每一个台阶上的数比前一个台阶上的数大3，第1个台阶上的数是−10，
∴第2个台阶上的数是−10 + 3 = −7．
（2）解：第2个台阶上的数是−10 + (2−1) × 3 = −7，第3个台阶上的数是−10 + (3−1) × 3 = −4，
第4个台阶上的数是−10 + (4−1) × 3 = −1，
……，
∴第?个台阶上的数是−10 + (?−1) × 3，
当台阶上的数是20时，−10 + (?−1) × 3 = 20，解得：? = 11，
∴第11个台阶上的数是20．
【变式 1】（2026·河北沧州·一模）【发现】对于2，4，6三个连续的偶数来说，可以得到2 + 4 = 6，即前两个偶数的和等于第三个偶数；对于8，10，12，14，16五个连续的偶数来说，可以得到
8 + 10 + 12 = 14 + 16，即前三个偶数的和等于后两个偶数的和⋯
【验证】（1）对于九个连续偶数来说，若前五个偶数的和等于后四个偶数的和，求中间的偶数；
【答案】（1）40；（2）不存在，理由详见解析．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用；
设中间数为?，根据题意进行计算即可；
（2）设这七个连续的奇数为2?−7，2?−5，2?−3，2?−1，2? + 1，2? + 3，2? + 5，（?是整数），根据题意列出方程，方程的解不为整数，即可得出结论．
【详解】解：（1）设九个连续偶数中间的数为?，则这九个数为?−8,?−6,?−4,?−2,?,? + 2,? + 4,? + 6,? + 8．由题意，得?−8 + ?−6 + ?−4 + ?−2 + ? = ? + 2 + ? + 4 + ? + 6 + ? + 8，
解得? = 40．
不存在，理由如下，
设这七个连续的奇数为2?−7，2?−5，2?−3，2?−1，2? + 1，2? + 3，2? + 5，（?是整数），根据题意得出，2?−7 + 2?−5 + 2?−3 + 2?−1 = 2? + 1 + 2? + 3 + 2? + 5
【延伸】（2）是否存在连续的七个奇数，使得前四个奇数的和等于后三个奇数的和．若有，写出这七个奇数；若没有，请说明理由．
解得：? = 12.5
∵?是整数，
∴? = 12.5不符合题意.
∴不存在连续的七个奇数，使得前四个奇数的和等于后三个奇数的和．
【变式 2】（2025·河北唐山·三模）某两位数，已知十位数字与个位数字之和为 9，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，设原两位数的个位数字为?．
请用含?的式子表示得到的新的两位数，并说明这个新的两位数能被 9 整除；
若新的两位数比原来的两位数大 45，试通过列一元一次方程的方法求出?的值．
【答案】(1)9? + 9，见解析
(2)? = 7
【分析】本题考查了列代数式，以及一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
根据题意，整理出代数式进行分析即可；
根据题意，列出一元一次方程求解即可．
【详解】（1）解： ∵ 设原两位数的个位数字为?，则十位数字为9−?，
∴ 得到的新的两位数为10? + (9−?) = 9? + 9，
∵ 9? + 9 = 9(? + 1)，且? + 1为整数，
∴ 这个新的两位数能被 9 整除；
（2）解：由题意，
得10(9−?) +? + 45 = 9? + 9，解得? = 7．
命题点 07 一元一次方程的实际应用之几何问题
【典例】（2025·江苏扬州·中考真题）如图 1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度?? = 7cm．将此正方体放在坡角为?的斜坡上，此时水面??恰好与点?齐平，其主视图如图 2 所示，则tan? = ．
4
【答案】9
【分析】本题考查了求角的正切值、一元一次方程的几何应用、主视图、平行线的性质等知识，熟练掌握正切的定义是解题关键．延长??，交直线??于点?，设?? = ?cm，则?? = ??−?? = (9−?)cm，先根据水的体积不变建立方程，解方程可得?的值，再根据平行线的性质可得∠??? = ∠??? = ?，然后根据正切的定义计算即可得．
【详解】解：如图，延长??，交直线??于点?，
由题意得：?? = ?? = ?? = 9cm,∠? = 90°,?? ∥ ??,?? ∥ ??，
设?? = ?cm，则?? = ??−?? = (9−?)cm，
∵密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为?的斜坡上，容器里水的体积不变；且放在坡角为?的斜坡上时，水的体积等于长为9cm、宽为9cm、高为(9−?)cm的长方体的体积与长为9cm、宽为9cm、高为
?cm的长方体的体积的一半之和，
1
∴9 × 9(9−?) + 2 × 9 × 9? = 9 × 9 × 7，
解得? = 4，
即?? = 4cm，
∵?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠? = ?，
∵?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠??? = ?，
??4
∴tan? = tan∠??? = ?? = 9，
故答案为：9．
4
【变式 1】（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，小文同学为研究 12 点 t 分（0 < ? < 60）时的钟面角，把数字 12 所在的刻度记为点 A，把时针记为??，分针记为??．当??,??,??两两所夹的三个角∠???,∠???,∠???中有两个角相等时，t 的值为（本题中所有角的度数均不超过 180°）．
720
720
综上，当? = 13 或? = 23 时， 三个角中有两个角相等
720
此时可能相等的两个角是：当 ∠??? = ∠???时，即0.5? = 360−6?，解得：? = 13 ，
∠??? = ∠??? + ∠??? = 360°−5.5?°
360
③当5.5? > 180时，即： 11 < ? < 60时，∠??? = 0.5?°，∠??? = 360°−6?°，
720
此时可能相等的两个角是：当 ∠??? = ∠???时，即5.5? = 360−6?，解得：? = 23 ，
∠??? = ∠???−∠??? = 5.5?°
360
②当5.5? < 180 < 6?时，即：30 < ? < 11 时，∠??? = 0.5?°，∠??? = 360°−6?°，
【分析】本题考查了钟面角和一元一次方程的应用，根据时针和分针的转动，用 t 表示出∠??? = 0.5?°，
∠??? = 5.5?° ，∠??? = 360°−6?°，再根据有两个角相等可列方程，求解可得 t 的值．
【详解】解：∵钟表一周为360°
∴分针每分钟走360 ÷ 60 = 6°，时针每分钟走360° ÷ 12 ÷ 60 = 0.5°，依题意得∠??? = 0.5?°，
①当0 < ? ≤ 30时，∠??? = 0.5?°，∠??? = 6?°，∠??? = ∠???−∠??? = 5.5?，不存在相等的两个角，
720720
【答案】 23 或 13
【变式 2】（2025·北京·中考真题）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图 1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图 2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是1∶1∶2．已知单根膀条长是胸
5
腹高的 5 倍，门条比单根膀条短 10cm，图 1 中??的长是门条长的9，??，??的长均等于胸腹高．求这只风
筝的骨架的总高．
【答案】80cm
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，弄清量之间的关系、列出一元一次方程是解题的关键．
设胸腹高为?cm，则单根膀条长为5?cm，门条??的长度为(5?−10)cm，?? = 5(5?−10)cm，?? = ?? = ?，
9
头部高为 x，尾部高为2?，这只风筝的骨架的总高为4?；由?? = ?? + ?? + ??列方程求出? = 20，进而求
出风筝的骨架的总高即可．
【详解】解：设胸腹高为?cm，则单根膀条长为5?cm，门条??的长度为(5?−10)cm，?? = 5(5?−10)cm，
9
?? = ?? = ?，头部高为 x，尾部高为2?，这只风筝的骨架的总高为4?，
由?? = ?? + ?? + ??，可得：5?−10 = ? + 5(5?−10) +?，解得：? = 20；
9
所以这只风筝的骨架的总高4? = 80cm．
答：这只风筝的骨架的总高80cm．
命题点 08 一元一次方程的实际应用之行程问题
【典例】（2025·四川绵阳·中考真题）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一个问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”其大意是：跑得快的马每天走 240 里，跑得慢的马每天走 150 里，慢马先走 12 天，问快马几天可追上慢马？据此可知快马追上慢马的天数是（ ）
A．5 天B．10 天C．15 天D．20 天
【答案】D
【分析】本题考查一元一次方程的行程问题，根据题意找到对应的数量关系是解题关键．设快马追上慢马的天数为 x 天，根据两匹马的行走距离相等列方程求解即可．
【详解】解：设快马追上慢马的天数为 x 天，则追上时慢马走了(? + 12)天，
由题意，得240? = 150(? + 12)，解得? = 20，
故快马追上慢马的天数为 20 天，
故选：D．
【变式 1】（2025·江苏连云港·中考真题）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过?天能够相遇，根据题意，得（ ）
A．1? + 1? = 1B．1?−1? = 1C．7? + 9? = 1D．9?−7? = 1
7979
【答案】A
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，属于相遇问题，需根据两者相向而行，相遇时路程之和为全程（即 1），再建立方程即可.
【详解】解：设相遇时间为?天，野鸭从南海到北海需 7 天，故其速度为7（全程/天）；
1
大雁从北海到南海需 9 天，故其速度为9（全程/天），
1
∴方程为7? + 9? = 1，
故选：A
1
1
【变式 2】（2025·陕西·模拟预测）一队学生从学校出发去部队军训，以 5kmh的速度行进 4.5km时，一名通讯员以 14kmh的速度骑自行车从学校出发追赶队伍，他在离部队 6km处追上了队伍，求学校到部队的路程．
【答案】学校到部队的路程是 13 千米
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键在于根据题意找出等量关系列出方程．设学校到部队的路程是 x 千米，根据追及时间建立方程求解，即可解题．
【详解】解：设学校到部队的路程是 x 千米，
根据题意得： 14 =
解得? = 13，
?−6
?−6−4.5
5
，
答：学校到部队的路程是 13 千米．
【答案】轮船的速度为14km/h，A，B 两个码头之间的距离为28.8km
【分析】本题考查一元一次方程的应用，设 A、B 码头之间的距离为?千米，根据船在静水中速度来得到等 量关系为：航程÷顺水时间−水流速度=航程÷逆水时间+水流速度，进行列式，再把相关数值代入进行计算，
【变式 3】（2025·陕西汉中·模拟预测）轻音部在夏日合宿时乘坐轮船出海游玩，轮船航行于 A，B 两个码头之间．她们测出水的流速为2km/h，轮船以相同的速度，顺水航行需要1.8h，逆水航行需要2.4h．求轮船的速度和 A，B 两个码头之间的距离．
∴轮船的速度为14km/h，A，B 两个码头之间的距离为28.8km．
(km/h)，
28.8
则 2.4 +2 = 14
解得：? = 28.8，
2.4
1.8
?
根据题意，得−2 = ? +2，
即可求出答案．
【详解】解：设 A、B 码头之间的距离为?千米，
命题点 09 一元一次方程的实际应用之古代问题
【典例】（2025·山东淄博·中考真题）李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗”与“酒”都与李白 有着不解之缘．后人有《李白醉酒》的数学诗（见下图）来描述李白饮酒作诗的豪放情景（❶处的大意为：先遇店后见花，如此三次）．则诗中李白的壶中原来有酒（ ）
735
A．1 斗B．8斗C．4斗D．8斗
【答案】B
【分析】本题考查一元一次方程的应用，设李白的壶中原来有酒?斗，根据题意列方程解应用题即可．
【详解】解：设李白的壶中原来有酒?斗，
2[2(2?−1)−1]−1 = 0，
解得：? = 8，
故答案为：B．
7
【变式 1】（2025·四川资阳·中考真题）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有这样一个题目：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，
1
适重一斤．问本持金几何．”大意是：今有人持金出五关，第 1 关收税金为所持金的2，第 2 关收税金为此时
111
所持金的3，第 3 关收税金为此时所持金的4，第 4 关收税金为此时所持金的5，第 5 关收税金为此时所持金
1
的6．五关税金之和恰好重 1 斤，问原本持金多少？（ ）
6789
A．5斤B．5斤C．5斤D．5斤
【答案】A
【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设原本持金为?斤，逐关计算税金并求和，根据已知列方程，然后解方程求得?即可．
【详解】解：由题意，第 1 关收税：2?，剩余?−2? = 2?，
1
11
第 2 关收税：3 × 2? = 6?，剩余2?−6? = 3?，
1
11
111
第 3 关收税：4 × 3? =?，剩余3?− ? = ?，
1
11
11
1
12124
第 4 关收税：5 × 4? =?，剩余4?− ? = ?，
1
11
11
1
20205
第 5 关收税：6 × 5? =?，
1
11
30
则五关税金之和为2? + 6? +? +? +? = ?，
1
1
1
1
1
5
1220306
根据题意，总税金为 1 斤，得6? = 1，
5
解得? = 6
5
故原本持金为5斤，
故选：A．
6
【变式 2】（2024·广西·中考真题）《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年 3 亩 1 钱，第二年 4 亩 1 钱，第三年 5 亩 1 钱．三年共得 100 钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田有 x 亩，可列方程为（ ）
A．???B???
3 + 4 + 5 = 1．3 + 4 + 5 = 100
C．3? + 4? + 5? = 1D．3? + 4? + 5? = 100
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据“第一年 3 亩 1 钱，第二年 4 亩 1 钱，第三年 5 亩 1 钱．三年共得 100 钱”列方程即可．
【详解】解：根据题意，得3 + 4 + 5 = 100，
故选：B．
?
??
中考预测题
景点 A
景点 B
景点 C
平时
8 折
比赛周
8 折
免费
6 折
自“苏超”足球比赛开赛以来，带动了当地城市旅游热，某市对来该市观看足球比赛的球迷推出如下优惠措施：
若 A，B，C 三处景点门票原价分别为 a 元，b 元和 c 元，某球迷在比赛周游览三处景点门票共花费多少元？相比平时游览 A，B，C 三处景点门票共优惠多少元？（用代数式表示）
若比赛周该球迷游览景点 B 和景点 C 门票共花费 72 元，比平时节省 104 元，求 b，c 的值．
【答案】(1)(0.8? + 0.6?)元，(0.8? + 0.2?)元
(2)? = 100,? = 120
【分析】（1）根据价格优惠分别计算平时的费用以及比赛周的费用，由此计算即可；
（2）根据已知条件列式求解即可．
【详解】（1）解：门票原价总共为(? + ? + ?)元，平时实际支付费用为0.8(? + ? + ?)元，比赛周支付费用为(0.8? + 0.6?)元，
比平时游览优惠了0.8(? + ? + ?)−(0.8? + 0.6?) = (0.8? + 0.2?)元．
（2）解：∵游览景点 B 和景点 C 门票共花费 72 元，
∴0.6? = 72，解得? = 120元，
∵平时游览 B、C 两景点的费用为0.8(? + ?)元，
∴节省费用为0.8(? + ?)−0.6? = (0.8? + 0.2?)元，
∵比平时节省 104 元，
∴0.8? + 0.2? = 104，即0.8? + 0.2 × 120 = 104，
解得? = 100元，
综上，? = 100,? = 120．
赛龙舟是中国端午节的传统习俗，也是国家级非物质文化遗产．某校手工社团准备制作一件木制龙舟模 型（如图所示），该模型由“龙头”、“船身”、“龙尾”三部分整体排成一条直线组成．已知龙头的长度与龙尾 的长度之比是2∶1，船身的长度比龙尾长度的 4 倍还多2cm．为了还原真实感，模型还配备了一根主桅杆和 若干船桨．已知单根船桨的长度比龙尾的 2 倍少6cm．在拼装时同学们发现，这艘龙舟模型的总长（龙头、船身与龙尾的长度之和．恰好比单根船桨长度的 4 倍多20cm．则该龙舟模型的总长度是多少？
【答案】44cm
【分析】根据题意设龙尾的长度为?cm，则龙头的长度为2?cm，船身的长度为(4? + 2)cm，船桨的长度为 (2?−6)cm，列出方程求解 x 的值，再代入 x 的值到原方程即可求得龙舟模型的总长度．
【详解】解：设龙尾的长度为?cm，则龙头的长度为2?cm，船身的长度为(4? + 2)cm，船桨的长度为 (2?−6)cm，
根据题意，可列出方程：2? + (4? + 2) +? = 4(2?−6) +20，解得? = 6，
将? = 6代入2? + (4? + 2) +?可得：2 × 6 + (4 × 6 + 2) +6 = 12 + 26 + 6 = 44(cm)，
∴该龙舟模型的总长度是44cm．
一部名为《南京照相馆》的电影于 7 月 25 日上映，取材于南京大屠杀期间日军真实罪证影像，一经上映票房一路狂飙，掀起爱国热潮．某兴趣小组开展以“爱国为主题”项目式学习：
〖素材 1〗某影院 7 月 28 日的票房收入为 10 万元，随着观影人数的不断增多，7 月 30 日的票房收入达到
16.9 万元．
〖素材 2〗某商家生产了一批以爱国为主题的图册，一册成本为 14 元，当售价定为每本 28 元时，平均每天售出 200 本．经市场调研，每降 1 元出售，平均每天多售出 40 本．
问题解决：
求从 7 月 28 日到 7 月 30 日票房收入的平均增长率？
根据素材 2，使每天销量达到 400 本时，应降多少元？
【答案】(1)30%
(2)5
(3)售价为23.5元时，每天最大利润为 3310 元
【分析】（1）设从 7 月 28 日到 7 月 30 日票房收入的平均增长率为 x，依素材 1 列方程求解即可；
根据素材 2，商家每天固定成本为 300 元（如房租、水电、人工等），在进价、成本、售价与销量关系不变的情况下，求售价为多少元时，每天最大利润为多少？
设应降 y 元，依素材 2 可列方程求解；
设售价为 m 元，每天利润为 W 元，依素材 2，可得 W 关于 m 的二次函数关系，根据二次函数的性质即可求解．
本题考查列一元一次方程和一元二次方程解应用题，以及二次函数性质的应用．
【详解】（1）解：设从 7 月 28 日到 7 月 30 日票房收入的平均增长率为 x，依素材 1，可得：10(1 + ?)2 = 16.9，
解得?1 = 0.3，?2 = −2.3（不合题意，舍去）．
答：从 7 月 28 日到 7 月 30 日票房收入的平均增长率为30%．
解：设应降 y 元，依素材 2，可列方程200 + 40? = 400，解得? = 5．
答：应降 5 元．
解：设售价为 m 元，每天利润为 W 元，依素材 2，可得：
? = (?−14)[200 + 40(28−?)]−300
= −40?2 + 1880?−18780
= −40(?−23.5)2 +3310，
当? = 23.5时，W 取得最大值为 3310．
答：售价为23.5元时，每天最大利润为 3310 元．
考点二 二元一次方程组的实际应用
《解题指南》
核心运算要点（专项突破）
1. 常见等量关系模型（中考高频）
配套问题：配套比例相等（如 1 个螺栓配 2 个螺母→螺母数量= 2×螺栓数量）；
行程问题：
相遇问题：甲路程乙路程总路程； 追及问题：快路程慢路程追及路程；
顺逆水：顺速船速水速，逆速船速水速；
工程问题：工作总量工作效率工作时间，合作时总效率为各效率之和；
销售利润问题：利润售价进价，总利润单件利润销量，售价标价折扣；
图表信息题：从表格、条形图中提取两组对应数据，建立等量关系；
方案设计问题：结合整数解，分析不同方案的可行性。
2. 高频易错点避坑
等量关系重复：列出的两个方程本质是同一个方程，导致方程组无解或无数解；
消元符号错误：加减消元时，漏乘常数项、去括号变号错误；
单位不统一：行程、工程问题中，时间、速度、长度单位未统一就列式；
解的取舍错误：忽略实际意义，保留不符合题意的解（如人数为负、分数）；
设元不规范：未写单位、设元与所求量不对应，导致答语错误。
命题点 01 列二元一次方程组
【典例】（2025·江苏淮安·中考真题）《九章算术》记载：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”意思为：“今有人合伙买金，每人出钱 400，会多出 3400 钱；每人出钱 300，会多出 100 钱．问合伙人数、金价各是多少？”设合伙人数为 x 人，金价为 y 钱，则可列方程组
（ ）
? = 400? + 3400
A． ? = 300? + 100B．
? = 400?−3400
C． ? = 300? + 100D．
? = 400?−3400
? = 300?−100
? = 400? + 3400
? = 300?−100
【答案】B
【分析】本题考查根据实际问题，列二元一次方程组，根据每人出钱 400，会多出 3400 钱；每人出钱 300，会多出 100 钱，列出方程组即可．
【详解】解：设设合伙人数为 x 人，金价为 y 钱，由题意，得：
? = 400?−3400
? = 300?−100 ；
故选 B．
材料
类别
彩色纸（张）
细木条（捆）
手工艺品 A
5
3
手工艺品 B
2
1
【变式 1】（2025·浙江·中考真题）手工社团的同学制作两种手工艺品 A 和 B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表．
如果一共用了 17 张彩色纸和 10 捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品 A 有 x 个，手工艺品 B 有 y 个，则 x 和 y 满足的方程组是（ ）
5? + 3? = 17
A． 2? + ? = 10B．
5? + 2? = 17
C． 3? + ? = 10D．
5? + 3? = 10
2? + ? = 17
5? + 2? = 10
3? + ? = 17
【答案】C
【分析】本题考查根据实际问题，列二元一次方程，根据题意，建立关于彩色纸和细木条用量的二元一次方程组．
【详解】解：每个手工艺品 A 用 5 张，每个 B 用 2 张，总用量为 17 张．因此可列方程为：5? + 2? = 17；每个手工艺品 A 用 3 捆，每个 B 用 1 捆，总用量为 10 捆．因此可列方程为：3? + ? = 10；
5? + 2? = 17
故方程组为： 3? + ? = 10 ；
故选 C．
【变式 2】（2025·四川眉山·中考真题）我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，问甜果苦果各买几个？若设买甜果 x 个，苦果 y 个，根据题意可列方程组为（ ）
? + ? = 1000? + ? = 999
A． 9? + 7? = 999B． 11? + 4? = 1000
【答案】C
【分析】本题考查根据实际问题列方程组，设买甜果 x 个，苦果 y 个，根据用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，列出方程组即可．
【详解】解：设甜果 x 个，苦果 y 个，
∵用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，故可列方程为：? + ? = 1000
∵甜果 9 个 11 文，苦果 7 个 4 文，
∴甜果每个单价为 9 文，苦果每个单价为7文，
11
4
∵总费用为 999 文，故可列方程为： 9 ? + 7? = 999；
? + ? = 1000
11
4
故可列方程组： 11 ? + 4 ? = 999 ；
97
? + ? = 1000
? + ? = 1000
C． 11 ? + 4 ? = 999
D．
97
114
9 ? + 7 ? = 999
故选 C．
命题点 02 方案选择问题
?型号机器人台数
?型号机器人台数
总费用（单位：万元）
1
3
195
2
1
165
【典例】（2026·河南周口·一模）随着人工智能与互联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递公司为提高工作效率，拟购买?, ?两种型号的智能机器人进行快递分拣，相关信息如下：
求?, ?两种型号智能机器人的单价；
【答案】(1)?型号机器人的单价为 60 万元，?型号机器人的单价为 45 万元
(2)该公司有 2 种购进方案
【分析】（1）设?型号机器人单价为?万元，?型号机器人单价为?万元，根据表格中的信息，列出方程组，解方程组即可；
（2）设购进?型号机器人?个，?型号机器人?个，根据?, ?两种型号的机器人的价格之和为 450 元，列出方程，求方程的整数解即可．
【详解】（1）解：设?型号机器人单价为?万元，?型号机器人单价为?万元．
? + 3? = 195
根据题意，得 2? + ? = 165 ，
? = 60
解得 ? = 45 ，
答：?型号机器人的单价为 60 万元，?型号机器人的单价为 45 万元．
（2）解：设购进?型号机器人?个，?型号机器人?个．根据题意，得60? + 45? = 450．
整理，得：
? =
450−45?
60
=
30−3?
4
，
∵?, ?为正整数，
? = 6? = 3
∴ ? = 2 或 ? = 6 ，
∴该公司有 2 种购进方案．
若某公司恰好用 450 万元购进?, ?两种型号的机器人若干（两种型号机器人均购买），求该公司共有几种购进方案．
【变式 1】（2025·湖南·模拟预测）试题情境：编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲．
(1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为 150 赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？
(2)为筹备下一次编钟演奏活动，工作人员要采购 A．B 两种不同材质的编钟配件，A 配件每个 30 元，B 配件每个 50 元，一共准备花费 500 元，在保证钱都花完且两种配件都要买的情况下，有几种采购方案？
【答案】(1)大号 编钟的频率为 50 赫兹，小号编钟的频率为 100 赫兹
(2)有三种采购方案方案一：?配件5个，?配件7个；方案二：?配件10个，?配件4个；方案三：?配件15个，
B 配件1个
【分析】本题考查了二元一次方程的实际应用，根据应用信息合理列出方程是解题的关键．
设大号编钟的频率为?赫兹，小号编钟的频率为?赫兹，根据数量关系列出方程运算即可；
（2）设?配件要买?个，?配件要买?个，根据题意列出二元一次方程3? + 5? = 50，求其正整数解即可．
【详解】（1）解：设大号编钟的频率为?赫兹，小号编钟的频率为?赫兹，
，
? = 1 ?
根据题意得：
2
? + ? = 150
? = 50
解这个方程组得 ? = 100 ，
答：大号 编钟的频率为 50 赫兹，小号编钟的频率为 100 赫兹．
解：设?配件要买?个，?配件要买?个．
根据题意得：30? + 50? = 500，
整理得：3? + 5? = 50，即? =
50−5?
3 ，
∵?和?都为整数，
∴符合条件的解为：
? = 5
? = 7 ，
? = 10
? = 4 ，
? = 15
? = 1 ，
答：有三种采购方案，方案一：?配件5个，?配件7个；方案二：?配件10个，B 配件4个；方案三：?配件15个，B 配件1个．
【变式 2】（2025·江西宜春·三模）中华民族拥有灿烂的华夏文明，而文化古迹则是文明的见证者．为了让学生感受王勃笔中“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”的美景，某校组织一支研学队伍到滕王阁进行研学旅行，若只调配 36 座新能源客车若干辆，还有 8 人没座位；若只调配 22 座新能源客车，则调配新能源客车的数量将增加 2 辆，还有 6 人没有座位．
求计划调配 36 座新能源客车的数量及这支研学队伍的人数．
【答案】(1)3 辆；116 人
(2)36 座新能源客车 2 辆，22 座新能源客车 2 辆
【分析】该题考查了二元一次方程（组）的应用，解题的关键是理解题意．
设计划调配 36 座新能源客车 x 辆，这支研学队伍的人数为 y 人，根据“若只调配 36 座新能源客车若干辆，还有 8 人没座位；若只调配 22 座新能源客车，则调配新能源客车的数量将增加 2 辆，还有 6 人没有座位”，可列出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设需调配 36 座新能源客车 m 辆，22 座新能源客车 n 辆，根据调配的车辆既保证每人有座，又保证每车不空座，可列出关于 m，n 的二元一次方程，结合 m，n 均为正整数，即可得出结论．
【详解】（1）解：设计划调配 36 座新能源客车 x 辆，这支研学队伍的人数为 y 人，
36? + 8 = ?
根据题意得： 22(? + 2) + 6 = ? ，
? = 3
解得： ? = 116 ．
答：计划调配 36 座新能源客车 3 辆，这支研学队伍的人数为 116 人；
（2）解：设需调配 36 座新能源客车 m 辆，22 座新能源客车 n 辆，根据题意得：36? + 22? = 116，
∴? =
58−18?
11
，
又∵m，n 均为正整数，
? = 2
∴ ? = 2 ．
答：需调配 36 座新能源客车 2 辆，22 座新能源客车 2 辆．
若同时调配 36 座和 22 座两种新能源客车若干辆，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？
命题点 03 行程问题
【答案】小新驾车行驶的速度是 40 公里/时，小韵驾车行驶的速度是 60 公里/时
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，先设小新驾车行驶的速度是?公里/时，小韵驾车行驶的速度是
【典例】（2025·山西长治·二模）黄河一号旅游公路是山西省以“踏访黄河、文明探源”为主题的文化旅游公路，起点为忻州市偏关县老牛湾村，终点到运城垣曲西哄哄村，全长 1200 公里，连接起众多名胜古迹与自然景观．暑假小新和小韵沿着此公路自驾游，小新从老牛湾村出发，小韵从哄哄村出发，小新比小韵晚 5小时出发，小新出发 29 小时后两人相遇，两人沿途游玩、休息等消耗的时间均为 20 小时，小新驾车行驶的速度比小韵慢 20 公里/时．请分别求出小新和小韵驾车行驶的速度．
?公里/时，结合小新比小韵晚 5 小时出发，小新出发 29 小时后两人相遇，两人沿途游玩、休息等消耗的时
间均为 20 小时，小新驾车行驶的速度比小韵慢 20 公里/时，列出方程组，再解得 ? = 60 ，即可作答．
【详解】解：设小新驾车行驶的速度是?公里/时，小韵驾车行驶的速度是?公里/时，
? = 40
? + 20 = ?
根据题意，得 (29−20)? +(29−20 + 5)? = 1200 ，
? = 40
解得 ? = 60 ，
答：小新驾车行驶的速度是 40 公里/时，小韵驾车行驶的速度是 60 公里/时．
【答案】1568 千米
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设两城之间的距离为 x 千米，飞机的飞行速度为 y 千米/小时，根据路程、时间、飞行速度、风速的关系列二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：2 小时 40 分钟 = 23小时，2 小时 20 分钟 = 23小时，
设两城之间的距离为 x 千米，无风时飞机的飞行速度为 y 千米/小时，
2
1
由题意得
2 2
? 3
? = ?−42
，
2 1
= ? + 42
3
? = 1568
解得 ? = 630 ．
故 A，B 两城之间的距离为 1568 千米．
【变式 1】（2025·陕西·模拟预测）一位俄罗斯外国朋友计划来中国旅行，体验中华优秀传统文化，感悟非遗魅力．他计划搭乘飞机前往中国．已知这趟国际飞机往返于 A，B 两城，顺风飞行需要 2 小时 20 分钟，逆风飞行需要 2 小时 40 分钟，当天天气状况一般，风速为每小时 42 千米．试求 A，B 两城之间的距离．
【变式 2】（2025·山东威海·二模）某景区的起点是一段上坡路，走过上坡路后便是一段通往终点的平
【答案】该景区起点到终点的路程是3.1km
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设从甲地到乙地的上坡长为?km，平路长为?km，根据时间等于路程除以速度建立方程组，解方程组求出?,?的值，由此即可得．
【详解】解：设从甲地到乙地的上坡长为?km，平路长为?km，则从乙地到甲地的下坡长为?km，平路长为
?km，
由题意得： 3
? + ? = 54
460 ，
5460
? + ? = 42
路．如果上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从起点到终点需要54min，从终点返回到起点需要42min．求该景区起点到终点的路程．
? = 1.5
解得 ? = 1.6 ，
则甲地到乙地全程是? + ? = 1.5 + 1.6 = 3.1(km)．
命题点 04 工程问题
【典例】（2025·江西·中考真题）某文物考古研究院用1∶1复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的
青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（出酒率 = 出酒量 × 100%）如下表：
糟醅量
如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共 16 公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共 36 公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的 2 倍，芋头糟醅量是第一次的 3 倍．
求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？
受限于当时的生产条件，古代青铜装馏器的出酒量约为现代复原品的 80%．若粮食糟醅中大米占比约为
1
4，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？
【答案】(1)第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是 40、20 公斤．
(2)需要准备37.5公斤大米．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组、一元一次方程的应用等知识点，审清题意、正确列出方程组和方程是解题的关键．
（1）第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是 x、y 公斤，则第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质
类别
原材料
出酒率
粮食酒
粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水
30%
芋头酒
芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水）
20%
量分别是2?,3?公斤，然后根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）先求出两次得到粮食酒的总质量，设需要准备 z 公斤大米，则粮食糟醅的质量为4?，再根据题意列一元一次方程求解即可．
【详解】（1）解：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是 x、y 公斤，则第一次实验用粮食糟醅和
芋头糟醅的质量分别是2?,3?公斤，
由题意可得： 30% × 2? + 20% × 3? = 36 ，解得： ? = 20 ．
答：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是 40、20 公斤．
30%? + 20%? = 16
? = 40
（2）解：两次实验得到的粮食酒总量为(40 + 40 × 2) × 30% = 36公斤，
设需要准备 z 公斤大米，则粮食糟醅的质量为4?，
由题意可得：4? × 30% × 80% = 36，解得：? = 37.5千克．答：需要准备37.5公斤大米．
【答案】?型无人机出动1架，?型无人机出动5架
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设?型无人机出动?架，?型无人机出动?架，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键．
【详解】解：设?型无人机出动?架，?型无人机出动?架，
由题意可得：
12 × 5? + 10 × 6? = 360
5? + 6? = 35
，
? = 1
解得： ? = 5 ，
∴?型无人机出动1架，?型无人机出动5架．
【变式 1】（2025·海南·模拟预测）海南某芒果种植基地为推进智慧农业，采用 A、B 两款无人机协同喷洒 生态农药．已知 A 型无人机每小时可喷洒 12 公顷，但电池续航为 5 小时；B 型无人机每小时喷洒 10 公顷，续航可达 6 小时．某日，A、B 两型无人机共同完成一片芒果园的喷洒任务，总作业面积 360 公顷，且所有 无人机累计飞行 35 小时．问：A、B 两款无人机各出动多少架？
清淤机
清淤船
时间
方案一
1 台
2 台
8 天
【变式 2】（2025·安徽蚌埠·三模）南淝河，古称施水，长江流域巢湖的支流，是合肥的母亲河．为了确保河道畅通，现需要对一段河道进行清淤处理，清淤任务由两栖反铲式清淤机和小型链斗式清淤船进行．右表是工程队给出的两个工程预备方案，环保部门要求 6 天内必须完成任务．如果工程部门提供 2 台清淤机和 2 台清淤船，共同完成此项任务，那么能否按要求完成任务？
【答案】能按要求完成任务
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，设一台清淤机的工作效率为?，一台清淤船的工作效率为
?，根据方案一和方案二建立方程求解即可．
【详解】解：设一台清淤机的工作效率为?，一台清淤船的工作效率为?．
? + 2? = 1 ，
根据题意，得
2? + ? = 1 ，
8
7
解得
? = 1
? = 3
56 ，
28
3
1
6 × 2 × 56 + 2 × 28 = 14 > 1．
答：2 台清淤机和 2 台清淤船共同工作，能按要求完成任务．
15
命题点 05 数字问题
【典例】（2025·安徽亳州·三模）“洛书”（图 1）是世界上最早的“幻方”．“九宫格”来源于“洛书”，将不重复的 9 个数依次填入3 × 3方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．如图 2、图 3 都是只能看到部分数值的“九宫格”．
写出图 2 中 a 和 b 之间的数量关系；
求出图 3 中 x 和 y 的值．
【答案】(1)? = ? + 1
(2) ? = 16
? = 5
【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，掌握“九宫格”的特点是解题关键．
（1）根据“九宫格”任意一行、任意一列上的数之和都相等求解即可；
方案二
2 台
1 台
7 天
（2）令第一行第二列为?，第三行第三列为?，根据“九宫格”任意一行、任意一列上的数之和都相等列二元
一次方程组，整理后求解即可
【详解】（1）解：由题意可知，? + 7 + 2 = 2 + ? + 8，即? = ? + 1；
（2）解：如图，令第一行第二列为?，第三行第三列为?，
则 ? + ? + ? = 2 + 19 + ? ，即 ? + ? = 21 ，
? = 16
? + ? + 2 = ? + ? + 13
?−? = 11
解得：
? = 5 ；
【答案】831
【分析】题考查二元一次方程组的实际应用，根据题意得出百位数8，设个位数字为?，十位数字为?，由题意列出方程组，解方程组，即可求解．
【详解】解：依题意，百位数为5 + 3 = 8，设个位数字为?，十位数字为?，由题意，得：
? + ? = 4
?−2 = ? ，
? = 1
解得： ? = 3 ，
∴这个三位数为831．
【变式 1】（2025·安徽芜湖·二模）算盘起源于中国，以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把算珠分为上，下两部分，上半部分每算珠代表 5，下半部分每算珠代表 1．任意选定某档为个位，从该档开始从右至左依次代表十进位的个，十，百，千，万，……，不拨出算珠的空档表示 0．某同学在百 位拨了一颗上珠和三颗下珠，在构成的三位数中，百位数字等于十位数字与个位数字的和的 2 倍，十位数 字减 2 等于个位数字，请求出这个三位数．
【变式 2】（2026·广西南宁·一模）我们已经学过完全平方公式：(? ± ?)2 = ?2 ± 2?? + ?2，将它适当变形
可以解决很多数学问题．
(1)填空：已知? + ? = 5，?? = 3，则?2 + ?2 = ．
(2)“幻方”起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．在数学活动课上，小彬和小华同学探究类似填幻方的数字游戏，将数字 1，2，3，4，5，6 填入如图所示的“□”中，使每个圆圈上的三个数字之和都相等．
①如图 1 所示，两个空白“□”中，从左到右依次应填，；每个圆圈上的三个数字之和为．
②如图 2 所示，三个“□”中的数字分别记为：a，b，? + ?−3，请根据图 3 的对话内容，求? + ?的值．
小彬：由填数规则得1 ≤ ? + ?−3 ≤ 6；所以4 ≤ ? + ? ≤ 9
小华：我发现，若记每个圆圈上的三个数字之和为 S，则? + ?的值可以用含 S 的式子表示．
小彬：对！根据你的发现，可以求出? + ?的值．
图 3
③在②的结论下，
? + ? = 6或 9，
若12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + ?2 + ?2 + (? + ?−3)2 = 126，求??的值．
【答案】(1)19
(2)①4，5，12；②? + ? = 6或 9；③?? = 5
【分析】（1）由(? + ?)2 = ?2 + ?2 +2??可知，?2 + ?2 = (? + ?)2−2??，代入已知条件，从而求得?2 + ?2
的值；
（2）①设两个空白“□”中，左边空白“□”应填的数为 x，右边空白“□”应填的数为 y，根据每个圆圈上的三个数字之和相等，建立方程，解方程，即可求得从左到右依次应填 4，5，以及每个圆圈上的三个数字之和为 12；
②设上方的圆圈上空白“□”应填的数为 m，左侧的圆圈上空白“□”应填的数为 x，右侧的圆圈上空白“□”应填的数为 y，根据每个圆圈上的三个数字之和相等，建立方程，再根据所有填入的数字之和建立等量关系，从
而求得? = 6 + 2(? + ?)，最后由 S 为整数，以及4 ≤ ? + ? ≤ 9，求出? + ?的值；
3
③先求出?2 + ?2 = 26，运用?2 + ?2 = (? + ?)2−2??将已知条件化简，根据②中结果分两种情况分析求解即可．
【详解】（1）解：∵? + ? = 5，?? = 3，又∵?2 + ?2 = (? + ?)2−2??，
∴?2 + ?2 = 52−2 × 3 = 25−6 = 19，
即?2 + ?2 = 19；
（2）解：①设两个空白“□”中，左边空白“□”应填的数为 x，右边空白“□”应填的数为 y，
根据每个圆圈上的三个数字之和相等，
3 + ? + ? = 2 + ? + 6
可得： 2 + ? + 6 = 6 + ? + 1 ，
? = 4
解得： ? = 5 ，
∴两个空白“□”中，从左到右依次应填 4，5，
每个圆圈上的三个数字之和为：3 + ? + ? = 3 + 4 + 5 = 12；
②设上方的圆圈上空白“□”应填的数为 m，左侧的圆圈上空白“□”应填的数为 x，右侧的圆圈上空白“□”应填的数为 y，
∵每个圆圈上的三个数字之和为 S，
? + ? + ? = ?①
∴ ? +(? + ?−3) + ? = ?② ，
? +(? + ?−3) + ? = ?③
∴① + ② + ③得：4? + 4?−6 + (? + ? + ?) = 3?，
即? + ? + ? = 3?−4(? + ?) +6，即? + ? = 2? + 6−3(? + ?)，
∵所有填入的数字之和为：1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = ? + ? + ? + ? + ? + (? + ?−3)，
∴? + ? + ? + 2(? + ?) = 24，
∵? + ? + ? = 3?−4(? + ?) +6，
∴24−2(? + ?) = 3?−4(? + ?) +6，
∴? = 6 + (? + ?)，
2
3
∵4 ≤ ? + ? ≤ 9，S 为整数，
∴? + ? = 6或 9；
③∵12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 = 1 × 6 × (6 + 1) × (2 × 6 + 1) = 91，
6
又∵12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + ?2 + ?2 + (? + ?−3)2 = 126，
∴?2 + ?2 + (? + ?−3)2 = 126−91 = 35，
∴(? + ?)2−2?? + (? + ?−3)2 = 35，
∴2?? = (? + ?)2 + (? + ?−3)2−35，由②得? + ? = 6或 9，
当? + ? = 6时，2?? = 62 + (6−3)2−35 = 36 + 9−35 = 10，
∴?? = 5；
当? + ? = 9时，
∴?? = 41，
则?、?是方程?2−9? + 41 = 0的两个根，
∵Δ = (−9)2−4 × 1 × 41 = −83 < 0，
∴此情况不存在，舍去；
∴?? = 5．
命题点 06 销售利润问题
【答案】A 饮料每杯12元，B 饮料每杯 8 元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设每杯?饮料?元，每杯?饮料?元，根据“小丽买了?，?饮料各 1 杯，用了20元；小明买了 3 杯?饮料和 5 杯?
【典例】（2025·江苏南京·中考真题）某商店销售两种饮料，A 饮料“满三免一”（即每买 3 杯只需付 2 杯的钱），B 饮料满 5 杯按 8 折销售．小丽买了 A，B 饮料各 1 杯，用了20元；小明买了 3 杯 A 饮料和 5 杯 B饮料，用了56元．A，B 两种饮料每杯分别是多少元？
饮料，用了56元”，可列出关于?，?的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设每杯?饮料?元，每杯?饮料?元，
? + ? = 20
根据题意得： 2? + 5 × 0.8? = 56 ，
? = 12
解得：
? = 8 ．
答：每杯?饮料12元，每杯?饮料 8 元．
【变式 1】（2025·青海西宁·中考真题）西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣——坚韧、顽强、浪漫．某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区．若购买 12 株白丁香和 7株紫丁香共 1160 元；购买 9 株白丁香和 14 株紫丁香共 1570 元．
求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？
【答案】(1)50 元；80 元
(2)购买紫丁香 20 株，白丁香 25 株；2850 元
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，正确地列出方程组和一次函数关系式是解题的关键：
设白丁香的单价为 x 元，紫丁香的单价为 y 元，根据买 12 株白丁香和 7 株紫丁香共 1160 元；购买 9
株白丁香和 14 株紫丁香共 1570 元，列出方程组进行计算即可；
设购买紫丁香 m 株，总费用为 w 元，列出一次函数关系式，利用一次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：设白丁香的单价为 x 元，紫丁香的单价为 y 元．
12? + 7? = 1160
根据题意，列方程组 9? + 14? = 1570
? = 50
解方程组得 ? = 80 ；
答：白丁香的单价为 50 元，紫丁香的单价为 80 元；
（2）解：设购买紫丁香 m 株，则购买白丁香(45−?)株，总费用为 w 元．根据题意，? = 80? + 50 × (45−?) = 30? + 2250
∵30 > 0
∴w 随 m 的增大而增大又∵? ≥ 20，
∴当? = 20时，?最小 = 30 × 20 + 2250 = 2850．
该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共 45 株，其中紫丁香至少购买 20 株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？
答：购买紫丁香 20 株，白丁香 25 株时，总费用最少，最少费用为 2850 元．
【变式 2】（2025·海南·中考真题）某汽车销售公司分两批次采购新能源汽车．第一批购进 1 辆 A 型汽车、 4 辆 B 型汽车，共花费 68 万元；第二批购进 2 辆 A 型汽车、3 辆 B 型汽车，共花费 76 万元（同类型汽车进 价不变）．某销售经理估计每辆 A 型汽车的进价约为 19~21 万元，每辆 B 型汽车的进价约为11 ∼ 13万元．
求 A、B 型汽车的进价，并判断该销售经理的估计是否正确；
现实生活中的很多问题可以用方程（组）解决，请写出解二元一次方程组的常用方法．
【答案】(1)每辆 A 型车的进价为 20 万元，每辆 B 型车的进价为 12 万元；该销售经理的估计正确；
(2)解二元一次方程组的常用方法主要是加减消元法和代入消元法．
【分析】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的等量等关系，并据此列出方程组，进行求解
设每辆 A 型汽车的进价为 x 万元，每辆 B 型汽车的进价为 y 万元，根据题意列出方程组求解即可；
解二元一次方程组的常用方法主要是加减消元法和代入消元法．
【详解】（1）解：设每辆 A 型汽车的进价为 x 万元，每辆 B 型汽车的进价为 y 万元，
? + 4? = 68
根据题意可列出方程组 2? + 3? = 76 ，
? = 20
解得： ? = 12
∴每辆 A 型车的进价为 20 万元，每辆 B 型车的进价为 12 万元；该销售经理的估计正确；
（2）解二元一次方程组的常用方法主要是加减消元法和代入消元法．
中考预测题
【答案】长绳买了 10 根，短绳买了 20 根.
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题关键是找到题目中的两个等量关系：长绳和短绳的总数量为 30 根，购买长绳和短绳的总费用为 550 元，据此列方程组求解即可.
【详解】解：设购买长绳?根，短绳?根，
? + ? = 30
根据题意，列方程组： 25? + 15? = 550 ，
解得： ? = 10 .
? = 20
据国家体育总局报道，2025 年全年，我国运动员共在 31 个项目上获得 146 个世界冠军，创 17 项世界纪录．为了落实“健康第一”的教育理念，某校购买了一批跳绳，其中长绳每根 25 元，短绳每根 15 元，若学校用 550 元购买了长绳和短绳共 30 根，请问长绳和短绳各买了多少根？
答：长绳买了 10 根，短绳买了 20 根.
【答案】?,?两种玩具原来的售价分别为每件20元，30元.
2(?−8) + 3(?−12) = 78
【分析】设?,?两种玩具原来的售价分别为每件?元，?元，结合题意可得 3(?−4−8) = 2 ×(0.8?−12) ，进
一步解方程组即可.
【详解】解：设?,?两种玩具原来的售价分别为每件?元，?元，则
2(?−8) + 3(?−12) = 78
3(?−4−8) = 2 ×(0.8?−12) ，
2? + 3? = 130
整理得： 3?−1.6? = 12 ，
? = 20
解得： ? = 30 ，
答：?,?两种玩具原来的售价分别为每件20元，30元.
春节期间，小李购进一批玩具进行销售，其中?,?两种畅销玩具的进价分别为 8 元和 12 元，销售 2 件?种玩具和 3 件?种玩具可获利润 78 元．若?种玩具降价 4 元，?种玩具打 8 折销售，则销售 3 件?种玩具与销售 2 件?种玩具获得的利润相同，求?,?两种玩具原来的售价分别为多少．
?
⋯
2
5
8
⋯
?
⋯
−1
−3
−5
⋯
3．某数学学习小组在课堂练习中，研究了“寻找无数组整数?，?，使得2? + 3? = 1”的问题，整理出的部分数表如下：
观察表格，根据规律在表格的横线上填空；
由上面的规律可知，若表中某一列的两个整数依次是?和?，则表中相邻的下一列的两个数分别是
和（分别用含?和?的式子表示）；
【答案】(1)11，−7；
(2)? + 3，?−2；
(3)结论正确，理由见解析．
【分析】本题考查了二元一次方程的整数解，掌握知识点的应用是解题的关键．
观察表格，找到规律，即可填空；
根据规律求解即可；
(3)有同学根据上面的探究得出结论“对于任何正整数?，都存在无数组整数?，?，使得2? + 3? = ?成立”．请判断该结论的正误并简述理由．
（3）假设? = ?0，? = ?0是方程2? + 3? = ?的一组解，则2?0 +3?0 = ?，令? = ?0 +3?，? = ?0−2?，代入求解即可证明结论正确．
【详解】（1）解：观察表格，根据规律在表格的横线上应填11，−7；故答案为：11，−7；
（2）解：表中某一列的两个整数依次是?和?，则表中相邻的下一列的两个数分别是? + 3和?−2，故答案为：? + 3，?−2；
（3）解：结论正确，理由：
对于任意正整数?，可以找到方程2? + 3? = ?的一组整数解，例如：当? = −?，? = ?时，2? + 3? = −2? + 3? = ?，
∴? = −?，? = ?是方程2? + 3? = ?的一组解，
∵?为正整数，
∴方程2? + 3? = ?必有整数解，
假设? = ?0，? = ?0是方程2? + 3? = ?的一组整数解，则2?0 +3?0 = ?，对于任意整数?，令? = ?0 +3?，? = ?0−2?，
则2? + 3? = 2(?0 + 3?) +3(?0−2?) = 2?0 +6? + 3?0−6? = 2?0 +3?0 = ?，
∴? = ?0 +3?，? = ?0−2?也是方程2? + 3? = ?的解，
∵整数?有无数个，
∴方程2? + 3? = ?有无数组整数解．
考点三 一元二次方程的实际应用
《解题指南》
1.常见等量关系模型(中考高频)
①增长率问题：初始量× (1 +增长率)n =最终量(n 为增长次数，下降率则为 1-增长率);
②销售利润问题：总利润 =单件利润×销量 = (售价−进价) × (原销量±销量变化）;
③几何面积问题：根据图形面积公式(矩形、正方形、三角形等),结合边长变化列方程；
④传播/握手问题：初始人数× (1 +传播率)n =最终感染人数;握手问题；
握手问题：1x(x−1) =总握手次数;
2
⑤动点问题：用时间 t 表示动点移动的距离，结合几何图形的边长、面积、勾股定理列方程。
2.高频易错点避坑
①增长率公式用错：混淆“连续增长 2 次”与“增长 2 倍”,误将(1 + ?)2写成1 + 2?；
②根的取舍错误：忽略实际意义，保留负数、零或不符合题意的根(如长度为负、增长率超过 100%)；
③单位不统一：几何问题中长度单位、利润问题中金额单位未统一就列式；
④等量关系找错：利润问题中混淆“涨价/降价对销量的影响”，面积问题中漏算边长变化的部分；
⑤计算失误：因式分解错误、求根公式代入错误、判别式计算错误，导致根求解错误。
命题点 01 传播问题
【典例】（2025·四川德阳·模拟预测）学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有81人获得了安全意识．
问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？
按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？
【答案】(1)8人
(2)729人
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．
设这种宣讲活动，一个人会给?人宣讲，根据题意列方程求解即可；
用已有接受宣讲的人数乘以（1）中结果加上已有接受宣讲的人数即为经过三轮后接受宣讲的人数．
【详解】（1）解：设这种宣讲活动，一个人会给?人宣讲，依题意，得1 + ? + (1 + ?)? = 81即(1 + ?)2 = 81，
解得?1 = 8，?2 = −10(舍去)，
故这种宣讲活动，一个人会给8人宣讲；
（2）解：81 × 8 + 81 = 729（人），
故按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有729人．
【变式 1】（2026·贵州·一模）秋冬季节是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，有 1 人患了流感，经过两轮传染后共有 168 人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，则可列方程为（ ）
A．1 + 2? = 168 B．1 + ?2 = 168C．? + ?2 = 168D．1 + ? + ?(1 + ?) = 168
【答案】D
【分析】利用两轮总患病人数为1 + ? + ?(1 + ?) = 168，建立方程即可得解．
【详解】解：∵初始患病人数为 1，每轮传染中平均 1 人传染?个人，
∴第一轮传染后，新增患病人数为?，总患病人数为1 + ?，
第二轮传染中，(1 + ?)个患者每人传染?人，新增患病人数为?(1 + ?)，
∴两轮传染后总患病人数为1 + ? + ?(1 + ?)，由题意两轮后共有 168 人患病，因此列方程为1 + ? + ?(1 + ?)
= 168．
命题点 02 增长率问题
【典例】（2025·山东滨州·中考真题）某市大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至 2025年初，全市公共充电桩数量已从 2023 年初的 10 万个增长至 16.9 万个．设全市公共充电桩数量的年平均增长率为 x，则可列方程为（ ）
A．10(1 + 2?) = 16.9B．10(1 + ?)2 = 16.9
C．10(1 + ?2) = 16.9D．10(1 + ?) = 16.9
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及年平均增长率的计算．从 2023 年初到 2025 年初是两年时间，设年平均增长率为 x，则两年后的数量为初始数量乘以(1 + ?)的平方．
【详解】解：∵ 初始数量为 10 万个，两年后数量为 16.9 万个，年平均增长率为 x，
∴ 一年后数量为10(1 + ?)，两年后数量为10(1 + ?)(1 + ?) = 10(1 + ?)2，
∴ 可列方程：10(1 + ?)2 = 16.9，故选：B．
【变式 1】（2025·广东·中考真题）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态 势．某公司工业机器人在今年 5 月产值达到 2500 万元，预计 7 月产值将增至 9100 万元．设该公司 6，7 两个月产值的月均增长率为?，可列出的方程为（ ）
A．2500(1 + ?)2 = 9100B．2500(1−?)2 = 9100
C．2500(1−2?)2 = 9100D．2500(1 + 2?)2 = 9100
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设该公司 6，7 两个月产值的月均增长率为?，根据连续两个月的月均增长率建立方程即可．
【详解】解：设该公司 6，7 两个月产值的月均增长率为?，根据题意，得2500(1 + ?)2 = 9100．
故选：A．
【变式 2】（2025·黑龙江·中考真题）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的 8000 辆增加到三月份的 12000 辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为 x，则可列方程为（ ）
A．8000(1 + 2?) = 12000B．8000(1 + ?)2 = 12000
C．8000 + 8000(1 + ?) +8000(1 + ?)2 = 12000D．8000 × 2(1 + ?) = 12000
【答案】B
【分析】本题考查平均增长率问题，属于一元二次方程的应用．已知一月份销量为 8000 辆，三月份增至 12000辆，需建立平均每月增长率 x 的方程．根据连续增长模型，每月销量为前一个月的(1 + ?)倍，故三月份销量为8000(1 + ?)²，据此列方程即可．
【详解】设每月增长率为 x，则二月份销量为8000(1 + ?)，三月份销量为二月份的(1 + ?)倍，即8000(1 + ?)2．
根据题意，三月份销量为12000辆，可得方程为：8000(1 + ?)2 = 12000．故选 B．
命题点 03 与图形有关的问题
【典例】（2025·四川广元·中考真题）如图，在长为12m，宽为10m的矩形地面的四周种植花卉，中间种植
2
草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的5，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带
的宽度为? m，则可列方程为（ ）
A．(12−?)(10−?) = 12 × 10 × 2
5
C．(12−?)(10−2?) = 12 × 10 × 2
5
B．(12−2?)(10−?) = 12 × 10 × 2
5
D．(12−2?)(10−2?) = 12 × 10 × 2
5
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程在几何图形面积问题中的应用，解题的关键是根据花卉带宽度相同的条件，正确表示出中间草坪的长和宽，再结合草坪面积与总面积的关系列出方程．
确定矩形总面积：矩形地面长12m、宽10m,总面积为12 × 10m2;分析草坪的长和宽：花卉带宽度为?m,且在四周，因此草坪的长需减去左右两侧花卉带宽度（共2?),即12−2?;草坪的宽需减去上下两侧花卉带宽度（共
2?),即10−2?;列面积关系方程：草坪面积为(12−2?)(10−2?),且等于总面积的，由此确定方程形式．
【详解】解：根据题意，矩形地面的总面积为12 × 10m2，草坪面积为总面积的，即草坪面积为12 × 10 × 2
5
m2．
∵花卉带宽度为? m，且分布在矩形四周，
∴中间草坪的长应等于原矩形的长减去左右两侧花卉带的总宽度（每侧宽? m),即12−2?;
草坪的宽应等于原矩形的宽减去上下两侧花卉带的总宽度（每侧宽? m),即10−2?．因此，草坪的面积可表示为(12−2?)(10−2?),结合面积关系可列方程：
2
(12−2?)(10−2?) = 12 × 10 × 5 .
故选：D．
【变式 1】（2025·辽宁·中考真题）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为 864 平方步，只知道它的长与宽共 60 步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为?步，根据题意可列方程为（ ）
A．?(60−?) = 864B．?(?−60) = 864
C．?(60 + ?) = 864D．2 ? +(? + 60) = 864
【答案】A
【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据题意，设宽为 x 步，则长为(60−?)步，利用矩形面积公式即可列出方程.
【详解】解：设宽为 x 步，则长为(60−?)步由题意，得：?(60−?) = 864，
故选：A.
【变式 2】（2025·新疆·中考真题）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和24m长的围栏围成一个面积为40m2的矩形场地．设矩形的宽为?m，根据题意可列方程（ ）
A．?(24−2?) = 40B．?(24−?) = 40
C．2?(24−2?) = 40D．2?(24−?) = 40
【答案】A
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用.根据题意列出方程即可.
【详解】解：设矩形的宽为?m，则矩形的宽为(24−2?)m，
∴?(24−2?) = 40
故选：A.
【变式 3】（2025·四川巴中·中考真题）如图，计划用长为40m的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长25m）．
矩形围栏的面积为150m2时，三边分别长多少m？
矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少m？
【答案】(1)三边长分别为10m,15m,15m
(2)三边长分别为20m,10m,10m
【分析】此题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是关键．
设垂直于墙的一边长?m，根据矩形围栏的面积为150m2列出方程，解方程并选取合适的解即可；
设矩形围栏的面积为?．根据矩形围栏的面积列出二次函数解析式，并根据二次函数的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长?m，则?(40−2?) = 150
解得：?1 = 5、?2 = 15，
当? = 5时，40−2? = 30 > 25（不符合题意，舍去）当? = 15时，40−2? = 10 < 25（符合题意）
∴ 三边长分别为：10m、15m、15m．
（2）解：设矩形围栏的面积为?．
则有? = ?(40−2?) = −2(?−10)2 +200
当? = 10时．?有最大值? = 200
当? = 10时，40−2? = 20 < 25（符合题意）
∴ 三边长分别为：20m、10m、10m．
命题点 04 营销问题
x（元/个）
…
52
53
54
55
…
y（个）
…
760
740
720
700
…
【典例】（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个 50 元，以每个不低于成本价且不超过 75 元的价格销售，售价 x（元/个）与每天销售量 y（个）的对应值表格如下：
求出 y 与 x 的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
当售价定为多少元时，每天的利润可达到 6000 元？
【答案】(1)? = −20? + 1800(50 ≤ ? ≤ 75)
(2)60 元
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用．
由题意可知 y 是 x 的一次函数，利用待定系数法求解即可．
列出单件的利润乘以销量等于总利润列出关于 x 的一元二次方程求解，再结合 x 的取值范围选择合适的解即可．
【详解】（1）解：由题意可知，y 是 x 的一次函数．设 y 与 x 的函数表达式为? = ?? + ?(? ≠ 0)，
把(52,760)，(53,740)分别代入，得
740 = 53? + ? ，解得 ? = 1800
∴y 与 x 的函数表达式为? = −20? + 1800(50 ≤ ? ≤ 75)．
760 = 52? + ?
? = −20
（2）解：根据题意，得(?−50)? = 6000，
∴(?−50)(−20? + 1800) = 6000．
整理，得?2−140? + 4800 = 0．解得?1 = 60，?2 = 80．
∵50 ≤ ? ≤ 75，
∴? = 60．
答：当每个售价定为 60 元时，每天的利润可达到 6000 元．
【变式 1】（2025·四川达州·中考真题）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是 30 元，当售价为 40 元时，每天可以售出 60 件，经调查发现，售价每降价 1 元，每天可以多售出 10 件．
设该款巴小虎吉祥物降价 x 元，则每天售出的数量是件；
为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是 630 元；
【答案】(1)(60 + 10?)
3 元
售价为 38 元时，每天的利润最大，最大利润是 640 元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键；
根据原来每天售出的 60 件，再加上多售出的件数即可得到答案；
设该款巴小虎吉祥物降价 x 元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出方程，解方程即可得解；
设该款巴小虎吉祥物降价 x 元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：设该款巴小虎吉祥物降价 x 元，则每天售出的数量是(60 + 10?)件；
故答案为：(60 + 10?)；
解：设该款巴小虎吉祥物降价 x 元，
根据题意可得：(40−30−?)(60 + 10?) = 630，整理可得：?2−4? + 3 = 0，
解得：?1 = 1,?2 = 3，
由于要让利于游客，? = 1舍去，
∴该款巴小虎吉祥物降价 3 元时文旅公司每天的利润是 630 元.
解：设该款巴小虎吉祥物降价 x 元，则? = (40−30−?)(60 + 10?)
= (10−?) (60 + 10?)
= −10?2 + 40? + 600
文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为 W 元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
= −10(?−2)2 +640，
∵−10 < 0，
∴当? = 2时，?取最大值为 640 元，此时销售价为 38 元， 答：售价为 38 元时，每天的利润最大，最大利润是 640 元．
【变式 2】（2024·山东烟台·中考真题）每年 5 月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利 200 元 时，每天可售出 60 辆；单价每降低 10 元，每天可多售出 4 辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售， 但每辆轮椅的利润不低于 180 元，设每辆轮椅降价 x 元，每天的销售利润为 y 元．
求 y 与 x 的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
全国助残日当天，公司共获得销售利润 12160 元，请问这天售出了多少辆轮椅？
5
∴当? < 25时，?随?的增大而增大，
∴当? = 20时，每天的利润最大，为−
2
× (20−25)2 +12250 = 12240元；
5
答：每辆轮椅降价 20 元时，每天的利润最大，为12240元；
（2）当? = 12160时，−
2?2 +20? + 12000 = 12160，
5
解得：?1 = 10，?2 = 40（不合题意，舍去）；
∴60 +× 4 = 64（辆）；
10
10
答：这天售出了 64 辆轮椅．
2(?−25)2 +12250，
−
?
5
2 2
∵? = −+20? + 12000 =
∵每辆轮椅的利润不低于 180 元，
∴200−? ≥ 180，
∴? ≤ 20，
5
2?2 +20? + 12000；
10
【详解】（1）解：由题意，得：? = (200−?) 60 + ? × 4 = −
(2)这天售出了 64 辆轮椅
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键：
（1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可；
（2）令? = 12160，得到关于?的一元二次方程，进行求解即可．
5
【答案】(1)? = −2?2 +20? + 12000，每辆轮椅降价 20 元时，每天的利润最大，为12240元
命题点 05 握手或循环赛问题
【答案】2?(?−1) = 21
【分析】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球
1
队之间的关系．
设应邀请 x 支球队参赛，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：设应邀请 x 支球队参赛，根据题意得：
1
2
?(?−1) = 21．
故答案为：2?(?−1) = 21．
1
【典例】（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）新疆维吾尔自治区体育局要组织一次篮球赛，赛制为每两队之间都赛一场，计划安排21 场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？设应邀请x 支球队参赛可列出方程．
【变式 1】（2025·贵州贵阳·二模）象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下：
若该班级共有 n 个参赛选手，则每个选手都要与个选手比赛一局，比赛总共有局；
求这次比赛共有多少个选手参加？
【答案】(1)(?−1),1?(?−1)
2
(2)45 个
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程，是解题的关键：
根据题意，列出代数式即可；
根据每局比赛必得 2 分，以及所获总分，列出一元二次方程，进行求解即可．
【详解】（1）解：该班级共有 n 个参赛选手，则每个选手都要与(?−1)个选手比赛一局，比赛总共有2?(?−1)
局；
1
（2）设这次比赛共有?个选手参加，依题意，得2?(?−1) × 2 = 1980，
1
解方程，得?1 = 45,?2 = −44（不符合题意，舍）
答：这次比赛共有 45 个选手参加．
【变式 2】（2025·广东揭阳·一模）探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手 1 次．
若参加聚会的人数为 3，则共握手次；
若参加聚会的人数为?（?为正整数），则共握手次；
若参加聚会的人共握手 45 次，请求出参加聚会的人数．
拓展应用：嘉嘉给琪琪出题：“若在∠???的内部由顶点?引出?条射线（不含??，??边），角的总数为 20 个，求?的值．”
琪琪的思考：“在这个问题上，角的总数不可能为 20 个”．琪琪的思考对吗？为什么？
（3）解：若参加聚会的人共握手 45 次，
．
1 (?−1)
故答案为：2?
1
归纳类推得：若参加聚会的人数为?（?为正整数），则共握手2?(?−1)次，
2
参加聚会的人数为 4，则共握手6 = 1 × 4 × (4−1)次，
2
参加聚会的人数为 3，则共握手3 = 1 × 3 × (3−1)次，
2
参加聚会的人数为 2，则共握手1 = 1 × 2 × (2−1)次，
2
（2）解：由题意可知，参加聚会的人数为 1，则共握手0 = 1 × 1 × (1−1)次，
10 人
琪琪的思考是对的，见解析
【分析】本题考查了数字类归纳探索、一元二次方程的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
根据每两个人见面必须握手，且只握手 1 次即可得；
先求出参加聚会的人数为1 ∼ 4时，共握手的次数，再归纳类推出一般规律即可得；
令（2）的结果等于 45，解一元二次方程即可得；
参照（2）的规律，归纳类推出一般规律，再令其等于 20，解一元二次方程，由此即可得．
【详解】（1）解：由题意可知，若参加聚会的人数为 3，则共握手 3 次，故答案为：3．
2
(2)1?(?−1)
【答案】(1)3
1
则2?(?−1) = 45，
解得? = 10或? = −9 < 0（不符合题意，舍去），
答：参加聚会的人数为 10 人．
（4）解：琪琪的思考是对的，理由如下：
若在∠???的内部由顶点?引出 1 条射线（不含??，??边），角的总数为1(1 + 2) × (1 + 1)个，
3 = 2 ×
若在∠???的内部由顶点?引出 2 条射线（不含??，??边），角的总数为
1(2 + 2) × (2 + 1)个，
6 = 2 ×
若在∠???的内部由顶点?引出 3 条射线（不含??，??边），角的总数为1(3 + 2) × (3 + 1)个，
10 = 2 ×
2
归纳类推得：若在∠???的内部由顶点?引出?条射线（不含??，??边），角的总数为1(? + 2)(? + 1)个，
2
令1(? + 2)(? + 1) = 20，即?2 +3?−38 = 0，
解得? = −3+ 161或? = −3− 161 < 0（均不是正整数，不符合题意，舍去），
22
所以在这个问题上，角的总数不可能为 20 个，琪琪的思考是对的．
中考预测题
【答案】该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率为40%，预测 2026 年该公司的人形机器人项目营业收入约为 6586 万元．
【分析】设该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率为 x，根据 2023 年和 2025 年的项目营业收入建立方程求解即可．
【详解】解：设该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率为 x．根据题意得2400(1 + ?)2 = 4704．
解得?1 = 0.4，?2 = −2.4（舍去）．
1．2026 年央视总台春晚由人形机器人与武术少年共同呈现的《武???》节目，在除夕夜掀起了一阵“科技+传统”的视觉风暴．据了解，某科技公司 2023 年人形机器人项目营业收入 2400 万元，经过连续两年的增长， 2025 年全年该项目营业收入达到 4704 万元，请根据以上信息求出该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率，并预测 2026 年该公司的此项目营业收入（单位：万元，结果保留整数）．
∴该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率为0.4 = 40%， 4704 × (1 + 40%) = 6585.6 ≈ 6586（万元）．
答：该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率为40%，预测 2026 年该公司的人形机器人项目营业收
入约为 6586 万元．
2．综合与实践
【项目背景】研究商品的销售利润与售价之间的关系
【素材呈现】
素材 1：某商场以每件 40 元的成本价新进一批小家电，准备采用降价销售的方式尽快售出小家电，获取合理的利润；
素材 2：在销售过程中发现，这种小家电的售价定为 60 元/件时，每天可卖出 100 件，在此基础上，这种小家电的价格每降低 2 元，该商场每天可多卖出 5 件；
素材 3：假设该小家电的价格定为?元(40 ≤ ? ≤ 60)．
【问题解决】
用含?的代数式表示该商场每天售出小家电的数量是件；
已知该商场销售这种小家电每天的利润是 1250 元，求这种小家电的价格；
整理得?2−140? + 4500 = 0，
(?−50)(?−90) = 0，
2
（2）解：根据题意得(?−40) − 5 ? + 250 = 1250，
5
故答案为 − 2 ? + 250 ；
2
− 5 ? + 250 件，
2
【详解】（1）解：该商场每天售出小家电的数量是100 + 60−? × 5 =
50 元/件
该商场销售这种小家电每天的利润不能达到 2500 元，见解析
【分析】（1）小家电的数量等于原来的数量 100 加上增长的数量，列式化简即可；
根据利润等于单价乘以数量列方程，求解方程，即可得解；
根据利润等于单价乘以数量列方程，根据判别式判断方程解的情况．
2
【答案】(1) − 5 ? + 250
该商场销售这种小家电每天的利润能否达到 2500 元？若能，求出这种小家电的价格；若不能，请说明理由．
解得?1 = 50，?2 = 90（不合题意，舍去）
答：该商场销售这种小家电每天的利润是 1250 元时，这种小家电的价格为 50 元/件；
（3）解：该商场销售这种小家电每天的利润不能达到 2500 元．
理由：根据题意得(?−40) − 5 ? + 250 = 2500，
2
整理得?2−140? + 5000 = 0，
∵ Δ = (−140)2−4 × 1 × 5000 = −400 < 0，
∴ 此一元二次方程没有实数根，
∴ 该商场销售这种小家电每天的利润不能达到 2500 元．
3．交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备在 2 月和 3 月分两次购入甲、乙两款头盔．2 月购入了第一批，购入甲款头盔的数量是购入乙款头盔数量的 2 倍还多 50，甲、乙两种头 盔的购入单价分别为 40 元和 60 元，共用去资金 23000 元．
求第一批购入甲、乙两款头盔的数量；
3 月恰逢开学季，随着家长接送孩子，头盔需求量增加．甲款头盔单价有所上涨（涨价金额为正数，涨幅不超过20%）．批发店决定，若甲款头盔的单价每上涨 1 元，则购入数量就比第一批甲款头盔的数量减
1
少 2 个．因乙款头盔单价与第一批相同，所以乙款头盔的购入数量在第一批乙款头盔数量的基础上增加5，
最终花费的总资金比第一批增加了 3100 元，求甲款头盔的单价上涨了多少元？
【答案】(1)第一批购入甲款头盔 350 个，购入乙款头盔 150 个
(2)甲款头盔的单价上涨了 5 元
【分析】（1）设第一批购入乙款头盔的数量为 x 个，则第一批购入甲款头盔的数量为(2? + 50)个.，根据费用和为23000元建立一元一次方程求解；
（2）设甲款头盔的单价上涨了?元，根据题意建立一元二次方程求解即可．
【详解】（1）解：设第一批购入乙款头盔的数量为 x 个，则第一批购入甲款头盔的数量为(2? + 50)个.，由题意得40(2? + 50) + 60? = 23000，
解得? = 150，
则甲款头盔的数量为2 × 150 + 50 = 350，
答：第一批购入甲款头盔 350 个，购入乙款头盔 150 个；
（2）解：设甲款头盔的单价上涨了?元，
由题意得，(40 + ?)(350−2?) +60 × 150 × 1 + 1
5
= 23000 + 3100，
整理得，?2−135? + 650 = 0，解得? = 5或? = 130，
由题意得，? ≤ 40 × 20% = 8，
∴? = 130舍去，
答：甲款头盔的单价上涨了 5 元．
考点四 分式方程应用
《解题指南》
通用解题步骤（按顺序）
步骤 1：审题建模，梳理关键信息
通读题目，圈画关键词（如“时间差、效率、速度、提前/延迟、数量关系”），明确问题中的已知量与所求量，梳理出核心等量关系，重点关注 “时间、效率、数量” 三类核心变量的关系。
步骤 2：设元列式，构建方程模型
设未知数：一般直接设所求量为 x；若直接设元复杂，可设中间量（如工作效率、速度）为 x（间接设元）；
列代数式：用含 x 的代数式表示出相关量（如时间、工作量、数量），注意分式的分母不能为 0；
列方程：根据梳理出的等量关系，列出分式方程。
步骤 3：求解方程，规范计算过程
去分母：方程两边同乘最简公分母，将分式方程化为整式方程（注意：不含分母的项也要乘，避免漏乘）；② 解整式方程：按一元一次/二次方程的步骤求解，得到未知数的值；③ 验根（核心步骤）： 检验是否为增根：将解代入最简公分母，若公分母为 0，则为增根，必须舍去；
检验是否符合原方程：代入原分式方程，验证等式成立。
步骤 4：实际检验，规范作答
实际意义检验：检查解是否符合生活实际（如速度、时间、数量必须为正，人数为正整数，不能为负数、分数或不符合题意的数值）；
写出答语：完整书写题目要求的结论，明确对应所求量的结果。
命题点 01 行程问题
【典例】（2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校240km的某景区美术实践基地写生．已知共有 200 名师生参加了最近一次活动．
一部分师生乘大巴车先行，出发36min后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的 1.25 倍，求大巴车的速度；
该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人 10 元，成人每人 30 元．如果购买门票的费用共计 2200
元，那么参加本次活动的学生人数是多少？
【答案】(1)80
(2)190
【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，解题的关键是设未知数，找出等量关系列方程．
设大巴车的速度为?千米/小时，根据路程、速度和时间的关系，结合两车行驶时间的关系列出方程求解；
设参加本次活动的学生人数是 y 人，根据门票费用的等量关系列出方程求解．
【详解】（1）设大巴车的速度为?千米/小时，则中巴车速度为1.25?千米/小时．
根据题意，可列方程： ? −= 0.6，
240
240
1.25?
解得? = 80．
经检验，? = 80是原方程的解，且符合题意．答：大巴车的速度是 80 千米/小时．
（2）设参加本次活动的学生人数是?人，则成人人数为(200−?)人，
根据题意，可列方程：10? + 30(200−?) = 2200，解得? = 190．
答：参加本次活动的学生人数是 190 人．
【变式 1】（2025·吉林长春·中考真题）小吉和小林从同一地点出发跑 800 米，小吉的平均速度是小林的 1.25
倍，结果小吉比小林少用 40 秒到达终点．求小林跑步的平均速度．
【答案】小林跑步的平均速度为 4 米每秒
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键．
设小林跑步的平均速度为?米每秒，则小吉的平均速度为1.25?米每秒，分别表示出时间，根据“小吉比小林少用 40 秒到达终点”建立分式方程求解，再检验即可．
【详解】解：设小林跑步的平均速度为?米每秒，则小吉的平均速度为1.25?米每秒，
由题意得：1.25? +40 = ? ，
解得：? = 4，
800
800
经检验，? = 4是原方程的解，且符合题意，
∴原方程的解为：? = 4，
答：小林跑步的平均速度为 4 米每秒．
【答案】?型车的平均速度为100km/h
【分析】本题考查分式方程的应用，设?型车的平均速度为?km/h，则?型车的平均速度是3?km/h，根据“乘坐?型车比乘坐?型车少用 2 小时，”建立方程求解，并检验，即可解题．
【详解】解：设?型车的平均速度为?km/h，则?型车的平均速度是3?km/h，
根据题意可得， ? − 3? = 2，
整理得，6? = 600，
300
300
解得? = 100，
经检验? = 100是该方程的解，
答：?型车的平均速度为100km/h．
【变式 2】（2024·云南·中考真题）某旅行社组织游客从?地到?地的航天科技馆参观，已知?地到?地的路程为 300 千米，乘坐?型车比乘坐?型车少用 2 小时，?型车的平均速度是?型车的平均速度的 3 倍，求?型车的平均速度．
命题点 02 工程问题
【答案】模型 A 每小时能处理20GB数据
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键．设模型 A 每小时能处理xGB数据，则模型 B 每小时能处理(? + 10)GB数据，根据“模型 B 处理300GB数据的时间与模型 A处理200GB数据的时间相同”建立分式方程求解即可．
【详解】解：设模型 A 每小时能处理xGB数据，则模型 B 每小时能处理(? + 10)GB数据，
由题意得：?+10 = ? ，
解得：? = 20，
300
200
经检验：? = 20是原方程的解，且符合题意，
答：模型 A 每小时能处理20GB数据．
【典例】（2025·黑龙江大庆·中考真题）某公司开发了两款??模型，分别为模型 A 和模型 B．由于工作需要，公司同时使用这两款模型处理数据．已知模型 B 比模型 A 每小时多处理10GB数据，模型 B 处理300GB数据的时间与模型 A 处理200GB数据的时间相同，求模型 A 每小时能处理多少GB数据？（备注：GB为数据的存储单位）
【变式 1】（2025·广东广州·中考真题）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘．
(1)若用人工采摘的成本为 a 元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低30%．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含 a 的代数式表示）
(2)若要采摘 4000 千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比 4 个工人同时采摘所需的天数还少 1 天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的 5 倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克．
【答案】(1)0.7?元
(2)这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果1000千克．
【分析】本题考查的是列代数式，分式方程的应用；
根据人工采摘的成本为 a 元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低30%，再列代数式即可；
设一个工人每天采摘该种水果?千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天5?千克；根据要采摘 4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比 4 个工人同时采摘所需的天数还少 1 天，再建立分式方程求解即可．
【详解】（1）解：∵用人工采摘的成本为 a 元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低30%．
∴用智能机器人采摘的成本是(1−30%)? = 0.7?（元）；
（2）解：设一个工人每天采摘该种水果?千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天5?千克；
∴4000 = 4000，
5?
4? −1
解得：? = 200，
经检验? = 200是原方程的解且符合题意；
∴5? = 1000（千克），
答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果1000千克．
【变式 2】（2025·山东青岛·中考真题）某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为 2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的 1.5 倍．先由甲、乙两个车间共同完成 1500 件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用 10 天完成这批订单．
求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品；
【答案】(1)甲车间每天能生产180件产品乙车；间每天能生产120件产品
首批订单完成后，公司将继续生产 30 天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的 2 倍，要使这 30 天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？
(2)安排甲车间生产20天，则乙车间生产10天
【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式以及一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
设乙车间每天能生产?件产品，则甲车间每天能生产1.5?件产品，分别表示出甲、乙两个车间合作完成的时间和乙车间单独完成的时间，再根据“前后共用 10 天完成这批订单”建立分式方程求解；
设安排甲车间生产?天，则乙车间生产(30−?)天，先根据“安排甲车间生产的天数不多于乙车间的 2
倍”得到关于?的一元一次不等式，再设生产总量为?，建立?关于?的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解．
【详解】（1）解：设乙车间每天能生产?件产品，则甲车间每天能生产1.5?件产品，
由题意得：
1500
?+1.5?
2100−1500
+= 10，
?
解得：? = 120，
经检验：? = 120是原方程的解，且符合题意，则1.5 × 120 = 180（件），
答：甲车间每天能生产180件产品，乙车间每天能生产120件产品
（2）解：设安排甲车间生产?天，则乙车间生产(30−?)天，由题意得：? ≤ 2(30−?)，
解得：? ≤ 20，
设生产总量为?，由题意得：
? = 180? + 120(30−?) = 60? + 3600，
∵? > 0，
∴?随着?的增大而增大，
∴当? = 20时，?最大，即这 30 天的生产总量最大，
∴30−? = 30−20 = 10，
∴安排甲车间生产20天，则乙车间生产10天．
命题点 03 经济问题
【典例】（2025·四川广元·中考真题）某校开展阳光体育大课间活动，需购买一批球类用品．在采购中发现，篮球的单价比足球的单价高 20 元，用 10000 元购买篮球的数量和用 8000 元购买足球的数量相同．
求篮球和足球的单价；
2
学校需购买篮球和足球共 120 个（两种球都要购买），足球的数量不能多于篮球数量的3，设购买篮球 x
个，总费用为 y 元，求总费用 y（元）与 x（个）的函数关系式，并求出 x 的取值范围和总费用最低时的购买方案．
【答案】(1)篮球的单价为 100 元，足球的单价为 80 元
(2)? = 20? + 9600，72 ≤ ? < 120，且 x 为整数，当购买篮球 72 个，足球 48 个时，总费用最低．
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
设篮球的单价为 x 元，则足球的单价为(?−20)元，根据用 10000 元购买篮球的数量和用 8000 元购买
足球的数量相同建立方程求解即可；
设购买篮球 x 个，则购买足球(120−?)个，根据总费用等于购买篮球的费用加上购买足球的费用求出 y
2
与 x 的函数关系式，根据足球的数量不能多于篮球数量的3列出不等式求出 x 的取值范围，再根据一次函数
的性质确定 y 最小时 x 的值即可得到答案．
【详解】（1）解：设篮球的单价为 x 元，则足球的单价为(?−20)元，
100008000
由题意得， ?= ?−20，
解得? = 100，
经检验，? = 100是原方程的解，且符合题意，
∴?−20 = 80，
答：篮球的单价为 100 元，足球的单价为 80 元；
（2）解：由题意得，? = 100? + 80(120−?) = 20? + 9600，
2
∵足球的数量不能多于篮球数量的3，
∴120−? ≤
2?，
3
∴? ≥ 72，
∵两种球都要购买，
∴72 ≤ ? < 120，且 x 为整数
∵? = 20? + 9600，20 > 0，
∴y 随 x 增大而增大，
∴当? = 72时，y 有最小值，此时120−? = 48，
答：? = 20? + 9600，72 ≤ ? < 120，且 x 为整数，当购买篮球 72 个，足球 48 个时，总费用最低．
【变式 1】（2025·江苏扬州·中考真题）某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知
5
甲款书签价格是乙款书签价格的4倍，且用 100 元购买甲款书签的数量比用 128 元购买乙款书签的数量少 3
个，求这两款书签的单价．
【答案】乙款书签价格为 16 元，甲款书签价格为 20 元
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键．
设乙款书签价格为?（元），则甲款书签价格为4?（元），根据“用 100 元购买甲款书签的数量比用 128 元
购买乙款书签的数量少 3 个”建立分式方程求解即可．
5
【详解】解：设乙款书签价格为?（元），则甲款书签价格为4?（元），
5
由题意得： 5=−3，
100
128
?
4
?
解得：? = 16，
经检验：? = 16是原方程的解，且符合题意，
∴则甲款书签价格为4 × 16 = 20（元）
答：乙款书签价格为 16 元，甲款书签价格为 20 元．
5
【变式 2】（2025·山东潍坊·中考真题）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的?型、?型两种智能机器人，购买?型机器人的总费用为 90 万元，购买?型机器人的总费用为 60 万元，?型机器人单价比?型机器人单价低 3 万元．
求?型、?型两种机器人的单价；
该企业计划从采购的这批机器人中选择 10 台配备到某生产线，要求?、?两种型号的机器人各至少配备 1
台，且购买这 10 台机器人的总费用不超过 70 万元．求出所有配备方案．
【答案】(1)?型机器人单价为 9 万元，?型机器人单价为 6 万元
(2)方案一：?型机器人 1 台，?型机器人 9 台；方案二：?型机器人 2 台，?型机器人 8 台；方案三：?型机器人 3 台，?型机器人 7 台
【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出分式方程和不等式，是解题的关键：
（1）设?型机器人单价为?万元，则?型机器人单价为(?−3)万元，根据采购了相同数量的?型、?型两种智
能机器人，购买?型机器人的总费用为 90 万元，购买?型机器人的总费用为 60 万元，列出方程进行求解即
可；
（2）设配备?型机器人?台，则配备?型机器人(10−?)台，根据购买这 10 台机器人的总费用不超过 70 万元，列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：设?型机器人单价为?万元，则?型机器人单价为(?−3)万元，
根据题意，得? = ?−3，
解得? = 9，
9060
经检验，? = 9是原分式方程的根，且符合题意，
所以，?−3 = 6．
所以，?型机器人单价为 9 万元，?型机器人单价为 6 万元．
（2）设配备?型机器人?台，则配备?型机器人(10−?)台，根据题意，得9? + 6(10−?) ≤ 70，
解得? ≤ 3 ，
∵要求?、?两种型号的机器人各至少配备 1 台，且 y 为正整数
10
∴?的取值为 1，2，3，共有 3 种方案：
方案一：?型机器人 1 台，?型机器人 9 台；方案二：?型机器人 2 台，?型机器人 8 台；方案三：?型机器人 3 台，?型机器人 7 台．
中考预测题
1．根据以下素材，完成问题一和问题二．
背景
2025 年 11 月 9 日晚，第十五届全运会在广东奥体中心举行开幕式，全运会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”正式亮相．寓意喜气洋洋，其乐融融．
图片
素材一
某商店购进一批“喜洋洋”玩偶和“乐融融”玩偶，其中每个“乐融融”玩偶的进价比每个“喜洋洋”玩偶的进价贵 20 元．
素材二
该商店用 700 元购进“喜洋洋”玩偶的数量与用 900 元购进“乐融融”玩偶的数量相
“喜洋洋”玩偶和“乐融融”玩偶的进价分别是多少元/个？
若该商店购进“喜洋洋”玩偶 a 个，总获利 w 元，请你写出 w 与 a 的函数关系式，并求出 w 的最大值．
【答案】(1)每个“喜洋洋”玩偶的进价为 70 元，每个“乐融融”玩偶的进价为 90 元
(2)? = −5? + 3000；2700
【分析】（1）设每个“喜洋洋”玩偶的进价为 x 元，每个“乐融融”玩偶的进价为(? + 20)元，根据用 700 元购进“喜洋洋”玩偶的数量与用 900 元购进“乐融融”玩偶的数量相同列，列分式方程求解即可；
（2）根据题意列出? = (80−70)? + (105−90)(200−?) = −5? + 3000，由一次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：设每个“喜洋洋”玩偶的进价为 x 元，每个“乐融融”玩偶的进价为(? + 20)元，
则 ?
700
= ?+20
900
解得：? = 70，
经检验? = 70是分式方程的解，且符合题意? + 20 = 70 + 20 = 90，答：每个“喜洋洋”玩偶的进价为 70 元，每个“乐融融”的进价为 90 元；
（2）解：根据题意得：? = (80−70)? + (105−90)(200−?) = −5? + 3000，根据题意可得：70? + 90(200−?) ≤ 16800，
解不等式得：? ≥ 60，
∵? = −5 < 0，
∴W 随着 a 的增大而减小，
∴当? = 60时，才能使总利润最大，
最少费用是? = −5? + 3000 = −5 × 60 + 3000 = 2700（元），此时200−? = 200−60 = 140（套），
答：“喜洋洋”玩偶买了 60 个，“乐融融”玩偶买了 140 个，则卖出所有吉祥物的总利润最大为 2700 元．
2．2026 年春节，随着《飞驰人生 3》电影爆火，某玩具公司生产了“拓升”与“咔搭”两款遥控玩具车，已知每个“拓升”遥控玩具车的售价比每个“咔搭”遥控玩具车的售价多 40 元．按售价购买 3 个“拓升”遥控车与 4个“咔搭”遥控车共需要 470 元．
同．
素材三
该商店计划购进“喜洋洋”和“乐融融”两种玩偶共 200 个，总费用不超过 16800 元，若“喜洋洋”玩偶的售价为 80 元/个，“乐融融”玩偶的售价为 105 元/个，这批“喜洋洋”玩偶和“乐融融”玩偶全部售完．
每个“拓升”遥控车和“咔搭”遥控车的售价分别是多少元？
【答案】(1)每个“拓升”遥控车的售价是 90 元，每个“咔搭”遥控车的售价是 50 元．
(2)降价后每个“拓升”遥控车售价为 60 元．
【分析】（1）设每个“咔搭”遥控车的售价是?元，则每个“拓升”遥控车的售价是(? + 40)元，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出结果；
（2）设降价后每个“咔搭”遥控车售价为?元，则每个“拓升”遥控车的售价是1.5?元，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果．
【详解】（1）解：设每个“咔搭”遥控车的售价是?元，则每个“拓升”遥控车的售价是(? + 40)元．
根据题意，得3(? + 40) +4? = 470，解方程，得? = 50，
则有? + 40 = 50 + 40 = 90，
答：每个“拓升”遥控车的售价是 90 元，每个“咔搭”遥控车的售价是 50 元．
（2）解：设降价后每个“咔搭”遥控车售价为?元，则每个“拓升”遥控车的售价是1.5?元，
根据题意，得 ? −= 5
800
900
1.5?
解方程，得：? = 40，
经检验，? = 40是方程的解．则有1.5? = 60，
答：降价后每个“拓升”遥控车售价为 60 元．
由于这两款遥控玩具车深受大家喜爱，所以玩具公司决定对这两款遥控玩具车进行降价促销，若降价后，每个“拓升”遥控玩具车的售价是每个“咔搭”遥控玩具车售价的 1.5 倍，且用 900 元购买“拓升”遥控玩具车的 数量比用 800 元购买“咔搭”遥控车的数量少 5 个，求降价后每个“拓升”遥控车的售价为多少元？
3．我省某中学科技社团开展“古建探秘”项目式学习，计划用专项经费采购一批设备，用于拍摄和测量．经过市场调研，确定了所购买的测量无人机和智能测距仪的型号．已知确定购买的智能测距仪的单价是测量
8
无人机单价的7，用 11200 元购买测量无人机的数量比购买智能测距仪的数量多 1，分别求测量无人机和智
能测距仪的单价．
【答案】测量无人机的单价为 1400 元，智能测距仪的单价为 1600 元．
【分析】设测量无人机的单价为 x 元，则智能测距仪的单价为7?元，根据“用 11200 元购买测量无人机的数
量比购买智能测距仪的数量多 1”可以列出相应的分式方程，然后求解即可．
8
【详解】解：设测量无人机的单价为 x 元，则智能测距仪的单价为7?元，根据题意，得：
8
11200
?
=
11200
8 ?
+1，
7
解得? = 1400，
经检验，? = 1400是原方程的根，
∴8
7
? = 1600，
答：测量无人机的单价为 1400 元，智能测距仪的单价为 1600 元．
考点五 一元一次不等式（组）的实际应用
《解题指南》
一、通用解题步骤(按顺序)
步骤 1：审题建模，抓关键词定不等关系
通读题目，圈画不等关系关键词：至少、至多、不少于、不超过、不低于、不足、超过、最多、最少等，明确已知量与未知量，找出题目中的不等关系。
步骤 2：设未知数列不等式（组）
① 设未知数：一般设所求量为 x；② 用含 x 的代数式表示相关量；③ 根据不等关系，列出一元一次不等式或不等式组。
步骤 3：解不等式（组），规范步骤
解不等式：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1；② 注意：两边同乘（除）负数时，不等号方向必须改变；③ 不等式组：分别解每个不等式，再利用数轴确定公共解集。
步骤 4：取符合实际的解，完整作答
确定解集后，根据题意取整数解 / 正整数解（人数、件数、次数必须为整数）；
检验解是否符合实际意义，不符合的舍去；
写出规范答语。
命题点 01 方案选择问题
【典例】（2025·山东东营·中考真题）《哪吒 2 魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进 A 款哪
吒玩偶的金额是2400元，购进 B 款哪吒玩偶的金额是1600元，购进 A 款哪吒玩偶的数量比 B 款哪吒玩偶少50个，A 款哪吒玩偶单价是 B 款哪吒玩偶的 2 倍．
(1)A、B 两款玩偶的单价分别是多少元？
(2)为满足消费者需求，在 A、B 两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进 A、B 两款玩偶共100个，
B 款哪吒玩偶的数量不多于 A 款哪吒玩偶数量的 2 倍，且总金额不超过1100元，问：有多少种进货方案？
【答案】(1)A 款哪吒玩偶的单价是16元，B 款哪吒玩偶的单价是 8 元
(2)4 种
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
设 B 款哪吒玩偶的单价是 x 元，则 A 款哪吒玩偶的单价是2?元，利用数量 = 总价÷ 单价，结合用2400元购进 A 款哪吒玩偶的数量比用1600元购进 B 款哪吒玩偶少50个，可列出关于 x 的分式方程，解之经检验后，可得出 x 的值（即 B 款哪吒玩偶的单价），再将其代入2?中，即可求出 A 款哪吒玩偶的单价；
设再次购进 m 个 A 款哪吒玩偶，则再次购进(100−?)个 B 款哪吒玩偶，根据“购进 B 款哪吒玩偶的数
量不多于 A 款哪吒玩偶数量的 2 倍，且总金额不超过 1100 元”，可列出关于 m 的一元一次不等式组，解之可得出 m 的取值范围，再结合 m 为正整数，即可得出共有 4 种进货方案．
【详解】（1）解：设 B 款哪吒玩偶的单价是 x 元，则 A 款哪吒玩偶的单价是2?元，
1600 2400
根据题意得： ? − 2? = 50，
解得：? = 8，
经检验，? = 8是所列方程的解，且符合题意，
∴2? = 2 × 8 = 16（元）．
答：A 款哪吒玩偶的单价是16元，B 款哪吒玩偶的单价是 8 元；
（2）解：设再次购进 m 个 A 款哪吒玩偶，则再次购进(100−?)个 B 款哪吒玩偶，
100−? ≤ 2?
根据题意得： 16? + 8(100−?) ≤ 1100 ，
10075
解得： 3 ≤ ? ≤ 2 ，
又∵m 为正整数，
∴m 可以为34，35，36，37，
∴共有 4 种进货方案．
答：该超市共有 4 种进货方案．
【变式 1】（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买?、?两款机器人．已知?
款机器人的单价比?款机器人的单价多 1 万元，用 25 万元购买?款机器人的数量与用 20 万元购买?款机器人的数量相同．
(1)求?、?两款机器人的单价分别是多少万元？
(2)如果购买?、?两款机器人共 12 台，且购买?款机器人的数量不少于?款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案．
【答案】(1)?款机器人的单价为 5 万元，?款机器人的单价为 4 万元
(2)购买成本最少的方案是购买?款机器人 4 台，?款机器人 8 台
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关 系式．
设?款机器人的单价为?万元，则?款机器人的单价为(?−1)万元，根据用 25 万元购买?款机器人的数量与用 20 万元购买?款机器人的数量相同，列出分式方程，解方程即可；
设购买?款机器人?台，则购买?款机器人(12−?)台，根据购买?款机器人的数量不少于?款机器人数量的一半，列出一元一次不等式，解得? ≥ 4，再设购买成本为?万元，根据题意列出?关于?的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题．
【详解】（1）解：设?款机器人的单价为?万元，则?款机器人的单价为(?−1)万元，
2520
根据题意得： ? = ?−1，
解得：? = 5，
经检验，? = 5是原方程的解，且符合题意，
∴ ?−1 = 4，
答：?款机器人的单价为 5 万元，则?款机器人的单价为 4 万元；
（2）解：设购买?款机器人?台，则购买?款机器人(12−?)台，
根据题意得：1，
? ≥ 2(12−?)
解得：? ≥ 4，
设购买成本为?万元，
根据题意得：? = 5? + 4(12−?) = ? + 48，
∵ 1 > 0，
∴ ?随?的增大而增大，
∴ 当? = 4时，?有最小值，
此时，12−? = 8，
答：购买成本最少的方案是购买?款机器人 4 台，?款机器人 8 台．
【变式 2】（2025·山东烟台·中考真题）2025 年 6 月 5 日是第 54 个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买 1 盏甲种路灯和 2 盏乙种路灯共需 220 元，购买 3 盏甲种路灯比 4 盏乙种路灯的费用少 140 元．
求甲、乙两种路灯的单价；
1
该社区计划购买甲、乙两种路灯共 40 盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的3，请通过计算设计
一种购买方案，使所需费用最少．
【答案】(1)甲、乙两种路灯的单价分别为60元，80元
(2)购买甲种路灯10盏，购买乙种路灯30盏，费用最少
【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次不等式、一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键；
设甲、乙两种路灯的单价分别为?,?元，根据题意列出方程组，即可求解；
设购买甲种路灯?盏，则购买乙种路灯(40−?)盏，列出不等式，求得? ≤ 10，设购买费用为?元，得出? = −20? + 3200，进而根据一次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设甲、乙两种路灯的单价分别为?,?元，根据题意得，
? + 2? = 220 3? + 140 = 4?
? = 60
解得： ? = 80
答：甲、乙两种路灯的单价分别为60，80元
（2）解：设购买甲种路灯?盏，则购买乙种路灯(40−?)盏，根据题意得，
1
? ≤ 3 (40−?)
解得：? ≤ 10
设购买费用为?元，根据题意得，? = 60? + 80(40−?) = −20? + 3200
∵−20 < 0
∴当?取得最大值时，?取得最小值，
∴? = 10时，40−? = 40−10 = 30（盏）? = 3000， 即购买甲种路灯10盏，购买乙种路灯30盏，费用最少，
答：购买甲种路灯10盏，购买乙种路灯30盏，费用最少．
命题点 02 最大利润问题
【典例】（2025·宁夏·中考真题）中国结起源于旧石器时代的结绳记事，唐宋时期发展为装饰艺术，明清达到鼎盛．某种中国结有大、小两个型号，编织一个大号需用绳 4 米，编织一个小号需用绳 3 米．
(1)编织这种中国结恰用绳 25 米，则大、小号各编织多少个？
(2)计划用不超过 1200 米的绳子编织 350 个这种中国结，一个大号的利润为 12 元，一个小号的利润为 8
元．当大号编织多少个时总利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)大号中国结编了 4 个，则小号中国结编了 3 个或大号中国结编了 1 个，则小号中国结编了 7 个．
(2)当大号编织150个时总利润最大，最大利润是3400元．
【分析】此题考查了一次函数的应用、一元一次不等式和二元一次方程的应用，正确列出方程和函数解析式是关键．
设大号中国结编了?个，小号中国结编了?个，编织这种中国结恰用绳 25 米，据此列出二元一次方程，求出整数解即可；
设大号编织?个，则小号编织(350−?)个，根据用不超过 1200 米的绳子编织 350 个这种中国结列不
等式，解得?的取值范围，设总利润为?元，得到关于?的一次函数，根据一次函数的性质即可求出答案．
【详解】（1）解：设大号中国结编了?个，小号中国结编了?个，
由题意列方程得：4? + 3? = 25，
∴? =
25−3?
4 ，
∵?，?均是正整数，
∴当? = 3时，? =
25−3×3
4
= 4，
当? = 7时，? = 25−3×7 = 1，
4
答：大号中国结编了 4 个，则小号中国结编了 3 个或大号中国结编了 1 个，则小号中国结编了 7 个．
（2）解：设大号编织?个，则小号编织(350−?)个，
则4? + 3(350−?) ≤ 1200，解得? ≤ 150，
∵?为正整数，
∴0 < ? ≤ 150， 设总利润为?元，则
? = 12? + 8(350−?) = 4? + 2800，
∵4 > 0，
∴?随着?的增大而增大，
∴当? = 150时，?取得最大值，最大值为4 × 150 + 2800 = 3400，答：当大号编织150个时总利润最大，最大利润是3400元．
【变式 1】（2025·湖南长沙·中考真题）为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗 加工向精加工转变．根据市场需求，该食品企业将收购的农产品加工成 A，B 两种等级的农产品对外销售，已知销售 6 千克 A 等级农产品和 4 千克 B 等级农产品共收入112元，销售 4 千克 A 等级农产品和 2 千克 B
等级农产品共收入68元．（不考虑加工损耗）
求每千克 A 等级农产品和每千克 B 等级农产品的销售单价分别为多少元？
【答案】(1)A 等级农产品每千克销售单价为12元，B 等级农产品每千克销售单价为10元
(2)要求总利润不低于16000元，则至少需加工 A 等级农产品2000千克
【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式在实际问题中的应用，正确理解题意即可．
6? + 4? = 112,
设 A 等级农产品每千克销售单价为?元，B 等级农产品每千克销售单价为?元，由题意得 4? + 2? = 68.
即可求解；
设需加工 A 等级农产品?千克，则需加工 B 等级农产品(6000−?)千克，由题意得(12−8)? + (10−8) (6000−?) ≥ 16000．即可求解；
【详解】（1）解：设 A 等级农产品每千克销售单价为?元，B 等级农产品每千克销售单价为?元，
由题意得
6? + 4? = 112,
4? + 2? = 68. 解得 ? = 10.
? = 12,
答：A 等级农产品每千克销售单价为12元，B 等级农产品每千克销售单价为10元．
（2）解：设需加工 A 等级农产品?千克，则需加工 B 等级农产品(6000−?)千克，由题意得(12−8)? + (10−8)(6000−?) ≥ 16000．
若该食品企业以每千克 8 元购进6000千克农产品，全部加工后对外销售，要求总利润不低于16000元，则至少需加工 A 等级农产品多少千克？
解得? ≥ 2000，
答：要求总利润不低于16000元，则至少需加工 A 等级农产品2000千克．
【变式 2】（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）内蒙古自治区依托“光伏治沙+草原特色产业”双轮驱动模式，推动乡村振兴．某光伏企业配套帮扶当地乳制品加工厂，计划采购一批自动化发酵设备用于提升乳制品产能．已知 1 台 A 型发酵设备的费用比 1 台 B 型发酵设备的费用少 4 万元，用 36 万元采购 A 型设备的数量与用 48万元采购 B 型设备的数量相等．
求每台 A 型和 B 型发酵设备的采购费用分别是多少万元？
【答案】(1)每台 A 型和 B 型发酵设备的采购费用分别是 12 万元和 16 万元
(2)14.4 万元
【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的应用，一次函数的性质，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．
设每台 A 型发酵设备的采购费用为?万元，则每台 B 型发酵设备的采购费用为(? + 4)万元，根据题意
列分式方程解答即可；
设采购 A 型设备?台，则 B 型设备(10−?)台，根据题意列一元一次不等式组求出?的取值范围，再列出?关于?的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设每台 A 型发酵设备的采购费用为?万元，则每台 B 型发酵设备的采购费用为(? + 4)万
元．
根据题意得： ? = ?+4，
解得? = 12
3648
检验：当? = 12时，?(? + 4) ≠ 0，所以? = 12是原分式方程的解，且符合实际意义，
∴每台 B 型发酵设备的采购费用12 + 4 = 16（万元）
答：每台 A 型和 B 型发酵设备的采购费用分别是 12 万元和 16 万元．
（2）解：根据题意得：12? + 16(10−?) ≤ 136，解得? ≥ 6，
由实际意义设备数量为非负整数，即：10−? ≥ 0，
∴? ≤ 10，
该乳制品加工厂计划用不超过 136 万元采购 A、B 两种型号的设备共 10 台，其中 A 型设备每台每月可为该乳制品加工厂创收利润 1.2 万元；B 型设备每台每月可为该乳制品加工厂创收利润 1.8 万元．设采购 A 型设备?台，每月总获利为?万元，求?的最大值．
∴?的取值范围是：6 ≤ ? ≤ 10（?为整数），
由题意知：? = 1.2? + 1.8(10−?) = −0.6? + 18，
∵? = −0.6 < 0，
∴?随?的增大而减小，
∴当? = 6时，?最大值 = −0.6 × 6 + 18 = 14.4，答：w 的最大值为 14.4 万元．
命题点 03 经济销售问题
【典例】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买 4 盏甲型节能灯和 5 盏乙型节能灯需要 64 元；若购买 6 盏甲型节能灯和 2 盏乙型节能灯需要 52 元．
(1)求 1 盏甲型节能灯和 1 盏乙型节能灯的售价各是多少元；
(2)晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共 50 盏，总费用不超过 360 元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？
【答案】(1)甲型 6 元，乙型 8 元
(2)20 盏
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
设 1 盏甲型节能灯的售价是 x 元，1 盏乙型节能灯的售价是 y 元，根据购买 4 盏甲型节能灯和 5 盏乙型节能灯，共花费 64 元；购买 6 盏甲型节能灯和 2 盏乙型节能灯，共花费 52 元；列出二元一次方程组，解方程组即可；
设这个工厂要购买甲型节能灯 m 盏，则购买乙型节能灯(50−?)盏，根据购买资金不超过 360 元，列
出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设 1 盏甲型节能灯和 1 盏乙型节能灯的售价分别为?元、?元，
由题意，得
4? + 5? = 64
6? + 2? = 52 ，
? = 6
解得 ? = 8 ，
答：1 盏甲型节能灯和 1 盏乙型节能灯的售价分别为 6 元和 8 元．
（2）解：设购买?盏甲型节能灯，则购买乙型节能灯(50−?)盏，
由题意，得
6? + 8(50−?) ≤ 360
解得，? ≥ 20，
答：该工厂最少可以购买 20 盏甲型节能灯．
【变式 1】（2025·四川攀枝花·中考真题）在攀枝花高质量发展建设共同富裕试验区的进程中，有关部门积极助力果农成立芒果种植专业合作社，运用“实体店+直播”的新电商模式扩大芒果销售．某合作社精品芒果成本为 60 元/箱，每天的销售量?箱与售价?元/箱满足关系式? = −20? + 2200．
若芒果的售价为 80 元/箱，求合作社每天芒果的销售利润；
若规定芒果的售价不低于 86 元/箱，且每天的销售量不少于 300 箱，求芒果的售价应定在什么范围．
【答案】(1)合作社每天芒果的销售利润为12000元
(2)芒果的售价应该定在 86 元/箱到 95 元/箱之间
【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出不等式，是解题的关键：
（1）求出? = 80时的函数值，根据总利润等于单件利润乘以销量，列式计算；
（2）根据每天的销售量不少于 300 箱，列出不等式求出?的范围，结合芒果的售价不低于 86 元/箱，求出范围即可．
【详解】（1）解：∵? = −20? + 2200，
∴当? = 80时，? = −20 × 80 + 2200 = 600；
∴合作社每天芒果的销售利润为(80−60) × 600 = 12000（元）；答：合作社每天芒果的销售利润为12000元；
（2）由题意，得：? = −20? + 2200 ≥ 300，解得：? ≤ 95，
又∵? ≥ 86，
∴86 ≤ ? ≤ 95．
故芒果的售价应该定在 86 元/箱到 95 元/箱之间．
【变式 2】（2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低 300 元，用 50000 元购买甲型健身器材的数量和用 56000 元购买乙型健身器材的数量相同．
(1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元．
(2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共 20 台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的 3 倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？
【答案】(1)甲型健身器材价格为 2500 元，则乙型健身器材的价格为 2800 元
(2)购买甲型健身器材 15 台，购买乙型健身器材 5 台时，费用最低，最低费用 51500 元．
50000
【分析】（1）设甲型健身器材价格为 x 元，则乙型健身器材的价格为(? + 300)元，根据题意，得 ?=
56000
?+300，解方程即可．
（2）根据题意，甲型健身器材买了?个，则购买乙型健身器材数量为(20−?)个，且? ≤ 3(20−?)，根据题意，得? = 2800(20−?) +2500? = −300? + 56000，解答即可．
本题考查了分式方程的应用题，不等式组的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】（1）解：设甲型健身器材价格为 x 元，则乙型健身器材的价格为(? + 300)元，
5000056000
根据题意，得 ?= ?+300，
解得? = 2500，
经检验，? = 2500是原方程的根．
此时? + 300 = 2800，
答：甲型健身器材价格为 2500 元，则乙型健身器材的价格为 2800 元．
（2）解：根据题意，甲型健身器材买了?个，则购买乙型健身器材数量为(20−?)个，且? ≤ 3(20−?)即
? ≤ 15，且 a 为正整数，
根据题意，得? = 2800(20−?) +2500? = −300? + 56000，
由? = −300 38）和跳绳?根，且恰好花费
3600 元，已知排球每个进价为 80 元，跳绳每根的进价为 15 元，求该商店老板有哪几种购进方案？
【答案】(1)排球的单价为100元，跳绳的单价为 20 元
(2)该商店老板有两种购进方案：方案一：购进排球 39 个，跳绳 32 根；方案二：购进排球 42 个，跳绳 16
根
【分析】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式的应用，根据已知条件列出方程组和不等式是解题的关键．
设排球的单价为?元，跳绳的单价为?元，根据题意列出方程组，解方程组即可；
（2）根据题意可以得到? = 240−16?，结合?的取值范围和?、?为正整数的条件，求出?和?的值，从而
3
得到购进方案．
【详解】（1）解：设排球的单价为?元，跳绳的单价为?元，根据题意得：
20? + 24? = 2480
24? + 20? = 2800 ，
? = 100
解得 ? = 20 ，
答：排球的单价为100元，跳绳的单价为20元；
（2）解：根据题意得：80? + 15? = 3600，
，
?
即? = 240−16
3
由于?、?为正整数，
则240−
16
，
? > 0
3
解得? < 45，
由于? > 38，且?是 3 的倍数，
则?的值可以为 39、42，
当? = 39时，? = 240−16 × 39 = 32，
3
当? = 42时，? = 240−16 × 42 = 16，
3
答：该商店老板有两种购进方案：方案一：购进排球 39 个，跳绳 32 根；方案二：购进排球 42 个，跳绳 16
根．
好题速递
1．（2026·江苏无锡·一模）我国古代数学著作《九章算术》中有一道“假田”问题．具体如下：今有田亩租赁，出租第一年 3 亩收 1 钱；第二年 4 亩收 1 钱；第三年 5 亩收 1 钱．三年共收得地租 100 钱．问租赁田多少亩？若设租赁田?亩，则可列方程为（ ）
A．1? + 1? + 1? = 100B．3? + 4? + 5? = 100
345
C111
．3 × ? + 4 × 2? + 5 × 3? = 100D．3 × ? + 4 × 2? + 5 × 3? = 100
【答案】A
【分析】根据“第一年 3 亩 1 钱，第二年 4 亩 1 钱，第三年 5 亩 1 钱．三年共得 100 钱”列方程即可．
【详解】解：根据题意，得3? + 4? + 5? = 100．
1
11
2．（2026·江苏无锡·一模）2025年5月1日，我国首条“高温超导电动悬浮”试验线完成耐久测试．已知磁悬浮试验线全长?公里，测试列车以300km/h的速度跑完全程，比预定时间快了2分钟．传统高铁线路比磁悬浮试验线长35km，普通高铁以250km/h的速度跑完传统线路，所需时间比磁悬浮列车的预定时间多了12分钟．根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
【答案】A
【分析】设预定运行时间为?小时，根据题意列方程求出?，进而求出磁悬浮试验线的全长、传统高铁线路的运行时间及测试列车实际运行时间即可判断求解．
【详解】解：设预定运行时间为?小时，
∵测试列车跑完全程比预定时间快2分钟，
∴ ?
300
2
= ?− ，
60
整理得，? = 300?−10 ①，
∵传统高铁线路长为(? + 35)公里，跑完比预定时间多12分钟，
A．磁悬浮试验线的全长为140公里 B．磁悬浮试验线的预定运行时间为28分钟 C．传统高铁线路的运行时间为40分钟 D．测试列车实际运行时间为30分钟
∴A正确，B、C、D错误．
× 60 = 42 分钟，
250
140+35
传统高铁运行时间为
整理得，? = 250? + 15②
联立①②，得300?−10 = 250? + 15，
解得? = 0.5小时，即预定运行时间为0.5 × 60 = 30分钟，
代入①，得? = 300 × 0.5−10 = 140 公里，即磁悬浮试验线全长140公里，测试列车实际运行时间为30−2 = 28 分钟，
60，
250
12
?+35
∴= ? +
3．（2026·甘肃陇南·一模）《探寻神奇的幻方》一课的学习激起了小杨的探索兴趣，他在如表所示的3 × 3
方格内填入了一些数据．若图中各行、各列及对角线上的各数之和都相等，则? + ?的值为．
【答案】6
【分析】根据题意列二元一次方程组，解出?、?的值，再代入计算即可．
−2 + ? + 4 = 0 + ? + 2?
【详解】解：由题意可得， 0 +(−2) + ? = −2 + ? + 4 ，
? = 1
解得： ? = 5 ，
则? + ? = 5 + 1 = 6．
4．（2026·湖南长沙·一模）高速公路某收费站出城方向有编号分别为 A，B，C，D，E 的五个小客车收费出口，假定各收费出口 20 分钟通过小客车的数量都是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口 20 分钟一共通过的小客车数量如下表所示：
收费出口编号
A，B
B，C
C，D
D，E
E，A
通过小客车数/辆
125
150
140
170
115
在 A，B，C，D，E 五个收费出口中，每 20 分钟通过小客车数量最多的收费出口编号是．
【答案】B
0
−2
y
4
x
2?
【分析】根据表格数据得到五个出口每 20 分钟通过小客车数量的关系式，通过作差比较各出口通过数量的大小，即可得到结果．
【详解】解：设编号为?，?，?，?，?的五个收费出口每 20 分钟通过小客车的数量分别为?，?，?，?，?．
? + ? = 125
? + ? = 150
根据题意得 ? + ? = 140 ，
? + ? = 170
? + ? = 115
由? + ?−(? + ?) = 150−125 = 25，得?−? = 25，则? > ?．由? + ?−(? + ?) = 150−140 = 10，得?−? = 10，则? > ?．由? + ?−(? + ?) = 170−140 = 30，得?−? = 30，则? > ?．由? + ?−(? + ?) = 170−115 = 55，得?−? = 55，则? > ?．由? + ?−(? + ?) = 125−115 = 10，得?−? = 10，则? > ?．综上可得? > ? = ? > ? > ?，
因此每 20 分钟通过小客车数量最多的收费出口编号是?．
5．（2026·四川南充·一模）某文创店销售南充特色剪纸工艺品，已知每幅剪纸的成本价为10元．市场调查 发现，当销售单价为12元时，一天能卖出40幅；若每涨价1元，一天就会少卖2幅．同时，考虑到薄利多销，销售量不仅与价格有关，还与当天的广告宣传投入有关．经测算，若当天投入?元的广告费，则销售量会在 原基础上增加5 ?幅．设这种剪纸每天的总销售利润为?元，剪纸的销售单价上涨?元（销售单价不高于20 元）．
若每天投入?元的广告费，则每天这种剪纸的实际销售量为幅；（用含?，?的代数式表示）
若商家计划每天投入广告费100元，且希望每天的总销售利润达到420元．为了扩大销量、提高知名度，请你为店主选择一个合适的上涨价格；
【答案】(1)(40−2? + 5 ?)
为了扩大销量，应上涨3元
当该种剪纸的销售单价上涨8元时，每天的销售利润最大，最大利润是240元
【分析】（1）先得出销售单价上涨?元后的销售量，再求出投入?元的广告费后的销售量即可；
（2）把? = 100代入（1）中表达式，根据总销售利润达到420元列一元二次方程，解方程求出?的值，根据销售单价不高于20元得出符合条件的?的值即可；
（3）把? = 0代入（1）中表达式得销售量为(40−2?)幅，根据利润=每件利润 × 销售量即可得出?与?之间
若商家决定不投入广告费，求总销售利润?与?之间的函数表达式，并求出当销售单价上涨多少元时，每天的总销售利润最大？最大利润是多少？
的函数表达式，根据二次函数的性质，结合? ≤ 8求出?的最大值即可．
【详解】（1）解：∵每涨价1元，一天就会少卖2幅，销售单价上涨?元，
∴每天销售量为40−2?，
∵当天投入?元的广告费，则销售量会在原基础上增加5 ?幅，
∴实际销售量为(40−2? + 5 ?)幅．
（2）解：当? = 100时，5 ? = 50，销售量为40−2? + 5 ? = (90−2?)幅，
∵每天的总销售利润达到420元，
∴(12 + ?−10)(90−2?) = 420，
整理得：?2−43? + 120 = 0，解得：?1 = 3，?2 = 40．
∵销售单价不高于20元，即12 + ? ≤ 20，解得：? ≤ 8，
∴? = 40不符合题意，舍去．
答：为了扩大销量，应上涨3元．
（3）解：不投入广告费时，则? = 0，销售量为(40−2?)幅，
∴? = (12 + ?−10)(40−2?)
= −2?2 + 36? + 80
= −2(?−9)2 +242．
∵−2 < 0，
∴? ≤ 9时，?随?的增大而增大，
∵销售单价不高于20元，即? ≤ 8，
∴当? = 8时，?取最大值，最大值为−2(8−9)2 +242 = 240（元）．
∴当该种剪纸的销售单价上涨 8 元时，每天的销售利润最大，最大利润是240元．
6．（2026·江苏苏州·模拟预测）在一堂化学活动课前，李老师给同学们布置了一个任务：制作 A、B 两种化学分子的模型，每个化学分子的模型都需要用到小球和塑料管．老师演示了一下，用 32 个小球、26 根塑料管可以制作 2 个?分子模型与 1 个 B 分子模型，制作一个 A 分子模型需要的小球、塑料管数量比为5∶4，制作一个 B 分子模型需要的小球、塑料管数量比为6∶5，已知每根塑料管价格是每个小球价格的一半．
(1)制作一个 A，B 分子模型分别需要小球、塑料管的数量各是多少？
(2)李老师说道：“上次的活动课上，我花费 200 元购得的塑料管数量比花 320 元购得的小球数量多了 80．今
天我路过文具商店的时候，看到了促销广告：‘每购买 3 个小球赠送 1 根塑料管，清理库存，数量有限！小球仅剩 1760 个，塑料管仅剩 1404 根．'我向学校申请了项目活动经费 2050 元采购小球和塑料管，全部用来制作化学分子模型，一个?模型和一个?模型为一套，至少需要制作 65 套才够用．”要使得购买的小球数量按促销广告匹配赠送塑料管后无剩余，且所有材料做成分子模型刚好配套，请你们帮老师算一算，有几种采购方案？（要求：根据题意列出方程、不等式解决问题）
【答案】(1)制作一个 A 分子模型需要小球 10 个，塑料管 8 根，制作一个 B 分子模型要小球 12 个，塑料管 10 根
(2)共有四种方案可选择
【分析】（1）设制作一个?分子模型需要小球5?个，塑料管4?根，制作一个?分子模型要小球6?个，塑料 管5?根，根据用 32 个小球、26 根塑料管可以制作 2 个?分子模型与 1 个?分子模型，列出二元一次方程组，解方程组即可；
设塑料管的价格是?元/根，则小球的价格是2?元/个，根据花费 200 元购得的塑料管数量比花 320 元购得的小球数量多 80，列出方程式得出塑料管的单价，小球的单价；设采购材料能制作出?套模型，则需要用去22?个小球，18?根塑料管，根据向学校申请了项目活动经费 2050 元采购小球和塑料管，列出一元一次不等式，再由题意列出一元一次不等式组，解不等式组进而得出65 ≤ ? ≤ 75，即可解决问题．
【详解】（1）解：设制作一个?分子模型需要小球5?个，塑料管4?根，制作一个?分子模型要小球6?个，塑料管5?根，由题意，得：
2 × 5? + 6? = 32
2 × 4? + 5? = 26 ，
? = 2
解得 ? = 2 ，
答：制作一个?分子模型需要小球 10 个，塑料管 8 根，制作一个?分子模型要小球 12 个，塑料管 10 根；
（2）解：设塑料管的单价是 a 元/根，小球的单价是2?元/个，根据题意得：
320
2? + 80 =
200
?
解得? = 0.5．
经检验：? = 0.5是原方程的解．
∴ 塑料管的单价是0.5元/根，小球的单价是 1 元/个．
设采购材料能制作出?套模型，需要用去22?个小球，18?根塑料管．
根据促销活动内容，每购买 3 个小球赠送 1 根塑料管，
22?
0.5 × (18?− 3
) + 22? × 1 ≤ 2050，
解得? ≤ 75．
∵小球仅剩 1760 个，塑料管仅剩 1404 根，
22? ≤ 1760
∴ 18? ≤ 1404 ，
? ≤ 80
解得 ? ≤ 78 ，
∴? ≤ 78．
∵ 至少需要制作 65 套才够用，
∴ ? ≥ 65．
综上，65 ≤ ? ≤ 75．
∵ 购买的小球数量按促销广告匹配赠送塑料管后无剩余，且所有材料做成分子模型刚好配套，
∴ 3 是整数且?是正整数，
∵22 与 3 互质，
22?
∴?必须是 3 的倍数，
∴ ? = 66，69，72，75．
∴ 共有四种方案可选择．
中考闯关
我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”，可译为：有 100 个和尚分 100 个馒头，正好分完，一个大和尚分 3 个，三个小和尚分 1 个，问大小和尚各有几人？若设大和尚有 x 人，根据题意列方程，正确的是（ ）
A． 1 x  3100  x  100 3
C． 100 x  3100  x   100 3
B． 3x  1 100  x  100
3
D． 3x  100 100  x   100
3
【答案】B
【分析】设大和尚有 x 人，小和尚则有100  x 人，再根据题意列方程求解即可．
【详解】解：设大和尚有 x 人，小和尚则有100  x 人，
根据题意可列方程： 3x  1 100  x  100 ．
3
为弘扬法治精神，提升中学生法律素养。某中学在“宪法宣传周”期间举办了全校性的普法知识竞赛．学
【答案】20
【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用，根据题中的等量关系和不等关系列方程是解题关键．设乙队每天改造 x 米，甲队每天改造1.5x 米， 根据题意列出分式方程求出乙队每天改造 30 米，甲队每天改造 45 米，再设则甲队工作 a 天，根据改造的道路全长 1800m，改造总费用不超过 420 万元列出关于 a 的一元一次不等式求解即可．
校决定用 240 元专项资金为获奖同学购买奖品，以资鼓励．本次竞赛设一等奖和二等奖两个奖项，一等奖奖品为单价 15 元的《中华人民共和国宪法》精装读本与法治书签套装，二等奖奖品为单价 10 元的法治主题笔记本与钢笔套装．专项资金恰好用完，若两种奖品都必须购买，则购买方案有（ ）
A．6 种 B．7 种C．8 种D．9 种
【答案】B
【分析】设一等奖奖品购买 x 件，二等奖奖品购买 y 件，根据用 240 元专项资金为获奖同学购买奖品，列出二元一次方程，再求方程的正整数解即可．
【详解】解：设一等奖奖品购买 x 件，二等奖奖品购买 y 件，根据题意得：
15x  10 y  240 ，
整理得： 3x  2 y  48 ，
∵x、y 为正整数，
∴  y  21，  y  18 ，  y  15 ，  y  12 ，  y  9 ，  y  6 ，  y  3 ，
x  2x  4x  6x  8x  10x  12x  14

∴共有 7 种购买方案．
甲、乙两组学生去距离学校4.5km 的敬老院开展慰问活动，甲组学生步行出发半小时后，乙组学生骑自
行车开始出发，两组学生同时到达敬老院．已知步行速度是骑自行车速度的 1 ，设步行速度为 xkm / h ，则
2
根据题意可列出方程是．
【答案】 4.5  0.5x  4.5
x
2x
【分析】设步行速度为 xkm / h ，则骑自行车的速度为2xkm / h ，然后根据时间相同建立分式方程．
【详解】解：设步行速度为 xkm / h ，则由题意得， 4.5  0.5x  4.5 ．
x
2x
为落实“城市更新项目”的相关工作，市住建部门计划对老城区部分道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队工作，已知甲队的工作效率是乙队工作效率的 1.5 倍，甲队改造 360m 的道路比乙队改造同样长的道路少用 4 天．若甲队工作一天需付费 9 万元，乙队工作一天需付费 8 万元，如需改造的道路全长 1800m，改造总费用不超过 420 万元，至少安排甲队工作天．
【详解】解：设乙队每天改造 x 米，甲队每天改造1.5x 米，
由题意得：
360
x
 4 
360
1.5x
，
解得： x  30 ，
经检验， x  30 是分式方程的解，
则乙队每天改造 30 米，甲队每天改造1.5 30  45 米，则甲队工作 a 天，
∴ 9a  81800  45a  30  420 ，解得： a  20 ，
∴甲队至少工作 20 天，
故答案为：20
某社区现有老年人 800 人，为满足日间照料需求，当地政府计划在该社区建设日间服务照料中心．经测算，拟定 A，B 两种建设运营方案：
A 方案：每年除固定投入 80 万元外，还需为每位接受服务的老年人支付年均费用 0.3 万元；
B 方案：每年除固定投入 120 万元外，还需为每位接受服务的老年人支付年均费用 0.2 万元．
设接受服务的老年人为 x 人（ 0  x  800 ，且 x 为整数），A，B 两种方案的年总费用分别为 y1，y2 万元．
写出 y1，y2 关于 x 的函数关系式；
结合接受服务的老年人的人数，通过计算分析采用哪种方案的年总费用较少．
【答案】(1) y1  0.3x  80 ， y2  0.2x 120 ；
(2)当接受服务的老年人的人数小于400 人时，A 方案的年总费用较少，当接受服务的老年人的人数等于400人时，A 方案与 B 方案的年总费用相同，当接受服务的老年人的人数大于400 人且小于等于800 人时，B 方案的年总费用较少．
【分析】（1）根据年总费用 每年固定投入 接受服务的老人年平均费用人数，即可解答；
（2）令 y1  y2 ， y1  y2 ， y1  y2 ，求解不等式与方程，即可解答．
【详解】（1）解：根据题意， y1  0.3x  80 ， y2  0.2x 120 ；
（2）解：令 y1  y2 ，则0.3x  80  0.2x 120 ，解得 x  400 ，
令 y1  y2 ，则0.3x  80  0.2x 120 ，
解得 x  400 ，
令 y1  y2 ，则0.3x  80  0.2x 120 ，解得 x  400 ，
答：当接受服务的老年人的人数小于400 人时，A 方案的年总费用较少，当接受服务的老年人的人数等于400
人时，A 方案与 B 方案的年总费用相同，当接受服务的老年人的人数大于400 人且小于等于800 人时，B 方案的年总费用较少．
6．2025 年第 15 届全运会闭幕式在深圳市举行，全运会举办期间，与吉祥物“喜洋洋”“乐融融”相关的文创产品深受大家喜爱．某公司接到首批订单，要生产文创产品共 2400 件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5 倍．先由甲、乙两个车间共同完成 1800 件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用 12 天完成这批订单．
求甲、乙两个车间每天分别生产多少件产品；
【答案】(1)甲车间每天生产 165 件产品，乙车间每天生产 110 件产品
(2)应安排甲车间生产 20 天，乙车间生产 10 天，最大生产总量为 4400 件
【分析】（1）设乙车间每天生产 x 件产品，则甲车间每天生产1.5x 件产品，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解；
（2）设安排甲车间生产m 天，乙车间生产(30  m) 天，这 30 天的生产总量为w 件，根据题意列出函数关系
式，先求得m≤20 ，再根据一次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设乙车间每天生产 x 件产品，则甲车间每天生产1.5x 件产品，
根据题意得：
1.5x  x
1800  2400 1800  12 ，
x
解得： x  110 ，
经检验， x  110 是所列方程的解，且符合题意，
1.5x  1.5110  165 （件）．
答：甲车间每天生产 165 件产品，乙车间每天生产 110 件产品．
（2）设安排甲车间生产m 天，乙车间生产(30  m) 天，这 30 天的生产总量为w 件，根据题意得： w  165m 110 30  m  55m  3300 ，
Q安排甲车间生产的天数不多于乙车间的 2 倍，
首批订单完成后，公司将继续生产 30 天该产品，每天只安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的 2 倍，要使这 30 天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？最大生产总量是多少？
 m  2 30  m ，解得： m≤20 ， Q55  0 ，
w随m 的增大而增大，
又Q m 为正整数，
 m 最大取 20，
当m  20 时， w 取得最大值，为55 20  3300  4400 （件），此时30  20  10 （天）．
答：应安排甲车间生产 20 天，乙车间生产 10 天，最大生产总量为 4400 件．
7．小李在毕业后的暑假为了挣零花钱，购进了紫皮腰果和香酥腰果两种类型的腰果在校门口销售．第一批小李两种类型的腰果共购进了 100 盒，其中紫皮腰果购进了 56 盒．已知每盒香酥腰果的进价比紫皮腰果的进价多 15 元，本次小李购进紫皮腰果的成本比购进香酥腰果的成本低 360 元．
求紫皮腰果和香酥腰果的进价；
【答案】(1)紫皮腰果进价为 25 元/盒，香酥腰果进价为 40 元/盒.
(2) a 的值为 4.
【分析】题目涉及两个批次的腰果销售情况，第一问根据成本关系列方程组求解进价；第二问在已知进价和销售策略的基础上，结合数量变化、售价调整、损耗等因素建立总利润方程，解出未知数a 的值．解题过程中需理清各批次的数量、成本、售价、利润之间的关系．
【详解】（1）解：设紫皮腰果每盒进价为 x 元，则香酥腰果每盒进价为 x+15 元．由题意，第一批共购进 100 盒，其中紫皮腰果 56 盒，则香酥腰果为 44 盒．
紫皮腰果总成本： 56x 元
香酥腰果总成本： 44  x 15 元
根据题意，紫皮腰果成本比香酥腰果低 360 元，即：
44  x 15  56x  360
第一批两种类型的腰果每盒售价均为 50 元．在第一批腰果销售完后，小李购进了第二批两种类型的腰果进价均未改变，聪明的小李在经过思考后，将紫皮腰果的售价提高a 元，并在第一批的基础上增加了8a 盒的进货量；香酥腰果的进货量为 60 盒，售价与第一次相同．但因小李的嘴馋，购进的香酥腰果中有5% 被他自己吃掉而无法销售，结果第二批销售完后小李获利 3002 元，求a 的值．
44x  660  56x  360
12x  660  360
12x  300
x  25
则香酥腰果进价为x  15  25  15  40 元．
答：紫皮腰果进价为 25 元/盒，香酥腰果进价为 40 元/盒．
（2）第一批紫皮腰果售价为 50 元/盒．
第二批紫皮腰果售价提高a 元，即售价为50  a 元/盒．
进货量在第一批基础上增加8a 盒，即进货量为56  8a 盒．
香酥腰果进货量为 60 盒，售价仍为 50 元/盒，但有5% 被吃掉，无利润，即实际销售数量为
60 1 5%  60  0.95  57 盒．
紫皮腰果：
成本： 56  8a 25 元
收入： 56  8a50  a 元
利润：收入-成本=56  8a50  a  2556  8a  56  8a50  a  25  56  8a25  a
香酥腰果：
成本： 60  40  2400 元收入： 57  50  2850 元
利润： 2850  2400  450 元
第二批总利润为紫皮腰果利润+香酥腰果利润 3002 元即： 56  8a25  a  450  3002
56  8a25  a  2552
8a2  256a 1400  2552
8a2  256a  1152
a2  32a  144
a2  32a 144  0
解得： a  4 ，（ a  36 舍去）
所以a  4
【点睛】本题综合考查方程建模能力，尤其第二问中涉及数量变化、售价调整及损耗处理，需仔细分析利润构成．通过分步建立方程并求解，得出最终结果．关键在于准确列出各部分的成本与收入，并注意实际销售数量受损耗影响的情况．