2026年山东省青岛市第二十六中学中考数学一模试卷（含答案+解析）

这是一份2026年山东省青岛市第二十六中学中考数学一模试卷（含答案+解析），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图，实数a，b，c，d在数轴上表示如下，则最小的实数为( )
A. aB. bC. cD. d
2.一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，约为149000000千米，则149000000用科学记数法表示为( )
A. 1.49×1010B. 1.49×108C. 0.149×109D. 14.9×107
3.“瓦当”是中国古建筑装饰檐头的附件，是中国特有的文化艺术遗产，下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.下列运算正确的是( )
A. x3⋅x5=x15B. (2x2)3=8x6C. x9÷x3=x3D. x2+x3=x5
5.样本数据2，8，14，16，20的平均数是( )
A. 8B. 9C. 12D. 18
6.如图所示的几何体的俯视图是( )
A. B. C. D.
7.如图，直线l1//l2，正五边形ABCDE的顶点A，B分别落在l1，l2上.若∠1=25∘，则∠2的度数为( )
A. 47∘
B. 58∘
C. 61∘
D. 75∘
8.如图，将△ABC沿x轴翻折后，再绕原点旋转180∘得到△A′B′C′，则点B的对应点B′的坐标为( )
A. (3,1)B. (2,1)C. (−3,−1)D. (−1,−3)
9.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40∘，则晷针与点A处的水平面所成角为( )
A. 20∘B. 40∘C. 50∘D. 80∘
10.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则一次函数y=ax−2b(a≠0)与反比例函数y=2cx(c≠0)在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算： 18− 5× 10= .
12.关于x的一元二次方程x2−2x+4−m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 .
13.实践课上，小明在一张面积为200cm2的矩形卡片上绘制了图1所示的青岛市地形图，他想知道该地形图的面积，采取了以下办法：将矩形卡片水平放置在地面上，在适当位置随机地朝矩形区域抛掷小球，记录落在该地形图上的次数(球抛在地形图最外围的界线上或矩形区域外不计入试验结果)，并将若干次试验结果绘制成图2所示的折线统计图，据此估计该地形图的面积约为 cm2.
14.《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题可译为：把一份文件用慢马送到800里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍，求慢马的速度.若设慢马的速度为x里/天，则可列方程： .
15.如图，将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE，EF为折痕，AB= 3，∠BAE=30∘.折叠后，点B落在EC1边上的B1处，点C落在AD边上的C1处.则BC= .
16.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=35，BH//DG，EF=12cm，DE=2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为 cm2.
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
已知：∠A和∠A一边上的点B.
求作：▱ABCD，满足∠A是它的一个内角，且对角线BD⊥AD.
18.(本小题8分)
(1)5x+1>3x−23x−52−2x+13≤1；
(2)化简：(x+2−2x+1x)÷x−1x.
19.(本小题8分)
湛山寺位于青岛市湛山西南、太平山东麓，在寺庙的后方东侧，有一座八角七级砖塔(图1所示)，被称为“药师塔”.
(1)求坡顶D到AB的距离；
(2)计算药师塔BC的高度.
20.(本小题8分)
《简爱》《艾青诗选》《水浒传》《儒林外史》(分别编号为A，B，C，D)是九年级学生必读名著.某学校为了解学生对必读名著的阅读情况，就“四部必读名著你读完了几部”的问题在全校九年级学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题：
(1)本次调查一共抽取了______名学生，中位数是______部；
(2)请将条形统计图补充完整；
(3)该学校九年级有480名学生，估计约有______名学生至少阅读完2部必读名著；
(4)小红和小颖两位同学分别从这四部必读名著中任选一部阅读，请用列表或画树状图的方法，求两人恰好阅读同一部名著的概率.
21.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，把AB分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB=a，那么⊙O的周长L=πa.
【探究】
(1)把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长______；
(2)把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长L3=______；
(3)把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长Ln=______；
(4)当把大圆直径平均分成n等分时，以每条线段为直径画小圆，那么每个小圆的面积Sn与大圆的面积S的关系是：Sn=______S.
22.(本小题8分)
如图，已知A(−4,12)，B(−1,2)是一次函数y=kx+b与反比例函数y=mx(m3.
故答案为：m>3.
根据根的判别式Δ>0列出关于m的不等式，求解不等式得到m的取值范围．
此题主要考查的是一元二次方程的根判别式，当Δ=b2−4ac=0时，方程有两个相等的实根，当Δ>0时，方程有两个不相等的实根，当Δ−32，
解不等式②得x≤235，
所以不等式组的解集为−32−32和x≤235，然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集；
(2)先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，然后约分即可．
本题考查了分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．也考查了解一元一次不等式组．
19.【答案】解：(1)过点D作DF⊥AB，垂足为F，
∵斜坡AD的坡度i=7：24，
∴DFAF=724，
∴设DF=7x米，则AF=24米，
在Rt△ADF中，AD= DF2+AF2= (7x)2+(24x)2=25x(米)，
∵AD=25米，
∴25x=25，
解得：x=1，
∴DF=7米，
∴坡顶D到AB的距离为7米；
(2)延长DE交BC于点G，
由题意得：DG⊥BC，BG=DF=7米，
在Rt△BEG中，∠BEG=45∘，
∴EG=BGtan45∘=7(米)，
在Rt△CEG中，∠CEG=72∘，
∴CG=EG⋅tan72∘≈7×3.07=21.49(米)，
∴BC=BG+CG=7+21.49≈28(米)，
∴药师塔BC的高度约为28米．
【解析】(1)过点D作DF⊥AB，垂足为F，根据已知可设DF=7x米，则AF=24米，然后在Rt△ADF中，利用勾股定理进行计算即可解答；
(2)延长DE交BC于点G，根据题意可得：DG⊥BC，BG=DF=7米，然后在Rt△BEG中，利用锐角三角函数的定义求出EG的长，再在Rt△CEG中，利用锐角三角函数的定义求出CG的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20.【答案】80；2.
见解答．
288.
14.
【解析】解：(1)本次调查一共抽取了20÷25%=80(名)学生．
将这80名学生的调查结果按照从大到小的顺序排列，排在第40和41个的数据为2部，2部，
∴中位数为(2+2)÷2=2(部).
故答案为：80；2.
(2)“1部”的人数为80−4−20−16−12=28(人).
补全条形统计图如图所示．
(3)480×20+16+1280=288(名)，
∴估计约有288名学生至少阅读完2部必读名著．
故答案为：288.
(4)列表如下：
共有16种等可能的结果，其中两人恰好阅读同一部名著的结果有4种，
∴两人恰好阅读同一部名著的概率为416=14.
(1)用条形统计图中“2部”的人数除以扇形统计图中“2部”的百分比可得本次调查的学生人数；根据中位数的定义可得答案．
(2)求出“1部”的人数，补全条形统计图即可．
(3)根据用样本估计总体，用480乘以样本中“2部”“3部”“4部”的学生人数所占的百分比之和，即可得出答案．
(4)列表可得出所有等可能的结果数以及抽出两支笔刚好是一红一黑的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体、中位数的定义是解答本题的关键．
21.【答案】12L 13L 1nL 1n2
【解析】解：(1)把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长L2=12πa=12L；
故答案为：12L；
(2)把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长L3=13πa=13L；
故答案为：13L；
(3)把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长Ln=1nπa=1nL；
故答案为：1nL；
(4)以AB=a为直径的圆的面积为S=π(a2)2=a24π，
把AB分成n条相等的线段，每个小圆的直径为an，即每个小圆的半径为a2n，
则每个小圆的面积Sn=π(a2n)2=a24n2π，
∵a24n2π=1n2×a24π
∴Sn=1n2S.
故答案为：1n2.
(1)先求出每个小圆的直径，即可解答；
(2)先求出每个小圆的直径，即可解答；
(3)先求出每个小圆的直径，即可解答；
(4)根据大圆直径AB=a被n等分，得出小圆直径为an，即可解答；
本题考查正多边形与圆，正确进行计算是解题关键．
22.【答案】解：(1)将A(−4,12)，B(−1,2)代入一次函数解析式中，得−4k+b=12−k+b=2，
解得：k=12b=52.
故一次函数的解析式为y=12x+52.
将B(−1,2)代入反比例函数解析式中，得2=m−1，
解得：m=−2；
(2)∵A(−4,12)，B(−1,2)，且AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D，
∴C(−4,0)，D(0,2)，
∴AC=12，BD=1，
直线AC的解析式为x=−4，直线BD的解析式为y=2，
设点P的坐标为(m,12m+52)，−4≤m≤−1
P点到直线AC的距离为m−(−4)=m+4，P点到直线BD的距离为2−(12m+52)=−12−12m.
∵△PCA面积和△PDB面积相等，
∴12AC⋅(m+4)=12BD⋅(−12−12m)，
解得：m=−52，
点P的坐标为(−52,54).
【解析】本题考查了待定系数法求函数解析式、点到直线的距离以及三角形的面积公式，解题的关键是：(1)待定系数法求函数解析式；(2)找出关于m的一元一次方程．本题属于中档题，难度不大，(1)用到了待定系数法求函数解析式，这个是考试必考内容之一，再日常做题中应多加练习；(2)巧妙的利用点到直线的距离代替了高，减少了运算量．
(1)将点A、B的坐标代入一次函数解析式中，利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；将点B的坐标代入反比例函数中，可得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出结论；
(2)根据A、B点的坐标可以找出C、D点的坐标，由此可得出线段AC、BD的长度以及直线AC、BD的函数解析式，设点P的坐标为(m,12m+52)，根据点到直线的距离以及三角形的面积公式可以得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出m的值，代入到P点的坐标即可得出结论．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，∠BAD=∠BCD，
∴∠AEF=∠CHG，
∵BE=2AB，DH=2CD，
∴BE=DH，
∴BE−AB=DH−DC，
∴AE=CH，
∵∠BAD+∠EAF=180∘，∠BCD+∠GCH=180∘，
∴∠EAF=∠HCG，且AE=CH，∠AEF=∠CHG，
∴△EAF≌△HCG(ASA)，
∴AF=CG；
(2)当AD= 5AB时，四边形BEDH是正方形，
理由：∵BE//DH，BE=DH，
∴四边形BEDH是平行四边形，
∵EH⊥BD，
∴四边形BEDH是菱形，
∴ED=EB=2AB，
∵AE2+DE2=AB2+(2AB)2=5AB2，
AD2=( 5AB)2=5AB2，
∴AE2+DE2=AD2,
∴∠BED=90∘，
∴四边形BEDH是正方形，
∴当AD= 5AB时，四边形BEDH是正方形．
【解析】(1)通过平行四边形的性质，利用边角之间的关系证明△EAF≌△HCG(ASA)即可；
(2)利用已知可得四边形BEDH是菱形，所以当AE2+DE2=AD2时，∠BED=90∘，四边形BEDH是正方形．
本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，结合图形分析并熟练掌握正方形的判定，平行四边形的性质，是解题的关键．
24.【答案】解：(1)如图所示，过点D作DM⊥x于点M，作DN⊥y轴于点N，
∵四边形ODCE是菱形，∠ODC=60∘，
∴OD=OC=4，∠ODN=12∠ODC=30∘，
在Rt△NDO中，ND⊥y轴，∠ODN=30∘，
∴ON=12OD=2，DN= OD2−ON2= 42−22=2 3，
∴D(2 3,2)，
∵OC=4，
∴C(0,4)，
设抛物线对应的函数表达式为y=ax2+c(a≠0)，
将C(0,4)，D(2 3,2)代入得，4=a×0+c2=a×(2 3)2+c，
解得：a=−16c=4，
∴y=−16x2+4；
(2)令y=−16x2+4=0，
解得：x1=−2 6,x2=2 6，
∴A(−2 6,0),B(2 6,0)，
∴AB=2 6−(−2 6)=4 6(米)，
(3)设直线OD的解析式为y=kx，将点D(2 3,2)代入得，2=2 3k，
解得：k= 33，
∴直线OD的解析式为y= 33x，
设直线CD的解析式为y=mx+n，
将点C(0,4)，D(2 3,2)代入得，4=n2=2 3m+n，
解得：m=− 33n=4，
∴直线CD的解析式为y=− 33x+4，
设矩形MNPQ中，QM=PN=x米，
则xM=xN=x2，代入y= 33x，y=− 33x+4，
得M(x2, 3x6),N(x2,− 3x6+4)，
∴MN=− 3x6+4− 3x6=− 3x3+4，
∴S矩形MNPQ=QM×MN=x×(− 3x3+4)=− 33x2+4x，
由(1)可得SRt△OND=12×DN×ON=12×2 3×2=2 3，
∴S菱形ODCE=4SRt△OND=8 3，
设总费用为W，
∴W=(− 33x2+4x)×80+[8 3−(− 33x2+4x)]×160=80 33x2−320x+1280 3；
当x=−b2a=−−320160 33=2 3时，W取得最小值，
最小值为W=80 33×(2 3)2−320×2 3+1280 3=960 3，
∴菱形广告牌所需的最低费用为960 3元．
【解析】(1)过点D作DM⊥x于点M，作DN⊥y轴于点N，在Rt△NDO中，ND⊥y轴，∠ODN=30∘，勾股定理得出DN，进而得出D(2 3,2)，根据OC=4，得出C(0,4)，进而待定系数法求解析式即可求解；
(2)根据−16x2+4=0，解方程，得出A，B的坐标，即可求解．
(3)待定系数法得出直线OD的解析式为y= 33x，直线CD的解析式为y=− 33x+4，设矩形MNPQ中，QM=PN=x米，则xM=xN=x2，代入y= 33x，y=− 33x+4，继而得出S矩形MNPQ，由(1)得出S菱形ODCE=4SRt△OND=8 3，设总费用为W，进而根据面积乘以广告牌的价格得出W的函数关系，根据二次函数的性质求得最值即可求解．
本题考查了二次函数的实际应用，菱形的性质，矩形的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵QE//PC，
∴当QE=CP时，四边形QPCE为平行四边形时，
由题意可得，QE=2t，CP=6−t，
∴2t=6−t，
解得：t=2；
(2)在Rt△ABC中，AB=8cm，BC=6cm，
∴AC= AB2+BC2=10(cm)，
∵D是AC边上的中点，
∴BD=CD=5cm，
∵DE//BC，
∴∠CDE=∠ACB，
在Rt△ABC中，cs∠ACB=BCAC=35，tan∠ACB=ABBC=43，sin∠ACB=ABAC=45，
∴cs∠CDE=35，tan∠CDE=43，sin∠CDE=45，
∵CD⊥CE，
∴CE=CD⋅tan∠CDE=203(cm)，DE=CDcs∠CDE=253(cm)，
如图，延长QH交BC延长线于点G，过点H作HM⊥CG于点M，过点Q作QN⊥BC于点N，
则QN=CD⋅sin∠CDQ=5×45=4(cm)，
∵AC⊥CE，QH⊥CE，
∴CD//GQ，
∵DQ//CG，
∴四边形DCGQ为平行四边形，
∴CG=DQ=253−2t，∠G=∠CDE，
∴PG=CP+CG=6−t+253−2t=433−3t，
∴HG=CG⋅csG=(253−2t)⋅35，CH=CG⋅sinG=(253−2t)⋅45，
∵12CG⋅HM=12HG⋅CH，
∴HM=HG⋅CHCG=35⋅(253−2t)⋅45⋅(253−2t)253−2t=1225(253−2t)，
∴S△PQH=S△PQG−S△PHG=12PG⋅QN−12PG⋅HM
=12(433−3t)⋅4−12(433−3t)⋅1225(253−2t)
=−3625t2+17225t；
(3)如图，连接AF并延长，交BC的延长线于点I，交DE于点Q′，过点F作DO⊥CI于点O，
则FO//AB，
∵F是线段CE的中点，
∴EF=CF=103(cm)，
∵Q′E//CI，
∴Q′ECI=EFCF=1，
∴Q′E=CI，
∵∠ACB+∠OCF=90∘，∠OCF+∠OFC=90∘，
∴∠OFC=∠ACB，
∴OF=CF⋅cs∠OFC=103×35=2(cm)，OC=CF⋅sin∠OFC=103×45=83(cm)，
∵FO//AB，
∴OIBI=OFAB，
∴OIOI+6+83=28，
解得：OI=269，
∴Q′E=CI=OC+OI=83+269=509(cm)，
∴t=5092=259(s)，
∴当t=259时，A，Q，F三点在同一条直线．
【解析】(1)利用两边平行且相等的四边形为平行四边形可得QE=CP，以此建立方程求解即可；
(2)根据勾股定理求出AC=10cm，由直角三角形的中线性质得BD=CD=5cm，由平行线的性质得∠CDE=∠ACB，则CE=CD⋅tan∠CDE=203cm，DE=CDcs∠CDE=253cm，延长QH交BC延长线于点G，过点H作HM⊥CG于点M，过点Q作QN⊥BC于点N，QN=CD⋅sin∠CDQ=4cm，易得四边形DCGQ为平行四边形，于是CG=DQ=253−2t，∠G=∠CDE，进而算出HG=CG⋅csG=(253−2t)⋅35，CH=CG⋅sinG=(253−2t)⋅45，由等面积法可求出HM=1225(353−2t)，再根据三角形的面积公式代入计算即可；
(3)连接AF并延长，交BC的延长线于点I，交DE于点Q′，过点F作DO⊥CI于点O，由平行线分线段成比例和线段中点定义可得CF=103cm，Q′E=CI，由同角的余角相等得∠OFC=∠ACB，于是OF=CF⋅cs∠OFC=2cm，OC=CF⋅sin∠OFC=83cm，再利用平行线分线段成比例可得OIOI+6+83=28，求出OI=269，Q′E=CI=83+269=509cm，以此即可求解．
本题考查了平行四边形的性质、解直角三角形、三角形的面积、几何动点问题、平行线的性质等知识，解题关键是学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题．课题
测量药师塔的高度
测量工具
测角仪等
测量示意图
测量过程
如图2，为了测量药师塔BC的高度，采用了如下的方法：先从与塔底B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走25米至坡顶D处，再从D沿水平方向继续前行若干米后至点E，在E点测得塔顶C的仰角为72∘，塔底B的俯角为45∘.
说明
点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i=7：24.要求结果精确到1m.(参考数据：sin72∘≈0.95，cs72∘≈0.31，tan72∘≈3.07)
A
B
C
D
A
(A,A)
(A,B)
(A,C)
(A,D)
B
(B,A)
(B,B)
(B,C)
(B,D)
C
(C,A)
(C,B)
(C,C)
(C,D)
D
(D,A)
(D,B)
(D,C)
(D,D)