重庆市2023_2024学年高一数学下学期3月月考试题含解析

这是一份重庆市2023_2024学年高一数学下学期3月月考试题含解析，共20页。试卷主要包含了 若，则， 已知，，，则， 已知非零向量满足， 设向量与的夹角为，定义， 在锐角中，若，则的最小值为， 下列说法不正确的是等内容，欢迎下载使用。
A. B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用诱导公式结合二倍角的正弦公式及商数关系和平方关系化弦为切，再根据二倍角的正切公式即可得解.
【详解】由，得，
即，即，
所以，所以，
则.
故选：C.
2. 已知是夹角为两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由投影向量计算公式可得答案.
【详解】在向量上的投影向量为.
.
故选：A
3. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用三角函数的符号确定角、、的范围，再利用两角差的正弦公式、同角三角函数基本关系的商数关系得到关于和的方程组，再利用两角和的正弦公式求出，进而结合角的范围进行求解.
【详解】因为，，
所以或；
若，则，
此时（舍）；
若，则，
此时（符合题意），
所以，
即；
因为且，
所以且，
解得，，
则，
所以.
故选：C.
4. 已知非零向量满足：向量与向量垂直，且向量与向量垂直，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量垂直得数量积为0，求得数量积与向量模的关系，根据向量夹角公式求解即可.
【详解】因为向量与向量垂直，所以，所以，
因为向量与向量垂直，所以，所以，
所以，即，所以，又，
所以，即与的夹角为.
故选：C
5. 设向量与的夹角为，定义.已知向量为单位向量，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由平面向量数量积的运算律求出向量与的夹角，代入新定义求解即可.
【详解】由题意得，
解得，
又，所以，
所以.
故选：C
6. 如图，这是一半径为的水轮示意图，水轮圆心距离水面，已知水轮每逆时针转动一圈，若当水轮上点从水中浮出时（图中点）开始计时，则（ ）
A. 点距离水面的高度与之间的函数关系式为
B. 点第一次到达最高点需要
C. 在水轮转动一圈内，有的时间，点距离水面的高度不低于
D. 当水轮转动时，点在水面下方，距离水面
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件，写出点的高度和时间的关系式，再逐项判断对错.
【详解】因为从开始计时，所以水轮的高度和时间的函数关系式为：.
当第一次到达最高点，由，即第一次到达最高点需要；
由，，.
即水轮转动的一圈内，有的时间，点距离水面的高低不低于.
当时，.
故选：D
7. 在锐角中，若，则的最小值为( )
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】根据和可得，令，结合正切和角公式可求m范围.要求的式子可化为，可继续化为用m表示的式子，根据m的范围可求其最小值.
【详解】由，得，
两边同时除以，得.
令，
∵是锐角三角形，
∴，∴.
又在三角形中有：
，
故当时，取得最小值
故选：C.
8. 正方形ABCD的边长为6点E，F分别在边AD，BC上，且，.如果对于常数，在正方形ABCD的四条边上（不含顶点）有且只有6个不同的点P，使得成立，那么的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】以为轴，以为轴建立平面直角坐标系，由点在不同的边上求出的表达式，分类讨论利用向量数量积的坐标表示及二次函数的性质，得出有一解，有两解的情况，即可得的取值范围.
【详解】以为轴，以为轴建立平面直角坐标系，如图，
则， ，

若在上，设，，
则，，
∴，
∵，
∴．
∴当时有一解，当时有两解；
若在上，设，，
则，，
∴，
∵，
∴，
当或，有一解，当时有两解；
若在上，设，，
则，，
∴，
∵，∴，
∴当时有一解，当时有两解；
④若在上，设，，
则，，
∴，
∵，∴，
∴当或时有一解，当时有两解；
综上，若在正方形ABCD的四条边上（不含顶点）有且只有6个不同的点P，则．
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法不正确的是（ ）
A. 若，则与的方向相同或者相反
B. 若，为非零向量，且，则与共线
C. 若，则存在唯一的实数使得
D. 若是两个单位向量，且，则
【答案】CD
【解析】
【分析】根据题意，结合零向量的性质，共线向量的概念，以及向量的线性运算法则，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，若，则与的方向相同或相反，所以A正确；
对于B中，由为非零向量，表示与方向相同的单位向量，表示与方向相同的单位相同，因为，所以与共线，所以B正确；
对于C中，当，且为非零向量时，此时不存在，所以C错误；
对于D中，由，可得，
所以，所以D错误．
故选：CD．
10. 如图，顺次连接正五边形的不相邻的顶点，得到五角星形状，则以下说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据正五边形的几何特征，结合数量积的运算，向量的加减运算对选项进行逐项判断即可.
【详解】由正五边形的对称性可得，每个正五边形的内角为，
对于A，在中，，
则，进而，
所以，同理可得，故四边形是平行四边形，
所以，故A正确；
对于B，由对称性可得，且，
所以，故B正确；
对于C，假设，因为，所以，
由对称性可得，所以，得是等边三角形，
则，所以，故C不正确.
对于D，要证，即证四边形平行四边形，
因为五边形为正五边形，所以，
因为在中，，所以，
，进而，
所以，同理可得，故四边形是平行四边形，
故D正确.
故选：ABD.
11. （多选题）设函数，若的图象与直线在上有且仅有1个交点，则下列说法正确的是（ ）
A. 的取值范围是
B. 在上有且仅有2个零点
C. 若的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，则
D. 若将图象上各点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，则在上单调递增
【答案】AC
【解析】
【分析】先由诱导公式化简得到，再由三角函数的图象与性质依次判定.
【详解】，
因为的图象与直线在上有且仅有1个交点，
且，结合正弦函数的图象：

所以，
解得：，故A选项正确；
由图可知，在上可能有2个、3个、4个零点，故B选项错误；
的图象向右平移个单位长度得到，
则，解得，
因为，所以，故C选项正确；
，
则
因为，所以，
因为，故在上不一定单调递增，D选项错误；
故选：AC.
【点睛】方法点睛：已知函数图象有交点，可用数形结合法：在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 如图，动点、从点出发沿圆周运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，则、第一次相遇时点走过的弧长为_______.
【答案】
【解析】
【分析】设、第一次相遇时所用的时间是秒，则，求出的值，从而可求出点走过的弧长
【详解】设、第一次相遇时所用的时间是秒，
则，
∴，
则点走过的弧长为.
故答案为：
【点睛】此题考查有关弧长的计算，属于基础题
13. 设向量、满足，，且、的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】由与的数量积小于0且不共线即可求得实数的取值范围.
【详解】解：向量、满足，，且、的夹角为，
故.
因为与向量的夹角为钝角，
所以且向量与向量不共线，
所以且，
解之得：且，
故实数的取值范围为.
故答案为：.
14. 已知向量满足与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，根据向量减法的模的几何意义求得最小值.
【详解】如图，设，
当时，取得最小值，
过B作，即取得最小值为，
因为与的夹角为，
所以，
所以．
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 计算求值：
（1）已知、均为锐角，，，求的值
（2）计算的值
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平方和公式和三角函数的和差公式即可得答案.
（2）根据诱导公式、二倍角公式、辅助角公式即可得答案.
【小问1详解】
、均为锐角，则，
所以，
，
所以
.
【小问2详解】
.
16. 已知，的夹角为，且，，设，.
（1）若，求实数的取值；
（2）时，求与的夹角；
（3）是否存在实数，使得，若存在，求出实数.
【答案】（1）；
（2）；
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）由列式求得值；
（2）分别求出、、的值，代入夹角公式求解即可；
（3）利用共线向量定理列式求解即可.
【小问1详解】
解：，的夹角为，且，，
.
由，得
，解得；
小问2详解】
解：由（1）可知且，，
当时，，
，
.
所以.
所以与的夹角为；
【小问3详解】
解：由，得，
即，解得
所以存在实数，使得.
17. 已知m>0，n>0，如图，在中，点M，N满足，，D是线段BC上一点，，点E为AD的中点，且M，N，E三点共线．
（1）若点O满足，证明：．
（2）求的最小值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】(1)根据向量的线性运算法则，利用依次表示，再结合向量共线定理证明即可；
(2)由(1) ，结合结论可得，再利用基本不等式求的最小值．
【小问1详解】
由题可知，
因为点E为AD的中点，所以．
由，则，即，
，
又
所以，又三点不共线，
所以．
【小问2详解】
因为M，N，E三点共线，
所以可设，又，，
所以
又，
所以，
所以，
所以，
当且仅当，时，等号成立．所以的最小值是．
18. 设函数
（1）求函数的最小正周期；
（2）若不等式对任意时恒成立，求实数应满足的条件；
（3）将函数的图象向右平移个单位，然后保持图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象，若存在非零常数，对任意，有成立．求实数的取值范围
【答案】（1）；
（2）；
（3）时，(，且)，时，.
【解析】
【分析】（1）根据三角恒等变换化简，利用周期公式求解即可；
（2）由三角恒等变换化简，换元，分离参数后求函数最值即可得解；
（3）由三角函数图象变换可得，根据确定，再由周期及诱导公式求解即可.
【小问1详解】
;
【小问2详解】
令，
∴，，
，
令，
∴，
解得：；
【小问3详解】
，
的图象向右平移个单位，横坐标变为原来的可得，
，,
∴，
当时，，即
∴，
∴(，且).
当时，,
由诱导公式可得，即,
综上，当时，(，且)；当时，.
19. 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴、y轴同方向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做在斜坐标系中的坐标．
（1）若，求．
（2）若，求在上的投影向量斜坐标．
（3）若，，，求的最小值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由题可得，利用向量共线的条件即得；
（2）由题可知，进而可得，，然后利用投影向量为的概念即得；
（3）由题可得，然后利用向量夹角公式可得，再结合条件及函数的单调性即得.
【小问1详解】
∵，
∴，
∴，即；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，
，
，
∴在上的投影向量为，
即在上的投影向量斜坐标为；
【小问3详解】
∵，
∴，，
∴，
又，，
∴，，，
∴，
令，则，，
又，上单调递增，
∴，即的最小值为.