重庆市2023_2024学年高一数学下学期3月月考题含解析

这是一份重庆市2023_2024学年高一数学下学期3月月考题含解析，共20页。
1．作答前､考生务必将自己的学校､班级､姓名､准考证号填写在答题卡的规定位置上．
2．作答时､务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存．试卷满分150分，考试时长120分钟．
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在中，角的对边分别为，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据余弦定理得到，求出答案.
【详解】，又，
解得.
故选：B
2. 已知向量满足：，则（）
A. 1B. 3C. D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】根据数量积的运算律，结合模长公式求解即可.
【详解】由
由，得，
所以，
故选：D．
3. 在中，角的对边分别为，若，则（）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由正弦定理求得，可得为等腰直角三角形，可求得.
【详解】由，得，即，
所以，则，则为等腰直角三角形，
所以，
故选：B．
4. 在中，动点P满足，则P点轨迹一定通过的（）
A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心
【答案】A
【解析】
【分析】由变形得，设的中点为，推出，点P在线段AB的中垂线上，再根据外心的性质可得答案.
【详解】因为，
所以，
所以，
设的中点为，则，则，
所以，所以点P在线段AB的中垂线上，故点P的轨迹过的外心.
故选：A
5. 在中，角的对边分别为，若，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据数量积运算先求出，再由正、余弦定理求解.
【详解】，所以，
则，即，
由正弦定理，.
故选:．
6. 键线式可以直观地描述有机物的结构，在有机化学中广泛使用．有机物“萘”可以用下左图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为下右图所示的图形．已知与为全等的正六边形．若点为右边正六边形的边界（包括顶点）上的动点，且向量，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由“等和线定理”结合图形分析得解.
【详解】由平面向量共线定理可得，，，则三点共线的充要条件是.
下面先证明“等和线定理”，
如图，设，，
因为三点共线，所以存在，使得.
，
，，则.
由“等和线定理”结合图形可知：当点在上时，易得，
当点在上时，易得，
当点在上时，易得，
当点在上时，易得，
当点在上时，易得，
当点在上时，易得，
综上，可得.
故选：C．
7. 在中，角的对边分别为，若，又的面积，且，则（）
A. 64B. 84C. -69D. -89
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式整理可求得关系，再由三角形面积公式和余弦定理求得三边，再由数量积运算得到结果
【详解】解法一：由，得，
则，
即，即，
又，即；
又，得；
综上．
则，即．
由，
平方知
所以.
解法二：
.
故选：．
8. 已知向量满足：为单位向量，且和相互垂直，又对任意不等式恒成立，若，则的最小值为（）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知由向量垂直可得模，再由不等式恒成立，结合图象可得，从而可得，接下来方法一，直接对进行平方化简，由二次函数最值可解；方法二，由三点共线基本定理，结合三角形面积公式和余弦定理可解.
【详解】和相互垂直，
则，则，
结合图象，，
则 ，
因为恒成立，则，
即，则，
法（一）：
对称轴时：
，即
法（二）：，因为，
所以向量的终点共线（起点重合），
则的面积，
，所以.
故选:．
【点睛】关键点点睛：数形结合发现，，则 ，因为恒成立，则.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 关于同一平面内的任意三个向量，下列四种说法错误的有（）
A.
B. 若，且，则
C. 若，则或
D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】对A，根据向量的数量积不满足结合律可判断，对B，若，则不一定成立，对C，根据向量及向量模的概念可判断，对D，由向量模的三角公式可判断.
【详解】对于A：因为向量的数量积不满足结合律，故选项A错误；
对于B：若，则不一定成立，故选项B错误；
对于C：，但是与不一定是共线同向或反向，故选项C错误；
对于D：，故选项D正确；
故选：ABC．
10. 在中，角的对边分别为，且已知，则（）
A. 若，且有两解，则的取值范围是
B. 若，且恰有一解，则的取值范围是
C. 若，且为钝角三角形，则的取值范围是
D. 若，且为锐角三角形，则的取值范围是
【答案】AD
【解析】
【分析】根据三角形的构成，结合正弦、余弦定理可判断三角形有几个解和特殊三角形所要满足的条件.
【详解】选项：由正弦定理，，
且，则，选项正确；
选项：①，则；
②且，则
综上或，选项错误；
选项：①为最大边：，且，此时；
②为最大边：，且，此时，选项错误；
选项：，且，所以，选项正确；
故选；．
11. 在等腰中，已知，若分别为的垂心､外心､重心和内心，则下列四种说法正确的有（）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据三角形各心的性质结合向量的加减法则即可求得.
【详解】A选项：为垂心，为高线的交点，则，选项A正确．
B选项：，选项B正确；
C选项：，选项C正确；
D选项：，选项D错误；
故选：ABC
12. 在锐角中，已知角的对边分别为，且，，则下列说法正确的是有（）
A. 的外接圆的周长为
B. 周长的取值范围为
C. 的面积的取值范围为
D. 的内切圆的半径的取值范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】将条件式利用正弦定理和三角恒等变换求得，，对A，由正弦定理求解判断；对B，利用正弦定理边化角并结合角的范围求解；对C，利用三角形面积公式结合正弦定理边化角并结合角的范围求解；对D，由内切圆，结合余弦定理，可得，结合B选项求解判断.
【详解】由，得到，得到，
由，得到，则，得到.
因为为锐角三角形，则，且，得
对于A选项：，即，外接圆周长为，故选项A错误；
对于B选项：周长
，
，，
，则，
所以周长的取值范围为.故选项B正确；
对于C选项：的面积
，
，，
，.故选项C正确；
对于D选项：，得，
因为内切圆，则，
由选项B，知，
，故选项D正确；
故选：BCD．
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知平面向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________．
【答案】且
【解析】
【分析】因夹角为锐角可知数量积大于0，但要去掉夹角为0的情况.
【详解】由题意知，得，
当时，，得
故答案为：且
14. 抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”，位于重庆市渝中区解放碑商业步行街中心地带，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．如图：在解放碑的水平地面上的点处测得其顶点的仰角为､点处测得其顶点的仰角为，若米，且，则解放碑的高度__________米．
【答案】##
【解析】
【分析】设，由直角三角形三角函数定义可得，再在中利用余弦定理可解.
【详解】设，则，
在中：，则
得到米.
故答案为：
15. 如图：在平行四边形中，为对角线与的交点，为直线与的交点，为直线与的交点，若，，且，则__________．
【答案】##
【解析】
【分析】取为基底表示向量，再利用数量积的定义及运算律计算即得.
【详解】在中，由，得，即，则，
由分别为的中点，得为的重心，
则，而，
所以
.
故答案为：
16. 在中，角所对的边分别为，已知，若为边上的中线，且，则的面积等于__________．
【答案】##
【解析】
【分析】将条件式，利用正弦定理角化边，再根据余弦定理求得，以为邻边做平行四边形，在中，利用余弦定理求得，所以，得解；方法二，设，在中由余弦定理得，又，由余弦定理可得，解得，后面同解法一.
【详解】由，得，
，
注意，得，得，
记，由，知，
如图，以为邻边做平行四边形，
在中：，即，
得，所以，
故答案为：．
法（2）：设，在中：①
因为，则，
由余弦定理可得，得②
联立①②知：，即，解得，后面同上．
故答案为：
四､解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分．解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
17. 已知向量．
（1）若向量，求向量与向量的夹角的大小；
（2）若向量，求向量在向量方向上的投影向量的坐标．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用共线向量的坐标表示求出，再利用向量夹角的坐标表示求解.
（2）利用向量垂直的坐标表示求出，再求出投影向量的坐标.
【小问1详解】
由，得，则，
，而，则，
所以向量与向量的夹角为.
【小问2详解】
由向量，得，解得，则，
所以向量在向量方向上的投影向量.
18. 在中，角的对边分别为，已知．
（1）求角的大小；
（2）若面积为，角的平分线与交于点，且，求边的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由两角和的正弦公式以及正弦定理可得，可得结果；
（2）由三角形面积公式利用可得，再由余弦定理即可求得.
【小问1详解】
由，得，
由正弦定理可得，
即；
因为，所以可得，又因为，
所以．
【小问2详解】
易知，所以；
如下图所示：
因为为角平分线，所以，
即，即
而，
所以．
19. 如图：在中，已知与交于点．
（1）用向量表示向量；
（2）过点作直线，分别交线段于点，设，若，，当取得最小值时，求模长．
【答案】（1）
（2）5
【解析】
【分析】（1）设，将向量分别用和表示，根据三点共线可求的值；；
（2）将向量用表示，由三点共线，可得，由基本不等式可解.
【小问1详解】
设，将代入，
得,因为三点共线，且三点共线，
所以，得
即．
【小问2详解】
，
则，因为三点共线，
则，即
当且仅当，即时取得等号．
此时
20. 在中，角的对边分别为，若，又以为边长的三个正三角形的面积分别为，且．
（1）求的面积：
（2）若，求的周长．
【答案】（1）；
（2）20.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角求出，利用三角形面积公式求出即可计算得解.
（2）利用正弦定理求出三角形外接圆半径，进而求出，再利用余弦定理求出得解.
【小问1详解】
在中，由及正弦定理，得，
而，则，解得，显然，
同理，依题意，，解得，
由余弦定理得，于是，
所以的面积.
【小问2详解】
由（1）知，，令的外接圆半径为，
于是，解得，则，
又，解得，
所以的周长.
21. 为改进城市旅游景观面貌､提高市民的生活幸福指数，城建部拟在以水源为圆心空地上，规划一个四边形形状的动植物园．如图：四边形内接于圆（注：圆的内接四边形的对角互补），为动物园区，为植物园区（为了方便植物园的植物浇水灌溉，水源必须在植物园区的内部或边界上）．又根据规划已知千米，千米．
（1）若，且，求边的长为多少千米？
（2）若线段千米，求动植物园的面积（即四边形的面积）的最小值为多少平方千米？
【答案】（1）
（2）8
【解析】
【分析】（1）在中，由余弦定理求出，在中利用正弦定理求解；
（2）设，在和中，利用余弦定理可得间的关系式，利用三角形面积公式结合三角函数二倍角公式化简可解.
【小问1详解】
，则
在中，，
即
在中，，
由正弦定理知：，即，
则千米；
【小问2详解】
设，则，则
在中：
在中：
则，得
所以
因为圆心在的内部或边界，所以，
则，所以．
【点睛】关键点点睛：第（2）问中，得到后，利用三角函数公式化简，并结合三角函数值域求最值.
22. 定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点．
（1）若向量的“伴随函数”为，求在的值域；
（2）若函数的“源向量”为，且以为圆心，为半径的圆内切于正（顶点恰好在轴的正半轴上），求证：为定值；
（3）在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）证明见解析（3）
【解析】
【分析】（1）根据“伴随函数”定义可得，可得值域；
（2）利用向量的坐标运算即可求得；
（3）由余弦定理并利用二次函数性质即可得的取值范围.
【小问1详解】
函数的“源向量”为，
所以，，
则，则当时，
则当时，，
所以函数值域为
【小问2详解】
因为，则，则，
又，所以），
且，从而，
，
则
；
因此可得为定值.
【小问3详解】
如下图所示：
函数的“源向量”为，
则，则
则
则又，
即，
所以，
因为，即，当且仅当时取等号，
又因为当顶点无限接近顶点，边无限接近0，即无限接近0，
综上所述，
令，则
从而，其中，
所以，
即的取值范围．