辽宁省营口市、辽阳市普通高中2025-2026学年高一下学期5月学情调研数学试题（含解析）

这是一份辽宁省营口市、辽阳市普通高中2025-2026学年高一下学期5月学情调研数学试题（含解析），共13页。
*注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置．考试结束后，将答题卡交回．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1. 若扇形的圆心角为，面积为，则其半径为（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据扇形的面积公式求解即可.
【详解】设扇形的半径为r，由，得r＝1．
2. ＝（ ）
A. －1B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】利用诱导公式求解.
【详解】．
故选：C．
3. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标表示计算即可得解.
【详解】由题得，
由，得，即，
由，得．
4. 设甲：，乙：，则甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分性、必要性及余弦函数的单调性求解.
【详解】对于充分性，因为在上单调递减，
且，所以，充分性成立；
对于必要性，取可知，但不满足，必要性不成立，
所以甲是乙的充分不必要条件.
5. 已知，则＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据两角和、差的正余弦公式化简求解即可.
【详解】因为，则，即，
因为，所以．
因为，则，即，
因为，所以．
所以．
6. 若函数在区间上单调递增，则a的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】，
当时，，
令，得，
所以在上单调递增，所以a的最大值为．
7. 如图为一个6×3的矩形网格，每个小格均是边长为1的正方形，图中A，B，C所处位置均为小格顶点，则＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据余弦定理，结合勾股定理及同角的三角函数关系求解即可.
【详解】由勾股定理可得，，，
由余弦定理得，
又，得，
故．
8. 已知平面向量满足，其中均为单位向量，则当取最小值时，的值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据，且均为单位向量，利用数量积的定义得到，，再利用平面向量的夹角范围得到的范围求解.
【详解】因为，且均为单位向量，
所以则，
，则，
因为，
所以，，
则，解得，
所以的最小值为2，
当的最小值为2时，．
故选：B．
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知平面向量满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 若＝5，则
B. 若，则
C. 若在上的投影向量为2，则
D. 若在上的投影向量为，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据模的平方运算可判断AB，根据投影向量的计算公式判断CD.
【详解】对于A，因为，
所以，即与同向，所以，故A正确；
对于B，，则，
所以，故B正确；
对于C，由题，则，
由，得，故C正确；
对于D，由题，则，
由得，D错误．
10. 已知函数的定义域为，则（ ）
A.
B.
C. 将图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的，得到函数的图象，则在区间上有且仅有2个零点
D. 将的图象向左平移个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到函数的图象，则在区间上有且仅有4个零点
【答案】ACD
【解析】
【详解】对于A，B，由，得，
可得，，故A正确，B错误；
对于C，，则，
由，得，则，
所以在区间上有且仅有2个零点，故C正确；
对于D，，
由，得，
则，得，
所以在区间上有且仅有4个零点，故D正确．
11. 记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则△ABC中（ ）
A. 必定存在两个内角之和等于B. 必定存在两个内角之差等于
C. 最小的内角必定不大于D. 最大的内角必定不小于
【答案】ACD
【解析】
【分析】由正弦定理对已知式进行边角互化，逆用二倍角公式，并利用两角和差的正弦公式进行和化积，可得到，根据内角和为，结合诱导公式进行分析可得，或为，由此判断A正确；取特值检验，可判断B；由A的结果可得C正确；利用反证法，由内角和为，可判断D.
【详解】由正弦定理得，
由二倍角公式得，即．
因为，
在△ABC中，，所以，
又C，所以，所以，
易知，则或．
若，则，得，；
若，得，得，.
故A正确；
若，，则三个内角分别为，两两之差分别为0，，不存在等于的情况，故B错误；
由A选项的分析可知，必有一个角为，所以最小内角，故C正确；
设最大内角为，若，则所有角均小于，
又其中一个角必为，则，与内角和定理矛盾，故，故D正确．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 在矩形ABCD中，，E为CD中点，则＝______．
【答案】6
【解析】
【分析】先求得在上的投影向量，再利用数量积的几何意义可得.
【详解】因为E为CD中点，
所以在上的投影向量为，
又，
所以．
13. 曲线与在区间上的交点个数为______．
【答案】2
【解析】
【分析】在同一坐标系中作出两曲线在区间上的图象，利用数形结合法求解.
【详解】列表：
在同一坐标系中作出与在区间上的图象，
如图所示：
由图象知；曲线与在区间上有2个交点．
14. 已知，则______．
【答案】##
【解析】
【详解】由，得，
即，设，则，
所以，解得，
因此，
所以.
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知向量，，．
（1）若与共线，求k；
（2）若，求．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据平面共线向量的坐标表示建立关于的方程，解之即可；
（2）根据平面向量的线性运算的坐标表示建立关于的方程组，解之即可.
【小问1详解】
由题得，
因为与共线，所以，解得．
【小问2详解】
，
则，解得．
16. 已知函数
（1）求；
（2）若，求的最小值；
（3）求函数的单调区间．
【答案】（1）
（2）
（3）单调递增区间为，单调递减区间为
【解析】
【分析】（1）由结合的范围求解即可；
（2）由可得，根据求解即可；
（3）利用三角恒等变换化简，再由正弦型函数的单调性求解.
【小问1详解】
由题得，
则，由，得，．
【小问2详解】
由（1）得，由，
得，则．
故的最小值为．
【小问3详解】
由，
得，
所以的单调递增区间为.
由，
得，
所以的单调递减区间为.
17. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求C
（2）若c＝6．
（Ⅰ）求△ABC周长的取值范围；
（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．
【答案】（1）
（2）（Ⅰ）（12，18]；（Ⅱ）．
【解析】
【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，化简可求得，从而求得.
（2）（Ⅰ）由正弦定理将的周长表示为的函数，利用正弦型函数的取值范围，可得周长的取值范围；（Ⅱ）根据余弦定理及基本不等式可得的最大值，从而求得面积的最大值．
【小问1详解】
因为，，
所以由正弦定理得，
，
则，由，得，所以，则．
【小问2详解】
（Ⅰ）由正弦定理得，，
所以，.
△ABC的周长，
由，得.
则，
所以的周长的取值范围为．
（Ⅱ）由余弦定理得，
所以，当且仅当时等号成立.
所以，
所以面积的最大值为．
18. 在锐角△ABC中，．
（1）证明：；
（2）求C；
（3）若△ABC的内切圆半径为．
（i）当△ABC的外接圆半径为时，求△ABC的周长；
（ii）求AB的最小值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）（i）18；（ii）6
【解析】
【分析】（1）根据两角和差的余弦公式计算即可证明；
（2）根据和差化积和两角和差的余弦公式证明，利用二倍角的余弦公式可得，进而求解即可；
（3）（i）根据正、余弦定理和三角形面积公式化简计算即可求解；（ii）根据完全平方公式和基本不等式化简计算即可求解.
【小问1详解】
csx+csy=csx+y+x−y2+csx+y−x−y2；
【小问2详解】
证明一个引理：．
cs2A+cs2B+cs2C=2cs2A+2B2cs2A−2B2+cs2A+B
=2csA+BcsA−B+2cs2A+B−1 =2csA+BcsA−B+csA+B−1 ，
所以sin2A+sin2B+sin2C=1−cs2A+1−cs2B+1−cs2C2=3−cs2A−cs2B−cs2C2
，
因为≠0，所以，又，所以．
【小问3详解】
不妨记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（i）由余弦定理得，
则ab=a2+b2−c2=a+b2−c2−2ab ，所以ab=a+b2−c23，
记△ABC内切圆的半径为r，
则SΔABC=12absinC=12ra+b+c，
所以r=absinCa+b+c=32⋅aba+b+c=36⋅a+b2−c2a+b+c=36a+b−c=3．
所以a+b−c=6 ，由正弦定理得，
故△ABC的周长．
（ii）由（i）得，
则c2=a2+b2−ab=a+b−62=a2+b2+2ab−12a−12b+36 ，
整理可得4a+4b=ab+12≤14a+b2+12 ，当且仅当时等号成立，
即a+b2−16a+b+48≥0 ，解得或，
又，所以，则c=a+b−6≥6 ，
故AB的最小值为6．
19. （1）求函数f（x）＝的最大值；
（2）证明：对任意实数a，x，；
（3）是否存在△ABC，使得？若存在，求出A，B；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）3；（2）证明见解析；（3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用两角和公式展开并合并同类项，再通过辅助角公式将其化简为余弦型函数来求解最值；
（2）提取含有变量的项构造辅助角形式以分离变量，随后利用换元法将原式转化为关于单变量的二次函数，通过求该二次函数的最大值来完成不等式证明；
（3）直接套用第（2）问取得最大值4时必须同时满足的两个“取等条件”建立方程组，求解后发现算出的角度不符合三角形内角和定理的范围限制，从而证明不存在.
【详解】（1），
因为对任意实数x，恒有，当且仅当时取等，
所以的最大值为3．
（2）令T
设
，
所以
其中，，
因为对任意实数x，恒成立，
所以．因为，
所以，，则，
设，
当时，取得最大值4，此时，
所以，原不等式得证．
（3）不存在．
假设存在满足条件的，使得，
由（2）可知，若要取得最大值4，必须同时满足两个取等条件：
①，此时；②．
对于①，因为，所以，
代入（2），此时，则，
，故可取．
对于②，，因为，所以，
则，此时无解，故条件②无法成立，
所以不存在满足条件的．
x
0
0
0
3