辽宁营口市高级中学等校2025-2026学年高二下学期4月学情调研数学试题（含解析）

这是一份辽宁营口市高级中学等校2025-2026学年高二下学期4月学情调研数学试题（含解析），共31页。
*注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置．考试结束后，将答题卡交回．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1. 5与的等比中项为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】设5与的等比中项为，
，解得．
2. 为了考察某种营养液对有机蔬菜的增产效果，某研究所进行试验，获得数据，经过计算得到，其中，那么可以认为该营养液对有机蔬菜的增产有效果的把握为（ ）
A. 以上B. 以上C. 以上D. 以下
【答案】B
【解析】
【分析】根据独性检验的相关概念可得答案.
【详解】因为，所以认为该营养液对有机蔬菜的增产有效果的把握为以上．
故选：B.
3. 已知公差为9的等差数列的项数为偶数，其所有奇数项之和为200，所有偶数项之和为380，则数列的项数为（ ）
A. 20B. 40C. 60D. 80
【答案】B
【解析】
【分析】设等差数列共项，由偶数项之和与奇数项之和的差为可得答案.
【详解】设等差数列共项，则奇数项有项，偶数项有项，且各成等差数列，
所有偶数项之和为，所有奇数项之和为，
则，所以20，则．
4. 已知变量x，y之间具有线性相关关系，根据10对样本数据求得经验回归方程为．若，，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意求得样本中心，代入回归直线方程，即可求解.
【详解】因为，，所以，，
因为，且过点，所以，解得.
5. 已知正项数列是公比不为1的等比数列，，则（ ）
A. 8B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】已知正项数列是公比不为1的等比数列，设的公比为，则，
由，得，则，即，
，解得．
6. 已知数列中，，则数列的前2026项和为（ ）
A. 4052B. 4054C. 2026D. 2027
【答案】D
【解析】
【详解】依题意有，
，所以数列是周期为4的周期数列，
且，因为，
所以．
7. 我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则冬至所对的晷长为（ ）
A. 11.5尺B. 13.5尺C. 12.5尺D. 14.5尺
【答案】B
【解析】
【分析】设相邻两个节气晷长减少或增加的量为，冬至的晷长为尺，根据题意，结合等差数列的性质，列出方程组求解即得.
【详解】设相邻两个节气晷长减少或增加的量为，
则立冬到冬至晷长增加，冬至到雨水晷长减少4，设冬至的晷长为尺，
则，解得，则冬至所对的晷长为13.5尺.
故选：B.
8. 如图的列联表中，定义，易知越大越有利于结论“与有关系”.若当值大于常数时，有的把握认为与有关系，那么的值为（ ）
(已知，其中，)
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据以及即可求解.
【详解】当有的把握认为与有关系，则，故，
此时临界条件为，此时对应的刚好为，
即此时,即，
故，则，
故，
故选：A
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 给出下列实际问题，其中用独立性检验可以解决的问题有（ ）
A. 长寿是否与经常运动有关系
B. 吸烟者得肺病的概率
C. 吸烟是否与患肺癌有关系
D. 某同学的数学成绩与物理成绩是否有关系
【答案】AC
【解析】
【详解】独立性检验是判断两个分类变量是否有关系的方法，
A.长寿和经常运动是两个分类变量，独立性检验可以判断两者是否有关系，故A正确；
B.吸烟者得肺病的概率是单一变量的概率计算问题，故B错误；
C.吸烟和患肺癌是两个分类变量，独立性检验可以判断二者是否有关系，故C正确；
D.某同学的数学成绩和物理成绩是两个定量，不适用于独立性检验，故D错误.
10. 某市气象部门对本市的温度（单位：℃）与相对湿度进行研究，记录了五组数据如表所示：
已知与线性相关，根据表中的数据计算得经验回归方程为，则（ ）
A. 与负相关
B. 经验回归直线一定经过点
C. 当温度为10℃时，相对湿度大约为87.2%
D. 样本相关系数
【答案】AC
【解析】
【详解】A.由表格可知，温度越小，越大，所以与负相关，故A正确；
B.，，所以经验回归直线一定经过点，故B错误；
C.，得，所以，当时，，
所以当温度为时，相对湿度大约为，故C正确；
D.因为与负相关，所以样本相关系数，故D错误.
11. 设正项等比数列的公比为，前项和为，前项的积为，并且满足，，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 的最大值为D. 没有最大值
【答案】CD
【解析】
【分析】分析得到，当时，，当时，，从而判断选项即可．
【详解】A选项，，若，则对任意的，都有，
则，不合要求，A错误；
BC选项，若，则，与矛盾，不合要求，
当时，，又，
所以，即，
又，故满足要求，
则，故B错误；
故当时，，当时，，
故有最大值，最大值为， C正确；
D选项，等比数列前项和，
因为，所以当时，，即，
故没有最大值，D正确.
故选：CD
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知数列为递减的等比数列，且，则公比___________．
【答案】##
【解析】
【分析】先根据等比数列的性质联立方程组，求出与的值，再结合数列的单调性确定与的具体取值，最后根据等比数列通项公式求出公比q即可.
【详解】因为为等比数列，且，所以，
又因为，则联立方程组得a3⋅a5=16a3+a5=10，
解得a3=2，a5=8或，
因为递减，所以a3=8，a5=2，且，
所以，则或（舍）．
故．
13. 某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重（单位：克）与心率（单位：次/分钟）的对应数据．根据生物学常识和散点图得出与近似满足（为参数）．令，，计算得，．由最小二乘法得经验回归方程为，则的值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】经验回归直线必过样本点的中心，代入计算即可.
【详解】经验回归方程 将，代入经验回归方程，得，
解得，
由已知，，，
所以．
故答案为：.
14. 已知等差数列的各项均为正数，记其前项和为，若数列是等差数列，且与的公差相等，则___________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据等差数列通项公式以及的关系式可得或，分别验证计算可得.
【详解】设等差数列的公差为，则等差数列的公差也为，
设，则，
当时，，
当时，，
因为需满足，
即，故，所以，
因为数列的公差为，
所以，解得或，
若，则，与等差数列各项均为正数不符，舍去；
若，则，对任意的，符合题意，
故．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 设为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列的基本量运算列方程求出首项与公差即得其通项公式；
（2）先求出数列的通项，裂项后求和即得.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
由条件可知，
解得，，
所以的通项公式为．
【小问2详解】
因为，
所以数列的前项和为.
16. 已知椭圆的离心率为，右顶点为，左焦点为，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）点在椭圆上，且点在第一象限内，直线，过点且平行于的直线交轴于点，直线交轴于点，点为线段的中点，求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用离心率和的几何意义，结合椭圆中的基本关系，联立方程组即可求出，进而得到椭圆方程；
（2）法一：先通过直线和的方程求得点和的坐标，再借助两点间距离公式得到，再由条件为线段的中点即可得结论;
法二：先通过直线和的方程求得点和的坐标，再由条件为线段的中点得到点的坐标，最后得出即可得结论.
【小问1详解】
由题意，解得．
所以椭圆的方程为．
【小问2详解】
依题意，，因为点是椭圆上一点，可得，且，
直线的斜率，直线的方程为，
令，得．
直线的斜率为，直线方程为，
令，得．
法一：因为，
，
所以，所以三角形为等腰三角形，因为点为底边的中点，
所以．
法二：点为线段的中点，，所以，
所以，
，所以，所以．
17. 某电商平台销售、两款同一价位的智能产品，近个月的销售情况如下：
已知可用线性回归模型拟合与的关系．
（1）根据表中数据求与的线性回归方程；
（2）根据（1）中所求的方程，预测年月份该平台这两款智能产品的销售总量；
（3）已知该电商平台购进、两款智能产品的数量之比为，平台声明销售时、两款智能产品会随机发货．现一客户购买了件该产品，记表示购买的件产品中款的数量，求的分布列和数学期望．
附：线性回归方程的斜率与截距的最小二乘估计公式分别为：，.
【答案】（1）
（2）万件
（3）分布列为
数学期望为【解析】
【分析】（1）求出、的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，可求出回归直线方程；
（2）将代入回归直线方程，可得出结果；
（3）分析可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的期望公式可得出的值.
【小问1详解】
，，
，
，
所以，，
故与的线性回归方程为．
【小问2详解】
当时，，
故预测年月份该平台这两款智能产品的销售总量为万件．
【小问3详解】
因为、两款智能产品的数量之比为，所以任选一件产品是款的概率为，
由题意可知，，的可能取值分别为、、、、，
则，，
，，
，
所以的分布列为
由二项分布的期望公式可得.
18. 设是数列的前n项和，已知，．
（1）证明：是等比数列；
（2）若，求数列的前n项和；
（3）记，若不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）通过作差法得到，再通过配凑即可求证；
（2）由（1）确定通项公式，再结合错位相减法和等差数列求和公式即可求解；
（3）通过分参得到，构造，通过作差法判断单调性，确定最大值，即可求解.
【小问1详解】
已知，
当时，，
两式相减得： ，
整理得： ，，
当时，，
，满足，
又， 因此是首项为1，公比为2的等比数列，得证；
【小问2详解】
由(1)得，
因此： ，
设前项和为，
则，
，
两式相减得：，
即，
又数列前项和为，
因此；
【小问3详解】
由得：，因此，
化简不等式左边： ，，
因此，
不等式恒成立，
等价于对任意恒成立，
设
则 ，
当，，
即时，；
当时，，
因此的最大值为​，故，
即的取值范围为.
19. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局结果相互独立．比赛计分规则如下：
若一方以或获胜，则胜者得3分，败者得0分；
若一方以获胜，则胜者得2分，败者得1分．
（1）求甲获得3分的概率；
（2）若，设甲的总得分为随机变量，求的分布列和数学期望；
（3）已知甲在比赛中的总得分的分布列由决定．定义意外指数为．
①求的表达式，并比较和的大小关系；
②求在上的最大值及取得最大值时的值．
【答案】（1）；
（2）随机变量的分布列为：
；
（3）①；②当时，取得最大值.
【解析】
【分析】（1）甲获得3分，有和获胜两种情况，根据事件的相互独立性和互斥事件的加法即可求解；
（2）先确定随机变量的所有可能取值，再分别计算每个取值的概率，列出分布列，最后根据数学期望的公式计算；
（3）①先求出的表达式，再得到的表达式，即可比较大小；
②通过换元，令，结合二次函数的图像性质及复合函数的单调性，即可求解.
【小问1详解】
根据题意，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局结果相互独立．
所以甲以获胜的概率为，
甲以获胜的概率为，
所以甲获得3分的概率为；
【小问2详解】
由题意可知，随机变量为甲的总得分，其所有可能取值为、、、，
若，即甲、乙获胜的概率都是，
所以，，
，，
所以随机变量的分布列为：
所以；
【小问3详解】
①由题意，，，
所以
，
则，
所以；
②由①可得，，
令，，
因为，可得恒成立，所以单调递增，
又当时，取得最大值，即，
所以，
即当时，取得最大值.
总计
总计
温度
28
25
22
19
16
相对湿度
41
48
62
65
70
月份
年月
年月
年月
年月
年月
月份代号
销售总量（万件）