河北省保定市唐县河北省唐县第一中学2024-2025学年高一下学期5月期中考试 数学试题

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12．
13．
14．
15．【详解】（1）由频率分布直方图面积和为1可得，
解得，
高中生的平均数为，
因为前三组的频率之和为，
所以中位数在组，
设中位数为，则，解得，
所以中位数为.
（2）、、的频率之比为，
共抽10名，则的学生中应抽取名.
（3）由（2）可知，抽3人，设人分别为
则抽取人，2人分别为，
设事件表示抽取的2名学生来自同一组学生，
总情况数有
10种，
2名学生来自同一组学生的情况由4种，
则.
16．
【详解】（1）由及正弦定理可得，
即，
即，
即，
因为为锐角，故，可得，由正弦定理得，故.
（2）因为，则，故，
所以，
即，即①，
由余弦定理可得，即②，
联立①②可得，，故，
因此，.
17．
【详解】
（1）取的中点为，连接.
因为，，则，
而，故.
在正方形中，因为，故，故，
因为，故，故为直角三角形且，
因为，故平面，
因为平面，故平面平面.
（2）在平面内，过作，交于，则，
结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标系.
则，故.
设平面的法向量，
则即，取，则，
故.
而平面的法向量为，故.
二面角的平面角为锐角，故其余弦值为.
18．
【详解】（1）由椭圆方程可知，，，，
∴，，
故椭圆的率心率．
（2）如图，
假设存在直线，满足．
当直线斜率不存在时，，不合题意，舍去；
当直线斜率存在时，设直线的方程为，
联立，化简得．
由题意易知恒成立．
设直线与椭圆的两个交点为，，
根据韦达定理得，，
则
，
∴，即直线：，化简得．
综上可知，存在直线：，满足．
19．【详解】试题分析：本题第（1）问，证明等比数列，可利用等比数列的定义来证明，之后利用等比数列，求出其通项公式；对第（2）问，可先由第（1）问求出，然后转化为等比数列求和，放缩法证明不等式.
试题解析：（1）证明：由得，所以，所以是等比数列，首项为，公比为3，所以，解得.
（2）由（1）知：，所以，
因为当时，，所以，于是=，
所以.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
A
B
D
A
B
A
BC
AD
题号
11









答案
AC