广东深圳中学2025-2026学年第二学期期中考试试题高二数学（含解析）

这是一份广东深圳中学2025-2026学年第二学期期中考试试题高二数学（含解析），共13页。
考试时长：120分钟 卷面总分：150分
注意事项：答案写在答题卡指定的位置上，写在试题卷上无效.选择题作答必须用2B铅笔.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若，则（ ）
A. B. 3C. 6D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用导数的定义直接求解.
【详解】依题意，.
故选：C
2. 函数在区间内有定义且可导，，则是函数在处取极值的（）
A. 充分不必要条件B. 不能判断C. 充要条件D. 必要不充分条件
【答案】D
【解析】
【分析】结合反例在处的情况，利用极值点的定义和充要条件的判断方法即可判断.
【详解】若函数在处取极值，且在处可导，则必有，
即：在处取极值可以推出，
反之，若，函数不一定在处取极值，
例如：，在处，但不是极值点（函数在上单调递增），
即：不能推出在处取极值
是函数在处取极值的必要不充分条件.
3. 函数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令得，，进而转化为的最小值问题，再结合基本不等式求解即可.
【详解】令，，则，，
所以f(x)=4x2−72−x=42−t2−7t=4t2−16t+9t=4t+9t−16 ，
当且仅当，即时等号成立，
因为t=32∈1,2，所以，当且仅当时等号成立，
所以函数的最小值为.
4. 若在上是减函数，则b的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意知在上恒成立，进而转化为b≤xx+2在上恒成立，再求在的值域即可求得答案.
【详解】由题意知，
因为在上是减函数，
所以在上恒成立，
因为，
所以b≤xx+2在上恒成立，
因为y=xx+2=x+12−1>−1 在上恒成立，
所以，即b的取值范围是
5. 设，，，…，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由，则，，
，，，
即.
6. 甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和4个红球，丙袋中有4个白球和4个红球．先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球，第一次取出的球是红球的概率（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据取到甲、乙、丙袋分三种情况结合条件概率求解.
【详解】设第一次取到红球为事件，取到甲、乙、丙袋为事件,
由条件概率公式可得
,
故选:C.
7. 已知三次函数在处取得极值，则（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意得f'1=3+2a+b=0f1=1+a+b+ab=−8，解方程并检验极值点得，即可得答案
【详解】由题意知：，，
因为三次函数在处取得极值，
所以f'1=3+2a+b=0f1=1+a+b+ab=−8，即b=−2a−3a+b+ab+9=0，
所以，整理得，解得或，
当时，，此时，函数在上单调递增，无极值，舍去；
当时，，此时，
令得或，
所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以，函数在处取得极小值，满足题意.
综上，，，
8. 已知函数f (x)=f (),且当时，f (x)=x+sinx,设a=f (1),b=f (2),c=f (3),则
A. a1 ，
只需lnt>3t−1t+3,t>1 ，只需lnt−3t−1t+3>0,t>1
令gt=lnt−3t−1t+3,t>1 ，
则g't=1t−3t+3−3t−1t+32=1t−12t+32=t−32tt+32≥0 在上恒成立，
所以函数在上单调递增，
所以，即lnt−3t−1t+3>0,t>1 恒成立，
所以恒成立，即成立，D选项正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 袋中有除颜色外完全相同的5个球，其中3个红球和2个白球．现从袋中不放回地连续取两个．已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为________．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】依题意第一次取得红球可得袋中还有2个红球和2个白球，从而求出取得白球的概率.
【详解】第一次取得红球，此时袋中还有2个红球和2个白球，现从中随机取出一个球，则取得白球的概率，
故已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为.
13. 若曲线与有一条斜率为2的公切线，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据导数的几何意义以及切线方程的求解方法求解.
【详解】设公切线在曲线与上的切点分别为，
由可得，所以，解得，
所以,则，
所以切线方程为，
又由，可得，所以，即，
所以，
又因为切点，也即在切线上，
所以，解得，
所以.
故答案为: .
14. 如图，一块边长为的正方形铁片上有四块全等的阴影部分．将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形拼凑成一个正四棱锥形容器（不考虑铁片的损耗），则该容器容积（忽略铁片的厚度）最大时，容器的底面边长为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥，结合图形，求出其高，即可得出体积函数，利用导数判断单调性，求得极值即可得出结果.
【详解】由题意及正四棱锥的性质可知，作平面于，
设该容器的底面边长为cm（），根据题意，由图可知四棱锥的斜高为
所以，该容器的高为cm，
设该容器的容积为，则.
设函数（），得.
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
则fxmax=f26，所以Vxmax=V26=83.
所以，该容器容积（忽略铁片的厚度）最大时，容器的底面边长为
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知随机变量，满足，的分布列如下表：
（1）求的分布列；
（2）求的期望和方差．
【答案】（1）
（2），【解析】
【小问1详解】
由，
则时，，时，，时，，
所以的分布列为：
【小问2详解】的期望为，
方差为.
16. 已知函数.
（1）求在处的切线方程；
（2）当，求的最值.
【答案】（1）
（2）最大值为；最小值为.
【解析】
【分析】（1）求出的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；
（2）利用导数判断出函数在上的单调性，再利用单调性结合给定区间求出的最值.
【小问1详解】
依题意，，则，
又，即切点坐标为，
故所求切线方程为：，即.
【小问2详解】
由.
令，得.
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，
故是的极小值，也是最小值.
又，
而，即.
故在区间上的最大值为，最小值为.
17. 已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）若有三个零点，求的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；
（2）依题意只需满足，解得即可.
【小问1详解】
函数的定义域为，
且
令，解得或，则函数在上单调递增；
令，解得，则函数在上单调递减，
所以函数单调递增区间为，单调递减区间为.
【小问2详解】
由（1）知函数在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
则，，
且当时，，当时，，
要使得函数有三个零点，则需满足，
解得，
综上可得，实数的取值范围.
18. 根据社会人口学研究发现，一个家庭有个孩子的概率模型为：
（其中）
每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为，且相互独立，事件表示一个家庭有个孩子，事件B表示一个家庭的男孩比女孩多（若一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多）.
（1）若，求，并根据全概率公式求；
（2）是否存在值，使得，请说明理由.
【答案】（1），
（2）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由概率之和为1列出方程，求出，计算出，然后利用全概率公式可求得结果，
（2）假设存在，使，由于，两式相乘后得，设，利用导数可求出其最小值进行判断.
【小问1详解】
当时，，
则，解得.
由题意，得.
由全概率公式，得
又，所以.
【小问2详解】
由，得.
假设存在，使.
将上述两式相乘，得，
化简，得.
设，则.
由，得，由，得，
则在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，
所以不存在使得.即不存在值，使得.
关键点点睛：此题考查全概率公式的应用，考查离散型随机变量的分布列，考查导数的应用，第（2）问解题的关键是根据概率和为1，和期望公式列方程，化简后利用导数解决，考查数学计算能力，属于较难题.
19. 已知函数．
（1）当时，证明：在内存在唯一极大值点，其中；
（2）当时，，求a的取值范围；
（3）在（1）的条件下，证明：．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求导，令，再研究函数的单调性得在上单调递减，再结合零点的存在性定理即可证明；
（2）构造函数，故在上恒成立，再结合，分和两种情况讨论求解即可；
（3）结合（1）得，，先讨论时的情况，令，则，即可证明，进一步转化得，再结合，的单调性得，进一步转化为，再根据，即可证明，最后检验不等式成立即可.
【小问1详解】
证明：求导得，令，
则，
当时，，，
所以，即在上单调递减，
因为，，，，
所以，，
所以，由零点存在性定理得，存在唯一实数，使得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，在内存在唯一极大值点，证毕.
【小问2详解】
解：时，，即恒成立，
令，则，
令，则，
当时，，，，
所以，即在上单调递增，
因为，
所以，当，即时，在上恒成立，
故在上单调递增，则，即成立，满足题意；
当，即时，此时无论的取值为正或负，在区间均存在其子集，使得时，，函数单调递减，
故，与恒成立矛盾，不满足题意；
综上，，即a的取值范围为.
【小问3详解】
证明：由（1）得当时，在内存在唯一极大值点，，即，
令，则，
所以，
所以①，
特别地，当时，，且②，
由①②得，
所以，
下面先讨论时的情况，
因为，故，，
所以，，
令，，则在恒成立，
所以在上单调递增，
又，所以
由①②得，即
令，，则
令，
则在上恒成立，
所以在上单调递增，，
所以在上恒成立
所以在上单调递增，
所以，即
所以，
令，，
则
因为，，，，
所以在上恒成立，
所以在上单调递减，
又，所以，即在上恒成立
所以
因为，，
所以
所以，
即，
另一方面，当时，即证，成立，
因为，，
由在上恒成立可得：，即不等式成立.
综上，，.
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