广东深圳中学2024-2025学年第二学期期中考试试题高二数学（含解析）

这是一份广东深圳中学2024-2025学年第二学期期中考试试题高二数学（含解析），共8页。
考试时长：120分钟 卷面总分：150分
注意事项：答案写在答题卡指定的位置上，写在试题卷上无效.选择题作答必须用2B铅笔，修改时用橡皮擦干净.
一、单项选择题（每小题只有一个答案符合题意，共8小题，每小题5分，共40分）
1. 记函数的导函数为.若，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】求导，再令即可得解.
【详解】，
所以.
故选：D.
2. 甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为和，现已知目标被击中情况下，则甲击中目标的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】应用对立事件概率求法及全概率公式、条件概率公式求目标被击中情况下甲击中目标的概率.
【详解】根据题意，设甲击中目标为事件，乙击中目标为事件，目标被击中为事件，
则，
，
则目标是被甲击中的概率为
故选：D
3. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据原函数图象，利用原函数递增；原函数递减可判断结果．
【详解】由原函数图象可得，
当时，原函数单调递增，导函数恒为正值；
当时，函数在上是先减后增再减，其导数值的符号为负、正、负；
结合选项可得，只有A选项满足.
故选：A．
4. 已知曲线在点处的切线方程为，则实数的值为（ ）
A. 1B. 2C. 0D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出给定函数的导数，再利用导数的几何意义列式求解.
【详解】设点，由，求导得，
由曲线在点处的切线方程为，得,
所以.
5. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种
【答案】B
【解析】
【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解
【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，
故选：B
6. 甲乙两人进行羽毛球比赛，在前三局比赛中，甲胜2局，乙胜1局，规定先胜3局者取得最终胜利，已知甲在每局比赛中获胜的概率为，乙在每局比赛中获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，则甲取得最终胜利的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分类，利用相互独立事件概率乘法公式可得.
【详解】甲取得最后的胜利包含两种情况，一是第4局胜，此时甲胜的概率为；二是第4局负，第5局胜，此时甲胜的概率为，所以甲取得最终胜利的概率为.
故选：A.
7. 近期浙江大学、复旦大学、南京大学三所学校发布了2024年冬令营招生简章，现有甲、乙、丙、丁四位同学报名，每位同学只能选一所大学，每所大学至少有一名同学报名，且甲同学不报南京大学，则不同的报名方法共有（ ）
A. 16种B. 20种C. 24种D. 28种
【答案】C
【解析】
【分析】根据甲不报考南京大学，分为两类：第1类：甲单独报名一个学校，第2类，甲和其中一名同学报名一个学校，结合分类计数原理，即可求解.
【详解】由甲不报考南京大学，可分为两类：
第1类：甲单独报名一个学校，则有种不同的报考方法；
第2类，甲和其中一名同学报名一个学校，则有种不同的报考方法，由分类计数原理，可得共有12+12=24种不同的报考方法.
故选：C
8. 已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用偶函数定义及复合函数求导法则求出，确定函数的单调性，进而求出的范围.
【详解】由函数是上的偶函数，得，求导得，
由是偶函数，得，则，
解得，由函数在上都单调递减，得在上单调递减，
当时，，函数在上单调递减，
不等式，即，
解得，所以实数的取值范围是.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 若，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用赋值法即可逐一求解.
【详解】令，则，故A正确，
令可得，故，故B错误，
令可得，故，故C正确，
令可得，，故D错误，
故选：AC
10. 有甲、乙两个小组参加某项测试，甲组的合格率为，乙组的合格率为已知甲、乙两组的人数分别占这两组总人数的，从这两组组成的总体中任选一个人，用事件，分别表示选取的该人来自甲、乙组，事件B表示选取的该人测试合格，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用给定条件，利用条件概率公式及全概率公式求解判断.
【详解】依题意，，
对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，，D错误.
11. 若存在直线与曲线，都相切，则的值可以是（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用导数的几何意义建立方程，构造函数并利用导数求出最小值，进而求出的范围，再逐项判断即得.
【详解】设该直线与曲线相切于点，而，则，
该切线方程为，即，
设该直线与曲线相切于点，而，则，
因此，消去得，
令函数，求导得，
由，得或；由，得或，
函数在上单调递减，在上单调递增，
而，则对，，，解得，
对于A，，A是；
对于B，，B是；
对于C，，C不是；
对于D，，D是.
三、填空题（共3小题，每空5分，共15分）
12. 若，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用排列数和组合数的计算公式化简已知条件，由此求得的值.
【详解】由得，解得
故答案为：
本小题主要考查排列数和组合数的计算，属于基础题.
13. 若随机变量的分布列如下表，且，则的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】利用分布列求出，利用期望求解，然后求解方差即可．
【详解】解：由题意可得：，解得，
因为，所以：，解得．
．
．
故答案为：．
本题考查离散型随机变量的分布列、方差的求法，属于中档题.
14. 已知函数，其中. 若，使得函数在上单调递减，则的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】求出函数的导数，由分离参数构造函数，利用导数求出最大值并建立不等式，再分离参数并构造函数，利用导数求出最小值即可.
【详解】由函数，求导得，
由函数在上单调递减，得恒成立，
令函数，求导得，
而，由，得，
由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
因此，
，
令，函数，求导得，函数在上单调递增，
因此，由，使得函数在上单调递减，得，
所以的取值范围是.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值．
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）最大值与最小值分别为.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，再由导数的正负求出单调区间.
（2）由（1）的信息，结合给定的区间求出最值.
【小问1详解】
函数的定义域为R，求导得，
当时，或；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
【小问2详解】
由（1）得函数在上单调递减，在上单调递增，
而，因此，，
所以函数在上的最大值与最小值分别为.
16. 一个箱子中装有除颜色外其他都相同的个红球，个黑球，个绿球．
（1）若从箱子中任取两个球，求这两个球颜色不同的概率；
（2）若从箱子中任取个球，记取出的黑球的个数为随机变量，求的分布列与数学期望．
【答案】（1）；
（2）
.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用对立事件的概率公式，结合组合计数问题列式求解.
（2）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望.
【小问1详解】
从箱子中任取两个球的试验有个基本事件，两个球颜色不同的事件为，
其中事件有个基本事件，，
所以这两个球颜色不同的概率.
【小问2详解】
依题意，的可能取值有，
则，，，
所以随机变量的分布列为：
数学期望.
17. 已知函数．
（1）若函数在处取得极小值，求证：对任意，有恒成立；
（2）若函数有且仅有一个零点，求的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用极值点求出，再利用导数证明不等式。
（2）利用函数零点的意义，将问题转化为直线与函数图象有唯一交点问题，再借助导数求解.
【小问1详解】
函数的定义域为，求导得，
由函数在处取得极小值，
得，解得，，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，函数在处取得极小值，
因此，，，
所以对任意，有恒成立.
【小问2详解】
由，令函数，
由函数有且仅有一个零点，得直线与函数的图象只有一个交点，
求导得，由，得；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，，
又，且当时，，时，，
当从大于0的方向趋近于0时，，
因此当或时，直线与函数的图象只有一个交点，
所以的取值范围为.
18. 如图，在研究某种粒子的实验装置中，粒子从A室出发，到达室. 粒子从A室经过号门进入B室后，等可能的变为上旋或下旋状态；粒子从B室经过号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为．粒子间的旋转状态相互独立．现有两个粒子从A室出发．
（1）已知两个粒子通过1号门进入B室后，恰有1个上旋状态和1个下旋状态．求这两个粒子通过2号门进入C室后，仍然恰有1个上旋状态和1个下旋状态的概率；
（2）若两个粒子进入C室后，每个粒子再经过2号门返回B室的概率为，各粒子返回B室相互独立，求返回B室的粒子个数X的分布列、期望与方差；
（3）若实验装置出现故障，两个粒子进入C室后裂变成10个粒子，裂变后的每个粒子再经过号门返回B室的概率变为，各粒子返回B室相互独立．记有r个粒子返回B室的概率为，则r为何值时，取最大值．
【答案】（1）；
（2）
，；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用互斥事件及相互独立事件的概率公式列式计算.
（2）求出的可能值，利用二项分布求出分布列，进而求出期望、方差.
（3）利用二项分布概率最大问题列出不等式组求解.
【小问1详解】
设事件 “两个粒子通过2号门后仍然恰有1个上旋状态1个下旋状态”.
事件发生即通过2号门时，两个粒子都不改变或都改变旋转状态，
所以所求概率.
【小问2详解】
粒子个数的可能值为：，，
，
所以的分布列为：
数学期望；
方差.
【小问3详解】
的可能取值为，，
个粒子返回室的概率为，
则C10r(23)r⋅(13)10−r≥C10r−1(23)r−1⋅(13)11−rC10r(23)r⋅(13)10−r≥C10r+1(23)r+1⋅(13)9−r，
即10!r!(10−r)!⋅23≥10!(r−1)!(11−r)!⋅1310!r!(10−r)!⋅13≥10!(r+1)!(9−r)!⋅23，
整理得2(11−r)≥rr+1≥2(10−r)，解得，而，因此，
所以，当时，取最大值.
19. 已知函数有两个极值点，曲线上两点，连线的斜率记为．
（1）求实数m的取值范围；
（2）求证：；
（3）若盒子中有n个小球（除编号外无区别），将其分别编号为，且. 现有放回地随机抽取20个小球，记抽取的20个小球编号各不相同的概率为，求证：．
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，由有两个不等的正根求出的范围.
（2）利用斜率公式求出，结合韦达定理化简证明，再换元并利用导数推理得证.
（3）求出的表达式，利用导数证明不等式，再对的等式两边取对数，借助放缩法并求和，利用二次函数性质推理得证.
【小问1详解】
函数的定义域为，
求导得，
由函数有两个极值点，
得有两个不等的正根，
则Δ=4(1−m)2−4>0x1+x2=2(m−1)>0x1x2=1>0，解得，
所以实数的取值范围为.
【小问2详解】
依题意，
，
要证，只需证，即证，
不妨设，即证，
设，函数，
求导得，
因此函数在上单调递增，，
则成立，
所以.
【小问3详解】
依题意，，
令函数，
求导得，
函数在上单调递减，，
则当时，，
取，