2026届福州三校联盟高三（最后冲刺）数学试卷含解析

这是一份2026届福州三校联盟高三（最后冲刺）数学试卷含解析，共18页。试卷主要包含了下列函数中，值域为的偶函数是等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．对于函数，若满足，则称为函数的一对“线性对称点”．若实数与和与为函数的两对“线性对称点”，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．一袋中装有个红球和个黑球（除颜色外无区别），任取球，记其中黑球数为，则为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，棱长为的正方体中，为线段的中点，分别为线段和 棱 上任意一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知抛物线y2= 4x的焦点为F，抛物线上任意一点P，且PQ⊥y轴交y轴于点Q，则 的最小值为（ ）
A．B．C．lD．1
5．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（ ）
A．B．C．D．
6．下列函数中，值域为的偶函数是（ ）
A．B．C．D．
7．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为
A．B．C．D．
8．若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k的值是( )
A．1B．-3C．1或D．-3或
9．设是定义域为的偶函数，且在单调递增，，则（ ）
A．B．
C．D．
10．已知是边长为1的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）
A．B．C．D．
11．已知双曲线（）的渐近线方程为，则（ ）
A．B．C．D．
12．已知，满足，且的最大值是最小值的4倍，则的值是（ ）
A．4B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，在中，已知，为边的中点．若，垂足为，则的值为__．
14．若，则的最小值是______.
15．已知复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为_____．
16．过直线上一动点向圆引两条切线MA，MB，切点为A，B，若，则四边形MACB的最小面积的概率为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）等差数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）设，记为数列前项的和，若，求．
18．（12分）等差数列的公差为2, 分别等于等比数列的第2项，第3项，第4项.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若数列满足,求数列的前2020项的和．
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，.
（1）求证：平面；
（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
20．（12分）自湖北武汉爆发新型冠状病毒肺炎疫情以来，在以总书记为核心的党中央的正确领导和指挥下，全国各地纷纷驰援，湖北的疫情形势很快得到了控制，但是国际疫情越来越严重，医用口罩等物资存在很大缺口.某口罩生产厂家复工复产后，抢时生产口罩，以驰援国际社会，已知该企业前10天生产的口罩量如下表所示：
对上表的数据作初步处理，得到一些统计量的值：
（1）求表中m，n的值，并根据最小二乘法求出y关于x的线性回归方程（回归方程系数精确到0.1）；
（2）某同学认为更适宜作为y关于x的回归方程模型，并以此模型求得回归方程为.经调查，该企业第11天的产量为145.3万个，与（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？并说明理由.
附：，；
21．（12分）是数列的前项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列中最小的项.
22．（10分）如图，在矩形中，，，点分别是线段的中点，分别将沿折起，沿折起，使得重合于点，连结.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
根据已知有，可得，只需求出的最小值，根据
，利用基本不等式，得到的最小值，即可得出结论.
【详解】
依题意知，与为函数的“线性对称点”，
所以，
故（当且仅当时取等号）.
又与为函数的“线性对称点，
所以，
所以，
从而的最大值为.
故选:D.
【点睛】
本题以新定义为背景，考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式，理解新定义含义，正确求出的表达式是解题的关键，属于中档题.
2、A
【解析】
由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，进而可求得随机变量的数学期望值.
【详解】
由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
则，，，.
因此，随机变量的数学期望为.
故选：A.
【点睛】
本题考查随机变量数学期望的计算，考查计算能力，属于基础题.
3、D
【解析】
取中点，过作面，可得为等腰直角三角形，由，可得，当时， 最小，由 ，故，即可求解.
【详解】
取中点，过作面，如图：
则，故，
而对固定的点，当时， 最小．
此时由面，可知为等腰直角三角形，，
故.
故选：D
【点睛】
本题考查了空间几何体中的线面垂直、考查了学生的空间想象能力，属于中档题.
4、A
【解析】
设点，则点，，利用向量数量积的坐标运算可得，利用二次函数的性质可得最值.
【详解】
解：设点，则点，，
，
，
当时，取最小值，最小值为.
故选：A.
【点睛】
本题考查抛物线背景下的向量的坐标运算，考查学生的计算能力，是基础题.
5、C
【解析】
根据程序框图的运行，循环算出当时，结束运行，总结分析即可得出答案.
【详解】
由题可知，程序框图的运行结果为31，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，.
此时输出.
故选：C.
【点睛】
本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题.
6、C
【解析】
试题分析：A中，函数为偶函数，但，不满足条件；B中，函数为奇函数，不满足条件；C中，函数为偶函数且，满足条件；D中，函数为偶函数，但，不满足条件，故选C．
考点：1、函数的奇偶性；2、函数的值域．
7、B
【解析】
考点：程序框图．
分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求S的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案．
解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：
S i 是否继续循环
循环前 1 1/
第一圈3 2 是
第二圈7 3 是
第三圈15 4 是
第四圈31 5 否
故最后当i＜5时退出，
故选B．
8、D
【解析】
由题得，解方程即得k的值.
【详解】
由题得，解方程即得k=-3或.
故答案为：D
【点睛】
(1)本题主要考查点到直线的距离公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 点到直线的距离.
9、C
【解析】
根据偶函数的性质，比较即可.
【详解】
解：
显然，所以
是定义域为的偶函数，且在单调递增，
所以
故选：C
【点睛】
本题考查对数的运算及偶函数的性质，是基础题.
10、D
【解析】
设，，作为一个基底，表示向量，，，然后再用数量积公式求解.
【详解】
设，，
所以，，，
所以.
故选：D
【点睛】
本题主要考查平面向量的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
11、A
【解析】
根据双曲线方程（），确定焦点位置，再根据渐近线方程得到求解.
【详解】
因为双曲线（），
所以，又因为渐近线方程为，
所以，
所以.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
12、D
【解析】
试题分析：先画出可行域如图：由，得，由，得，当直线过点时，目标函数取得最大值，最大值为3；当直线过点时，目标函数取得最小值，最小值为3a；由条件得，所以，故选D.
考点：线性规划.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
，
由余弦定理，得，
得，，，
所以，所以．
点睛：本题考查平面向量的综合应用．本题中存在垂直关系，所以在线性表示的过程中充分利用垂直关系，得到，所以本题转化为求长度，利用余弦定理和面积公式求解即可．
14、8
【解析】
根据，利用基本不等式可求得函数最值.
【详解】
，，当且仅当且，即时，等号成立.时，取得最小值.
故答案为：
【点睛】
本题考查基本不等式，构造基本不等式的形式是解题关键.
15、
【解析】
利用复数的乘法求解再根据纯虚数的定义求解即可.
【详解】
解：复数为纯虚数,
解得．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了根据复数为纯虚数求解参数的问题,属于基础题.
16、.
【解析】
先求圆的半径, 四边形的最小面积,转化为的最小值为，求出切线长的最小值,再求的距离也就是圆心到直线的距离,可解得的取值范围,利用几何概型即可求得概率．
【详解】
由圆的方程得，所以圆心为，半径为，四边形的面积，若四边形的最小面积，所以的最小值为，而，即的最小值，此时最小为圆心到直线的距离，此时，因为，所以，所以的概率为．
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系,及与长度有关的几何概型,考查了学生分析问题的能力,难度一般.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】
（1）由基本量法求出公差后可得通项公式；
（2）由等差数列前项和公式求得，可求得．
【详解】
解：（1）设的公差为，由题设得
因为，
所以
解得，
故．
（2）由（1）得．
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，
由得，
解得．
【点睛】
本题考查求等差数列的通项公式和等比数列的前项和公式，解题方法是基本量法．
18、（1），； （2）.
【解析】
(1)根据题意同时利用等差、等比数列的通项公式即可求得数列和的通项公式；
(2)求出数列的通项公式，再利用错位相减法即可求得数列的前2020项的和.
【详解】
(1)依题意得: ，
所以 ，
所以
解得
设等比数列的公比为，所以
又
(2)由（1）知，
因为 ①
当时, ②
由①②得，，即，
又当时，不满足上式，
.
数列的前2020项的和

设 ③，
则 ④，
由③④得：
，
所以，
所以.
【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的通项公式、性质，错位相减法求和,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力及综合运用数学知识解决问题的能力.考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.是中档题.
19、（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）由底面为菱形，得，再由底面，可得，结合线面垂直的判定可得平面；
（2）以点为坐标原点，以所在直线及过点且垂直于平面的直线分别为轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：底面为菱形，，
底面，平面，
又，平面，
平面；
（2）解：，，为等边三角形，
.
底面，是直线与平面所成的角为，
在中，由，解得.
如图，以点为坐标原点，以所在直线及过点且垂直于平面的直线分别为轴
建立空间直角坐标系.
则，，，，.
，，，.
设平面与平面的一个法向量分别为，.
由，取，得；
由，取，得.
.
平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【点睛】
本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，属于中档题．
20、（1），，；（2）二次函数模型的回归方程来拟合效果会更好，理由见解析.
【解析】
（1）计算平均数，即可容易求得；结合参考数据，即可求得回归直线方程；
（2）利用两个模型分别预测第11天的产量，和实际值进行比较，即可判断.
【详解】
（1），
由最小二乘法公式求得

即所求回归方程为.
（2）由（1）可知，用线性回归方程模型求得该企业第11天的产量为
（万个）
用题中的二次函数模型求得的结果为
（万个）
与第11天的实际数据进行比较发现

所以用这个二次函数模型的回归方程来拟合效果会更好.
【点睛】
本题考查平均数的求解，回归直线方程的求解，以及考查拟合模型的选择，属综合基础题.
21、（1）；（2）.
【解析】
（1）由可得出，两式作差可求得数列的通项公式；
（2）求得，利用数列的单调性的定义判断数列的单调性，由此可求得数列的最小项的值.
【详解】
（1）对任意的，由得，
两式相减得，
因此，数列的通项公式为；
（2）由（1）得，则.
当时，，即，；
当时，，即，.
所以，数列的最小项为.
【点睛】
本题考查利用与的关系求通项，同时也考查了利用数列的单调性求数列中的最小项，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
22、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）根据，，可得平面，故而平面平面．
（Ⅱ）过作于，则可证平面，故为所求角，在中利用余弦定理计算，再计算．
【详解】
解：（Ⅰ）因为，，，平面，平面
所以平面，
又平面，
所以平面平面；
（Ⅱ）过作于，则由平面，且平面知
，所以平面，从而是直线与平面所成角.
因为，，，
所以，
从而.
【点睛】
本题考查了面面垂直的判定，考查直线与平面所成角的计算，属于中档题．
第天
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
产量y（单位：万个）
76.0
88.0
96.0
104.0
111.0
117.0
124.0
130.0
135.0
140.0
m
n
82.5
3998.9
570.5