2026届福州三校联盟高三下学期联考数学试题含解析

这是一份2026届福州三校联盟高三下学期联考数学试题含解析，共20页。试卷主要包含了已知为实数集，，，则，集合中含有的元素个数为等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．要得到函数的图象，只需将函数图象上所有点的横坐标（ ）
A．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度
B．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移个单位长度
C．缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度
D．缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度
2．已知，，是平面内三个单位向量，若，则的最小值（ ）
A．B．C．D．5
3．已知为实数集，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．集合中含有的元素个数为（ ）
A．4B．6C．8D．12
5．已知非零向量，满足，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解:
6．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点（设点位于第一象限），过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点，，抛物线的准线交轴于点，若，则直线的斜率为
A．1B．C．D．
7．马林●梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p﹣1作了大量的计算、验证工作，人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2P﹣1（其中p是素数）的素数，称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．已知的部分图象如图所示，则的表达式是（ ）
A．B．
C．D．
9．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若线段中点的横坐标为3，且，则抛物线的方程是( )
A．B．C．D．
10．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A．B．4
C．D．5
11．水平放置的，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的，其中 ，则绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数，，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．的展开式中，的系数是__________. (用数字填写答案)
14．在平面直角坐标系中，双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线上，则实数的值为________.
15．运行下面的算法伪代码，输出的结果为_____．
16．已知为矩形的对角线的交点，现从这5个点中任选3个点，则这3个点不共线的概率为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，四边形中，，，，沿对角线将翻折成，使得.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18．（12分）在中，角的对边分别为，若.
（1）求角的大小；
（2）若，为外一点，，求四边形面积的最大值.
19．（12分）设椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，点D在椭圆C上， 的周长为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过圆上任意一点P作圆E的切线l，若l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求证：为定值.
20．（12分）如图，在正四棱锥中，，点、分别在线段、上，．
（1）若，求证：⊥；
（2）若二面角的大小为，求线段的长．
21．（12分）已知数列是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，为数列的前项和，记，证明：．
22．（10分）如图，四棱锥中，平面，，，.
（Ｉ）证明：；
（Ⅱ）若是中点，与平面所成的角的正弦值为，求的长.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
分析：根据三角函数的图象关系进行判断即可．
详解：将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
得到
再将得到的图象向左平移个单位长度得到
故选B．
点睛：本题主要考查三角函数的图象变换，结合和的关系是解决本题的关键．
2、A
【解析】
由于，且为单位向量，所以可令，，再设出单位向量的坐标，再将坐标代入中，利用两点间的距离的几何意义可求出结果．
【详解】
解：设，，，则，从而
，等号可取到．
故选：A
【点睛】
此题考查的是平面向量的坐标、模的运算，利用整体代换，再结合距离公式求解，属于难题．
3、C
【解析】
求出集合，，，由此能求出．
【详解】
为实数集，，，
或，
．
故选：．
【点睛】
本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4、B
【解析】
解：因为集合中的元素表示的是被12整除的正整数，那么可得为1，2,3,4，6，,12故选B
5、C
【解析】
根据向量的数量积运算，由向量的关系，可得选项.
【详解】
，
，∴等价于，
故选：C.
【点睛】
本题考查向量的数量积运算和命题的充分、必要条件，属于基础题.
6、C
【解析】
根据抛物线定义，可得，，
又，所以，所以，
设，则，则，
所以，所以直线的斜率．故选C．
7、C
【解析】
模拟程序的运行即可求出答案．
【详解】
解：模拟程序的运行，可得：
p＝1，
S＝1，输出S的值为1，
满足条件p≤7，执行循环体，p＝3，S＝7，输出S的值为7，
满足条件p≤7，执行循环体，p＝5，S＝31，输出S的值为31，
满足条件p≤7，执行循环体，p＝7，S＝127，输出S的值为127，
满足条件p≤7，执行循环体，p＝9，S＝511，输出S的值为511，
此时，不满足条件p≤7，退出循环，结束，
故若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是5，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查程序框图，属于基础题．
8、D
【解析】
由图象求出以及函数的最小正周期的值，利用周期公式可求得的值，然后将点的坐标代入函数的解析式，结合的取值范围求出的值，由此可得出函数的解析式.
【详解】
由图象可得，函数的最小正周期为，.
将点代入函数的解析式得，得，
，，则，，
因此，.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用图象求三角函数解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
9、B
【解析】
利用抛物线的定义可得,,把线段AB中点的横坐标为3,代入可得p值,然后可得出抛物线的方程.
【详解】
设抛物线的焦点为F,设点，
由抛物线的定义可知，
线段AB中点的横坐标为3，又，，可得，
所以抛物线方程为.
故选：B.
【点睛】
本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,利用抛物线的定义是解题的关键.
10、B
【解析】
还原几何体的直观图，可将此三棱锥放入长方体中, 利用体积分割求解即可.
【详解】
如图，三棱锥的直观图为，体积
.
故选:B.
【点睛】
本题主要考查了锥体的体积的求解,利用的体积分割的方法,考查了空间想象力及计算能力,属于中档题.
11、B
【解析】
根据斜二测画法的基本原理，将平面直观图还原为原几何图形，可得，,绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体,圆锥的侧面展开图是扇形根据扇形面积公式即可求得组合体的表面积.
【详解】
根据“斜二测画法”可得，，，
绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体，
它的表面积为.
故选:
【点睛】
本题考查斜二测画法的应用及组合体的表面积求法,难度较易.
12、B
【解析】
可判断函数在上单调递增，且，所以.
【详解】
在上单调递增，且，
所以.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了函数单调性的判定，指数函数与对数函数的性质，利用单调性比大小等知识，考查了学生的运算求解能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
根据组合的知识，结合组合数的公式，可得结果.
【详解】
由题可知：项来源可以是：（1）取1个，4个
（2）取2个，3个
的系数为：
故答案为：
【点睛】
本题主要考查组合的知识，熟悉二项式定理展开式中每一项的来源，实质上每个因式中各取一项的乘积，转化为组合的知识，属中档题.
14、
【解析】
求出双曲线的右准线与渐近线的交点坐标，并将该交点代入抛物线的方程，即可求出实数的方程.
【详解】
双曲线的半焦距为，则双曲线的右准线方程为，渐近线方程为，所以，该双曲线右准线与渐近线的交点为.
由题意得，解得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用抛物线上的点求参数，涉及到双曲线的准线与渐近线方程的应用，考查计算能力，属于中等题.
15、
【解析】
模拟程序的运行过程知该程序运行后计算并输出的值,用裂项相消法求和即可.
【详解】
模拟程序的运行过程知,该程序运行后执行：
.
故答案为:
【点睛】
本题考查算法语句中的循环语句和裂项相消法求和;掌握循环体执行的次数是求解本题的关键;属于基础题.
16、
【解析】
基本事件总数，这3个点共线的情况有两种和，由此能求出这3个点不共线的概率．
【详解】
解：为矩形的对角线的交点，
现从，，，，这5个点中任选3个点，
基本事件总数，
这3个点共线的情况有两种和，
这3个点不共线的概率为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见证明；（2）
【解析】
（1）取的中点，连.可证得，，于是可得平面，进而可得结论成立．（2）运用几何法或向量法求解可得所求角的正弦值．
【详解】
（1）证明：取的中点，连.
∵，
∴．
又，
∴.
在中，，
∴．
又，
∴平面，
又平面，
∴.
（2）解法1：取的中点，连结，
∵，
∴,
又，
∴．
又由题意得为等边三角形，
∴，
∵，
∴平面．
作，则有平面，
∴就是直线与平面所成的角．
设，则，
在等边中，．
又在中，，故．
在中，由余弦定理得，
∴，
∴直线与平面所成角的正弦值为．
解法2：由题意可得，建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨设，则在直角三角形中，可得，
作于，则有平面几何知识可得，
∴．
又可得，.
∴,．
设平面的一个法向量为，
由，得，
令，则得．
又，
设直线与平面所成的角为，
则．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【点睛】
利用向量法求解直线和平面所成角时，关键点是恰当建立空间直角坐标系，确定斜线的方向向量和平面的法向量．解题时通过平面的法向量和直线的方向向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线与平面所成的角．求解时注意向量的夹角与线面角间的关系．
18、（1）（2）
【解析】
（1）根据正弦定理化简等式可得，即；
（2）根据题意，利用余弦定理可得，再表示出，表示出四边形，进而可得最值.
【详解】
（1），由正弦定理得：
在中，，则，
即，
，即
.
（2）在中，
又，则为等边三角形，
又，
-
当时，四边形的面积取最大值，最大值为.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基础题．
19、（1）（2）见解析
【解析】
(1) 由，周长,解得,即可求得标准方程.
(2)通过特殊情况的斜率不存在时,求得,再证明的斜率存在时,即可证得为定值.通过设直线的方程为与椭圆方程联立,借助韦达定理求得,利用直线与圆相切,即,求得的关系代入,化简即可证得即可证得结论.
【详解】
（1）由题意得，周长，且.
联立解得，，所以椭圆C的标准方程为.
（2）①当直线l的斜率不存在时，不妨设其方程为，
则，
所以，即.
②当直线l的斜率存在时，设其方程为，并设，
由，
，，
由直线l与圆E相切，得.
所以
.
从而，即.
综合上述，得为定值.
【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系中定值问题,考查了学生计算求解能力,难度较难.
20、（1）证明见解析；（2）．
【解析】
试题分析：由于图形是正四棱锥，因此设AC、BD交点为O，则以OA为x轴正方向，以OB为y轴正方向，OP为z轴正方向建立空间直角坐标系，可用空间向量法解决问题．（1）只要证明＝0即可证明垂直；（2）设＝λ，得M(λ，0，1－λ)，然后求出平面MBD的法向量，而平面ABD的法向量为，利用法向量夹角与二面角相等或互补可求得．
试题解析: (1)连结AC、BD交于点O，以OA为x轴正方向，以OB为y轴正方向，OP为z轴正方向建立空间直角坐标系．
因为PA＝AB＝，
则A(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1)．
由＝，得N，
由＝，得M，
所以，＝(－1，－1，0)．
因为＝0，所以MN⊥AD
(2) 解：因为M在PA上，可设＝λ，得M(λ，0，1－λ)．
所以＝(λ，－1，1－λ)，＝(0，－2，0)．
设平面MBD的法向量＝(x，y，z)，
由，得
其中一组解为x＝λ－1，y＝0，z＝λ，所以可取＝(λ－1，0，λ)．
因为平面ABD的法向量为＝(0，0，1)，
所以cs＝，即＝，解得λ＝，
从而M，N，
所以MN＝＝．
考点：用空间向量法证垂直、求二面角．
21、（Ⅰ），；（Ⅱ）见解析
【解析】
（Ⅰ）由，且成等差数列，可求得q，从而可得本题答案；
（Ⅱ）化简求得，然后求得，再用裂项相消法求，即可得到本题答案.
【详解】
（Ⅰ）因为数列是各项均为正数的等比数列，，可设公比为q，，
又成等差数列，
所以，即，
解得或（舍去），则，；
（Ⅱ）证明：，
，，
则，
因为，所以
即.
【点睛】
本题主要考查等差等比数列的综合应用，以及用裂项相消法求和并证明不等式，考查学生的运算求解能力和推理证明能力.
22、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）取的中点，连接，由，，得三点共线，且，又，再利用线面垂直的判定定理证明.
（Ⅱ）设，则，，在底面中，，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得，两式相加求得，再过作，则平面，即点到平面的距离，由是中点，得到到平面的距离，然后根据与平面所成的角的正弦值为求解.
【详解】
（Ⅰ）取的中点，连接，
由，，得三点共线，
且，又，，
所以平面，
所以.
（Ⅱ）设，，，
在底面中，，
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得，
两式相加得：，
所以 ，
，
过作，则平面，
即点到平面的距离，
因为是中点，所以为到平面的距离，
因为与平面所成的角的正弦值为，
即，
解得.
【点睛】
本题主要考查线面垂直的判定定理，线面角的应用，还考查了转化化归的思想和空间想象运算求解的能力，属于中档题.