2026届福建省莆田市第六中学高三第一次模拟考试数学试卷含解析

这是一份2026届福建省莆田市第六中学高三第一次模拟考试数学试卷含解析，共19页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，某设备使用年限x，已知集合，，则等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数图像可能是（ ）
A．B．C．D．
2．已知斜率为2的直线l过抛物线C：的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为1，则p＝（ ）
A．1B．C．2D．4
3．已知圆与抛物线的准线相切，则的值为（）
A．1B．2C．D．4
4．已知函数则函数的图象的对称轴方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知定义在上的函数在区间上单调递增，且的图象关于对称，若实数满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知定点都在平面内，定点是内异于的动点，且，那么动点在平面内的轨迹是（ ）
A．圆，但要去掉两个点B．椭圆，但要去掉两个点
C．双曲线，但要去掉两个点D．抛物线，但要去掉两个点
7．某设备使用年限x（年）与所支出的维修费用y（万元）的统计数据分别为，，，，由最小二乘法得到回归直线方程为，若计划维修费用超过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为（ ）
A．8年B．9年C．10年D．11年
8．在我国传统文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五个物质类别，在五者之间，有一种“相生”的关系，具体是：金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.从五行中任取两个，这二者具有相生关系的概率是（ ）
A．0.2B．0.5C．0.4D．0.8
9．已知平行于轴的直线分别交曲线于两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
11．在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，设直线与轴正半轴所成的最小正角为，则等于( )
A．B．C．D．
12．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于（ ）cm3
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是_______．
14．如图，在矩形中，为边的中点，，，分别以、为圆心，为半径作圆弧、（在线段上）.由两圆弧、及边所围成的平面图形绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积为 .
15．已知集合，若，且，则实数所有的可能取值构成的集合是________.
16．已知函数在点处的切线经过原点，函数的最小值为，则________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某商场为改进服务质量，随机抽取了200名进场购物的顾客进行问卷调查．调查后，就顾客“购物体验”的满意度统计如下：
（1）是否有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关？
（2）为答谢顾客，该商场对某款价格为100元/件的商品开展促销活动．据统计，在此期间顾客购买该商品的支付情况如下：
将上述频率作为相应事件发生的概率，记某顾客购买一件该促销商品所支付的金额为，求的分布列和数学期望．
附表及公式：．
18．（12分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，分别为，的中点．
（1）求证：．
（2）若，求二面角的余弦值．
19．（12分）某企业为了了解该企业工人组装某产品所用时间，对每个工人组装一个该产品的用时作了记录，得到大量统计数据．从这些统计数据中随机抽取了个数据作为样本，得到如图所示的茎叶图（单位：分钟）．若用时不超过（分钟），则称这个工人为优秀员工．
（1）求这个样本数据的中位数和众数；
（2）以这个样本数据中优秀员工的频率作为概率，任意调查名工人，求被调查的名工人中优秀员工的数量分布列和数学期望．
20．（12分）已知是等腰直角三角形,．分别为的中点,沿将折起,得到如图所示的四棱锥．
(Ⅰ)求证：平面平面．
(Ⅱ)当三棱锥的体积取最大值时,求平面与平面所成角的正弦值．
21．（12分）已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，证明：.
22．（10分）设函数，其中．
（Ⅰ）当为偶函数时，求函数的极值；
（Ⅱ）若函数在区间上有两个零点，求的取值范围．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
先判断函数的奇偶性可排除选项A,C，当时，可分析函数值为正，即可判断选项.
【详解】
,
,
即函数为偶函数，
故排除选项A,C，
当正数越来越小，趋近于0时，，
所以函数，故排除选项B,
故选：D
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性，识别函数的图象，属于中档题.
2、C
【解析】
设直线l的方程为x＝y，与抛物线联立利用韦达定理可得p．
【详解】
由已知得F（，0），设直线l的方程为x＝y，并与y2＝2px联立得y2﹣py﹣p2＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点C（x0，y0），
∴y1+y2＝p，
又线段AB的中点M的纵坐标为1，则y0（y1+y2）＝，所以p=2,
故选C．
【点睛】
本题主要考查了直线与抛物线的相交弦问题，利用韦达定理是解题的关键，属中档题．
3、B
【解析】
因为圆与抛物线的准线相切，则圆心为（3,0），半径为4，根据相切可知，圆心到直线的距离等于 半径，可知的值为2，选B.
【详解】
请在此输入详解！
4、C
【解析】
，将看成一个整体，结合的对称性即可得到答案.
【详解】
由已知，，令，得.
故选：C.
【点睛】
本题考查余弦型函数的对称性的问题，在处理余弦型函数的性质时，一般采用整体法，结合三角函数的性质，是一道容易题.
5、C
【解析】
根据题意，由函数的图象变换分析可得函数为偶函数，又由函数在区间上单调递增，分析可得，解可得的取值范围，即可得答案.
【详解】
将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象，
由于函数的图象关于直线对称，则函数的图象关于轴对称，
即函数为偶函数，由，得，
函数在区间上单调递增，则，得，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式，注意分析函数的奇偶性，属于中等题.
6、A
【解析】
根据题意可得,即知C在以AB为直径的圆上.
【详解】
,，
,
又，,
平面,又平面
，
故在以为直径的圆上，
又是内异于的动点，
所以的轨迹是圆，但要去掉两个点A,B
故选：A
【点睛】
本题主要考查了线面垂直、线线垂直的判定，圆的性质，轨迹问题，属于中档题.
7、D
【解析】
根据样本中心点在回归直线上，求出，求解，即可求出答案.
【详解】
依题意在回归直线上，
，
由，
估计第年维修费用超过15万元.
故选:D.
【点睛】
本题考查回归直线过样本中心点、以及回归方程的应用，属于基础题.
8、B
【解析】
利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】
从五行中任取两个，所有可能的方法为：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，共种，其中由相生关系的有金水、木水、木火、火土、金土，共种，所以所求的概率为.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查古典概型的计算，属于基础题.
9、A
【解析】
设直线为，用表示出，，求出，令，利用导数求出单调区间和极小值、最小值，即可求出的最小值．
【详解】
解：设直线为，则，，
而满足，
那么
设，则，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以
故选：．
【点睛】
本题考查导数知识的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导确定函数的最小值是关键，属于中档题．
10、A
【解析】
根据对数性质可知，再根据集合的交集运算即可求解.
【详解】
∵，
集合，
∴由交集运算可得.
故选：A.
【点睛】
本题考查由对数的性质比较大小，集合交集的简单运算，属于基础题.
11、A
【解析】
设直线直线与轴正半轴所成的最小正角为，由任意角的三角函数的定义可以求得的值，依题有,则，利用诱导公式即可得到答案.
【详解】
如图，设直线直线与轴正半轴所成的最小正角为
因为点在角的终边上，所以
依题有,则，
所以，
故选：A
【点睛】
本题考查三角函数的定义及诱导公式，属于基础题.
12、D
【解析】
解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，
结合图中数据，计算它的体积为：
V=V三棱柱+V半圆柱=×2×2×1+•π•12×1=（6+1.5π）cm1．
故答案为6+1.5π．
点睛：根据几何体的三视图知该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据计算它的体积即可．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、0.08
【解析】
先求解这组数据的平均数，然后利用方差的公式可得结果.
【详解】
首先求得，
．
故答案为：0.08.
【点睛】
本题主要考查数据的方差，明确方差的计算公式是求解的关键，侧重考查数据分析的核心素养.
14、
【解析】
由题意，可得所得到的几何体是由一个圆柱挖去两个半球而成；其中，圆柱的底面半径为1，母线长为2；体积为；两个半球的半径都为1，则两个半球的体积为；则所求几何体的体积为
.
考点：旋转体的组合体.
15、.
【解析】
化简集合，由，以及，即可求出结论.
【详解】
集合，若，
则的可能取值为，0，2，3，
又因为，
所以实数所有的可能取值构成的集合是.
故答案为:.
【点睛】
本题考查集合与元素的关系，理解题意是解题的关键，属于基础题.
16、0
【解析】
求出，求出切线点斜式方程，原点坐标代入，求出的值，求，求出单调区间，进而求出极小值最小值，即可求解.
【详解】
，，，
切线的方程：，
又过原点，所以，，
，.
当时，；当时，.
故函数的最小值，所以.
故答案为:0.
【点睛】
本题考查导数的应用，涉及到导数的几何意义、极值最值，属于中档题..
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关； （2）67元，见解析.
【解析】
（1）根据表格数据代入公式，结合临界值即得解；
（2）的可能取值为40，60，80，1，根据题意依次计算概率，列出分布列，求数学期望即可.
【详解】
（1）由题得
，
所以，有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关.
（2）由题意可知的可能取值为40，60，80，1．
，，
，．
则的分布列为
所以，（元）．
【点睛】
本题考查了统计和概率综合，考查了列联表，随机变量的分布列和数学期望等知识点，考查了学生数据处理，综合分析，数学运算的能力，属于中档题.
18、（1）见解析（2）
【解析】
（1）由已知可证明平面，从而得证面面垂直，再由，得线面垂直，从而得，由直角三角形得结论；
（2）以为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法示二面角．
【详解】
（1）证明：连接，，．
，，平面．
平面，平面平面．
，为的中点，．
平面平面，平面．
平面，．
为斜边的中点，，
（2），由（1）可知，为等腰直角三角形，
则．以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
则，记平面的法向量为
由得到，
取，可得，则．
易知平面的法向量为．
记二面角的平面角为，且由图可知为锐角，
则，所以二面角的余弦值为．
【点睛】
本题考查用面面垂直的性质定理证明线面垂直，从而得线线垂直，考查用空间向量法求二面角．在立体几何中求异面直线成的角、直线与平面所成的角、二面角等空间角时，可以建立空间直角坐标系，用空间向量法求解空间角，可避免空间角的作证过程，通过计算求解．
19、（1）43，47；（2）分布列见解析，.
【解析】
（1）根据茎叶图即可得到中位数和众数；
（2）根据数据可得任取一名优秀员工的概率为，故，写出分布列即可得解.
【详解】
（1）中位数为，众数为．
（2）被调查的名工人中优秀员工的数量，
任取一名优秀员工的概率为，故，
，，
的分布列如下：
故
【点睛】
此题考查根据茎叶图求众数和中位数，求离散型随机变量分布列，根据分布列求解期望，关键在于准确求解概率，若能准确识别二项分布对于解题能够起到事半功倍的作用.
20、 (Ⅰ)见解析. (Ⅱ) .
【解析】
(I)证明平面得出平面，根据面面垂直的判定定理得到结论；(II)当平面时，棱锥体积最大，建立空间坐标系，计算两平面的法向量，计算法向量的夹角得出答案．
【详解】
(I)证明：
分别为的中点
，，又
平面
平面，又平面
平面平面
(II)，为定值
当平面时，三棱锥的体积取最大值
以为原点,以为坐标轴建立空间直角坐标系
则
，
设平面的法向量为，则
即，令可得
平面 是平面的一个法向量
平面与平面所成角的正弦值为
【点睛】
本题考查了面面垂直的判定，二面角的计算，关键是能够根据体积的最值确定垂直关系，从而可以建立起空间直角坐标系，利用空间向量法求得二面角，属于中档题．
21、（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）令，，利用可求得数列的通项公式，由此可得出数列的通项公式；
（2）求得，利用裂项相消法求得，进而可得出结论.
【详解】
（1）令，，
当时，；
当时，，则，故；
（2），
.
【点睛】
本题考查利用求通项，同时也考查了裂项相消法求和，考查计算能力与推理能力，属于基础题.
22、（Ⅰ）极小值，极大值；（Ⅱ）或
【解析】
（Ⅰ）根据偶函数定义列方程，解得.再求导数，根据导函数零点列表分析导函数符号变化规律，即得极值，（Ⅱ）先分离变量，转化研究函数，，利用导数研究单调性与图象，最后根据图象确定满足条件的的取值范围．
【详解】
（Ⅰ）由函数是偶函数，得，
即对于任意实数都成立，
所以.
此时，则.
由，解得.
当x变化时，与的变化情况如下表所示：
所以在，上单调递减，在上单调递增.
所以有极小值，有极大值.
（Ⅱ）由，得. 所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线，有且只有两个公共点”.
对函数求导，得.
由，解得，.
当x变化时，与的变化情况如下表所示：
所以在，上单调递减，在上单调递增.
又因为，，，，
所以当或时，直线与曲线，有且只有两个公共点.
即当或时，函数在区间上有两个零点.
【点睛】
利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
满意
不满意
男
40
40
女
80
40
支付方式
现金支付
购物卡支付
APP支付
频率
10%
30%
60%
优惠方式
按9折支付
按8折支付
其中有1/3的顾客按4折支付，1/2的顾客按6折支付，1/6的顾客按8折支付
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
40
60
80
1












0
0
↘
极小值
↗
极大值
↘
0
0
↘
极小值
↗
极大值
↘