福建省莆田第六中学2023-2024学年高三上学期1月质检模拟测试数学试卷（Word版附解析）

这是一份福建省莆田第六中学2023-2024学年高三上学期1月质检模拟测试数学试卷（Word版附解析），共9页。试卷主要包含了 已知集合，则， 已知复数，则， 已知向量满足，则的夹角为， 已知，，，则等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（每题5分，共40分，每题只有一个符合题意的选项）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量满足，则的夹角为（ ）
A. B. C. D.
4．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5.亚运会火炬传递，假设某段线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，
乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（ ）
A. 288种B. 360种C. 480种D. 504种
6. 若函数，的值域为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知定义在上的奇函数满足，则对所有这样的函数，由下列条件一定能得到的是（ ）
A. B. C. D.
二．多项选择题（每题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9. 在一次数学考试中，某班成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 图中所有小长方形的面积之和等于1
B. 中位数的估计值介于100和105之间
C. 该班成绩众数的估计值为97.5
D. 该班成绩的极差一定等于40
10. 一副三角板由两个直角三角形组成，如图所示，且，现将两块三角板拼接在一起，得到三棱锥，取和中点、，则下列判断中正确的是（ ）
A. 直线面
B. 三棱锥体积为定值.
C. 与面所成的角为定值
D. 设面面，则∥
11．已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，点，点P到点Q和到y轴
的距离分别为，则（ ）
A．抛物线C的准线方程为
B．若，则周长的最小值等于3
C．若，则的最小值等于2
D．若，则的最小值等于
12. 定义在上函数的导函数为，对于任意实数，都有，且满足，则（ ）
A. 函数为奇函数
B. 不等式的解集为
C. 若方程有两个根，，则
D. 在处的切线方程为
三．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13. 展开式中的系数为______.（用数字作答）．
14. 等比数列的前n项和为，若，，，，则=______.
15.已知为坐标原点，分别是椭圆的左顶点､上顶点和右焦点，点在椭圆上，且，若，则椭圆的离心率为______.
16. 与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为，，且，则它的内切球的体积为______.
四．解答题(本大题共6小题，共70分)
17．（10分）在中，内角，，所对的边分别为，，，满足.
(1)求角的大小；
(2)若，边上的中线的长为，求的面积.
18．（12分）在数列中，．
(1)证明：数列为常数列．
(2)若，求数列的前项和．
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）记的中点为，若在线段上，且直线与平面所成的角的正弦值为，求线段的长.
20．（12分）近年来我国新能源汽车产业迅速发展，下表是某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表：
某机构调查了该地区位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示：
(1)求新能源乘用车的销量关于年份的线性相关系数，并判断与之间的线性相关关系的强弱；（若，相关性较强；若，相关性一般；若，相关性较弱）
(2)请将上述列联表补充完整，根据小概率值的独立性检验，分析购车车主购置新能源乘用车与性别是否有关系？
①参考公式：相关系数；
②参考数据：； ③卡方临界值表：
其中，.
21．已知双曲线：的离心率为，直线：与双曲线C仅有一个公共点.
(1)求双曲线的方程
(2)设双曲线的左顶点为，直线平行于，且交双曲线C于M，N两点，
求证：△的垂心在双曲线C上.
22．（12分）已知函数.
(1)求曲线在处切线的斜率；
(2)当时，比较与x的大小；
(3)若函数，且（），证明：.年份
销量（万台）
购置传统燃油车
购置新能源车
总计
男性车主
女性车主
总计
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
莆田六中高三上学期1月模拟测试数学学科答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．-8 14．31 15． 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）【详解】（1）由已知及正弦定理得，…………………………1分
则，……………………3分
在中，故， …………………………………………4分
又，故. …………………………………………………………………………5分
（2）由，得， ………………………………………6分
由题意，则，…………………7分
即，解得，……………………………………………9分
故的面积为. …………………………………………10分
18.（12分）【详解】（1）令，得，．………………………………1分
因为①，所以②．…………………………… ………2分
①-②得，即． …………………………4分
因为，所以数列为常数列．…………………………………………5分
（2）由（1）可得，所以是公差为1的等差数列，所以．………7分
因为， ………………………………………………………………………8分
所以③，
④．………………………………………………………………9分
③-④得
，…………………………………………………………………11分
所以． …………………………………………………………………12分
19．（12分）【详解】
（Ⅰ）连接，则，因为，所以四边形为平行四边形；所以，因为且为的中点，所以，………2分
所以，所以，即，………3分
又因为，所以平面；………………………………………4分
（Ⅱ）以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则,
所以,…………5分
设平面的法向量为，则，
即，取，…………6分
设平面的法向量为，则，即，取，…7分
所以，…………………9分
（Ⅲ）设，则，而，所以，由（Ⅱ）知平面的法向量为，设直线与平面所成的角为，则，…………………11分
化简得，解得：或，故线段的长度为或.……………12分
20.【详解】（1）由表格知：，，（1分）
所以，（2分）
，（3分）
，（4分）
由上，有，（6分）
所以与之间的线性相关性较强；（7分）
（2）依题意，完善表格如下：
（9分）
则的观测值，（11分）
根据小概率值的独立性检验，我们认为购车车主购置新能源乘用车与性别是有关，此推断犯错误概率不大于.（12分）
21. 解：（1）因为双曲线的离心率为，所以，即，
所以双曲线的方程为，
联立直线与双曲线的方程，消去得，
即，
因为与双曲线C仅有一个公共点，所以，
解得,故双曲线的方程为.
（2）设，，则满足
消去得，
所以，，
如图所示，过A引的垂线交C于另一点H，
则AH的方程为.
代入得，即（舍去）或.
所以点H为.
所以
，
所以，故为的垂心，得证.
22．（12分）【详解】（1）解：因为函数，可得………1分
则，……………………………………………………………………………2分
所以曲线在处切线的斜率为.…………………………………………………3分
（2）解：设函数，可得，…4分
当时，，则在上单调递增，………………………………5分
所以，从而，所以.…………………………………6分
（3）证明：设函数，
当时，，，则恒成立，
则由，得，……………………………………………………7分
又，所以，……………………………………………8分
因为，可得，令，可得，
所以单调递增，即在单调递增，所以，
所以在上单调递增，又由，所以，…………………………9分
同理得，
要证，只需证，即证，
因为，所以，……………………………………………………………10分
设函数，则，所以在上单调递增，
因为，所以，所以，所以，………………………11分
所以，从而得证.……………………………12分1
2
3
4
5
6
7
8
C
B
B
C
C
D
A
C
9
10
11
12
ABC
ACD
BD
AC
购置传统燃油车
购置新能源车
总计
男性车主
女性车主
总计
选择题第8题，第12题答案
8. 【答案】C
【解析】
【分析】利用已知条件易得是周期为的奇函数，且是一条对称轴，再结合各项判断是否一定有成立即可.
【详解】由题设，即，
所以是周期为的奇函数，且是一条对称轴，
当时，则，，不符合
当时，则且，不符合；
当时，则，，故；
当时，则且，不符合；
故选：C
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求.全不选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
12. 【答案】AC
【解析】
【分析】根据奇函数的定义即可判定A，根据导数的运算可得进而可求解，即可求解BD，根据二次函数的图象性质，即可求解C.
【详解】对于A，，由可得，所以，且定义域为，故为奇函数，A正确，
由于，所以为常数，则
又在中，令，则，故，故，
所以，
对于B, 可得，又，故，则，故B错误，
对于C，为单调递增函数，而为开口向上，且对称轴为的二次函数，且是的两个交点，的两个交点设为，则，且，又为单调递增函数，所以，所以， C正确，
由得，所以在处的切线方程为，D错误，
故选：AC