第18讲 锐角三角函数及其应用（复习讲义）（江苏专用）2026年中考数学一轮复习讲练测+答案

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01· TOC \ "1-1" \h \z \u \l "_Tc214359310" 考情剖析·命题前瞻1
02· \l "_Tc214359311" 知识导航·网络构建3
\l "_Tc214359312" 03·考点解析·知识通关3
04· \l "_Tc214359313" 命题洞悉·题型预测16
05·重难突破·思维进阶难 \l "_Tc214359314" 35
\l "_Tc214367046" 06·优题精选·练能提分49
考点一 锐角三角函数的概念及计算
锐角三角函数的概念
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，
正弦：sinA=；余弦：csA=；正切：tanA=．
1．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握锐角的正弦的定义是解本题的关键．先利用勾股定理求出，再在中利用即可求解．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∴，
故选：C．
2．（2025·江苏南通·中考真题）如图，网格图中每个小正方形的面积都为．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则的值为 ．
【答案】
【分析】设，证明，可求得，根据的面积为，得到，求得，解方程得，根据勾股定理可得，从而可得的值．
【详解】解：如图，在图中标注，，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵的面积为，网格图中每个小正方形的面积都是，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，，（舍去），
∵
∴，
∴，
∴
故答案为：．
3．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，则的值为 ．
【答案】
【分析】利用平行线的判定与性质证明，再求得，再利用直角三角形的边角关系解答即可．
【详解】解：∵与相切于点B，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
故答案为：．
考点二 特殊角的三角函数
特殊角的三角函数值
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）计算：．
【答案】
【分析】此题考查了实数的混合运算，根据零指数幂、特殊角三角函数值、绝对值计算即可．
【详解】
．
2．（2025·江苏盐城·中考真题）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，零指数幂等知识点，正确计算是解题的关键．
分别计算零指数幂和有理数的乘方，代入特殊角的三角函数值并计算乘法，再进行加减计算即可．
【详解】解：
．
3．（2025·江苏镇江·中考真题）计算：．
【答案】4
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂，掌握算理是解决问题的关键．先计算特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂，再进行加减运算即可．
【详解】解：，
，
，
．
考点三 锐角三角函数的应用
1.解直角三角形的应用:
(1)仰角和俯角问题：
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．
(2)坡度和坡角问题：
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=．
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．
(3)方向角问题：
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．
特别的，
北偏东45度也叫东北方向；北偏西45度也叫西北方向；
南偏东45度也叫东南方向；南偏西45度也叫西南方向。
2.解直角三角形实际应用的一般步骤
（1）审题，根据题意画出相应图形，建立数学模型；
（2）转化：将实际条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
（3）解决：选择合适的边角关系式，解决问题；
（4）检验：检验答案是否符合实际生活．
1．（2025·江苏南京·中考真题）如图，码头位于码头的南偏东方向，，之间的距离为，灯塔在的中点处．轮船甲从出发，沿正南方向航行，轮船乙从出发，沿正东方向航行．当甲航行到处时，乙航行了相同的距离到达处，此时，，，三点恰好在一条直线上．求甲航行的距离．（参考数据：）
【答案】
【分析】延长，交点为，过点作于点，过作交于点．设，根据题意可得，解方程得出答案．
【详解】解：如图，延长，交点为，过点作于点，过作交于点．
由题意得，，，，
，之间的距离为，在的中点处，
，
∵中，，
，，
，为中点，
∴，
为的中点，
即，，
设，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
∴,
,
，
，
解得，
答：甲航行的距离约为．
2．（2025·江苏淮安·中考真题）综合与实践
【主题】雨天撑伞的学问
【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形，米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的部分长为米，点为中点，，点到地面的距离是米，手臂可以水平向前最长伸出米，雨线与地面的夹角为，雨线与平行，与地面平行．
【问题感知】（1）①在图（1）、图（2）中，点到地面的距离是 米；
②如图（1）所示，，若小丽将伞拿在胸前（与在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分 米．（参考数据：，，）
【问题探究】（2）如图（2）所示，，设小丽将手臂水平前伸了米（即线段的长度），身体被雨水淋湿部分的长度为米，求与的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下的取值范围．
【问题解决】（3）在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将雨伞绕点顺时针旋转一定角度（点到地面的距离保持不变），使得与雨线垂直，如图（3）所示，试问：小丽在旋转雨伞后，是否可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿？如果可以，请求出的最小值；如果不可以，请说明理由．
【答案】（1）①；②；（2）；（3）可以，的最小值为．
【分析】本题主要考查实际情景中的数学问题，涉及解直角三角形，平行线的性质，解题的关键是通过作辅助线构建直角三角形进行求解．
（1）①根据题意，直接求线段长即可；②利用平行线的性质，两直线平行同位角相等，再借助直接三角形求解；
（2）延长交于点，先求出相关角，再利用，接着可得，延长交于点，过作交于，为保证头部不被淋湿，即，建立不等式求解即可；
（3）设小丽将手臂水平前伸了米时，身体恰好不会被淋湿，计算出此时的值，再判断此时头部是否被淋湿即可．
【详解】解：（1）①由题意知，米，米，
米，
即点到地面的距离是米，
故答案为：；
②米，点为中点，
米，
，
，
，
，
在中，米，
米，
故答案为：；
（2）如图，延长交于点，
则，
米，
，
，
，
，
在中，米，
，
即，
延长交于点，过作交于，
则（米），，，
为使头部不被淋湿，
所以，
解得，又，
所以；
；
（3）设小丽将手臂水平前伸了米时，身体恰好不会被淋湿，如图，
延长交于点，过作交于，
延长交于，过作交于，
则，，，
，
所以在中，，，
在中，，
所以，
在中，，
又，
所以此时头部不会被淋湿，
综上，可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿，的最小值为．
3．（2025·江苏镇江·中考真题）如图（1），过外一点引的两条切线、，切点是、，为锐角，连接并延长与交于点，点在的延长线上，过点作的垂线，与的延长线相交于点、垂足为．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)在图（2）中作，满足（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(3)已知，在你所作的中，若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)图见解析
(3)
【分析】（1）先根据切线长定理、切线的性质定理可得，，再证出，根据等腰三角形的判定可得，由此即可得证；
（2）先在的延长线上作，再过点作的垂线，与的延长线相交于点、垂足为，由直角三角形的斜边中线的性质即可得；
（3）过点作于点，过点作于点，先解直角三角形可得，再设，则，，，在中，利用勾股定理可得，则可得，，然后证出，根据相似三角形的性质可得的长，最后根据即可得．
【详解】（1）证明：∵是的两条切线，切点是，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由对顶角相等得：，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
（2）解：如图，满足的即为所作．
（3）解：如图，过点作于点，过点作于点，
∵是的两条切线，切点是，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，即，
解得或（不符合题意，舍去），
∴，，
∵在等腰中，，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴．
命题点一 锐角三角函数的概念及计算
►题型01根据概念计算几何图形中的三角函数
【典例】．（2025·江苏常州·一模）如图所示为一张矩形纸片，为的中点，点F在边上，把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为G，H，与交于点O，的延长线过点C．若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了矩形与折叠问题、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正弦等知识，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题关键．连接，先根据矩形与折叠的性质可得，，，再证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，然后证出，根据相似三角形的性质可得，设，则，，最后在中，利用正弦的定义求解即可得．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是矩形，为的中点，点在边上，
∴，，，
由折叠的性质得：，
∴，，
∵的延长线过点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
在中，，
故选：A．
【变式】
1．（2025·江苏无锡·二模）如图，在矩形中，已知为边上的中点，若将沿着直线翻折，使点A落在点处，连接，则 ．
【答案】
【分析】求出，由勾股定理求出，由翻折变换的性质得出，因此，由等腰三角形的性质得出，由三角形的外角性质得出，即可得出．
【详解】∵四边形是矩形，
∴，
∵，E是的中点，
∴，
∵，
∴，
由翻折知，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
2．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，正方形的边长为2，E是边的中点，把△ADE沿折叠得到（点D的对应点为点F），则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定，勾股定理，求正切值等，熟练掌握知识点是解题的关键．过点F作，分别交于点N，M，证明四边形是矩形和，设，利用相似三角形的性质得出，再利用勾股定理求出x的值，进而求解即可．
【详解】解：过点F作，分别交于点N，M，
∵四边形为正方形，
∴，
∵E是边的中点，把沿折叠得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，，
∴，，
∴，
∴，
设，
则，
∴，
∴，
在中，，即，
解得，
∴，
∴，
故答案为：．
►题型02计算网格中的三角函数
【典例】．（2025·江苏无锡·二模）如图，在的网格图中，点A、B、C、D都在小正方形的顶点上，、相交于点E，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形及勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，，过点作，垂足为，先利用勾股定理求出和的长，再利用面积法求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的值，最后根据题意可得：，从而可得，即可解答．
【详解】解：如图：连接，，过点作，垂足为，
由题意得：，，
的面积
，
，
∴，
∴，
在中，，
由题意得：，
，
，
故答案为：．
【变式】
1．（2025·江苏南通·二模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点均在格点上，连接，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了网格与勾股定理，锐角三角函数的计算，合理构造直角三角形是关键．
如图所示，在线段上取格点，得到是正方形方格的对角线，，由勾股定理得到，根据余弦值的计算即可求解．
【详解】解：如图所示，在线段上取格点，
根据网格格点得到，是正方形方格的对角线，
∴，
根据网格得到，，
∴，
故选：D ．
2．（2025·江苏常州·二模）如图，在正方形网格中，线段、的端点都在边长为1的小正方形的顶点上，则 ．
【答案】/0.5
【分析】本题主要考查三角函数及勾股定理逆定理，熟练掌握三角函数及勾股定理逆定理是解题的关键；连接，根据网格可得，则有，然后根据正切的定义可进行求解．
【详解】解：连接，
由网格可知：，，，
∴，
∴，
∴；
故答案为．
命题点二 特殊角的三角函数
►题型03 特殊角的三角函数计算
【典例】．（2025·江苏苏州·模拟预测）计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了特殊三角函数值、负整数指数幂和算术平方根，解决此题的关键是正确的计算；先把特殊的三角函数值代入，算出负整数指数幂和算术平方根，再去绝对值符号，得到答案即可；
【详解】解：，
，
，
．
【变式】
1．（2025·江苏连云港·模拟预测）计算：．
【答案】
【分析】本题需要分别根据零指数幂、绝对值、特殊三角函数值、立方根的相关性质，逐步化简计算式中的各项，再进行加减运算．本题主要考查了零指数幂的性质（， ）、绝对值的化简（正数和的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数 ）、特殊角的三角函数值（ ）、立方根的计算（ ），熟练掌握这些数学概念和性质是解题的关键．
【详解】解：原式．
2．（2025·江苏镇江·二模）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了实数的运算，根据二次根式的性质化简，零指数幂和负整数指数幂，特殊角的三角函数值化简计算即可．
【详解】解：原式
．
►题型04利用特殊角的三角函数解几何综合问题
【典例】．（2025·江苏无锡·二模）如图，为圆的直径，、为圆上不同于、的两点，过点作圆的切线交直线于点，直线于点．
(1)求证：；
(2)若，且，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【分析】（1）连接，根据等腰三角形性质和外角的性质得出，根据切线的性质得出，即可证得，根据平行线的性质得出，即可证得；
（2）连接，根据圆周角定理得出，求出，利用写出比例，列出方程即可求解．
本题考查了圆切线的性质，平行线的判定和性质，三角形相似的判定和性质，解直角三角形等，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）连接，
∵切于是的半径，
（2）∵为所对圆周角，
∴，
∴．
连接，
∵为的直径，
，
，
，
，
，
∴设则
，
∴，
，
，
，
．
【变式】
1．（2025·江苏泰州·三模）如图，在直角坐标系中，菱形的顶点均在坐标轴上，．若反比例函数经过边的中点，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是反比例函数图像上点的坐标特征，菱形的性质，解直角三角形，熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
根据锐角三角函数的定义可设，则，故可得出，再由菱形的性质用表示出各点坐标，再把点的坐标代入反比例函数的解析式，求出的值，进而可得出结论．
【详解】解：菱形的顶点均在坐标轴上，，
可设，则，
∴在中，，
∴，
四边形是菱形，
，，
∴，
点是边的中点，
∴，
点在反比例函数的图像上，
∴，
负值舍去，
，
∴．
故答案为：．
2．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，当点A、E、O三点共线时， ，线段长的最小值为 ．
【答案】 / /
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形，熟练地利用正方形的性质证明三角形全等是解题的关键．利用正切函数的定义即可求解；证明，推出，，延长到点，使得，连接，证明，推出，当最小时，、、三点共线，据此求解即可．
【详解】解：当点A、E、O三点共线时，是边的中点，
∴，
∴；
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
即，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
由于，所以点可以看作是以为圆心，2为半径的半圆上运动，
延长到点，使得，连接，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
当最小时，、、三点共线，
∵，
∴
∴线段长的最小值为．
故答案为：，．
命题点三 锐角三角函数的应用
►题型03 锐角三角函数的应用
【典例】．（2025·江苏连云港·二模）在新书发布现场，常会将一些新书按一定造型摆放，如图1某数学书籍发行现场，将四本新书按着如图2方式摆放在书架的一个格挡中（图中4个完全相同的矩形是书的侧面），最左侧的书贴边垂直摆放，其他三本书倾斜摆放，且，最右侧书的一角S恰好落在格挡边沿．若已知书的高度，宽，解决下列问题：
(1)图中的度数为______°；
(2)求的长（精确到）；
(3)请直接写出格挡的宽度的大小（精确到）（参考数据：，，，，）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）延长交于点，易得，则减去的度数即为的度数；
（2）延长交于点，根据的余弦值可得的长度，根据的正切值可得的值，则，加上的长度即为的长度；
（3）延长，交于点，作于点，分别求出，，，，的长度，再加上和的长度，即为的大小．
【详解】（1）解：延长交于点X，
由题意得：、，
、是的外角
故答案为：；
（2）解：延长交于点Y，
，
、、
由（1）知，
的长约为；
（3）解：延长，交于点Z，与于点，
由（1）知
、
作于点，则
根据题意可得
在中，由勾股定理得：
由题意得：，
的长约为．
【变式】
1．（2025·江苏南京·一模）【实践课题】如图①，测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离．
【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具．
【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点B．测量A、B两点间的距离以及和，测量三次取平均值，得到米，，．画出示意图（如图②）．
(1)【问题解决】计算、两点之间的距离（参考数据：，，，，）．
(2)【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：如图③，选择合适的点、、，使得、、三点在同一条直线上，且，，当、、三点在同一条直线上时，只需测量即可．
乙小组的方案用到了__________（填“解直角三角形”或“三角形全等”）．
【答案】(1)米
(2)三角形全等
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质的应用，解直角三角形的应用，灵活应用知识点是解本题的关键；
（1）如图，过作于，先求解，，再求解及即可；
（2）由全等三角形的判定方法可得，可得，从而可得答案.
【详解】（1）解：如图，过作于，
∵米，，，，
∴，
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴（米）；
即，两点间的距离为米；
（2）∵，，当，，在同一条直线上时，
∴，
∴，
∴，
∴只需测量即可得到长度；
∴乙小组的方案用到了三角形全等.
故答案为：三角形全等.
2．（2025·江苏盐城·中考真题）一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为，则落在地面上的投影 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质、解直角三角形，解题时要熟练掌握并能灵活运用勾股定理是关键．
依据题意，作于，于，则，然后求出，故，从而得到，可得，再证明四边形是矩形，故，最后在中，进而可得，故计算可以得解．
【详解】解：由题意，作于，于，
．
，
．
．
，
．
．
∵．
，
．
．
．
，
四边形是矩形．
．
在中，
，
．
故答案为：．
突破一 利用特殊角的三角函数解几何综合问题
【典例】．（2025·江苏南京·中考真题）某纸杯的尺寸（单位：）如图（1）所示，展开它的侧面得到扇环纸片（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分）．
(1)的长为____________，____________；
(2)记表示两边长分别为，（，单位：）的矩形纸片的大小．
①图（2）是可以剪出扇环纸片的一张矩形纸片，它的一边与相切，点，在对边上，点，分别在另外两边上，直接写出，的值；
②用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片吗？说明理由；
③若一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片，写出求的范围的思路（无需算出最终结果）．
【答案】(1)，
(2)①，②可以，理由见解析③见解析
【分析】（1）设，，则，利用圆的周长公式和弧长公式解答即可；
（2）①延长，，延长线交于点，设矩形的边与相切于点，连接，交于点，利用圆的切线的性质定理，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理解答即可；
②将扇环纸片按如图所示放置，在矩形的边上，延长，，延长线交于点，过点作于点，过点作于点，利用直角三角形的边角关系定理求得，的长度，再利用它们与的矩形纸片的长与宽作比较即可；
③设计出能够放置扇环纸片的最小的的矩形纸片即可．
【详解】（1）解：由题意得：的长为，的长为，
设，，则，
，
，
．
故答案为：，；
（2）解：①延长，，延长线交于点，设矩形的边与相切于点，连接，交于点，如图，
则，
四边形为矩形，
四边形，为矩形，
，
由题意得：，，，，
为等边三角形，
，，，
，，
，，
，
．
②用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片，理由：
将扇环纸片按如图所示放置，在矩形的边上，延长，，延长线交于点，过点作于点，过点作于点，
由题意得：，，，，
，，，
，
，，
，，
用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片．
③设的矩形纸片为矩形，，将扇环纸片如图放置，使点在边上，点在边上，点在边上，与边相切于点，
则此时的值最小，若求的范围，则此时的为的最小值．
延长，，延长线交于点，连接，交于点，过点作于点，过点作于点，设交于点，
由题意得：，，，，
与边相切于点，
，
，，四边形为矩形，
四边形，四边形，四边形为矩形，
，，，
，．
求得，的值即可求得的最小值；
由于，解和即可求得结论．
【变式】
1．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，为的直径，，为圆上两点，，弦，相交于点，连接交边于点．
(1)求证：．
(2)若，，求和半径的长．
【答案】(1)见解析
(2)，
【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，熟练运用相关知识点是解题的关键．
（1）由，得，，由，得，即可求证；
（2）由圆周角定理得，由垂径定理得，设，由，得，，，由勾股定理得，根据，可求出的值，即可得出半径的长；证明，即可求出的长．
【详解】（1）证明：，
，．
又，
．
．
（2）如图，连接，
为直径，
，．
又，
．
设与交点为，
．
设，
，
．
．
．
，
．
，
．
．
．
．
．
，
，解得．
．
，
．
．
．
．
半径的长为．
，
．
．
．
．
2．（2025·江苏常州·三模）如图，已知中，，，，，垂足为D，点E是线段上一点（不与点C、D重合），连接并延长交于点F．
(1)求的长；
(2)若点F是的中点，求的值；
(3)若是等腰三角形，求的长．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）由勾股定理可得，再由三角形面积公式计算即可得解；
（2）过点作于点，则，证明是的中位线，得出，证明，求出，从而可得，再由正切的定义即可得解；
（3）分三种情况：当时，过点作于点；当时，过点作于点；当时，过点作于点；分别利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵在中，，，，
∴由勾股定理可得：，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点作于点，
，
∵，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵是等腰三角形，
∴当时，过点作于点，
，
则，
∵，，
∴，，
∴，
∴平分，
∵，，
∴,
设，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当时，过点作于点，
，
则，
∵，
∴，，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当时，过点作于点，
，
则，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
突破二 锐角三角函数的实际应用
【典例】．（2025·江苏泰州·三模）如图1，某校的一棵银杏，树龄已逾千年，为了映衬这棵古银杏，园林部门以树干根部为中心，在其四周的地面铺设了圆形的景观草坪．小强所在综合学习小组，为了测量这棵银杏树的高度，采取如下测量方案：将测角仪支架放在圆形草坪的圆周上，使得测角仪与树干的距离等于圆形草坪的半径，当测角仪距离地面1米时，在A处测得树顶D的仰角为，再将测角仪的支架下降20厘米，在C处测得树顶的仰角为，如图2，请求出这棵银杏树的高度．（可选用数据：，，，，，）
【答案】23米
【分析】本题考查解直角三角形应用中的仰角问题，是利用锐角三角函数求解树高的实际问题．关键在于通过设未知数，利用锐角三角函数建立方程来求解．已知在圆形草坪圆周上不同高度的两点测量树顶的仰角，以及两点的高度差，同时给出了一些锐角三角函数值，可设树高为，利用和的值可表示出草坪圆周的半径，利用半径相等即可建立方程求解．
【详解】解：如图2所示，作，，由题意得，，，，则，设树高，
在中，，则，
同理在中，，则，
∵，，，
∴，
解得．
故树高为23米．
【变式】
1．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图1是广东醒狮，它是国家级非物质文化遗产之一，其中高桩醒狮更是由现代艺术演出转变而来的体育竞技．如图2，三根梅花桩垂直于地面放置，醒狮少年从点A跳跃到点B，随后纵身跃至点C，已知．（参考数据：，，）
(1)在图2中，______；
(2)醒狮少年在某次演出时需要从点A直接腾跃至点C进行“采青”，请求出“采青”路径的长度，
(3)醒狮少年在休息时发现，在太阳光下梅花桩的影子顶端恰好落在点B处，梅花桩的影子顶端恰好与点N重合，请在图3中画出梅花桩的影子并计算出的高度．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了平行线的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，添加适当的辅助线、构造直角三角形是解题的关键．
（1）如图：延长至H，根据平行线的性质可得、，再根据角的和差即可解答；
（2）如图：过点B作直线，分别交、于点E、F，过点A作直线，交于点D，连接，则四边形，四边形，四边形，四边形均是矩形，由矩形的性质可得、，再解直角三角形结合勾股定理即可解答；
（3）线段、为梅花桩的影子，线段为梅花桩的影子．再利用相似三角形的性质求解即可；
【详解】（1）解：如图：延长至H，
由题意可得：，
∴、，
∴．
故答案为：．
（2）解：如图：过点B作直线，分别交、于点E、F，过点A作直线，交于点D，连接，．
由题意得：，
∴四边形，四边形，四边形，四边形均是矩形，，
∴、，
∴．
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵在中，，，
∴．即“采青”路径的长度约为．
（3）解：线段、为梅花桩的影子，线段为梅花桩的影子．
∵，，
∴，
∴，
由（2）得，
∴，解得：．
经检验且符合题意，
所以的高度约为．
2．（2025·江苏盐城·一模）【背景】图1是文具店正在销售的某种文件夹，图2为该文件夹装入纸张前后的纵截面示意图，已知纸张与龙骨截线垂直，且垂直于底板，，夹纸板截线与扣板截线的夹角始终保持
【测量】如图2（甲），未装入纸张时，点落在上，此时，如图2（乙），装满纸张时，点落在上，此时
【计算】借助以上信息，解决下列问题：（计算结果保留根号）
(1)求夹纸板截线与扣板截线的长；
(2)如图2（丙），装入30张纸后测得，若每张纸厚度相等，求每张纸的厚度；
(3)未装入纸张时，点到底板的距离为________．
【答案】(1)长，长
(2)每张纸的厚度为
(3)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用及股定理．熟练掌握解直角三角形的相关知识是解题的关键；根据所得的的角，构造的直角三角形进行求解是解决本题的难点．
（1）图甲中根据的长和的余弦值可得的长，图乙中易得，根据的长和的余弦值可得的长；
（2）图丙中，设纸的上端与交于点，易得，进而根据的长和的余弦值可得的长，即可求得的长，除以30即为每张纸的厚度；
（3）作于点，易得，作，可得，，设为，利用勾股定理求得的值，进而得到的长，即可求解．
【详解】（1）解：图甲中，
，
，
，，
，
图乙中，
由题意得：，，，
，
，
答：长，长；
（2）解：图丙中，设纸的上端与交于点，
，，
，，
，
，
，
每张纸的厚度为：，
答：每张纸的厚度为；
（3）解：作于点，则，
，，
，
，
，
作，
，，
设为，则，，
，
在中，，
，
解得：（取正值），
，
，
的长就等于点到底板的距离，
未装入纸张时，点到底板的距离为．
故答案为：．
1．（2025·江苏扬州·二模）如图，在的网格中，以点为圆心作圆，点，，都在圆周上，其中，为格点，则的正弦值为（ ）
A．B．C．1D．不确定
【答案】B
【分析】本题主要考查了求正切值，圆周角定理．根据圆周角定理可得，然后根据特殊角的三角函数值解答即可．
【详解】解：根据圆周角定理得到，
∴，
故选：B．
2．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，正方形中，将边绕点逆时针旋转至，连接，，若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过作，垂足为，根据两个三角形全等的判定定理，确定，从而根据全等三角形的性质得到，再根据将边绕点逆时针旋转至，确定为等腰三角形，结合“三线合一”得到是边上的中线，进而，即，在中，，设，则，由勾股定理得到， 利用正弦值定义求解即可得到答案．
【详解】解：过作，垂足为，如图所示：
，
在正方形中，，，
，
，
，
在和中，
，
∴，
将边绕点逆时针旋转至，
，
，
由“三线合一”可得是边上的中线，即，
，
在中，，设，则，
由勾股定理得到，
，
故选：C．
3．（2025·江苏无锡·三模）在中，，，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理．利用勾股定理列式求出，再根据锐角的余弦等于邻边比斜边列式即可．
【详解】解：∵，，，
，
．
故选：D．
4．（2025·江苏无锡·模拟预测）在中，，，，那么等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角函数的计算，根据正切的定义计算选择即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
故选：D．
5．（2025·江苏苏州·二模）如图，正方形中，是边的中点，点是平面内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接．则线段长最大时，的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，旋转的性质，矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
由旋转得：，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接，，证明 ，则，可得，由，得到，当点三点共线时，取得最大值，如图：过点作交延长线于点，过点作于点，则四边形是矩形，证明，则，，故，则由即可求解．
【详解】解：由旋转得：，
如图，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接，，则，
∵，
∴，
在与中，
，
∴ ，
∴，
∵正方形中，，O是边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
当点三点共线时，取得最大值，如图：过点作交延长线于点，过点作于点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
6．（2025·江苏南京·二模）如图，将一张宽为的矩形纸片折叠，若，则折痕的长为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了根据正弦值求边长，根据平行线的性质求角的度数，折叠的性质，过点F作矩形纸片的一边与H，则，由平行线的性质得出，由折叠的性质和平角的定义得出，再根据正弦的定义即可求出．
【详解】解：过点F作矩形纸片的另一边于H，如下图：
则，
∵矩形纸片两边平行，
∴，
由折叠的性质可知：，
∴，
故答案为：2
7．（2025·江苏扬州·二模）如图，点和点在半圆上，与交于点，若是的中点，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了切线的性质，求角的正弦值，直角三角形的性质，垂径定理，取中点F，连接，由垂径定理可得，则，据此可得点E在以F为圆心，半径为的圆上运动，故当与相切时，最大，即此时最大，再由，的最大值即为的最大值，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，取中点F，连接，
∵点E是的中点，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
∴点E在以F为圆心，半径为的圆上运动，
∴当与相切时，最大，即此时最大，
由切线的性质可得，
∵，
∴，
∴，
∴的最大值为，
∵，
∴，
∴的最大值即为的最大值，
∴的最大值为，
故答案为：．
8．（2025·江苏泰州·三模）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，两点，点在第四象限，轴．若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解直角三角形等，证得是解题的关键．先求出点坐标，用待定系数法求出反比例函数解析式，再求出点B坐标，作于，设交轴于点D，利用等角的余角相等得到，再解直角三角形即可．
【详解】解：点在上，
，
，
把代入反比例函数表达式得：，
反比例函数的解析式为：；
、两点关于原点成中心对称，
；
如图所示，作于，设交轴于点D，
，，
，
轴，轴，
，
．
故答案为：．
9．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，，以O为圆心，2为半径画弧，分别交于两点，再分别以为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点C，作射线，连接，则 ．（结果保留根号）
【答案】
【分析】本题考查了求角的正切值、等边三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角的正切的定义是解题关键．连接，交于点，先得出垂直平分，再证出是等边三角形，则可得，然后利用勾股定理可得，最后根据角的正切的定义求解即可得．
【详解】解：如图，连接，交于点，
由题意得：，，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
故答案为：．
10．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图①，将矩形纸片对折，折痕为；如图②，展开纸片，连接，交于点；如图③，再沿过点的直线折叠，使点恰好落在点处，折痕为，则的值为 ．
【答案】
【分析】由图①、图②，根据折叠的性质得，在图③中，设交于点，延长交于点，由矩形的性质得，则，可证明，得，则，因为垂直平分，所以，则，设，则，由，得，则，求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：由图①、图②，根据折叠的性质得，
如图③，设交于点，延长交于点，则，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
沿过点的直线折叠，使点恰好落在点处，折痕为，
点与点关于直线对称，
垂直平分，
，
，
设，则，
，
，
，．
或（不符合题意，舍去），
，
故答案为：．
1．（2025·江苏镇江·一模）如图，已知点是以为直径的圆上一点，是延长线上一点，过点作的垂线交的延长线于点，连结，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的直径．
【答案】(1)见解析
(2)的直径为16．
【分析】（1）连接，由，，可得，，而，可得，故可证，是的切线；
（2）连接，设的半径为，由，可得，从而可用的代数式表示和，再根据是的切线，根据角的等量代换，证明，即可列式计算，解得的半径．
【详解】（1）解：连接，如图：
，，
，，
，
，，
，
，
，
是的切线；
（2）解：连接，如图：
，
，
，
，
，
在中，，
设的半径为，则，
，
，
，
，
是的切线，
∴，
∵点是以为直径的半圆上一点，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
，
解得或（舍去），
的半径为8，
的直径为16．
2．（2025·江苏苏州·一模）如图，中，D为上一点，，是的外接圆，为的直径，连接．
(1)求证为的切线；
(2)若⊙O的直径，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)的长为28
【分析】（1）由直径所对圆周角为直角可知，根据圆周角定理可知，结合，可知，进而证明结论；
（2）由（1）可知，进而解直角三角形求得，，连接，由圆周角定理可知，进而解直角三角形求得，，过点作于，则，，得，再证，得，设，则，根据，列方程即可求解．
【详解】（1）证明：∵为的直径，
∴，则，
∵，
∴，
又∵，
∴，则，
∴，
∴为的切线；
（2）解：由（1）可知，，
∴，
∵，
∴，则，
连接，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，则，
∴，则，
过点作于，则，，
∴，
∵，，
∴，
则，
设，则
∵，即，
∴，解得：，
∴．
3．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，是弦延长线上的一点，且的延长线交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查圆周角定理，垂直平分线的性质，勾股定理，余弦函数：
（1）由直径所对的圆周角为90度，可证，进而可得垂直平分，即可证明；
（2）连接，则，结合可得，进而可得，再由勾股定理计算即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
是的直径，
，
，
又，
垂直平分，
；
（2）解：如图，连接，
是的直径，
，
，
，
，
由（1）得，
，
．
4．（2025·江苏徐州·模拟预测）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．
问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的．如图②．始终垂直于水平面．设筒车半径为2米．当时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时，经过90秒后该盛水筒运动到点B处．
问题解决：
(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，的度数；
(2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据）
【答案】(1)
(2)点B到水面的距离约为0.7米
【分析】本题考查了圆的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
（1）求出一秒钟旋转的度数，再乘以旋转时间，进行求解即可；
（2）过点A作于点C，过点B作于点N，分别解，，求出的长，根据线段的和与差进行计算即可．
【详解】（1）如图，由题意可知，盛水筒A逆时针旋转到B时，旋转的角度为，
∴，
∵，
∴；
（2）如图，过点A作于点C，过点B作于点N，
在中，米，，
∴（米），
在中，米，，
∴（米），
∴点B到水面的距离（米）．
答：点B到水面的距离约为0.7米．
5．（2025·江苏无锡·二模）已知平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是线段上一点，若，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，将该抛物线向左平移，点D平移至点E处，过点E作，垂足为点F，若 ，求平移后抛物线的表达式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求出抛物线的对称轴为直线，结合得出，，再利用待定系数法求解即可；
（2）过点作于点，过点作轴的垂线交轴于点，交过点和轴的平行线于点，则为等腰直角三角形，得出，设点的坐标为，证明，得出，，即且，求出，，即可得出，求出直线的解析式为，直线的解析式为，联立，求解即可；
（3）求出，设抛物线向左平移了个单位，则点，新抛物线的解析式为，过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点，由（2）可得，，求出直线的解析式为，设点的坐标为，证明，得出，解直角三角形可得，从而可得，
求出，，，，代入式子计算得出，即可得解．
【详解】（1）解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线 与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），且，
∴，，
将代入抛物线解析式可得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，过点作于点，过点作轴的垂线交轴于点，交过点和轴的平行线于点，
，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设点的坐标为，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
即且，
解得：，，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，即，
设直线的解析式为，
将，代入直线的解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，解得，
∴；
（3）解：∵，抛物线的顶点为D，
∴，
设抛物线向左平移了个单位，则点，新抛物线的解析式为，
如图，过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点，
，
由（2）可得，，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点的坐标为，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，
解得：，
∴新抛物线的解析式为．
6．（2025·江苏扬州·三模）如图，在中，，，经过，两点，与斜边交于点，连接并延长交于点，交于点，过点作，交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理得到结论；
（2）连接，根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接．
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，
∵是的半径，
∴与相切；
（2）解：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
7．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的直径．
【答案】(1)证明见解析；
(2)的直径为．
【分析】（）连接，由角平分线可得，又由可得，即得，由得，进而可得，即得，即可求证；
（）是的直径可得，又由（）知，由，，进而可得，再根据，，，可得，得到，，解得到，再解即可求解；
【详解】（1）证明：连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：∵是的直径，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴
∵，，
∴，
∵，，，
∴
∴，，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
即的直径为．
8．（2025·江苏淮安·模拟预测）【初步感知】如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：
【探索发现】如图2，在中，，，，点F是延长线上的一点，且，在下方作，将射线绕点C逆时针旋转，交射线于点G，求的长．
【尝试应用】如图3，在中，，E为边上一点，连接，，，且，求的值．
【拓展提升】如图4，已知在菱形中，，点E在边上，且，连结交对角线于F，点G在线段上，连结，若，，则______用含有m、n的式子表示
【答案】初步感知：见解析；探索发现：；尝试应用：；拓展提升：
【分析】初步感知：可证得，进而证得，从而得出结论；
探索发现：可证得，从而，进一步得出结果；
尝试应用：作于D，设，，则，可求得，，可证得，从而，从而表示出，进而表示出，进一步得出结果；
拓展提升：作，交于V，交于W，可证得，，从而得出，可证得，是等边三角形，从而，，从而得出，，，进而证得，从而，进一步得出结果．
【详解】初步感知：证明：，，，
，
，
；
探索发现：解：，
，
射线绕点C逆时针旋转，交射线于点G，
，
，
，
，
，
，
，
，
∵，
，
；
尝试应用：解：如图1，作于D，
∵，
∴设，则，
∴，
，
∴设，则，
∴，
∴
，，
，，
，
，
，
，
，
；
拓展提升：解：如图2，
作，交于V，交于W，
，，
，
∴，
四边形是菱形，
，，，
，是等边三角形，
，，
∵，即
∴，
，
∵，
∴
∴，，
∴，，
，
，
，
，
，
设，，
∵，
，
，
∵，
，
，
故答案为：
9．（2025·江苏宿迁·三模）如图1，已知线段，，线段绕点A在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且．
(1)若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是______；
(2)如图2，在（1）的条件下，若，，，求的长；
(3)如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，锐角三角函数的定义，熟练掌握解直角三角形及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）证明，根据相似三角形的性质得到，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解；
（2）求出，延长交于点，在中，由直角三角形的性质求得，进而求得的长，根据（1）的结论，得出，在中，勾股定理求得，进而根据，即可求出案．
（3）如图所示，以为边在上方作，且，连接，，同（1）可得，求出的长，进而得出在以为圆心，为半径的圆上运动，当点三点共线时，的值最大，进而求得，根据得出，过点作于点，由直角三角形的性质分别求得，，然后求出，最后根据正切的定义即可得出答案．
【详解】（1）解：在中，，
在中，，
，
，，
，
，
，
，
在中
，
，
故答案为：；
（2）解：在中，，
，
延长交于点，如图所示，
，
，
由（1）可得，
，
，
在中，，
由（1）知，
，
即；
（3）解：如图所示，以为边在上方作，且，连接，
同（1）可得：，
，
，
，
在中，，
，
∴在以为圆心为半径的圆上运动，
∴当点三点共线时，的值最大，
此时如图所示，则，
在中，
，
，
，
，
，
过点作交于F，
，
在中，，，
，
，
在中，
．
10．（2025·江苏南京·三模）如图，为了测量风力发电机风叶的长度，当其中一片风叶与塔杆叠合时，小青在离塔底水平距离为的处，测得塔顶部的仰角，测得叶片处的仰角．已知三片风叶两两所成的角为，点，在同一平面内，求风叶的长度．（结果精确到．参考数据：）
【答案】米
【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，如图，过作于，作于，而，则四边形为矩形，求解，设，则，可得，可得，利用，再建立方程求解即可．
【详解】解：如图，过作于，作于，而，则四边形为矩形，
∴，，，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得：，经检验符合题意；
∴（米）．
1．（2025·云南·模拟预测）如图，一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动了时，垂直高度下降了．则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了锐角三角函数，求一个角的正弦值，解题的关键是正确构造直角三角形．
记一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动了，此时在点处，则，过点作于点，则，可得，然后在中，利用正弦的定义求解即可．
【详解】解：如图，记一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动了，此时在点处，则，过点作于点，则，
由题意得，，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
2．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，的顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，掌握特殊角的正弦值是解题的关键，如图标记点，则是等腰直角三角形，，则．
【详解】解：如图标记点，
中，，
，
，
故选：C．
3．（2025·云南·模拟预测）如图所示，有一台笔记本电脑，屏幕与键盘所成夹角为，若屏幕的长度为，则上方边界C处到桌面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了解直角三角形，三角形外角的性质，根据三角形外角的性质求出的度数，根据余弦的定义可得，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
4．（2025·浙江绍兴·三模）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点上，以为直径的圆经过点C、D，则的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了利用网格求一个角的余弦，圆周角定理，圆周角定理的推论，解题关键是利用圆周角定理证明相应的角相等．
先利用圆周角定理证明，再求出的余弦值即可得出的余弦值．
【详解】解：连结，
∵以为直径的圆经过点C、D，
∴，
∵在同一圆中，与所对的弧是，
∴，
∴的余弦值为，
故选：A．
5．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】先根据正方形边长和已知条件求出各线段长度，通过证明三角形全等得到的长度，再利用勾股定理求出、、的长度，最后通过勾股定理逆定理判断三角形形状，进而求出．
【详解】解：∵正方形中，，
∴，．
∵，
∴．
∵是的中点，
∴．
∵，，，
∴（），
∴，．
在中，，，
∴．
在中，，，
∴．
在中，，，
∴．
∵，
∴是直角三角形，且．
∴．
故选：．
6．（2025·湖南衡阳·模拟预测）魏晋数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形，和都是正方形，已知图中与的面积比为．
（1）若正方形的边长为16，则的长为 ；
（2）的值为 ．
【答案】 / /0.75
【分析】本题考查了正方形性质，相似三角形性质和判定，正切的定义，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
（1）根据正方形性质证明，利用相似三角形性质求解，即可解题；
（2）结合正方形性质，相似三角形性质和判定推出，，进而求解，即可解题．
【详解】解：（1）和都是正方形，
，
，
图中与的面积比为，
，
正方形的边长为16，
，
；
故答案为：．
（2）和都是正方形，
，
，
由（1）同理可知，，
，，
，，
，
，
；
故答案为：．
7．（2025·江西抚州·二模）如图，将图1的七巧板，拼成图2所示的平行四边形，则的值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了七巧板问题，正方形的判定和性质，三角函数．
在图1中连接，证明四边形是正方形，得到，，在图2中可得，，根据三角函数计算即可．
【详解】解：如图1，连接，
由七巧板可知，，，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形，
∵，
∴矩形是正方形，
∴，，
如图2，连接、，则，
∴，
由七巧板可知，，
则，
∴．
故答案为：．
8．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，为的直径，是的弦，交于点E，连接，且；若，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查圆周角定理和垂径定理以及求角的正切值，由圆周角定理得，而，可得，得出，即为的中点，得出，，由勾股定理得，从而可求出的值．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴为的中点，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
故答案为：．
9．（2025·河南焦作·二模）如图，小红想测量在斜坡上的古塔的高，为了测出斜坡的坡角，小红拿一根竹竿，点D在斜坡上，米，点E在平地上，米，小红用量角器测得．
(1)斜坡的坡角为___________；
(2)同一时刻，小红测得身高1.6米的自己在平地上的影长也是1.6米，古塔的影子一部分在长12米的斜坡上，一部分在平地上，影子的顶端与点E重合．图中所有点均在同一平面内，根据小红的测量，请你算出古塔的高．（精确到0.1米，参考数据：）
【答案】(1)
(2)5.4米
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、解直角三角形、锐角三角函数以及特殊角三角函数值，熟练掌握并综合应用等腰三角形的性质、三角形外角的性质、解直角三角形、锐角三角函数以及特殊角三角函数值是解题的关键．
（1）由“等边对等角”得，再由“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”计算出斜坡的坡角；
（2）先在中，利用锐角三角函数解直角三角形计算出、的长，再由身高影长之比得阳光与地面夹角是，从而得出是等腰直角三角形，易得，最后计算出古塔的高．
【详解】（1）解：米，米，
，
，
是的外角，
，
斜坡的坡角为．
（2）解：如图，
，，米，
（米），
在中，，
，解得米，
米，
（米），
小红测得身高1.6米的自己在平地上的影长也是1.6米，
太阳光与地面的夹角为，
，
米，
（米）．
答：古塔的高约为5.4米．
10．（2025·上海徐汇·二模）如图，已知在中，，是边上一点，，，垂足为点，．
(1)求线段的长；
(2)如果的平分线交线段的延长线于点，求的正切值；
(3)过点作的直角边的平行线，交直线于点，作射线，交直线于点，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查三角形相似的性质和判定，锐角三角函数，解直角三角形，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）设，在中，，构建方程求出，再利用相似三角形的性质求出；
（2）可证明，中，可求出，进而求出长度，则可得结论；
（3）分两种情形：当时或者当时，利用相似三角形的判定和性质求解即可．
【详解】（1）解：设，
∵，
∴，
∴，
在中，
，
解得（不符合题意，舍去），
∵，
∴，
∵，
∴∽，
∴，
即，
解得；
（2）解：设交线段于点，交边于点，
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）（i）当时，
∵，
∴，
得，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴；
（ii）当时，延长交直线于点，
∵，
∴，
得，
即
求得，
∵，
∴，
∴，
得，
即，
求得，
，
∵，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，或．
命题点一 锐角三角函数的概念及计算
题型01根据概念计算几何图形中的三角函数
题型02 计算网格中的三角函数
命题点二 特殊角的三角函数
题型03特殊角的三角函数计算
题型04 利用特殊角的三角函数解几何综合问题
命题点三 锐角三角函数的应用
题型05锐角三角函数的应用
突破一 利用特殊角的三角函数解几何综合问题
突破二 锐角三角函数的实际应用
基础巩固→能力提升→全国新趋势
考点
2025年
2024年
2023年
课标要求
锐角三角函数的概念
南通T18常州T5
扬州T17苏州T15
无锡T16
扬州T18
常州T15
宿迁T16
淮安T15
常州T15
南通T8
理解锐角三角函数snA，csA,tanA,知道30°45°60°角的三角函数值。
会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角。能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。
特殊角的三角函数
淮安T17盐城T17
镇江T17宿迁T19
扬州T19
淮安T17
镇江T19
宿迁T19
扬州T19
盐城T17
盐城T17
镇江T19
宿迁T19
扬州T19
盐城T17
锐角三角函数的应用
南京T27盐城T16
淮安T26
镇江T7、24
无锡T25徐州T25
宿迁T23、28
南通T8常州T18
苏州T16、25、26
连云港T23
淮安T23
南京T23
徐州T25
南通T14
宿迁T24
苏州T23
盐城T15
连云港G25
南京T23
盐城T14
镇江T26
淮安T23
南通T7
宿迁T27
泰州T22
徐州T25
苏州T23
连云港T23
命题预测
2023 - 2025 年锐角三角函数的考查情况分析：
各地市均覆盖选择、填空、解答三种题型，总分值占比约 8%-12%，与相似三角形分值相当。基础题型（选择/填空）：1-2题，分值3-6分，侧重概念、特殊角三角函数值计算，较易。解答题型：1题，分值6-10分，多为中档实际应用题或压轴题的子问题，难度中偏难。地域命题差异：南京、苏州、无锡等教育发达地市：将锐角三角函数融入二次函数动态问题或圆的综合题中，作为求线段长度、角度的核心工具。部分城市保留独立解答题，以实际应用场景为主，模型固定，是学生的得分关键。
2026年中考数学关于锐角三角函数的命题预测：
题型与分值保持稳定；
选择、填空、解答三种题型，总分值维持在 8-12分。基础题侧重三角函数值的计算；解答题以实际应用或综合题为主，分值6-10分。
核心考点不变
基础层：特殊角的三角函数值计算、直角三角形的边角关系仍是必考点。
应用层：仰角俯角、坡度坡角、方位角的实际应用题仍是苏北及镇江、泰州等地的考查重点，模型固定，难度中等。
综合层：“锐角三角函数+相似三角形+圆”的中档综合题，以及“三角函数+二次函数+动点”的压轴题子问题；
命题创新点预测
场景创新：可能结合“新能源发电（太阳能板倾斜角度）、城市轨道交通（轨道坡度）”等新场景，考查建模能力，但核心仍是解直角三角形。
素养导向：弱化复杂计算，强化“作辅助线构造直角三角形”的逻辑推理，比如在不规则四边形、三角形中，通过作高转化为直角三角形求解。
备考建议：
吃透定义与牢记特殊角的三角函数值；掌握一定的解非直角三角形的能力，学会构造直角三角形结合三角函数求线段长是最重要的。
α
sinα
csα
tanα
30°
45°
1
60°
/
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/